初三數學壓軸題

1.如圖，直線

y

x3與

x軸，

y軸分別訂交于點

B，點C，經過

B，C兩點的拋物線yax2

bx

c與

x軸的另一交點為

A，極點為

P，且對稱軸是直線

x

2．1）求A點的坐標；2）求該拋物線的函數表達式；（3）連接AC．請問在x軸上能否存在點Q，使得以點P，B，Q為極點的三角形與△ABC相像，若存在，懇求出點Q的坐標；若不存在，請說明原因．yCx2[解]Q直線yx3與x軸訂交于點B，當y0時，x3，點B的坐標為(3，0)．又Q拋物線過x軸上的A，B兩點，y且對稱軸為x2，依據拋物線的對稱性，點A的坐標為(10)，．Cx2OAB（2）Qyx3過點C，易知C(0，3)，c3．P又Q拋物線yax2bxc過點A(1，0)，B(3，0)，xOABab3，a，4x3．P9a3b3．解得．yx20b4（3）連接PB，由yx24x3(x2)21，得P(2，1)，設拋物線的對稱軸交x軸于點M，在Rt△PBM中，PMMB1，∠PBM45o，PB2．由點B(3，0)，C(0，3)易得OBOC3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC45o，由勾股定理，得BC32．假定在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為極點的三角形與△ABC相像．①當BQPB，∠PBQ∠ABC45o時，△PBQ∽△ABC．BCAB即BQ2，BQ3，又QBO3，點Q與點O重合，Q1的坐標是(0，0)．322②當QBPB，∠QBP∠ABC45o時，△QBP∽△ABC．ABBC即QB32，QB2．QOB3，OQOBQB327，22333Q2的坐標是7，．30Q∠PBx180o45o135o，∠BAC135o，∠PBx∠BAC．點Q不行能在B點右邊的x軸上綜上所述，在x軸上存在兩點Q1(0，0)，Q27，0，能使得以點P，B，Q為極點的三角3形與△ABC相像。2.（河南卷）二次函數y1x2的圖象如下圖，過y軸上一點M0，2的直線與拋物線8交于A，B兩點，過點A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D．1）當點A的橫坐標為2時，求點B的坐標；2）在（1）的狀況下，分別過點A，B作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，在EF上能否存在點P，使∠APB為直角．若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明原因；（3）當點A在拋物線上運動時（點A與點O不重合），求ACgBD的值．12，此中x0．Q點A的橫坐標為2，[解]（1）依據題意，設點B的坐標為x，x81．QAC⊥y軸，BD⊥y軸，M0，2，AC∥BD，MC3A2，，221BDMDx1x22x22．Rt△BDM∽Rt△ACM．8．MDACMC．即3822解得x12（舍去），x28．B8，8．2）存在．連接AP，BP．由（1），AE1，BF8，EF10．設EPa，則PF10a．2QAE⊥x軸，BF⊥x軸，∠APB90o，△AEP∽△PFB．AEEP．1a．解得a2a521．經查驗a521均為原方程的解．PFBF108點P的坐標為321，0或3210，．（3）依據題意，設12，B12，不如設m0，n0．Am，mn，n88由（1）知BDMD，ACMC則n1n22或n21n2818．m12m222mm88化簡，得mn16mn0．Qmn≠0，mn16．ACgBD16．3.(湖北湛江課改卷）已知拋物線yax2bx2與x軸訂交于點1，A(x，0)B(x2，0)(x1x2)，且x1，x2是方程x22x30的兩個實數根，點C為拋物線與y軸的交點．1）求a，b的值2）分別求出直線AC和BC的分析式；（3）若動直線ym(0m2)與線段AC，BC分別訂交于D，E兩點，則在x軸上是否存在點P，使得△DEP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；y[解]（1）由x22x30，得x11，x23．32121123x4A(1，0)，B(3，0)，把A，B兩點的坐標分別代入yax2bx2聯立求解，得a2，b4．33（2）由（1）可得y2x24x2，Q當x0時，y2，C(0，2)．33設AC:ykxb，把A，C兩點坐標分別代入ykxb，聯立求得k2，b2．直線AC的分析式為y2x2．同理可求得直線BC的分析式是y22．x3（3）假定存在知足條件的點P，并設直線ym與y軸的交點為F(0，m)．①當DE為腰時，分別過點D，E作DP1xPEP2x軸于P2，如圖，則軸于1，作△PDE1和△P2ED都是等腰直角三角形，DEDP1FOEP2m，yABx2x14．QDE∥AB，△CDE∽△CAB，DECFm2m4ABOC，即4．解得m．23點D的縱坐標是4，Q點D在直線AC上，32x4，解得x1142，D，．3333P11，，同理可求P2(1，0)．03②當DE為底邊時，過DE的中點G作GP3x軸于點P3，如圖，則DGEGGP3m，由△CDE∽△CAB，

C(0，2)DFEymA(10)，P1OP2B(3，0)xyC(0，2)ymDFGEA(1，0)OP2B(3，0)x得DECF2m2mm1AB42OC同1方法．求得D1，，E3，，2121DGEGGP31OP3FGFEEG1，P31，．202聯合圖形可知，P3D2P3E22，ED24，ED2PD2PE2，△DEP3是Rt△，P31，也知足條件．3320綜上所述，知足條件的點P共有3個，即P11，，P2，，1，20(10)P3204.在矩形

ABCD中，

AB

4，BC

2，以

A為坐標原點，

AB所在的直線為

x軸，建立直角坐標系．而后將矩形

ABCD繞點

A逆時針旋轉，使點

B落在

y軸的

E點上，則C和D點挨次落在第二象限的F點上和x軸的G點上（如圖）．（1）求經過B，E，G三點的二次函數分析式；（2）設直線EF與（1）的二次函數圖象訂交于另一點H，試求四邊形EGBH（3）設P為（1）的二次函數圖象上的一點，BP∥EG，求P點的坐標．（1）解：由題意可知，AEAB4，AGADBC2．

的周長．B(4，0)，E(0，4)，G(2，0)．設經過B，E，G三點的二次函數分析式是ya(x2)(x4)．把E(0，4)代入之，求得1．3分a2∴所求的二次函數分析式是：y1(x2)(x4)1x2x4．22（2）解：由題意可知，四邊形AEFG為矩形．∴FH∥GB，且GB6．∵直線y4與二次函數圖象的交點H的坐標為H(2，4)，EH2．G與B，E與H對于拋物線的對稱軸對稱，∴BHEG422225．∴四邊形EGBH的周長26225845．（3）設BP交y軸于M．∵BP∥EG，y∴AB:AGAM:AE，即4: