重難點06幾何類綜合問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)重難熱點專題突破精講精練（解析版）

重難點06幾何類綜合問題【命題趨勢】幾何綜合題是中考數(shù)學(xué)中的重點題型,也是難點所在.幾何綜合題的難度都比較大,所占分值也比較重,解答題數(shù)量一般有兩題左右,其中一題一般為三角型、四邊形綜合;另ー題通常為圓的綜合;它們在試卷中的位置一般都在試卷偏后的位置.只所以幾何綜合題難度大,學(xué)生一般都感覺難做,主要是因為這種類型問題的綜合性較強，涉及的知識點或者說考點較多，再加上現(xiàn)在比較熱門的動態(tài)問題、最值（范圍）問題、函數(shù)問題，這就導(dǎo)致了幾何綜合題的難度再次升級，因此這種題的區(qū)分度較大.所以我們一定要重視平時多培養(yǎng)自己的綜合運用知識的能力,從不同的角度,運用不同的知識去解決同一個問題.【滿分技巧】.熟練掌握平面幾何知識:要想解決好有關(guān)幾何綜合題,首先就是要熟練掌握關(guān)于平面幾何的所有知識,尤其是要重點把握三角形、特殊四邊形、圓及函數(shù)、三角函數(shù)相關(guān)知識.幾何綜合題重點考查的是關(guān)于三角形、特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）、圓等相關(guān)知識..掌握分析問題的基本方法:分析法、綜合法、“兩頭堵”法:1）分析法是我們最常用的解決問題的方法，也就是從問題出發(fā)，執(zhí)果索因，去尋找解決問題所需要的條件,依次向前推,直至已知條件；例如，我們要證明某兩個三角形全等，先看看要證明全等,需要哪些條件，哪些條件已知了,還缺少哪些條件,然后再思考要證缺少的條件,又需要哪些條件,依次向前推，直到所有的條件都已知為止即可.2）綜合法:即從已知條件出發(fā)經(jīng)過推理得出結(jié)論，適合比較簡單的問題；3）“兩頭堵”法:當(dāng)我們用分析法分析到某個地方，不知道如何向下分析時，可以從已知條件出發(fā)看看能得到什么結(jié)論，把分析法與綜合法結(jié)合起來運用是我們解決綜合題最常用的辦策略.3.注意運用數(shù)學(xué)思想方法:對于幾何綜合題的解決，我們還要注意運用數(shù)學(xué)思想方法，這樣會大大幫助我們解決問題，或者簡化我們解決問題的過程，加快我們解決問題的速度,畢竟考場上時間是非常寶貴的.常用數(shù)學(xué)思想方法:轉(zhuǎn)化、類比、歸納等等.【限【限時檢測】A卷（建議用時:90分鐘）（2021?安徽中考真題）在aABC中,NACB=90°,分別過點B,C作N84C平分線的垂線,垂足分別為點。,E,BC的中點是M,連接C。,MD,ME.則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.CD=2ME B.MEHAB C.BD=CD D.ME=MD【答案】A【分析】設(shè)Aハ、8c交于點Z/,作潛丄AB于點F,連接EF.延長AC與8。并交于點G.由題意易證^CAE=aFAE（SAS）,從而證明ME為VCBア中位線，^MEHAB,故判斷B正確;又易證^AGD=^ABD（ASA）,從而證明ハ為BG中點.即利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可求出CD=BD,故判斷C正確;由/HDM+NDHM=90P、/HCE+NCHE=90。和/DHM=NCHE7證明/血W=N〃CE.再由/”EM+NEWE=90°、N硝。=/￡7/和N￡:〃。+///（五=90°可推出/HCE=dEM,即推出Nめビ=//TEN,即ルの=ME,故判斷D正確;假設(shè)C￡>=2ME,可推出CO=2M￡>,即可推出NDCM=30°.由于無法確定ZDCM的大小，故CZ）=2ME不一定成立,故可判斷A錯誤.【詳解】如圖，設(shè)A。、8c交于點〃,作Hド丄尸點ド,連接E尸.延長AC與8。并交于點G.Gレ’：ス。是N8AC的平分線，HF1AB-HC1AC，：.HC=HF,：.AF^AC.[AF=AC.,?在VC4E和aME中,ZC4￡=ZFAE,/.^CAE^FAE(SAS),[AE=AE：.CE=FE,ZAEC=ZAEF=90°,AC,￡,F三點共線，...點E為Cド中點.?.?仞為8c中點，.?.ME為VCカド中位線，??.ME//A8,故B正確，不符合題意;NGAD=/BAD,.?在△AG。和△AB。中,， AD=AD,：.^AGD=^ABD（ASA）,ZADG=ZADB=90°：.GD=BD=-BG,即。為BG中點.,.?在aBCG中,ZBCG=90°,ACD=-BG,2 2/.CD=BD,故C正確,不符合題意:；ZHDM+/DHM=90°,N/7CE+NC証=90。,/DHM=NCHE，：./HDM=/HCE.,/HF1AB，ME//AB,：.HFエME.：./HEM+/EHF=9QP.??Aハ是ZBAC的平分線，:.NEHC=NEHF.,：Z.EHC+AHCE=90°,:.ZHCE=ZHEM,：.AHDM=NHEM一:MD=ME,故D正確，不符合題意;.?假設(shè)CO=2M￡.???CZ）=2MD,.??在R/aCDM中，ZDCM=30°..?無法確定/DCM的大小,故原假設(shè)不一定成立,故A錯誤，符合題意.故選A.【點睛】本題考査角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)以及含30。角的直角一:角形的性質(zhì)等知識，較難.正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.（2021?山東濱州?中考真題）在銳角aA8C中，分別以A8和AC為斜邊向aA8C的外側(cè)作等腰心aABM和等腰R/aACN,點。、E、尸分別為邊A3、AC.8c的中點，連接M。、MF.FE、FN.根據(jù)題意小明同學(xué)畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論:①MD=FE,②NDMF=ZEFN,③FM丄FN,④S△宙=3%邊附般，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結(jié)論①，連接。/7,EN,通過SAS定理證明AM。尸纟/XFEN判斷結(jié)論②,利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)判斷結(jié)論③,利用相似三角形的判定和性質(zhì)判定結(jié)論④.【詳解】解::。、E、ド分別為邊AB、AC、BC的中點,且是等腰直角三角形,：.DM=^AB,EF=上AB,EF//AB,/"。8=90°,:.DM=EF,NFEC=NBAC,故結(jié)論①正確:連接。ド,EN,?:D、E、ド分別為邊A8、AC、8c的中點,且aACN是等腰直角三角形,:.EN==AC,。尸=；AC,DF//AC,NNEC=90°,：.EN=DF,NBDF=NBAC,NBDF=NFEC,ZBDF+ZMDB^ZFEC+ZNEC,：,乙MDF=NFEN,MD=EF在AM。ド和AFEN中，?ZMDF=ZFEN,:.△MDF^AFEN(SAS),:.NDMF=NEFN,故結(jié)論②正確;DF=EN'：EF//AB,DF//AC,.??四邊形AOF￡是平行四邊形，；.ZDFE=ZBAC,又「△〃￡>ド纟△FEN,:.NDFM=NENF,：.ZEFN+ZDFM=ZEFN+ZENF=1800-ZFEN=180°-(/FEC+/NEC)=180°-(ZBAC+900)=90°-ZBAC,/.ZMFN=ZDFE+ZEFN+ZDFM=ZBAC+900-ZBAC=90°,J.MF1FN,故結(jié)論③正確;■JEF//AB,.?.△CEFs^CAB,...學(xué)=工，.??轡^= 產(chǎn)?S四故結(jié)論④錯誤，AB2?ル詠ー 3.?.正確的結(jié)論為①②③,共3個，故選:B.【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),三角形中位線定理，題目難度適中,有一定的綜合性,適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.(2021?四川瀘州市?中考真題)如圖，。。的直徑A8=8,AM,BN是它的兩條切線，OE與。。相切于點E,并與AM,BN分別相交于ハ,C兩點,BD,OC相交于點ド,若C￡>=10,則Bド的長是B CNゝ871? ロ105/17 グ8居 へ107159 9 9 9【答案】A【分析】過點ハ作。