初一數(shù)學(xué)壓軸題

v1.0可編寫可改正一．解答題（共19小題）1．（2013?揚(yáng)州）假如10b=n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b=d（n），由定義可知：10b=n與b=d（n）所表示的b、n兩個量之間的同一關(guān)系．（1）依據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d（10）=，d（10﹣2）=；（2）勞格數(shù)有以下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．依據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=（a為正數(shù)），若d（2）=，則d（4）=，d（5）=，d（）=；（3）如表中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d（x）有且只有兩個是錯誤的，請找犯錯誤的勞格數(shù)，說明原因并更正．x356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b2．（2012?安慶一模）先閱讀以下資料，再解答后邊的問題．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab=n）．如34=81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381=4）．（1）計算以下各對數(shù)的值：log24=，log216=，log264=．（2）察看（1）中三數(shù)4、16、64之間知足如何的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又知足如何的關(guān)系式；（3）猜想一般性的結(jié)論：logaM+logaN=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并依據(jù)冪的運(yùn)算法例：mnm+na?a=a以及對數(shù)的含義證明你的猜想．3．（2012?沈陽模擬）認(rèn)真閱讀資料，而后回答以下問題：我們初中學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的運(yùn)算法例，相應(yīng)的，我們能夠計算出多項(xiàng)式的睜開式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，323223（a+b）=（a+b）（a+b）=a+3ab+3ab+b，下邊我們挨次對（a+b）n睜開式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時能夠獨(dú)自列成表中的形式：1第1頁（共41頁）v1.0可編寫可改正上邊的多項(xiàng)式睜開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；認(rèn)真察看“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答以下問題：1）多項(xiàng)式（a+b）n的睜開式是一個幾次幾項(xiàng)式并展望第三項(xiàng)的系數(shù)；2）請你展望一下多項(xiàng)式（a+b）n睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和．（3）聯(lián)合上述資料，推測出多項(xiàng)式（a+b）n（n取正整數(shù)）的睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為S，（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）．4．（2009?佛山）閱讀資料：把形如2ax+bx+c的二次三項(xiàng)式（或其一部分）配成完整平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完整平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2=（a±b）2．比如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三種不一樣形式的配方（即“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)﹣﹣見橫線上的部分）．請依據(jù)閱讀資料解決以下問題：（1）對比上邊的例子，寫出x2﹣4x+2三種不一樣形式的配方；（2）將a2+ab+b2配方（至少兩種形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．5．（2007?東營）依據(jù)以下10個乘積，回答以下問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣?2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出此中一個的思慮過程；2）將以上10個乘積依照從小到大的次序擺列起來；3）若用a1b1，a2b2，，anbn表示n個乘積，此中a1，a2，a3，，an，b1，b2，b3，，bn為正數(shù)．試由（1）、2）猜想一個一般性的結(jié)論．（不要求證明）6．（2006?浙江）假如一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神奇數(shù)”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，所以4，12，20都是“神奇數(shù)”（1）28和2012這兩個數(shù)是“神奇數(shù)”嗎為何（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（此中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)結(jié)構(gòu)的神奇數(shù)是4的倍數(shù)嗎為何2第2頁（共41頁）v1.0可編寫可改正（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神奇數(shù)嗎為何8．（2015?于洪區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右邊作正方形ADEF．1）假如AB=AC，∠BAC=90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的地點(diǎn)關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)目關(guān)系為；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延伸線上時，如圖3，①中的結(jié)論能否仍舊建立，并說明原因；2）假如AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB知足什么條件時，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說明原因．9．（2015?菏澤）如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC．1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連結(jié)DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD訂交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎假如，懇求出它的度數(shù)；若不是，請說明原因．10．（2015?鐵嶺一模）已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點(diǎn)F在CE的延伸線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ．3第3頁（共41頁）v1.0可編寫可改正11．（2013?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一同（圖1）．△ABD不動，（1）若將△ACE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)DE，M是DE的中點(diǎn)，連結(jié)MB、MC（圖2），證明：MB=MC．