測量誤差及數(shù)據(jù)處理方法

關(guān)于測量誤差及數(shù)據(jù)處理方法第1頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§1.1測量與誤差概念

測量是物理實驗的基礎(chǔ)。 測量就是用一定的測量工具或儀器，通過一定的方法，直接或間接地得到所需要的量值。

1測量依照測量方法的不同可將測量分為兩大類：（1）

直接測量（2）

間接測量

問題：我們接觸過哪些測量？哪些是直接測量？哪些是間接測量？§

1.1測量與誤差概念第2頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五2誤差

1、誤差的定義： 測量誤差=測量值-真值 即ΔN=N測－N真

這個誤差的定義反映了測量值偏離真實值的大小和方向。

§

1.1測量與誤差概念第3頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五2、誤差來源§

1.1測量與誤差概念（1）

儀器誤差（2）

環(huán)境誤差（4）

人員誤差（3）

測量方法誤差第4頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五3誤差分類及其消除方法（1）系統(tǒng)誤差

a.定義：系統(tǒng)誤差是指在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量。 系統(tǒng)誤差的特點是其確定性。 b.產(chǎn)生原因：測量儀器、測量方法、環(huán)境因素

§

1.1測量與誤差概念第5頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五c.減小系統(tǒng)誤差的方法： .對測量結(jié)果引入修正值； .選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法，使系統(tǒng)誤差能夠抵消而不會帶入測量值中。 ①已定系統(tǒng)誤差：必須修正

例如電表、螺旋測微計的零位誤差；

②未定系統(tǒng)誤差：要估計出分布范圍

如：螺旋測微計制造時的螺紋公差等。

§

1.1測量與誤差概念注意：多次測量求平均并不能消除系統(tǒng)誤差。因為在測量條件不變時，其有確定的大小和符號。第6頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.1測量與誤差概念（2）隨機誤差

a.隨機誤差是指在同一量的多次測量過程中，其大小與符號以不可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量。

隨機誤差的特征是隨機性。b.產(chǎn)生原因：實驗條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化，引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化。例如：實驗時溫度的隨機波動、螺旋測微計測力在一定范圍內(nèi)隨機變化、讀數(shù)時的視差影響。

第7頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五

c.消除方法：使用統(tǒng)計方法隨機誤差的特點：大量的隨機誤差服從正態(tài)分布。①單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。②對稱性：多次測量時分布對稱，即絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。因此取多次測量的平均值有利于消減隨機誤差。③有界性：在一定的測量條件下，誤差的絕對值不超過一定的界限。σ小σ大δP0§

1.1測量與誤差概念第8頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.1測量與誤差概念（3）粗大誤差a.定義：明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。b.產(chǎn)生原因：錯誤讀數(shù)、儀器有缺陷、環(huán)境干擾等。 c.應(yīng)避免出現(xiàn)粗大誤差。如出現(xiàn)粗大誤差，應(yīng)分析粗大誤差產(chǎn)生的原因。處理數(shù)據(jù)時，剔除異常數(shù)據(jù)。第9頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五精密度、正確度與準(zhǔn)確度（又稱精確度）

這三個名詞分別用來反映隨機誤差、系統(tǒng)誤差和綜合誤差的大小?！?/p>

1.1測量與誤差概念第10頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五4測量結(jié)果表示（1）絕對誤差：

測量結(jié)果：（2）相對誤差：

§

1.1測量與誤差概念第11頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§1.2

測量結(jié)果誤差估

算及評定方法

§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法對測量結(jié)果評定的三種方法：（1）算術(shù)平均偏差（2）標(biāo)準(zhǔn)偏差（均方根偏差）（3）不確定度第12頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五根據(jù)統(tǒng)計理論，我們將多次測量的算術(shù)平均值作為真值的最佳近似。