G丄BC于點G,延長CO交。A的延長線于點H,根據(jù)勾股定理求得GC=6,即可得A￡）=8G=2,8c=8,再證明/i/MOg△8CO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4"=8c=8,即可求得7/￡>=10；在RSA8￡）中,根據(jù)勾股定理可得5。=2折;證明ハハ“尸6/\8。ド,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DHDF ,?即一丁亠出 8717—=——,由此即可求得8尸=」一.BCBF 9【詳解】過點。作。G丄8c于點G,延長CO交。A的延長線于點”，：AM,BN是它的兩條切線,?！?與。。相切于點E,：.AD=DE,BC=CE,ZDAB=ZABC=90°,:。G丄BC,.?.四邊形A8G。為矩形,：.AD=BG,48=。6=8,BGCN在RSDGC中，CD=IO,'-GC=y]CD2-DG2=7102-82=6-"：AD=DE,BC=CE,CD=10,/.CD=DE+CE=AD+BC=10,J.AD+BG+GC=10,：.AD=BG=2,BC=CG+BG=8,：ZDAB=ZABC=90°,：.AD//BC,：.ZAHO=ZBCO,ZHAO=ZCBO,\'OA=OB,：.AHAO^^BCO,：.AH=BC=^>,\'AD=2,：.HD=AH+AD=\0t在RsAB。中,AD=2,AB=8,BD=y/AB2+AD1=而+22=2>/17?ADHDF：AD//BC,：ADHFs厶BCF,：.——=——，BCBF.?ヒ=2拒-BF解得,bド=ML故選A.8BF 9【點睛】本題是圓的綜合題,考査了切線長定理、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定于性質(zhì),熟練運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵.（2021?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖,在正方形ABCO中,對角線AC與8O相交于點。,無E在BC的延長線上,連接。E,點ド是。E的中點,連接OF交CO于點G,連接Cド,若CE=4,OF=6.則下列結(jié)論:①5=2；②〇。=商G；③tanN8E=e；④NODF=NOCF=野;⑤點D到CF的距離為延,其中正確的結(jié)論是(A.①②?④B.①?④⑤C.①②?⑤D.①②?⑤【答案】C【分析】由題意易得8。=8,80=0。=OA=OC,ZBDC=45°,NBCD=NDCE=90°,①由三角形中位線可進(jìn)行判斷;②由△ハ〇C是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷;③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解:④根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解;⑤過點。作。”丄C凡交Cド的延長線于點〃,然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解.【詳解】解:?..四邊形ABC。是正方形,BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,ZBCD=ZDCE=90°,AC丄8。,.?點ド是ハE的中點,...。ド=丄8民。/7〃BE,VOF=6,CE=4,：,BE=12,則C￡)=8C=8,2JOF//BE,:.△DGFs^DCE,：.——=——=一,GF=2,故①正確；CDCE2...點G是C。的中點,.?.0G丄C。，??/。。。=45。，.?.△。0C是等腰直角三角形，.?.0。=0OG,故②正確；CE1CE=4,CA8,N。。￡=90。,.'.tanZCDE=——=一,故③正確；CD2VtanZCDE=-*l,：.ZCDE^45°,：.ZODF^90°,故④錯誤；2過點。作。H丄CF,交CF的延長線于點，，如圖所示:?.,點F是C。的中點,：.CF=DF,:.NCDE=NDCF,，tanNCDE=tanNOCT7=丄20R設(shè)ハ”=x,則C”=2x,在用△ハ，C中,x2+4x2=64.解得:x=±—.5.?.04=延，故⑤正確;.?.正確的結(jié)論是①@③⑤;故選C.5【點睛】本題主要考査正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù),熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.5.（2021?山東東營市?中考真題）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，0、E為線段AC上兩動點，且NDBE=30。,過點。、E分別作AB、8C的平行線相交于點ド，分別交BC、AB于點從G.現(xiàn)有以下結(jié)論:①S、abc=を;②當(dāng)點ハ與點C重合時，F(xiàn)H=；；③AE+CO=JJOE；④當(dāng)AE=C￡>時，四邊形8HFG為菱形，其中正確結(jié)論為（ ）A.?（2X3） B. C.①??④ D.②?@【答案】B【分析】過A作A/丄8c垂足為/,然后計算aABC的面積即可判定①:先畫出圖形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可判定②:如圖將△88繞8點逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到aASM求證NE=。后再延長E4到尸使AP=C￡>=4V,證得/P=60。,NP=AP=CD,然后討論即可判定③:如圖1,當(dāng)AE=C。時,根據(jù)題意求得C”=C。、AG=CH,再證明四邊形8〃ドG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形.【詳解】解:如圖!.過A作A/丄BC垂足為/???△ABC是邊長為1的等邊三角形N8AC=NA8C=NC=60。,C/=-BC=-二AI=殳Ssbg丄4.5C=丄xlx史=也,故①正確;TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 2 2 4如圖2,當(dāng)ハうC重合時...NO8E=30。,△ム8。是等邊三角形ユ/08￡；=乙4班'=30。;?ハ￡=4￡：=丄4。=丄2 2?/GE//BD：.——=——=1，BG=-AB=-'：GF//BD.BG//DF：.HF=BG=—,故②正確;AGAE 2 2 2如圖3,將△BCハ繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ABN.'Ngノ2,N5=N6=60。,AN=CD,BABN'：Z3=30°.\Z2+Z4=ZI+Z4=3O0/.ZNBE=Z3=30。又,：BD=BN,BE=BE：./\NBE^/XDBE(SAS)：.NE=DE延長EA到P使AP=CD=AN'：ZNAP=180o-60°-60o=60°MNP為等邊三角形，ZP=60°,NP=AP=CD如果AE+CD=J^OE成片則PE=&NE,需NNEP=9。。,但ZNEP不一定為90。,故③不成、エ;如圖1,當(dāng)AE=C。時,'：GE//BC：.^AGE=^ABC=(^°,ZGEA=ZC=60。.?.ZAGE=ZAEG=60°,；.AG=AE同理:CH=CD：.AG=CH'：BG//FH,GF//BH：,四邊形BHFG是平行四邊形四邊形BHFG為菱形，故④正確.故選B.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定等知識點,靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.(2021?湖南衡陽市?中考真題)如圖,矩形紙片AB8,AB=4,BC=8,點M、N分別在矩形的邊Aハ、8C上,將矩形紙片沿直線MN折疊,使點C落在矩形的邊Aク上,記為點P,點。落在G處,連接PC,交MN于點。,連接CM.下列結(jié)論:①四邊形CMPN是菱形;②點P與點A重合時,MN=5；③△尸QM的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結(jié)論的序號是()A.①?@B. C.?(3)D.(2)(3)【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì),證明出ZPMN=4PNM,PM=PN,通過等量代換，得到PM=CN,則由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到結(jié)論正確:用勾股定理CN=5,CQ=gAC=2正,由菱形的性質(zhì)對角線互相垂直,再用勾股定理求出MN=2QN=2正;當(dāng)MN過點。時,最小面積S=菱形?“"=(x4x4=4,當(dāng)フ點與A點重合時，S最大為S=；x5x4=5,得出答案.【詳解】解:①如圖!,PMPCN,/PMN=ZMNC，?.,折疊,二ZMNC=2PNM,NC=NP:.NPMN=/PNM,：.PM=PN，：.PM=CN,；.MP〃CN,：?四邊形CNPM為平行四邊形,?；CN=NP,：?平行囲邊形CNPM為菱形,故①正確，符合題意:②當(dāng)點。與A重合時,如圖2所示設(shè)&V=%，則んV=MC=8—x,在RtAABN中,AB2+BN2=AN2，即42+ゼ=(8ーめ2,解得:x=3,：.CN=5,AC貝AB?+BC2=4よ,：.CQ=^AC=245,又?.?四邊形CNPM為菱形，.丄MN,宣MN=2QN,：.qn=QcM_cC=?よ：.MN=2QN=275,故②錯誤,不符合題意.③當(dāng)ルW過點ガ時,如圖3所小:圖3