（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連結(jié)DE，M是DE的中點(diǎn)，連結(jié)MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)目關(guān)系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其余條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)目關(guān)系還建立嗎說明原因．12．（2012?昌平區(qū)模擬）（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD；（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論能否仍舊建立3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延伸線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論能否仍舊建立若建立，請證明；若不建立，請寫出它們之間的數(shù)目關(guān)系，并證明．4第4頁（共41頁）v1.0可編寫可改正13．（2011?泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1），求證：AE=CG；2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn)H，交CD的延伸線于點(diǎn)M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．14．（2005?揚(yáng)州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，此中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的地點(diǎn)時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的地點(diǎn)時，求證：DE=AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的地點(diǎn)時，試問DE、AD、BE擁猶如何的等量關(guān)系請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題．15．（2012?淮安）閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的均分線分；；將余下部分沿∠BnAnC的均分線是△ABC的好角．

AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，不論折疊多少次，只需最后一次恰巧重合，∠BAC5第5頁（共41頁）v1.0可編寫可改正小麗展現(xiàn)了確立∠BAC是△ABC的好角的兩種情況．情況一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的均分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情況二：如圖3，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，此時點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．研究發(fā)現(xiàn)（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角（填“是”或“不是”）．（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請研究∠B與∠C（不如設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系．依據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不如設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為．應(yīng)用提高（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．請你達(dá)成，假如一個三角形的最小角是4°，試求出三角形此外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．16．（2011?房山區(qū)一模）已知：等邊三角形ABC（1）如圖1，P為等邊△ABC外一點(diǎn)，且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)目關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖2，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD．17．（2010?丹東）如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的地點(diǎn)改變時，△DMN也隨之整體挪動）．1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左邊時，請你判斷EN與MF猶如何的數(shù)目關(guān)系點(diǎn)F能否在直線NE上都請直接寫出結(jié)論，不用證明或說明原因；6第6頁（共41頁）v1.0可編寫可改正（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時，其余條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)目關(guān)系能否仍舊建立若建立，請利用圖2證明；若不建立，請說明原因；（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右邊時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)目關(guān)系能否仍舊建立若建立，請直接寫出結(jié)論，不用證明或說明原因．18．（2006?西崗區(qū)）如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點(diǎn)，請你研究線段DE與AM之間的關(guān)系．說明：（1）假如你經(jīng)歷頻頻研究，沒有找到解決問題的方法，請你把研究過程中的某種思路寫出來（要求起碼寫3步）；2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程以后，能夠從以下①、②中選用一個增補(bǔ)或改換已知條件，達(dá)成你的證明．①畫出將△ACM繞某一點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；②∠BAC=90°（如圖）附帶題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其余條件不變，嘗試究線段DE與AM之間的關(guān)系．7第7頁（共41頁）v1.0可編寫可改正19．（2006?大連）如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點(diǎn)D、E是線段AC上兩動點(diǎn)，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延伸線交BC于點(diǎn)N，直線BD與直線NE訂交于點(diǎn)F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．說明：（1）假如你經(jīng)歷頻頻研究，沒有找到解決問題的方法，請你把研究過程中的某種思路寫出來（要求起碼寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程以后，能夠從以下①、②中選用一個增補(bǔ)或許改換已知條件，達(dá)成你的證明．1、畫出將△BAD沿BA方向平移BA長，而后順時針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、點(diǎn)K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（AC∥KN，如圖2）．附帶題：如圖3，若點(diǎn)D、E是直線AC上兩動點(diǎn)，其余條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說明原因．