在對測量結(jié)果進行評定時，我們約定系統(tǒng)誤差和粗大誤差已經(jīng)消除、修正或可以忽略，只考慮隨機誤差，其服從正態(tài)分布?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法第13頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五1算術(shù)平均偏差對某一物理量N進行K次測量，得N1，N2，…，Ni，……，Nk，則算術(shù)平均值為算術(shù)平均偏差為§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法第14頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五2標(biāo)準(zhǔn)偏差（均方根差）標(biāo)準(zhǔn)偏差是一個描述測量結(jié)果離散程度的參量。用它來評定隨機誤差有以下優(yōu)點： 1）穩(wěn)定性，σ值隨K變化較小。 2）它以平方計值，與個別誤差的符號無 關(guān)，能反映數(shù)據(jù)的離散程度。 3）與最小二乘法吻合。§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法第15頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五

范圍

置信概率（真值落在確定 范圍內(nèi)的概率）

—68.3% —95.4%—99.7%通常將稱為隨機誤差的極限誤差?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法第16頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五（1）測量列的實驗標(biāo)準(zhǔn)差（2）平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差反映了算術(shù)平均值在真值附近漲落的大小?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法第17頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五3不確定度3.1定義：它是對測量結(jié)果可信賴程度的評定。它表示了被測量的真值以一定概率落在某個量值范圍內(nèi)（，）?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法不確定度小，表示誤差的可能值小，測量的可信賴程度就高；不確定度大，表示誤差的可能值大，測量的可信賴程度降低。第18頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五3.2不確定度的分類和估算不確定度分為兩類。A類分量：用統(tǒng)計方法求出，即σ(N)或σ(N)。B類分量：用其他方法得出。物理實驗中通常使用儀器的極限誤差除以相應(yīng)的置信系數(shù)K。注意：在我們的實驗中一般取K≈1，即§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法第19頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五不確定度的合成（方和根合成法）§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法請記住這一公式第20頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五3.3用不確定度表示測量結(jié)果相對不確定度測量結(jié)果約定：在我們的實驗中u取一位有效數(shù)字。注意：的末位和u對齊。例：§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法第21頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定

如果對某一物理量只測量一次，則常以測量儀器誤差來評定測量結(jié)果的誤差。例1：用直尺測桌子長度，L＝1200.00.5mm例2：用50分度游標(biāo)卡尺測工件長度， L＝10.000.02mm例3：用10μA電流表，單次測量某一電流 3.10μA

，則

μj＝ΔI＝10μA×0.5％＝0.05μA1單次測量誤差估算及評定

§

1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法第22頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五 有以上例題可見，儀器誤差一般用如下方法確定：

1）儀器已經(jīng)標(biāo)明了誤差，如千分尺。 2）未標(biāo)明時，可取儀器及表盤上最小刻度的一半作為單次測量的允許誤差，如例1。 3）電學(xué)儀器§

1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法第23頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五2多次測量結(jié)果的誤差估算及評定處理步驟：1、求平均值。2、求σ和u。3、表示結(jié)果：

§

1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法第24頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§1.4間接測量結(jié)果誤差的估算及評定1

一般的誤差傳遞公式

若N=f(x,y,z)，則若對N=f(x,y,z)取對數(shù)，則可得到§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定第25頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五2標(biāo)準(zhǔn)偏差的傳遞公式§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定第26頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五3不確定度的傳遞公式§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定以上兩公式應(yīng)牢記，并注意應(yīng)用技巧第27頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五4間接測量結(jié)果和不確定度評定的基本步驟

（1）計算各直接測量物理量的值和它們的不確定度；即N＝f(x,y,z)中的x,y,z和ux,uy,uz。

（2）根據(jù)不確定度的傳遞公式計算間接測量量的不確定度。uN或uN/N，保留1位。

（3）求出間接測量量N＝f(x,y,z)，N的末位與不確定度所在位對齊； （4）寫出結(jié)果

§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定第28頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§1.5有效數(shù)字及其運算1有效數(shù)字的含義