此時,CN最短,四邊形CMPN的面積最小,則S最小為S=；S菱形c“ps=；x4x4=4,當(dāng)尸點與A點重合時,CN最長,四邊形CMPN的面積最大,則S最大為S=」x5x4=5,4/.4<5<5I故③正確，符合題意.故答案為:①@.【點睛】本題主要考査了菱形的判定與性質(zhì)、折疊問題、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理與性質(zhì)定理、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在正方形A8C。中,點。是對角線8。的中點，點P在線段。。上，連接AP并延長交C。于點E,過點P作PF丄AP交BC于點F,連接A尸、EF，Aド交8。于G,現(xiàn)有以下結(jié)論:①AP=PF：②DE+BF=EF;③PB-PD=6BF；④S/ef為定值:⑤SmPEFG=S.APG.以上結(jié)論正確的有（填入正確的序號即可）.D［答案］①②③⑤【分析】由題意易得ノ”尸=NABC=/AOE=/C=90。，AD=AB,ZABD=45°,對于①:易知點4、8、F、P四點共圓，然后可得ひ=45。,則問題可判定;對于②:把メE。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到“8”,則有DE=BH,NDAE=NBAH,然后易得△?!と尸纟△4”尸，則有，尸=EF,則可判定;對于③:連接AC,在8P上截取BM=QP,連接AM,易得。8=0。，OP=OM,然后易證△AOPs^abf,進(jìn)而問題可求解；對于④:過點A作AN丄所于點N,則由題意可得AN=A8,若メE尸的面積為定值，則所為定值,進(jìn)而問題可求解;対于⑤由③可得絲=也，進(jìn)而可得メPGs^AFE,然后可得相似比為絲=也,最后根據(jù)相AF2 AF2似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解.【詳解】解:?.?四邊形A6CD是正方形,"'丄AP，.,.乙4*NABC=NA￡）E=NC=90。,AD^AB,ZABD=45°,①：NA5C+NAPド=180°,...由四邊形內(nèi)角和可得/B4P+NBEP=180°,.,?點A、8、ド、P四點共圓，A^AFP=ZABD=45°,.??△APド是等腰直角三角形,...”=PF,故①正確;②把aAE。繞點②把aAE。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到aA8〃，如圖所示:H：.DE=BH,NDAE=NBAH,ZHAE=90°,AH=AE,：.ZHAF=/FAF=45°,'：AF=AF,:.厶AEF公ふAHF(SAS),：.HF=EF,；HF=BH+BF，：.DE+BF=EF,故②正確;③連接AC,在8P上截取8M=OP,連接AM,如圖所示:對角線5。的中點,.?.08=0。,BD1AC,：.OP=OM,△408是等腰直角三角形,.;ab=0AO,由①可得點A、B、F、P四點共圓,...NAPO=NAEB,VZABF=ZAOP=90°,:.XAOPsjxkBF、—=—=—= .?.〇尸=也5ドBFABAF2 2BP-DP=BP-BM=PM=2OP, PB-PD=42BF，故③正確:④過點A作AN丄Eド于點N,如圖所示:由②可得ノ4F8=NAFMVZABF=ZANF^O°,AF^AF,：./\ABF^/\ANF(AAS),：.AN=AB,若/kAE/的面積為定值，則EF為定值，.?點P在線段。。上，.?.所的長不可能為定值,故④錯誤;S⑤由③可得竺=也,,:NAFB=NAFN=NAPG,ZFAE=ZPAG,AF2Sエ叢APGs叢AFE,：.—=—= ,:EFAF2*?S^AGP=5S^AEF，S四邊形PEFG=S4APG，故⑤止確:綜上所述;以上結(jié)論正確的有①②③⑤;故答案為①②?⑤.【點睛】本題主要考査正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖,正方形A8CD的邊長為4,點E是邊8C上一點,且BE=3,以點A為圓心,3為半徑的圓分別交于點ド、G,DF與AE交于點H.并與。A交于點K,連結(jié)“G、CH.給出下列四個結(jié)論.（1）〃是尸K的中點;（2）^HGD^HEC；（3）S^HG：SADHC=9S6；（4）DK=-,其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）.【分析】由正方形的性質(zhì)可證明ADAF^^ABE,則可推出厶7が=90。,利用垂徑定理即可證明結(jié)論（1）正確:過點、H作MN//AB交BC于N,交于M,由三角形面積計算公式求出A"=マ,再利用矩形的判定與性質(zhì)證得MG=NE,并根據(jù)相似一:角形的判定與性質(zhì)分別求出“//=石,NH=茄,則最后利用銳角三角函數(shù)證明/MG〃ナN”EN,即可證明結(jié)論（2）錯誤;根據(jù)（2）中結(jié)論并利用相似三角形的性質(zhì)求得AM=!|,即リ證明結(jié)論⑶正確:利用⑴所得結(jié)論”=ハドー2"Z并由勾股定理求出再求得DK,即可證明結(jié)論（4）正確.【詳解】解:（1）?.?四邊形A8CO是正方形,：.AD=AB=4,NftA尸=ZABE=90。.又,：AF=BE=3,：.ADAF^/XABE.AZAFD=^BEA.?：^BEA+^BAE=90P,/.ZAFD+^BAE=9O0, 厶〃ド=90。,，AH丄FK, FH=KH,即，是ドK的中點;故結(jié)論（1）正確;（2）過點”作MN//AB交8c于N,交Aハ于A/,BNEC\ I I?由（1）得A/Z丄ドK,^\-ADAF=-DFAH.VDF=y/AF2-^-AD2=5?**-AH=~^-

,.,四邊形A8C。是正方形,MN//AB, ADAB=ZABC=ZAMN=90°..??四邊形A8NM是矩形..AW=AB=4,AM=BN.,：AG=BE.：.AG-AM=BE-BN.即A/G=NE.VAD//BC.ZMAH=NAEB. ZABE=ZAMN=90°,/.^MAH~^BEA.AH~AE12AH~AE—.即行MH.解得M"=竺.貝リN"=4ーASく-4 25 25■:tanNMGH=也,tanZHEN=典.,:MG=NE,MHホNH,MG NEmgne——ヰ——,:?4MGH豐/HEN,工/DGHナ/CEH.エ公HGD與ふHEC不全等:,故結(jié)論(2)錯誤;MHNH⑶?.??一皿,.??罪=墨.即?竺解得れネ由(2)得S,g=；M〃AG,S^dhc=^DC\AD-AMYaAHGaDHCMHAG_aAHGaDHCMHAG_DC(AD-AM)48っ—x325ィ(A364x4 I25正故結(jié)論⑶正確:（4）由（1）得,，是尸K的中點,/.DK=DF-2FH.由勾股定理得所ノ宀マホー（等《..??*5%灣:故結(jié)論⑷正確.故答案為:(1)(3)(4).【點睛】本題考查了正方形的綜合問題,掌握特殊四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（2021?天津中考真題）如圖,正方形A8C。的邊長為4,對角線AC8。相交于點。，點E,ド分別在8CC。的延長線上,且CE=2,Oド=1,G為EE的中點,連接OE,交CD于點H,連接GH,則G/7的長為.