8第8頁（共41頁）v1.0可編寫可改正2016年06月26日9的初中數(shù)學(xué)組卷參照答案與試題分析一．解答題（共19小題）1．（2013?揚(yáng)州）假如bb=d（n），由定義可知：b10=n，那么b為n的勞格數(shù)，記為10=n與b=d（n）所表示的b、n兩個量之間的同一關(guān)系．1）依據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；2）勞格數(shù)有以下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．依據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=3（a為正數(shù)），若d（2）=，則d（4）=，d（5）=，d（）=﹣；（3）如表中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d（x）有且只有兩個是錯誤的，請找犯錯誤的勞格數(shù)，說明原因并更正．x356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b【考點(diǎn)】整式的混淆運(yùn)算；反證法．【專題】壓軸題．【剖析】（1）依據(jù)定義可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指數(shù)，據(jù)此即可求解；（2）依據(jù)d（a3）=d（a?a?a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）經(jīng)過9=32，27=33，能夠判斷d（3）能否正確，同理以依照5=10÷2，假定d（5）正確，能夠求得d（2）的值，即可經(jīng)過d（8），d（12）作出判斷．【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；故答案為：1，﹣2；（2）==3；由于d（2）=9第9頁（共41頁）v1.0可編寫可改正故d（4）=d（2）+d（2）=，d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣=，d（）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣；3）若d（3）≠2a﹣b，則d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，從而表中有三個勞格數(shù)是錯誤的，與題設(shè)矛盾，d（3）=2a﹣b，若d（5）≠a+c，則d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，表中也有三個勞格數(shù)是錯誤的，與題設(shè)矛盾．d（5）=a+c．∴表中只有d（）和d（12）的值是錯誤的，應(yīng)糾正為：d（）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．【評論】本題考察整式的運(yùn)算，正確理解規(guī)定的新的運(yùn)算法例是要點(diǎn)．2．（2012?安慶一模）先閱讀以下資料，再解答后邊的問題．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab=n）．如34=81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381=4）．（1）計算以下各對數(shù)的值：log24=2，log216=4，log264=6．（2）察看（1）中三數(shù)4、16、64之間知足如何的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又知足如何的關(guān)系式；（3）猜想一般性的結(jié)論：logaM+logaN=loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并依據(jù)冪的運(yùn)算法例：mnm+na?a=a以及對數(shù)的含義證明你的猜想．【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法．【專題】壓軸題；新定義．【剖析】（1）依據(jù)資料表達(dá)，聯(lián)合22=4，24=16，26=64即可得出答案；10第10頁（共41頁）v1.0可編寫可改正（2）依據(jù)（1）的答案可得出log24、log216、log264之間知足的關(guān)系式；b1b2=N，分別表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．（3）設(shè)logaM=b1，logaN=b2，則a=M，a【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）log24+log216=log264；（3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．證明：設(shè)logaM=b1，logaN=b2，則ab1=M，ab2=N，b1b2b1+b2故可得MN=a?a=a，b1+b2=loga（MN），即logaM+logaN=loga（MN）．【評論】本題考察了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，題目出得比較新奇，解題思路以資料的形式給出，需要同學(xué)們認(rèn)真閱讀，理解并靈巧運(yùn)用所給的信息．3．（2012?沈陽模擬）認(rèn)真閱讀資料，而后回答以下問題：我們初中學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的運(yùn)算法例，相應(yīng)的，我們能夠計算出多項(xiàng)式的睜開式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下邊我們挨次對（a+b）n睜開式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時能夠獨(dú)自列成表中的形式：上邊的多項(xiàng)式睜開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；認(rèn)真察看“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答以下問題：1）多項(xiàng)式（a+b）n的睜開式是一個幾次幾項(xiàng)式并展望第三項(xiàng)的系數(shù)；2）請你展望一下多項(xiàng)式（a+b）n睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和．（3）聯(lián)合上述資料，推測出多項(xiàng)式（a+b）n（n取正整數(shù)）的睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為S，（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】完整平方公式．【專題】壓軸題；閱讀型；規(guī)律型．11第11頁（共41頁）v1.0可編寫可改正【剖析】（1）由題意可求適當(dāng)n=1，2，3，4，時，多項(xiàng)式（a+b）n的睜開式是一個幾次幾項(xiàng)式，第三項(xiàng)的系數(shù)是多少，而后找規(guī)律，即可求得答案；2）第一求適當(dāng)n=1，2，3，4時，多項(xiàng)式（a+b）n睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，即可求得答案；3）聯(lián)合（2），即可推測出多項(xiàng)式（a+b）n（n取正整數(shù)）的睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和．