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.PAGE.全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固〔提高[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解全等三角形的概念和性質(zhì),能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素;2.探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等進(jìn)行證明,掌握綜合法證明的格式;3.會(huì)作角的平分線(xiàn),了解角的平分線(xiàn)的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線(xiàn)的性質(zhì),會(huì)利用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明.[知識(shí)網(wǎng)絡(luò)][要點(diǎn)梳理][高清課堂:388614全等三角形單元復(fù)習(xí),知識(shí)要點(diǎn)]一般三角形直角三角形判定邊角邊〔SAS角邊角〔ASA角角邊〔AAS邊邊邊〔SSS兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理〔HL性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等〔其他對(duì)應(yīng)元素也相等,如對(duì)應(yīng)邊上的高相等備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路要點(diǎn)三、角平分線(xiàn)的性質(zhì)1.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線(xiàn)的判定定理
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.
3.三角形的角平分線(xiàn)三角形角平分線(xiàn)交于一點(diǎn),且到三邊的距離相等.4.與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn)在角兩邊截取相等的線(xiàn)段,構(gòu)造全等三角形;在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ),這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具,是解決與線(xiàn)段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形,可以證明線(xiàn)段相等、線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線(xiàn)位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1.證明線(xiàn)段相等的方法:<1>證明兩條線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形全等.<2>利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.<3>等式性質(zhì).2.證明角相等的方法:<1>利用平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明.<2>證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.<3>利用角平分線(xiàn)的判定進(jìn)行證明.<4>同角〔等角的余角〔補(bǔ)角相等.<5>對(duì)頂角相等.3.證明兩條線(xiàn)段的位置關(guān)系〔平行、垂直的方法:可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等,得到對(duì)應(yīng)角相等,再利用平行線(xiàn)的判定或垂直定義證明.4.輔助線(xiàn)的添加:<1>作公共邊可構(gòu)造全等三角形;<2>倍長(zhǎng)中線(xiàn)法;<3>作以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換全等三角形;<4>利用截長(zhǎng)<或補(bǔ)短>法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:〔1直接利用全等三角形判定和證明兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角相等,需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線(xiàn)段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.〔2如果要證明相等的兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí),則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.〔3如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系,此時(shí)應(yīng)添置輔助線(xiàn),使之出現(xiàn)全等三角形,通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).[典型例題]類(lèi)型一、巧引輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形<1>.倍長(zhǎng)中線(xiàn)法1、已知,如圖,△ABC中,D是BC中點(diǎn),DE⊥DF,試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.[思路點(diǎn)撥]因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),按倍長(zhǎng)中線(xiàn)法,倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段DF,使DG=DF,證明△EDG≌△EDF,△FDC≌△GDB,這樣就把BE、CF與EF線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到了△BEG中,利用兩邊之和大于第三邊可證.[答案與解析]BE+CF>EF;證明:延長(zhǎng)FD到G,使DG=DF,連接BG、EG∵D是BC中點(diǎn)∴BD=CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF〔SAS∴EG=EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB<SAS>∴CF=BG∵BG+BE>EG∴BE+CF>EF[總結(jié)升華]有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線(xiàn)可考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)法〔或倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段.