有效數(shù)字是由準(zhǔn)確數(shù)字（若干位）和可疑數(shù)字（一位）構(gòu)成，這樣就能夠正確而有效地表示測量結(jié)果?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算第29頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五注意：表示小數(shù)位數(shù)的“0”不是有效數(shù)字；數(shù)字中間和尾部的“0”是有效數(shù)字；數(shù)字尾部的“0”不能隨意舍棄或添加；有效數(shù)字位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān)；推薦用科學(xué)記數(shù)法：K×10n，1≤K＜10。§

1.5有效數(shù)字及其運算第30頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五2有效數(shù)字運算規(guī)則１、加減運算

尾數(shù)對齊：在小數(shù)點后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸量中小數(shù)點后位數(shù)最少的一個相同?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算例：33.2+3.22=36.4

12.567-1.23=11.34

1.2345+5.11-2.141=4.20第31頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五２、乘除運算

位數(shù)取齊：諸量相乘除，結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，一般與各個量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同。§

1.5有效數(shù)字及其運算例：1.11×2.0=2.2

3.248÷1.61=2.02

第32頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五3、某些常見函數(shù)運算的有效位數(shù)（1）對數(shù)函數(shù)y=lnx,y=logx 計算結(jié)果尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同；（2）指數(shù)函數(shù)y=ax

結(jié)果的有效數(shù)字，可與指數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)相同；（3）三角函數(shù)按角度的有效位數(shù)來定；（4）常數(shù)的有效位數(shù)可以認(rèn)為是無限的，運算中應(yīng)多取1位；§

1.5有效數(shù)字及其運算第33頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五4、混合運算規(guī)則 當(dāng)進行加減乘除混合運算時，應(yīng)按加減規(guī)則、乘除規(guī)則和函數(shù)運算規(guī)則逐步計算，最后得到計算結(jié)果?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算第34頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五3不確定度和測量結(jié)果

的數(shù)字化整規(guī)則（1）不確定度的有效位數(shù)1~2位

本書約定不確定度只保留1位。

相對不確定度1~2位。

尾數(shù)采用四舍六入五湊偶（2）最佳值或測量值末位與不確定度對齊。§

1.5有效數(shù)字及其運算第35頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§1.6常用數(shù)據(jù)處理方法1.列表法2.作圖法3.數(shù)學(xué)方法（逐差法、最小二乘法等）§

1.6數(shù)據(jù)處理方法數(shù)據(jù)處理是一個對數(shù)據(jù)進行加工的過程。常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下三類：第36頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五▲列表法§

1.6數(shù)據(jù)處理方法例：用讀書顯微鏡測量圓環(huán)直徑測量圓環(huán)直徑D儀器：讀數(shù)顯微鏡Δins=0.004mm測量次序i左讀數(shù)/mm右讀數(shù)/mm直徑Di/mm112.76418.7625.998210.84316.8385.995311.98717.9785.996411.58817.5845.996512.34618.3385.992611.01517.0105.994712.34118.3355.994直徑平均值D/mm5.995

標(biāo)題：說明表格內(nèi)容附加說明：實驗儀器、條件等各個欄目標(biāo)明名稱和單位原始數(shù)據(jù)注意數(shù)據(jù)紀(jì)錄的順序計算的中間結(jié)果數(shù)據(jù)第37頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五例題：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)表§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲作圖法優(yōu)點：能形象直觀地顯示物理量之間的函數(shù)關(guān)系第38頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00I(mA)U(V)1.選擇合適的坐標(biāo)紙3.標(biāo)實驗點4.連成圖線5.標(biāo)出圖名及注解電阻伏安特性曲線作圖法步驟：一般選用直角坐標(biāo)紙。選擇圖紙時以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效位數(shù)并能包括所有實驗點為限度。2.確定坐標(biāo)軸，選擇合適的坐標(biāo)分度值注意：坐標(biāo)分度時，忌用3、7等進行分度；坐標(biāo)分度可不從零開始；盡可能使圖線充滿圖紙。注意：連線時應(yīng)該使用相應(yīng)的工具；通常連線是平滑的；要注意剔除錯誤的數(shù)據(jù)點；直線盡量通過（x,y）這一點。第39頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五▲圖解法