【解答】解：（1）∵當(dāng)n=1時，多項(xiàng)式（a+b）1的睜開式是一次二項(xiàng)式，此時第三項(xiàng)的系數(shù)為：0=，當(dāng)n=2時，多項(xiàng)式（a+b）2的睜開式是二次三項(xiàng)式，此時第三項(xiàng)的系數(shù)為：1=，當(dāng)n=3時，多項(xiàng)式（a+b）3的睜開式是三次四項(xiàng)式，此時第三項(xiàng)的系數(shù)為：3=，當(dāng)n=4時，多項(xiàng)式（a+b）4的睜開式是四次五項(xiàng)式，此時第三項(xiàng)的系數(shù)為：6=，∴多項(xiàng)式（a+b）n的睜開式是一個n次n+1項(xiàng)式，第三項(xiàng)的系數(shù)為：；nn；（2）展望一下多項(xiàng)式（a+b）睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：2（3）∵當(dāng)n=1時，多項(xiàng)式（a+b）1睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+1=2=21，當(dāng)n=2時，多項(xiàng)式（a+b）2睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+2+1=4=22，當(dāng)n=3時，多項(xiàng)式（a+b）3睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+3+3+1=8=23，當(dāng)n=4時，多項(xiàng)式（a+b）4睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+4+6+4+1=16=24，∴多項(xiàng)式（a+b）n睜開式的各項(xiàng)系數(shù)之和：S=2n．【評論】本題屬于規(guī)律性、閱讀性題目．本題難度較大，由特別到一般的概括方法的應(yīng)用是解本題的要點(diǎn)．4．（2009?佛山）閱讀資料：把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式（或其一部分）配成完整平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完整平方公式的逆寫，即222a±2ab+b=（a±b）．22222的三種不一樣形式的配方（即“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一比如：（x﹣1）+3、（x﹣2）+2x、（x﹣2）+x是x﹣2x+4次項(xiàng)、二次項(xiàng)﹣﹣見橫線上的部分）．請依據(jù)閱讀資料解決以下問題：（1）對比上邊的例子，寫出x2﹣4x+2三種不一樣形式的配方；12第12頁（共41頁）v1.0可編寫可改正（2）將a2+ab+b2配方（起碼兩種形式）；222（3）已知a+b+c﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考點(diǎn)】完整平方公式．【專題】壓軸題；閱讀型．【剖析】（1）（2）本題考察對完整平方公式的靈巧應(yīng)用能力，由題中所給的已知資料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分別常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)三種不一樣形式；（3）經(jīng)過配方后，求得a，b，c的值，再代入代數(shù)式求值．【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三種配方分別為：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；222（2）a+ab+b=（a+b）﹣ab，2222；a+ab+b=（a+b）+b2223）a+b+c﹣ab﹣3b﹣2c+4，22）+（22），=（a﹣ab+bb﹣3b+3）+（c﹣2c+1=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，從而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．【評論】本題考察了依據(jù)完整平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2進(jìn)行配方的能力．5．（2007?東營）依據(jù)以下10個乘積，回答以下問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣?2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出此中一個的思慮過程；13第13頁（共41頁）v1.0可編寫可改正（2）將以上10個乘積依照從小到大的次序擺列起來；（3）若用a1b1，a2b2，，anbn表示n個乘積，此中a1，a2，a3，，an，b1，b2，b3，，bn為正數(shù)．試由（1）、（2）猜想一個一般性的結(jié)論．（不要求證明）【考點(diǎn)】平方差公式．【專題】壓軸題．【剖析】利用兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積，就是它們的平方差．如11×29；可想幾加幾等于29，幾減幾等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=202﹣92，同理思慮其余的．222222；【解答】解：（1）11×29=20﹣9；12×28=20﹣8；13×27=20﹣714×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02．（4分）比如，11×29；假定11×29=□2﹣○2，由于□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；所以，能夠令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故22．（5分）11×29=20﹣9（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92．5分）2）這10個乘積依照從小到大的次序挨次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×2219×21＜20×20．（7分）（3）①若a+b=40，a、b是自然數(shù)，則ab≤202=400．（8分）②若a+b=40，則ab≤202=400．（8分）③若a+b=m，a、b是自然數(shù)，則ab≤．（9分）④若a+b=m，則ab≤．（9分）⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，則ab≤ab≤ab≤≤ab．（10分）112233nn⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且14第14頁（共41頁）v1.0可編寫可改正|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，則a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）說明：給出結(jié)論①或②之一的得（1分）；給出結(jié)論③或④之一的得（2分）；給出結(jié)論⑤或⑥之一的得（3分）．【評論】本題主要考察了乘法的平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式．6．（2006?浙江）假如一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神奇數(shù)”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，所以4，12，20都是“神奇數(shù)”（1）28和2012這兩個數(shù)是“神奇數(shù)”嗎為何（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（此中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)結(jié)構(gòu)的神奇數(shù)是4的倍數(shù)嗎為何（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神奇數(shù)嗎為何【考點(diǎn)】平方差公式．【專題】壓軸題；新定義．【剖析】（1）試著把28、2012寫成平方差的形式，解方程即可判斷是不是神奇數(shù)；2）化簡兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k的差，再判斷；3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即可判斷兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神奇數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)28和2012都是“神奇數(shù)”，設(shè)28是x和x﹣2兩數(shù)的平方差獲得，22則x﹣（x﹣2）=28，解得：x=8，∴x﹣2=6，即28=82﹣62，設(shè)2012是y和y﹣2兩數(shù)的平方差獲得，則y2﹣（y﹣2）2=2012，解得：y=504，y﹣2=502，即2012=5042﹣5022，所以28，2012都是神奇數(shù)．