舉一反三:[變式]已知:如圖所示,CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線(xiàn),且∠ACB=∠ABC.求證:CD=2CE.[答案]證明:延長(zhǎng)CE至F使EF=CE,連接BF.∵EC為中線(xiàn),∴AE=BE.在△AEC與△BEF中,∴△AEC≌△BEF〔SAS.∴AC=BF,∠A=∠FBE.〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等又∵∠ACB=∠ABC,∠DBC=∠ACB+∠A,∠FBC=∠ABC+∠A.∴AC=AB,∠DBC=∠FBC.∴AB=BF.又∵BC為△ADC的中線(xiàn),∴AB=BD.即BF=BD.在△FCB與△DCB中,∴△FCB≌△DCB〔SAS.∴CF=CD.即CD=2CE.<2>.作以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、已知:如圖所示,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求證:AB=AC+CD.[答案與解析]證明:在A(yíng)B上截取AE=AC.在△AED與△ACD中,∴△AED≌△ACD〔SAS.∴ED=CD.∴∠AED=∠C<全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等>.又∵∠C=2∠B∴∠AED=2∠B.由圖可知:∠AED=∠B+∠EDB,∴2∠B=∠B+∠EDB.∴∠B=∠EDB.∴BE=ED.即BE=CD.∴AB=AE+BE=AC+CD<等量代換>.[總結(jié)升華]本題圖形簡(jiǎn)單,結(jié)論復(fù)雜,看似無(wú)從下手,結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)AB>AC.故用截長(zhǎng)補(bǔ)短法.在A(yíng)B上截取AE=AC.這樣AB就變成了AE+BE,而AE=AC.只需證BE=CD即可.從而把AB=AC+CD轉(zhuǎn)化為證兩線(xiàn)段相等的問(wèn)題.舉一反三:[變式]如圖,AD是的角平分線(xiàn),H,G分別在A(yíng)C,AB上,且HD=BD.<1>求證:∠B與∠AHD互補(bǔ);<2>若∠B+2∠DGA=180°,請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段AG與線(xiàn)段AH、HD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系,并加以證明.[答案]證明:〔1在A(yíng)B上取一點(diǎn)M,使得AM=AH,連接DM.∵∠CAD=∠BAD,AD=AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD=MD,∠AHD=∠AMD.∵HD=DB,∴DB=MD.∴∠DMB=∠B.∵∠AMD+∠DMB=180,∴∠AHD+∠B=180.即∠B與∠AHD互補(bǔ).〔2由〔1∠AHD=∠AMD,HD=MD,∠AHD+∠B=180.∵∠B+2∠DGA=180,∴∠AHD=2∠DGA.∴∠AMD=2∠DGM.∵∠AMD=∠DGM+∠GDM.∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM.∴∠DGM=∠GDM.∴MD=MG.∴HD=MG.∵AG=AM+MG,∴AG=AH+HD.〔3.利用截長(zhǎng)<或補(bǔ)短>法作構(gòu)造全等三角形3、〔2015?新賓縣模擬如圖,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn),且∠APB=∠ABC.〔1如圖1,若∠BAC=60°,點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線(xiàn)上,PA=2,求PB的長(zhǎng);〔2如圖2,若∠BAC=60°,探究PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系,并證明;〔3如圖3,若∠BAC=120°,請(qǐng)直接寫(xiě)出PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系.[思路點(diǎn)撥]〔1AB=AC,∠BAC=60°,證得△ABC是等邊三角形,∠APB=∠ABC,得到∠APB=60°,又點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線(xiàn)上,得到∠ABP=30°,得到直角三角形,利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果.〔2在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD,得到△ADP是等邊三角形,再通過(guò)三角形全等證得結(jié)論.〔3以A為圓心,以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D,連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F,得到等腰三角形,然后通過(guò)三角形全等證得結(jié)論.[答案與解析]解:〔1∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∠APB=∠ABC,∴∠APB=60°,又∵點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線(xiàn)上,∴∠ABP=30°,∴∠PAB=90°,∴BP=2AP,∵AP=2,∴BP=4;〔2結(jié)論:PA+PC=PB.證明:如圖1,在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD,∵∠APB=60°,∴△ADP是等邊三角形,∴∠DAP=60°,∴∠1=∠2,PA=PD,在△ABD與△ACP中,,∴△ABD≌△ACP,∴PC=BD,∴PA+PC=PB;〔3結(jié)論:PA+PC=PB.證明:如圖2,以A為圓心,以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D,連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F,∴AP=AD,∵∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,∴∠APB=30°,∴∠DAP=120°,∴∠1=∠2,在△ABD與△ACP中,,∴△ABD≌△ACP,∴BD=PC,∵AF⊥PD,∴PF=AP,∴PD=AP,∴PA+PC=PB.[總結(jié)升華]本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.舉一反三:[變式]如圖,AD是△ABC的角平分線(xiàn),AB>AC,求證:AB-AC>BD-DC[答案]證明:在A(yíng)B上截取AE=AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平分線(xiàn),∴∠BAD=∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC〔SAS∴DE=DC在△BED中,BE>BD-DC即AB-AE>BD-DC∴AB-AC>BD-DC〔4.