的長為.【答案】セ【分析】先作輔助線構(gòu)造直角三角形,求出C，和MG的長,再求出的長,最后利用勾股定理求解即可?【詳解】解:如圖,作。K丄BC,垂足為點K,?.,正方形邊長為4,：.OK=2,KC=2,：.KC=CE,：.CH是4OKE的中位線:.CH=-OK=\,作GM丄CD,垂足為點M,2點為EF中點,.;GM是AFCE的中位線,：.GM=-CE=\,MC=-FC=-（CD+DF）=-x（4+l）=-,：.MH=MC-HC=--\=-,2 22' 72' 72 2 2在RtAMHG中,GH=yjMH2+MG2=jf->l+12=—,故答案為:【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等內(nèi)容,解決本題的關(guān)鍵是能作出輔助線構(gòu)造直角三角形,得到三角形的中位線,利用三角形中位線定理求出相應(yīng)線段的長,利用勾股定理解直角三角形等.（2021?江蘇淮安?中考真題）（知識再現(xiàn)）學(xué)完《全等三角形》一章后,我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.（簡單應(yīng)用）如圖（1）,在AABC中，NBAC=90。,AB=AC,點ハ、E分別在邊AC、ABk.若CE=BD,則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是 .

（拓展延伸）在ふABC中,ZBAC=a（90°<a<180°）,AB=4C=m,點。在邊AC上.（1）若點E在邊AB上,且CE=B。,如圖（2）所示,則線段AE與線段相等嗎?如果相等,請給出證明;如果不相等,請說明理由.（2）若點E在BA的延長線上,且試探究線段AE與線段40的數(shù)量關(guān)系（用含有4、相的式子表示）,并說明理由.【答案】【簡單應(yīng)用】4E=ん。:【拓展延伸】（1）相等,證明見解析;（2）AE-AO=2AGcos（18（r-a）,理由見解析【分析】簡單應(yīng)用:證明放（Hい,可得結(jié)論.拓展延伸;（1）結(jié)論:AE=AD,如圖（2）中，過點C作CM丄8ん交8A的延長線于M,過點N作BN丄C4交CA的延長線于N.證明△CAMTZXBAN（ん4S）,推出CM=BMAM=AN,證明?△CMEgRfABNC（HL）,推出EM=DM可得結(jié)論.（2）如圖（3）中,結(jié)論:AE-AD=2m?cos（180°-a）,在A8上取一點￡,使得8O=C￡,則AO=A￡.過點C作CT丄AE于ア.證明TE=7F,求出AT,可得結(jié)論.【詳解】簡單應(yīng)用;解;如圖（i）中，結(jié)論;AE=AD.圖⑴ 圖⑵理由;VZA=ZA=90°,AB^AC,BD=CE,:.RtAABDぐRtムACE(HL),：.AD=AE.故答案為:A￡=A￡).拓展延伸;(1)結(jié)論;AE^AD.理由;如圖(2)中,過點C作CM丄BA交BA的延長線于M,過點N作丄CA交CA的延長線于N.：ZM=ZN=90。,ZCAM=ZBAN,CA=BA,:ACAMぐABAN(AAS),:.CM=BN,AM=AN,；ZM=ZN=90°,CE=BD,CM=BN,:.Rt4cME沿RsBND(HL),：.EM=DN,?：AM^AN,J.AE^AD.(2)如圖(3)中，結(jié)論:AE-AD=2m-cos(1800-a).

B C圖（3）理由:在48上取一點E，,使得B￡）=CE*,則AO=A￡.過點C作Cア丄AE于ア.，；CE=BD,CE=BD,:.CE=CE,；CT丄E￡,：.ET=TE',\'AT^AC*cos（1800-a）="アcos（1800-a）,：.AE-AD=AE-AE'=2AT=2m?cos（1800-a）.【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,等腰三角形的性質(zhì)與判定,解直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.運‘二JAP 1 A PI（01） （圖2）1（1）如圖1,直接寫出線段”與BQ的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖2,當(dāng)點P、直線尸8垂直平分線段CQ；（3）如圖3,若等邊三角形んBC的邊長為運‘二JAP 1 A PI（01） （圖2）1（1）如圖1,直接寫出線段”與BQ的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖2,當(dāng)點P、直線尸8垂直平分線段CQ；（3）如圖3,若等邊三角形んBC的邊長為4且aAPQ的面積等于立，求線段AP的長度.4【答案】⑴如幽⑵見詳解:⑶お或步或飆+呼1（圖3）8在AC同側(cè)且AP=AC時，求證:,點P、8分別位于直線AC異側(cè),【分析】（D根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，可得CQC0,ZACP=ZBCQ,AC=BC,進(jìn)而即可得到結(jié)論:（2）先證明△BC。是等腰直角三角形，再求出/C8g5。,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),即可得到結(jié)論;（3）過點8作8￡丄，,過點Q作Qド丄，,根據(jù)△ACP^ABCQ,可得AP=8Q,NCAP=N

CBQ=90°,設(shè)AP=x9則BQ=x,MQ=x-!帀,QF=（x?セ石）x9,再列出關(guān)于ズ的方程,即可求解.【詳解】（1）證明:?.?線段CP繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CQ,；.CP=CQ,ZPCQ=60°,,.,在等邊三角形48c中,NAC8=60。,AC=BC,:.NACP=/BCQ,：.AACP^ABCg,/.AP-BQ.VAP=AC,CALI,.?.△ACP是等腰直角三角形,：△ACP^ZXBCQ,...△BCQ是等腰直角三角形,NCBQ=90。,,.,在等邊三角形ABC中,AC=AB,ZBAC=ZABC=60°,：.AB=AP,ZBAP=90o-60o=30°,ZA8P=ZAPB=（l80°-30°）+2=75°,/.ZCBD^180o-75°-60o=45°,.??PO平分ZCB。,.?.直線總垂直平分線段CQ：（3）①當(dāng)點。在直線上方時,如圖所示，延長8。交/與點E,過點。作Qド丄/與點ド,由題意得AC=BC,PC=CQ,ZACB=NPCQ=60°,ZACP=ZBCQ,.-.aAPC^BCQ（SAS）,/.AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°,vZC4B=ZABC=60°.:.ZBAE=ZABE=30°,.■AB=AC=4, AE=BE= .：.ZBEF=60°,3-t）>設(shè)AP=f,則8。=ムE。=勺叵ー/,在心曲"。中，QF=與EQ=-t）>S“apq，AP?F=亜，即し.專（逑ーり=走，解得r=6或立，即AP的長度為い或立;TOC\o"1-5"\h\z2 4 2 2 3 4 3 3②當(dāng)點。在直線，下方時,過點8作BE丄，,過點。作。ド丄，,山（1）小題，可知:△ACP絲△8。。,：.AP=BQ,ZCAP=ZCBQ=90°,：ZACB=60°,ZCAM=90°, Z4M8=360°-60°-90°-90°=120°,即:ZBME=ZQMF=60°,,：ZBAE=90°-60°=30°,AB=4,：.BE=-AB=2,：.BM=BE^n60o=2^^-=--Ji.2 23設(shè)AP=x,則BQ=xtMQ=x--n^,QF-AfQxsin60°=（x--v3）x—,3 3 2??“22的面積等于在，.ゝ;4ん。ド=3,即:；xx（x-金石）X立=3，4 2 4 2 3 2 4解得:ズ=ユ石+叵或x=ユ6ー叵（不合題意,舍去），:?APニュ邪+叵.3 3 3 3 3 3