15第15頁（共41頁）v1.0可編寫可改正2）（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），∴由2k+2和2k結(jié)構(gòu)的神奇數(shù)是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍．（3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)，是偶數(shù)倍，不知足連續(xù)偶數(shù)的神奇數(shù)為4的奇數(shù)倍這一條件．∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神奇數(shù)．【評論】本題第一考察了閱讀能力、研究推理能力．對知識點(diǎn)的考察，主假如平方差公式的靈巧應(yīng)用．7．（2007?淄博）依據(jù)以下10個乘積，回答以下問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣○2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出此中一個的思慮過程；2）將以上10個乘積依照從小到大的次序擺列起來；3）試由（1）、（2）猜想一個一般性的結(jié)論．（不要求證明）【考點(diǎn)】整式的混淆運(yùn)算；絕對值．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【剖析】（1）依據(jù)要求求出兩數(shù)的均勻數(shù)，再寫成平方差的形式即可．2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可．3）依據(jù)擺列的次序可得，兩數(shù)相差越大，積越?。窘獯稹拷猓海?）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；22222217×23=20﹣3；18×22=20﹣2；19×21=20﹣1；20×20=202﹣02（4分）比如，11×29；假定11×29=□2﹣○2，由于□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；所以，能夠令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．16第16頁（共41頁）v1.0可編寫可改正（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣922）這10個乘積依照從小到大的次序挨次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×2219×21＜20×202（3）①若a+b=40，a，b是自然數(shù)，則ab≤20=400．2分）②若a+b=40，則ab≤20=400．（8③若a+b=m，a，b是自然數(shù)，則ab≤．④若a+b=m，則ab≤．⑤若a，b的和為定值，則ab的最大值為．⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3==an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，則a1b1≤ab≤ab≤≤ab．（10分）2233nn⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3==an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，則a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．⑧若a+b=m，a，b差的絕對值越大，則它們的積就越?。f明：給出結(jié)論①或②之一的得（1分）；給出結(jié)論③、④或⑤之一的得（2分）；給出結(jié)論⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．【評論】本題主要考察整式的混淆運(yùn)算，找出規(guī)律是解答本題的要點(diǎn)．8．（2015?于洪區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右邊作正方形ADEF．1）假如AB=AC，∠BAC=90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的地點(diǎn)關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)目關(guān)系為相等；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延伸線上時，如圖3，①中的結(jié)論能否仍舊建立，并說明原因；17第17頁（共41頁）v1.0可編寫可改正2）假如AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB知足什么條件時，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說明原因．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】壓軸題；開放型．【剖析】（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延伸線上時①的結(jié)論仍建立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．聯(lián)合∠BAC=90°，AB=AC，獲得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）當(dāng)∠ACB=45°時，過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延伸線于點(diǎn)G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】證明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延伸線上時①的結(jié)論仍建立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，18第18頁（共41頁）v1.0可編寫可改正∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．2）當(dāng)∠ACB=45°時，CF⊥BD（如圖）．原因：過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延伸線于點(diǎn)G，則∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【評論】本題考察三角形全等的判斷和直角三角形的判斷，判斷兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判斷兩個三角形全等，先依據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確立三角形，而后再依據(jù)三角形全等的判斷方法，看缺什么條件，再去證什么條件．9．（2015?菏澤）如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC．（1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連結(jié)DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；19第19頁（共41頁）v1.0可編寫可改正2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD訂交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎假如，懇求出它的度數(shù)；若不是，請說明原因．