在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段4、如圖所示,已知E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,且∠DAE=∠FAE.求證:AF=AD+CF.[思路點(diǎn)撥]四邊形ABCD為正方形,則∠D=90°.而∠DAE=∠FAE說(shuō)明AE為∠FAD的平分線(xiàn),按常規(guī)過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離,而E到AD的距離已有,只需作E到AF的距離EM即可,由角平分線(xiàn)性質(zhì)可知ME=DE.AE=AE.Rt△AME與Rt△ADE全等有AD=AM.而題中要證AF=AD+CF.根據(jù)圖知AF=AM+MF.故只需證MF=FC即可.從而把證AF=AD+CF轉(zhuǎn)化為證兩條線(xiàn)段相等的問(wèn)題.[答案與解析]證明:作ME⊥AF于M,連接EF.∵四邊形ABCD為正方形,∴∠C=∠D=∠EMA=90°.又∵∠DAE=∠FAE,∴AE為∠FAD的平分線(xiàn),∴ME=DE.在Rt△AME與Rt△ADE中,∴Rt△AME≌Rt△ADE<HL>.∴AD=AM<全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等>.又∵E為CD中點(diǎn),∴DE=EC.∴ME=EC.在Rt△EMF與Rt△ECF中,∴Rt△EMF≌Rt△ECF<HL>.∴MF=FC<全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等>.由圖可知:AF=AM+MF,∴AF=AD+FC<等量代換>.[總結(jié)升華]與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn):在角兩邊截取相等的線(xiàn)段,構(gòu)造全等三角形;在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段.5、如圖所示,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一點(diǎn),且AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,,求證:BD是∠ABC的平分線(xiàn).[答案與解析]證明:延長(zhǎng)AE和BC,交于點(diǎn)F,
∵AC⊥BC,BE⊥AE,∠ADE=∠BDC〔對(duì)頂角相等,
∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC.即∠EAD=∠CBD.
在Rt△ACF和Rt△BCD中.
所以Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA.
則AF=BD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等.
∵AE=BD,∴AE=AF,
即AE=EF.
在Rt△BEA和Rt△BEF中,
則Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS.
所以∠ABE=∠FBE〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等,
即BD是∠ABC的平分線(xiàn).[總結(jié)升華]如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等,不妨試著添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出三角形全等的條件,使問(wèn)題得以解決.平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線(xiàn)的添加方法.類(lèi)型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題[高清課堂:379111直角三角形全等的判定,鞏固練習(xí)5]6、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C,過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作的垂線(xiàn)AE,BF,垂足分別為E,F.〔1如圖1當(dāng)直線(xiàn)不與底邊AB相交時(shí),求證:EF=AE+BF.〔2將直線(xiàn)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使與底邊AB相交于點(diǎn)D,請(qǐng)你探究直線(xiàn)在如下位置時(shí),EF、AE、BF之間的關(guān)系,①AD>BD;②A(yíng)D=BD;③AD<BD.[答案與解析]證明:〔1∵AE⊥,BF⊥,∴∠AEC=∠CFB=90°,∠1+∠2=90°∵∠ACB=90°,∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3。∵在△ACE和△CBF中,∴△ACE≌△CBF〔AAS∴AE=CF,CE=BF∵EF=CE+CF,∴EF=AE+BF?!?①EF=AE-BF,理由如下:∵AE⊥,BF⊥,∴∠AEC=∠CFB=90°,∠1+∠2=90°∵∠ACB=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3?!咴凇鰽CE和△CBF中∴△ACE≌△CBF〔AAS∴AE=CF,CE=BF∵EF=CF-CE,∴EF=AE―BF。②EF=AE―BF③EF=BF―AE證明同①.[總結(jié)升華]解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn):變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用;圖形在變化過(guò)程中,哪些關(guān)系發(fā)生了變化,哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化;原來(lái)的線(xiàn)段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵;幾種變化圖形之間,證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系,都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程,其結(jié)論有時(shí)變化,有時(shí)不發(fā)生變化.舉一反三:[變式]〔2015?XX模擬[問(wèn)題情境]如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是線(xiàn)段BG上的動(dòng)點(diǎn),AE⊥EF,EF交正方形外角∠DCG的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F.[探究展示]〔
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