cQ綜上所述,AP的長為:外或且或26+@L3 3 3【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,根據(jù)題意畫出圖形，添加輔助線,構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.12.（2021?遼寧沈陽?中考真題）在aA8c中，AB=AC,△8E中，CE=CD（CE>CA）,BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=180°,點、B,C,E不共線,點、P為直線DE上一點,且PB=PD.（1）如圖1,點ハ在線段BC延長線上，則/ECD=,ZABP=，（用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖2,點A,E在直線BC同側(cè),求證:8P平分NABC；（3）若NABC=60。,BCf+l,將圖3中的△（7以繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)8P丄時，直線PC交BD于點G,點M是PD中點,請直接寫出GM的長.【答案】（1）18O°-2a,?；（2）見解析:（3）G”的長為更対或;.2 2【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可.（2）如圖2中,連接B￡）.證明NPBC=NCDE=a,可得結(jié)論.（3）分兩種情形:如圖3-1中，設(shè)交AC于ノ.圖3-2中,設(shè)PC交BC于K,當(dāng)BP丄PC時，利用三角形的中位線定理，可得求出即,uj?得結(jié)論.【詳解】（1）解:如圖1中,

圖2 圖3-1：CE=CD,:.ZD=ZE=a,..NECO=180°ー",;.NECB=NE+ND=2a,vAB=AC,ZABC=ZACB=2a, PB=PD,/.Z.PBD=Z.D=a,ZABP=ZABC—Z.PBD=a,(2)證明:如圖2中,連接BO.;CB=CD,PB=PD,.-.ZCBD=ZCDB,NPBD=4PDB，:"PBC=2PDC=a,,-ZABC=2a,:.ZABP=ZPBC=a,ユ依平分ZA8C.(3)解:如圖3-1中,設(shè)BP交AC于ノ.;BP丄PD,BP=PD..?.△P8の是等腰!!角三角形，.CB=CD,P8=P￡>,..PG垂直平分線段BG,..8G=￡>G,;PM=MD,：.GM=-PB,VZABC=ZACB=60°,2:.NECD=180。ー60。=120°,AACB是等邊三角形，,;CE=CD,:.NCDE=30。,r.NPBC=NPDC=30°,.-.ZR/C=90°,:.CJ=>BC=J^,A/=JJc/=ユ士立,2 2 2:NCPD=NCPJ=45°,:.PJ=JC=J^-,:.PB=BJ+PJ=6+2,:.GM2 2如圖3-2中,設(shè)PC交BC于K,當(dāng)BP丄PC時，同法可證圖3-2EvZPBC=30%NGPB=/PBC+NPCB=45。,1.PCB=/PCD=15。,ZKCE=120°-15°-15°=90°,vZE=30°,CE=CB=6+l,:.CK=^r=l+—,KB=BC-CK=—.上3 3/.PB=BK-cos30°=—x^-=1,;.GM=?PB=g,綜上所述,GM的長為ホゼ或;.3 2 2 2 2 2【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了等腰三角形的性質(zhì),線段的垂直平分線的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,三角形的中位線定理等知識,解題的關(guān)鍵是利用特殊三角形的性質(zhì)解決問題,學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.13.（2021?山西中考真題）綜合與實踐,問題情境:數(shù)學(xué)活動課上,老師出示了一個問題:如圖①,在。ABC。中,BE丄AD,垂足為￡,ド為CD的中點,連接所,BF,試猜想￡ド與8ド的數(shù)量關(guān)系,并加以證明:獨立思考:（1）請解答老師提出的問題:實踐探究:（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將。ABC。沿著8ド（ド為8的中點）所在直線折疊，如圖②，點。的對應(yīng)點為C'，連接。?！⒀娱L交A8于點G,請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想,將。AB。。沿過點8的直線折疊,如圖③,點4的對應(yīng)點為A',使A'8丄。。于點，，折痕交A。于點M,連接A'M,交。?。于點N.該小組提出ー個問題：若此。ABC。的面積為20,邊長AB=5,8。=26,求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.圖①圖②圖③圖①圖②圖③【答案】（I）EF=BF;見解析:（2）AG=BG,見解析:（3）—.【分析】（1）如圖,分別延長AO，Bド相交于點尸,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得A￡>//8C,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZPDF=NC，NP=NFBC,利川ん4S可證明"DF"△8CF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FP=FB，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得E尸=丄82,即リ得所=3ド:2（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得/CFB=/C戶8=!NCR7,FC=FC,可得/7）=ド根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ZFDC'=^FC'D,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得/CFC=NEDC+NFCC,即可得出/CEB=NFCハ,可得DG//FB,即可證明四邊形。GB尸是平行四邊形,可得。F=BG=，AB,u]"得AG=8G：2（3）如圖,過點M作MQLA'B于Q,根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A'B=AB,NA=NA',NA8M=NM8〃,根據(jù)丄CD可得A8丄A8,即可證明aM8Q是等腰直角三角形,可得％2=BQ,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得/A=NC即可得/A'=NC,進(jìn)而可證明△ANHsaCB”,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得4”、M4的長,根據(jù)M///MQuj?得△AW”s^a，mQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長,根據(jù)S卅=5"材タ-5AイW/Z即可得答案.【詳解】（1）EF=BF.如圖，分別延長AD，8ド相交于點P，?.?四邊形ABC。是平行四邊形，.ゝAZ5//BC,.?.NPZ）ド=NC，NP=NFBC.[NP=NFBC,；F為CD的中點、,；.DF=CF,在△2。ド和aBC/中，,NPDF=NC,DF=CF：.APDFq厶BCF,：.FP=FB,即F為BP的中點,，BF=-BP,2'；BE±AD,；.ZBEP=90°,；.EF=-BP,:?EF=BF.2（2）AG=BG.ツ將0ABCD沿著M所在直線折疊,點C的對應(yīng)點為C',ZCFB=ZC'FB=yZCFC',FC=FC，