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【剖析】（1）利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，原因以下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，如圖，20第20頁（共41頁）v1.0可編寫可改正AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，AF∥CE，且AF=CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【評論】本題考察了全等三角形的判斷與性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判斷及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判斷及性質(zhì)的運(yùn)用．解答時證明三角形全等是要點(diǎn)．10．（2015?鐵嶺一模）已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點(diǎn)F在CE的延伸線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ．21第21頁（共41頁）v1.0可編寫可改正【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【剖析】第一證明出∠ABD=∠ACE，再有條件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，從而獲得∠F=∠BAQ，而后再依據(jù)∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，從而證出AF⊥AQ．【解答】證明：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，AF⊥AQ．【評論】本題主要考察了全等三角形的判斷與性質(zhì)，要點(diǎn)是掌握全等三角形的判斷方法，以及全等三角形的性質(zhì)定理．11．（2013?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一同（圖1）．△ABD不動，22第22頁（共41頁）v1.0可編寫可改正（1）若將△ACE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)DE，M是DE的中點(diǎn)，連結(jié)MB、MC（圖2），證明：MB=MC．（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連結(jié)DE，M是DE的中點(diǎn)，連結(jié)MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)目關(guān)系．3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其余條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)目關(guān)系還建立嗎說明原因．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】證明題；幾何綜合題；壓軸題．【剖析】（1）連結(jié)AM，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAD=∠CAE，再依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)獲得∠MAD=∠MAE，而后利用“邊角邊”證明△ABM和△ACM全等，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）延伸DB、AE訂交于E′，延伸EC交AD于F，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)獲得BD=BE′，而后求出MB∥AE′，再依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，依據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，而后求出∠MBC=∠BCM，再依據(jù)等角平等邊即可得證；（3）延伸BM交CE于F，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，而后利用“角角邊”證明△MDB和△MEF全等，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MB=MF，而后依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可．【解答】證明：（1）如圖2，連結(jié)AM，由已知得△ABD≌△ACE，AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∵M(jìn)D=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM=∠CAM，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），23第23頁（共41頁）v1.0可編寫可改正∴MB=MC；2）MB=MC．原因以下：如圖3，延伸DB、AE訂交于E′，延伸EC交AD于F，BD=BE′，CE=CF，∵M(jìn)是ED的中點(diǎn)，B是DE′的中點(diǎn)，∴MB∥AE′，∴∠MBC=∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM=∠BAD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠MBC=∠BCM，∴MB=MC；3）MB=MC還建立．如圖4，延伸BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，又∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴MD=ME，在△MDB和△MEF中，，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF，∵∠ACE=90°，∴∠BCF=90°，∴MB=MC．24第24頁（共41頁）v1.0可編寫可改正【評論】本題考察了全等三角形的判斷與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等角平等邊的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，作協(xié)助線結(jié)構(gòu)出等腰三角形或全等三角形是解題的要點(diǎn)．12．（2012?昌平區(qū)模擬）（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD；（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論能否仍舊建立3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延伸線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論能否仍舊建立若建立，請證明；若不建立，請寫出它們之間的數(shù)目關(guān)系，并證明．25第25頁（共41頁）v1.0可編寫可改正【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題；研究型．【剖析】（1）可經(jīng)過建立全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段間的變換．延伸EB到G，使BG=DF，連結(jié)AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF變換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的要點(diǎn)．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要經(jīng)過其余的全等三角形來實(shí)現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，所以兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就組成了三角形ABE和AEF全等的全部條件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作協(xié)助線的方法與（1）完整同樣，只可是證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的等角的補(bǔ)角相等，其余的都同樣．所以與（1）的結(jié)果完整同樣．