利用已做好的圖線，我們可以定量地求得待測量或得到經(jīng)驗公式?！?/p>

1.6數(shù)據(jù)處理方法從圖中取兩點可以計算出直線的斜率和截距，從而也就可以得到經(jīng)驗公式。如本例，由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：第40頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)§

1.6數(shù)據(jù)處理方法由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：第41頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五不當(dāng)圖例展示：§

1.6數(shù)據(jù)處理方法nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖曲線太粗，不均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細(xì)實線。第42頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：第43頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標(biāo)分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。第44頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：第45頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)。實際作圖時，坐標(biāo)原點的讀數(shù)可以不從零開始。第46頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為：第47頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲逐差法逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù)，進行逐項或相等間隔相減得到結(jié)果。它計算簡便，并可充分利用數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)差錯，總結(jié)規(guī)律，是物理實驗中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。使用條件：（1）自變量x是等間距變化（2）被測物理量之間函數(shù)形式可以寫成x的多項式：分類：逐差法逐項逐差（用于驗證被測量之間是否存在多項式函數(shù)關(guān)系）分組逐差（用于求多項式的系數(shù)）第48頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五應(yīng)用舉例（拉伸法測彈簧的倔強系數(shù)）設(shè)實驗中，等間隔的在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對應(yīng)的彈簧下端點的位置L0L1L2‥‥‥L9，則可用逐差法進行以下處理（1）驗證函數(shù)形式是線性關(guān)系看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否基本相等.當(dāng)⊿Li基本相等時,就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即F=k⊿L用此法可檢查測量結(jié)果是否正確，但注意的是必須用逐項逐差（1.6—1）把所得的數(shù)據(jù)逐項相減第49頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五(2)求物理量數(shù)值現(xiàn)計算每加一克砝碼時彈簧的平均伸長量從上式可看出用逐項逐差，中間的測量值全部抵消了，只有始末二次測量起作用，與一次加九克砝碼的測量完全等價。若用逐項逐差（1.6—1）得到：再求平均第50頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五為了保證多次測量的優(yōu)點，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作些組合，仍能達到多次測量減小誤差的目的。所以我們采用分組逐差。通?？蓪⒌乳g隔所測的值分成前后兩組，前一組為L0L1L2L3L4

后一組為L5L6L7L8

L9

前后兩組對應(yīng)項相減再取平均值由此可見，分組逐差和逐項逐差不同，這時每個數(shù)據(jù)都用上了，有利于減小誤差。但注意：這里的是增加五克時彈簧的平均伸長量。第51頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲數(shù)據(jù)的直線擬合(最小二乘法)用作圖法進行擬合帶有相當(dāng)大的主觀隨意性，用最小二乘法進行直線擬合優(yōu)于作圖法。最小二乘法的原理：如果能找到一條最佳的擬合直線，那么這條擬合直線上各個相應(yīng)點的值與測量值之差的平方和在所有擬合直線中是最小的。第52頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五最佳經(jīng)驗公式y(tǒng)=a0+a1x中a0

、a1的求解

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通過實驗，等精度地測得一組互相獨立的實驗數(shù)據(jù)（xi，yi，i=1，2…k），設(shè)此兩物理量x、y滿足線性關(guān)系，且假定實驗誤差主要出現(xiàn)在yi上，設(shè)擬合直線公式為y=f(x)=a0+a1x。則測量值和最佳值（回歸直線上對應(yīng)坐標(biāo)）的偏差§

1.6數(shù)據(jù)處理方法按最小二乘法原理，應(yīng)使下式最小第53頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五S取極小值必要的條件是即:整理后得:第54頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五解得：式中:第55頁，共62頁，2022年，5月20日，6點10分，星期五§

1.6數(shù)據(jù)處理方法相關(guān)系數(shù)r

：最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出a