?.?ド為C0的中點,：.FC=FD=-CD,：.FC=FD，：.^FDC'=ZFC'D,2'''Z.CFC=^FDC'+ZFC'D,：.ZFCD=-ZCFC',:.NFCD=4C'FB、DGUFB^2?.?四邊形ABCハ為平行四邊形,...OC//AB，DC=AB,.??四邊形Z）G8ド為平行四邊形，.?.8G=DE, BG=2A8,二AG=8G.2（3）如圖,過點M作M。丄48于。，???nABCZ）的面積為20,邊長AB=5,A'8丄CZ）于點〃，.?.B〃=50+5=4,：.CH=^BC2-BH2=2'A'”=A5-BH=1,?.?將0ABCZ）沿過點8的直線折疊,點A的對應(yīng)點為A',：.A'B=AB,ZA=ZA',NABM=NMBH,??,A'B丄CZ）于點Z/,A8//CC,二A'3丄A3,...NM8〃=45。,...△MBQ是等腰直角三角形,...M0=BQ,,.?四邊形A8C￡）是平行四邊形，.-.ZA=ZC,ZA'=ZC,■:NA'HN=NCHB,：./XA'NH^^CBH,：.^—=——l即ー=——,解得:NH=2,AHNH1NHVABLCD，MQ±A'B,J.NH//MQ,：.AA'NH^^A'MQ,AHNH?? 1 2 10x5x10.1x1x2=22.?—7—=——）即^~~ラス=7777，x5x10.1x1x2=22.S岡=Sa/tmb-Saa,nh=—A'B-MQ--A'H-NH=—【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.14.(2021?浙江南河?ー模)定義:如果ー個四邊形的一條對角線長度是另一條對角線長度的2倍，則稱這①如圖1,若AC丄8D,AO=3,求△BCル的面積;個四邊形為倍半四邊形.(1)己知在倍半四邊形個四邊形為倍半四邊形.(1)己知在倍半四邊形48co中，對角線AC與3。交于點。,8O>AC,8ハ=6,②如圖2,若ノ￡>OC=NABC,且與aCB。的面積之比是1:2,求A8的長度:（2）如圖3,已知在aA8C中,AC=4a,過點B作射線BP交AC于點。,使得厶。3=45。，點。為射線BP上ー動點,連結(jié)Aル和C。，點￡ド分別為A。和BC的中點，連結(jié)E尸，當(dāng)四邊形ん88為倍半四邊形時，求と尸的值（用含”的代數(shù)式表示）.【答案】⑴?y:②6（2）（5-2忘）経或（20-8五）/.【分析】（1）①根據(jù)倍半四邊形定義,求出AC,進(jìn)而求出OC,利用三角形面積公式求解即可:②根據(jù)面積比求出て5=5,得出AO=L再證...aABOsdcb,列出比例式即可求;（2）取AB中點G,連結(jié)EG,FG,分別交。4、08于例、N.得到/EGF=NAOB=45。，作EH丄GF于點H,解直角三角形求E尸的值即可.【詳解】（1）①?.?倍半四邊形A8C￡>,8￡>>AC,:.AC=^BD=3,'.AO=-, OC=—,?；ACへBD,：.SRrn=-BDOC=-x6x—^—.6 6 即2 2 6 2②如圖I,作AM,cn分別丄b。于點M,N.■:NAOB=/COD,エムAMOs4CNO,「?—=——.^CBD——BDCN2?/ZAOB=ZDOC=ZABC.ZBAO=ZCABt.^ABO^^ACB,???AB>0,AB=“.B(2)取AB中點G,連結(jié)EG,FG,分別交04、OB?M、N.：.EGII_-BD,FGIi-AC,.,.四邊形GMON是平行四邊形,NEGF=NA0B=45°.—2 —2情況一:當(dāng)BO=(AC=2a時,如圖2,EG=a,FG=2a,作EH丄GF于點H,..GH=EH=^EG=J^a,：FH=FG-GH=2ギト,EF2=EH2+FH2=丄巒+(2ー立a2=(5-2^)d2；情況二:當(dāng)比>=2AC=8a時,如圖3,EG=4a,FG=2a,作"Z丄GE丁點H,易得等腰Rt.FHG, GH=FH=立?FG=竝a,2EH=EG-GH=(4-&)a, EF2=￡//2+FH2=2a2+(4->/2)2a2=(20-85/2)a2.【點睛】本題考查四邊形的綜合中新定義問題,包括相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線構(gòu)建相似三角形和直角三角形,通過比例式或解直角三角形求解計算.(2021?山東日照?中考真題)問題背景:如圖1,在矩形A8CZ)中,AB=2/，厶%)=30。，點E是邊AB的中點,過點E作所丄交Bハ于點ド.實驗探究：(1)在一次數(shù)學(xué)活動中,小王同學(xué)將圖1中的aBE尸繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。,如圖2所示,得到結(jié)論:①痣=;②直線AE與。ド所夾銳角的度數(shù)為.Dr(2)小王同學(xué)繼續(xù)將aBE廠繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請問探究(1)中的結(jié)論是否仍然成立?并說明理由.拓展延伸:在以上探究中,當(dāng)へBEF旋轉(zhuǎn)至D、E、ド三點共線時,則“IDE的面積為 【答案】（1）3,30。;（2）成立,理由見解析;拓展延伸:a或1班一.【分析】（1）通過證明ん曲）sA￡NA，?JW—=—=—，"DF=NBAE,即可求解：（2）通過證明AABEsaobf,可得空=些=且，ZBDF=NBAE,即可求解:DFBF2拓展延伸:分兩種情況討論,先求出AE,3G的長,即可求解,【詳解】解：（1）如圖I,マム的ニコ〇。,NDAB=90。,EF丄BA，：.cos厶BD=些=吧=走BFDB2如圖2,設(shè)AB與りド交于點。,AE與DF交于點H,ABEド繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,NDBF=厶BE=90。, ^FBD^^EBA,.??空=絲=正,ZBDF=ZBAE,又?;NDOB=ZAOF,:.ZDBA=厶HD=30P,DFBF2...直線AE與。尸所夾銳角的度數(shù)為30°,故答案為：也，30°；2（2）結(jié)論仍然成立,理由如下:如圖3,設(shè)AE與8。交于點。,AE與。ド交于點H,將ABEF繞點、B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),ZABE=ZDBF,又?.?史=絲=3,.LESAD8尸，.??空="=立,ZBDF=ZBAE,BFDB2 DFBF2vAB=2^3,ZABD=30°,點E是邊AB的中點，ZZX4B=90°,:.BE=6AD=2,DB=4,?;ZEBF=3(r,EF1.BE,：.EF=\,Q。、E、尸三點共線,.?ZD￡B=ZfiEF=90°,DE=4h?-BE^=歷與=瓜?.ZDE4=30°,:.DG=-DE=^-,由⑵可得:些=些=亜,.?.筈=當(dāng),：.AE二回避,??.AADE的面積,xAExDG」"如+ラ巫J3/+a;如圖5,當(dāng)點E在A8的下方時,過點。作DG丄AE,交E4的延長線于G,同理可求:AADに的面積二丄xAExDG、丄X?二巫ニセ叵二回:故答案為:曳丑畫或M［畫.【點睛】本題是幾何變換綜合題,考查了矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識,利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.（2021?浙江衢州市?中考真題）（推理）如圖1,在正方形A8CO中,點E是Cル上ー動點,將正方形沿著8E折疊,點C落在點ド處,連結(jié)8E,CF,延長Cド交A。于點G.（1）求證:ABCEWCDG.（運用）（2）如圖2,在（推理）條件下,延長Bア交AO于點，.若四=一,CE=9,求線段OE的長.HF5（拓展）（3）將正方形改成矩形,同樣沿著8七折疊,連結(jié)CE延長CKBド交直線A。于G,兩點,若一=た,BCHD4 DE——ニー,求一的值（用含ん的代數(shù)式表示）.HF5 EC【答案】（1）見解析;（2）OE=3ji6：（3）“ジ或’9ど+1【分析】（1）根據(jù)ASA證明△8CE48G：（2）由（1）得CE=￡>G=9,由折疊得4Cド=，進(jìn)ー步證明“尸=”G,由勾股定理得“ド2+ドE2=。〃2+￡陀2,代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可:（3）如圖,連結(jié)“E,分點”在ハ點左邊和點”在。點ん邊兩種情況,利用相似二:角形的判定與性質(zhì)得出DE的長,再由勾股定理得”ド2+FE2=DH2+DE:代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】(1)如圖,?.△BFE由aBCE折疊得到,BEエCF,NECF+NBEC=90°.又?.?四邊形A8C。是正方形,.?.N￡)=N3CE=90°,ZECF+ZCGD=90°,ZBEC=NCGD,又「正方形ABC。,..8C=C￡),,.?.△3CE也△CDG(AAS).(2)如圖,連接后”，(2)如圖,連接后”，由(1)得/XBCE密CDG，;.CE=DG=9,由折疊得8c=8ド,CE=FE=9,；.NBCF=NBFC.?.?四邊形A8CD是正方形,AD//BC,:.ZBCGZHGF,又?；NBFC=NHFG,:.ZHFG=ZHGF,:.HF=HG.?.?四=1,DG=9，；.HD=4,HF=HG=5.,:Z￡>=ZHFE=90°HF2+FE2=DH2+DE2-,-.52+92=42+DE2..-.DE=3710(OE=-3加會去).(3)如圖,連結(jié)HE,HD4 DE由已知 =ー可設(shè)￡>”=4/n,HG-5m,可令 =x,HF5 EC①當(dāng)點”在。點左邊時,如圖，同(2)可得，HF=HG，:.DG=9m,由折疊得BE丄CF,.?.NEC尸+NBEC=90°，又?.?/￡>=90°,:.ZECF+ZCGD=90°,；./BEC=NCGD,又?.?NBCE=ND=9O0..△CDGsAecE又?.?NBCE=ND=9O0..△CDGsAecEDGCD