（3）依照（1）的思路，我們應(yīng)當(dāng)經(jīng)過全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段的變換．就應(yīng)當(dāng)在BE上截取BG，使BG=DF，連結(jié)AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不建立的．【解答】證明：（1）延伸EB到G，使BG=DF，連結(jié)AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．26第26頁（共41頁）v1.0可編寫可改正∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．EG=EF．∵EG=BE+BG．EF=BE+FD2）（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍舊建立．3）結(jié)論EF=BE+FD不建立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連結(jié)AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．AE=AE，∴△AEG≌△AEF．EG=EF27第27頁（共41頁）v1.0可編寫可改正∵EG=BE﹣BGEF=BE﹣FD．【評論】本題考察了三角形全等的判斷和性質(zhì)；本題中經(jīng)過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的變換是解題的要點(diǎn)，沒有明確的全等三角形時，要經(jīng)過協(xié)助線來建立與已知和所求條件有關(guān)系全等三角形．13．（2011?泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1），求證：AE=CG；2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn)H，交CD的延伸線于點(diǎn)M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【剖析】（1）第一依據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，2）依據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再依據(jù)AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，從而證明出BE=CM．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，28第28頁（共41頁）v1.0可編寫可改正∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG，2）解：BE=CM．證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【評論】本題主要考察了全等三角形的判斷方法以及全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，難度適中．14．（2005?揚(yáng)州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，此中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的地點(diǎn)時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的地點(diǎn)時，求證：DE=AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的地點(diǎn)時，試問DE、AD、BE擁猶如何的等量關(guān)系請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．29第29頁（共41頁）v1.0可編寫可改正注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題；研究型．【剖析】（1）依據(jù)已知可利用AAS證明①△ADC≌△CEB，由此可證②DE=AD+BE；2）依據(jù)已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=AD﹣BE；3）依據(jù)已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=BE﹣AD．【解答】證明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．解：（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的地點(diǎn)時，AD、DE、BE所知足的等量關(guān)系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，30第30頁（共41頁）v1.0可編寫可改正∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【評論】本題要點(diǎn)考察了三角形全等的判斷定理，一般兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，沒法證明三角形全等，再依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．15．（2012?淮安）閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；；將余下部分沿∠BnAnC的均分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，不論折疊多少次，只需最后一次恰巧重合，∠BAC是△ABC的好角．小麗展現(xiàn)了確立∠BAC是△ABC的好角的兩種情況．情況一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的均分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情況二：如圖3，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，此時點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．研究發(fā)現(xiàn)（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角是（填“是”或“不是”）．（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請研究∠B與∠C（不如設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系．依據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不如設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C．應(yīng)用提高（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．請你達(dá)成，假如一個三角形的最小角是4°，試求出三角形此外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．31第31頁（共41頁）v1.0可編寫可改正【專題】壓軸題；規(guī)律型．【剖析】（1）在小麗展現(xiàn)的情況二中，如圖3，依據(jù)依據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知∠B=2∠C；（2）依據(jù)折疊的性質(zhì)、依據(jù)三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；依據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，依據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②能夠求得∠B=3∠C；利用數(shù)學(xué)概括法，依據(jù)小麗展現(xiàn)的三種情況得出結(jié)論：∠B=n∠C；（3）利用（2）的結(jié)論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；而后三角形內(nèi)角和定理能夠求得此外兩個角的度數(shù)能夠是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【解答】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角；原因以下：小麗展現(xiàn)的情況二中，如圖3，∵沿∠BAC的均分線AB1折疊，∴∠B=∠AA1B1；又∵將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，此時點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；以下圖，在△ABC中，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B2A2C的均分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則∠BAC是△ABC的好角．