CE~~BCCDABBCBC9m_kCE~1:.CE=—=FE,DE=k9mx?/ND=ZHFE=90°，,HF2+FE2=DH2+DE2'??.（5祈+］引:（癡）2+（誓］…璋!一=ーダ舍去）.,著痔~rn mx可得CE=：=FE,..DE=丁,,..hf2+FE2=DH2+DE2,k k；.（5加）?+（盛）=（46）？+（竿］,：.x=\l9k2+1（ス=ーノ9標(biāo)+1舍去）.嘿【點睛】此題主要考査了正方形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),在應(yīng)用全等三角形的判定時,要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形..（2021?江蘇宿遷市?中考真題）已知正方形ABCO與正方形AE尸G,正方形AE尸G繞點A旋轉(zhuǎn)一周.（D如圖①，連接BG、CF,求ゼ的值;（2）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接Cド、BE,分別去Cド、BGBE的中點M、N,連接MN、試探究:MN與BE的關(guān)系，并說明理由;（3）連接BE、BF,分別取8￡、BF的中點N、Q,連接QN,AE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接Aド、AC,證明△￠4ドs/rAG即可求解;（2）由“、N分別是CF、BE的中點,聯(lián)想到中位線,故想到連接BM并延長使BM=MH,連接FH、EH,則可證へBMC"A”M/即可得到“ド=BC=B4,再由四邊形班尸。內(nèi)角和為360°可得"4C=N〃F￡,則可證明上必んび后,即ABHE:是等腰白:角二角形,最后利用中位線的性質(zhì)即可求解:（3）0、N兩點因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變,所以。、N兩點的軌跡是圓,又。、N兩點分別是8ド、8E中點,所以想到取A8的中點〇,結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答.【詳解】解:（1）連接Aド、AC?.?四邊形ABC。和四邊形4EFG是正方形AB=BC,AG=FG,NBAD=ZGAE=/CBA=ZAGF=90°?/AF.AC分別平分ZE4G,ABADABAC=AGAF=45°ABAC+ACAG=AGAF+ACAG即ABAG=ACAF且AABC4GF都是等腰直角三角形.?.—=—=V2.-.ACAF^ABAG：.—=—=y[2ABAG BGAB(2)連接BM并延長使BM=MH,連接FH、EH；M是Cド的中點.?.CM=MF又ACMB=AFMHACMB^AFMH：.BC=HF,ABCM=AHFM在四邊形BEFC中ABCM+ACBE+ABEF+AEFC=360°又ACBA=AAEF=90°AABCM+AABE+AAEB+AEFC=360°-90°-90°=180°即AHFM+AEFC+AABE+AAEB=180°即AHFE+AABE+AAEB=180°?/ABAE+AABE+AAEB=180°AHFE=ABAE又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形BC=AB=FH,EA=EF.-.\BAF^\HFF.BE=HE.ABEA=AHEFAHEF+AHEA=AAEF=90°.-.ABEA+AHEA=90°=ABEH???三角形是等腰宜角三角形ジA/、N分別是身/、BE的中點.-.MN//HE,MN=-HE：.AMNB=AHEB=90°,MN=-BE：.MN丄BE,MN=-BE2 2 2（3）取ん3的中點。,連接。。、ON,連接Aド在A4Bビ中,0、。分別是AB、8F的中點AOQ=^AF同理可得ON=gAEAF=-J1AE=6竝:.OQ=3丘,ON=3所以QN掃過的面積是以。為圓心,3a和3為半徑的圓環(huán)的面積ユS=（3，5『萬一3ユだ=9萬.【點睛】本題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、三角形全等、正方形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)與應(yīng)用和動點問題，屬于幾何綜合題,難度較大.解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)圖形的性質(zhì)做出輔助線.18.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖,AB是〇。的直徑,C、。是。。上兩點,且BO=CC,過點O的直線ハE丄AC交AC的延長線于點E,交AB的延長線于點ド，連接Aハ、OE交于點、G.（1）求證:OE是。。的切線;（2）若段=],〇。的半徑為2,求陰影部分的面積:AG3（3）連結(jié)8E,在（2）的條件下,求8E的長.【分析】（1）根據(jù)同圓中等弧所對的圓周角相等得到/CAC=ND48,根據(jù)等邊對等角得到ノ〇48=2。ル,貝リz?！?gt;=ノ?！?gt;4,即可判定。ハ〃AE,進(jìn)而得到。。丄?！?據(jù)此即可得解:（2）連接8。,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3,AD=2け,解直角三角形得到/。AB=30。，則/EA尸=60。,ZDOB=60°,DF=2小,再根據(jù)S0建二S△。0F-S數(shù)ル。08即可得解;（3）過點E作丄AB于點M,連接BE,解直角三角形得到EM=更,則M8=ミ,再根據(jù)勾股定理求解即可.2 2 2

【詳解】解:【詳解】解:(1)證明:如圖,連接。。,?,BD=CD<ZCAD=ZDAB,:OA=OD,:.ZDAB=ZODA,:.ZCAD=ZODA,：.OD//AE,?.?りE丄AC,..ODLDE,?.?〇ハ是。。的半徑,.?.￡>?是。。的切線:⑵解:\-ODHAE,..SOGD^^EGA, —=—,AGAE??,段=4,。。的半徑為2,.??；=/,，4￡=3,如圖,連接80，AG3 3AEQA8是。。的直徑,DEA.AE,：.ZAED=ZADB=90°,TOC\o"1-5"\h\zAEAD 3ADNC4Z)=Z.DAB，j,^AED^SADB, = ,R|J - ，AD=2>/3,ADAB AD4在RlAADB中,cosZDAfi=—=^,/.ZDAB=30°,/.ZE4F=60°,ZZX7B=60°,/.ZF=30°,AB2/.DF= =—==2 1廠60乃x23 3Jq在RtAAEM中,AAf=3 3Jq在RtAAEM中,AAf=AEcos60°=3x-=-,EM=AEsin600=—,2 2)2+(1)2=而?【點睛】此題是圓的綜合題,考査了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并證明△。6。6ム￡6ん求出AE是解題的關(guān)鍵.*.*OD=2, tan30°0 ,??S陰影=5皿ドーS扇形陽=;x2x2卩———=2^j3--；Z 3oU 5(3)如圖,過點E作石M丄48于點M,連接踮,.?.A/B=.?.A/B=Ae-AjW=4-|=|, be=-Jem2+MB2=J(^19.（2021?湖北隨州市?