證明以下：∵依據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AAB，∠C=∠ABC，∠ABC=∠AAB，112211122∴依據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵依據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，依據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小麗展現(xiàn)的情況一知，當(dāng)∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展現(xiàn)的情況二知，當(dāng)∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展現(xiàn)的情況三知，當(dāng)∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；32第32頁（共41頁）v1.0可編寫可改正故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不如設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C；（3）由（2）知設(shè)∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，此中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180∴假如一個三角形的最小角是4°，三角形此外兩個角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【評論】本題考察了翻折變換（折疊問題）．解答本題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．16．（2011?房山區(qū)一模）已知：等邊三角形ABC（1）如圖1，P為等邊△ABC外一點(diǎn)，且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)目關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖2，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；等式的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【剖析】（1）AP=BP+PC，原因是延伸BP至E，使PE=PC，連結(jié)CE，由∠BPC=120°，推出等邊△CPE，獲得CP=PE=CE，∠PCE=60°，依據(jù)已知等邊△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，依據(jù)三角形全等的判斷推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出結(jié)論；（2）在AD外側(cè)作等邊△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，依據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理獲得PA+PD+PC＞CB′，再證△AB′C≌△ADB，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出CB′=BD即可．【解答】猜想：AP=BP+PC，（1）證明：延伸BP至E，使PE=PC，連結(jié)CE，33第33頁（共41頁）v1.0可編寫可改正∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE為等邊三角形，CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC為等邊三角形，AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），AP=BE，∵BE=BP+PE，AP=BP+PC．2）證明：在AD外側(cè)作等邊△AB′D，則點(diǎn)P在三角形ADB′外，連結(jié)PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等邊三角形，AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，CB′=BD，PA+PD+PC＞BD．34第34頁（共41頁）v1.0可編寫可改正【評論】本題主要考察平等邊三角形的性質(zhì)和判斷，全等三角形的性質(zhì)和判斷，三角形的三邊關(guān)系，等式的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，本題是一個拔高的題目，有必定的難度．17．（2010?丹東）如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的地點(diǎn)改變時，△DMN也隨之整體挪動）．1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左邊時，請你判斷EN與MF猶如何的數(shù)目關(guān)系點(diǎn)F能否在直線NE上都請直接寫出結(jié)論，不用證明或說明原因；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時，其余條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)目關(guān)系能否仍舊建立若建立，請利用圖2證明；若不建立，請說明原因；（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右邊時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)目關(guān)系能否仍舊建立若建立，請直接寫出結(jié)論，不用證明或說明原因．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專題】壓軸題；動點(diǎn)型；研究型．35第35頁（共41頁）v1.0可編寫可改正【剖析】（1）可經(jīng)過全等三角形來證明EN與MF相等，假如連結(jié)DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，F(xiàn)EC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一個∠NDF，所以三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，所以三角形DBM≌三角形DFN，所以∠DFN=∠DBM=120°，所以∠DFN是三角形DFE的外角所以N，F(xiàn)，E在同向來線上．2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，而后依據(jù)三條中位線分紅的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，所以結(jié)論仍舊建立．【解答】解：（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上，2）建立．連結(jié)DF，NF，證明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等邊三角形，AB=AC=BC．又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60