中考真題）等面積法是ー種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個圖形的面積相等’’、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積’’、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等''等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題,在解題中,靈活運用等面積法解決相關(guān)問題,可以使解題思路清晰,解題過程簡便快捷.（1）在直角三角形中,兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為,其內(nèi)切圓的半徑長為;（2）①如圖1,P是邊長為。的正aABC內(nèi)任意一點,點。為aABC的中心，設(shè)點P到aABC各邊距離分別為九，h2tカコ,連接AP，BP，CP,由等面積法，易知丄。（4+ル+%）=5△.c=3Zoab，可得71,+色+質(zhì)=；（結(jié)果用含a的式子表示）②如圖2,P是邊長為。的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，設(shè)點P到五邊形ABCDE各邊距離分別為九，也,ム,ん,力5，參照①的探索過程,試用含a的式子表示％+4+%+%+ル的值?（參考數(shù)據(jù):tan36°v一,tan54°?—）8（圖3） （圖4）（3）①如圖3,已知。。的半徑為2,點A為〇。外一點，。/4=4,A8切。。于點8,弦BCHOA、連接AC,則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留ア）②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇A8C。所，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造.若要將花壇形狀改造成五邊形

ABCDG,其中點G在A尸的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點G的位置，并說明理由.【答案】（1）—>1；（2）①一—0:②—a；（3）①一兀;②見解析.5 2 16 3【分析】（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長,及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可:（2）①先求得邊長為。的正aABC的面積,再根據(jù);。（4+/i2+4）=Saabc=35△。.解題即可;②設(shè)點〇為正五邊形ABCDE的中心,連接OA,08,過〇作OQ丄ん8于。,先由正切定義,解得。。的長,山①中結(jié)論知，S五邊形abcoe=5Saoab，繼而得到ろ。（ム+4+%+九+色）=5x丁”tan54°,據(jù)此解題;（3）①由切線性質(zhì)解得性。48=30°,再由平行線性質(zhì)及等眼三角形性質(zhì)解得性。。!8=&尸,根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等髙或等底同高的兩個三角形面積相等的性質(zhì),可知圖中陰影部分的面積等于扇形08c的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題;②連接。ド,過點E作EG〃。ド交Aド的延長線于G點,根據(jù)S六道形aBCDEF=Sれ邊形ABCDF+^^DGF=^HiiUfiAffCDG,據(jù)此解題.【詳解】解:（1）直角三角形的面積為:丄x3x4=6,力.角二角形斜邊為:732+42=5-設(shè)宜角三角形斜邊上的高為〃,則ーx5?〃=6ユカ=—2 5設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為「,則5（3+4+5）=Qx3x4;.r=l,故答案為:y,1；（2）①邊長為。的正aABC底邊的高為立4,面積為:s^nAR=--a--a=—a22 2 2 4ヽ’;。仇+4+4）=S~（bc=3Sma8=哆び?,?4+為+%=半。，故答案為:與a：②類比①中方法可知ga（ル+ち+"+〃4+4）=S砌形ABCDE,設(shè)點。為正五邊形ABCDE的中心，連接OA,OB,由①得s五邊形題cde=5Sma8,過。作OQ丄A5于。,Z￡4B=1xl80°x(5-2)=108°,故ZOAQ=54。,OQ=AQxtan54。=gatan54°,故丄。(ム+a+ち+%+4)=5x；ax;〃tan54。,從而得到:5 55%+4+%+シ4+ん=—atan54°エ—a.2 16(3)①Q(mào)A8是00的切線,.\OBLAB:.ZOBA=90°??0B=2,04=4NOAB=30°/.ZAOB=60°?/BC//OA:.ZAOB=NOBC=60°QOC=OB:./OBC=NOCB=60°z./COB=60°過點。作OQ丄BC?/BC//OA?..OQ是△CO5gABC的高,?.SaA8c二Smc8,cc60x^r2 60x4乃2_佈族/い2?S陰影部分=5扇形。此= 360 = 360 =ラ萬"エ萬某為:ゴ'②如圖,連接。ド,過點E作EG〃。ド交A尸的延長線于G點,則點G即為所求,連接DG，?S六邊形abcZJEF=S五邊形abcCF+^^DEF>EG/IDF, S&DEF=$4DGF，：?S六邊形ABCDEF=S五邊形aBCDF+^ADGF~E.HllfiABCDG-【點睛】本題考查正多邊形和圓的知識,涉及含30。角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點,有難度,掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.（2021?江蘇泰州?中考真題）如圖，在。。中，AB為直徑，P為AB上一點，朋=1,PB=m（山為常數(shù)，且/n>0）.過點P的弦CDLAB,Q為BC上一動點（與點B不重合）,A"丄。ハ,垂足為H.連接AD,BQ.（1）若機=3.①求證:N。4。=60。;②求等的值;（2）用含，”的代數(shù)式表示《纟，請直接寫出結(jié)果;（3）DH DH存在一個大小確定的。。,對于點。的任意位置,都有8ぴー2￡>"2+pb2的值是定值，求此時/Q的度數(shù).備用圖【答案】（I）①見解析:②2：（2），麗:（3）存在半徑為1的圓,45°【分析】（1）①連接。れ,則易得CO垂直平分線段0A,從而。。=んハ,由ユ4=0。,即可得△04。是等邊三角形,從而可得結(jié)論:②連接AQ,由圓周角定理得:ZABQ=ZADH,從而其余弦值相等,因此可得警="，由①可得A8、A。的值,從而可得結(jié)論;（2）連接AQ、8。，首先與（1）中的②相同,有警=空，DHAD DHAD由AA/YJs/vU）B,可求得4。的長，從而求得結(jié)果:（3）由（2）的結(jié)論可得:BQ1=（\+m）DH1,從而8ぴー2。，2+2ア=（布ー］）ハガ+ガ當(dāng)ズ］時,即可得是一個定值,從而可求得ノ。的值.【詳解】（1）①如圖，連接。。，則ユ4=0。?/AB=PA+PB=1+3=404=；AB=2 OP^AP=!即點P是線段。A的中點,/CDLAB：.CD垂直平分線段。4，OD=AD：.OA^OD^AD即△0A。是等邊三角形ユN。4。=60。②連接AQ 是直徑.，.AQ丄8。根據(jù)圓周角定理得:NABQ=NADH,二cos厶8。=cos乙4。，,：AH1.DQ在Rt^ABQ和RIYADH中cosNABQ=些=cosNADH=—：.絲=—AB ADDHADVAD=OA=2,AB=4:.==—=2DHAD2（2）連接4Q、BD,與（1）中的②相同,fj = ??,AB是直徑?丄3。A^DAB+ZADP=ZDAB^-ZABD=90°：.ZADP=ZABD:?RめAPDsRmADB:?——=——ADAB BQAB[+m r——■:AB-PA+PB=1+/nAD=JPA?AB=?+m7777=-77;=ム ={l+/nDHADy/l+m(3)由(2)知,—=BQ=TiT^.DWapBQ2=(I+m)DH2DH:.BQ2-2DH2+PB2=(\+m)DH2-2DH2+m2=(m-i)DH2+