專題復(fù)習(xí)-證明線段相等角相等的基本方法

專題復(fù)習(xí)證明線段相等角相等的基本方法（一）一、 教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：使學(xué)生掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系如在一個(gè)三角形中或在兩個(gè)三角形中，利用等邊對(duì)等角、或三角形全等證明角相等線段相等的基本方法.過(guò)程與方法：使學(xué)生在根據(jù)角或邊的位置關(guān)系確定證明角相等或線段等的方法過(guò)程中，體驗(yàn)證明角相等線段相等的基本方法，在交流的過(guò)程中感受和豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：激活學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，使每個(gè)學(xué)生按照自己的習(xí)慣進(jìn)行提取、存儲(chǔ)信息，形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，獲得不同的發(fā)展.二、 教學(xué)重點(diǎn)：掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系確定證明角相等線段相等的基本方法.教學(xué)難點(diǎn)：分析圖形的形狀特征，識(shí)別角或線段的位置關(guān)系，確定證明方法.三、 教學(xué)用具：三角板、學(xué)案等四、 教學(xué)過(guò)程：（一） 引入：相等的線段和角是構(gòu)成特殊幾何圖形的主要元素，也是識(shí)別特殊圖形的主要依據(jù)；運(yùn)用三角形全等證明線段相等角相等，常出現(xiàn)在中考15題左右的位置，是市中考必考容；運(yùn)用全等三角形的知識(shí)尋求經(jīng)過(guò)圖形變換后得到的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)元素間的關(guān)系，常與特殊圖形結(jié)合，出現(xiàn)在綜合題中.（二） 例題：例1已知：如圖L^ABC中，AB=AC，BC為最大邊，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，BD=CE，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF=CD.求證：NDEF二NDFE.分析：要證在一個(gè)三角形中的兩角相等，考慮用等腰三角形的性質(zhì)（等邊對(duì)等角）來(lái)證；因要證的兩條相等的邊在兩個(gè)三角形中，故利用三角形全等來(lái)證線段相等.D證明：?「AB二AC.L/B二/C. ,

D在^BDF和^CED中，'BD=CE,</B=/C,BF=CD,?..△BDF蘭XCED.?.?.?DF=ED.點(diǎn)撥：抓住圖形的特征（兩角在一個(gè)圖形中）?../DEF=ZDFE 常用等邊對(duì)等角證明，這是證兩角相等的常用方法.例2巳知：如圖1,在^ABC中，NACB=90,CD±AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE=BC,過(guò)E點(diǎn)作AC的垂線，交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證AB=FC.分析：觀察AB與FC在圖形中的位置，發(fā)現(xiàn)這兩條線段分別位于兩個(gè)三角形中，考慮用三角形全等來(lái)證明.準(zhǔn)備三角形全等的條件時(shí)，已知一對(duì)角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，還需證另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；已知條件有直角，故利用同角的余角相等來(lái)證.證明：...FE±AC于點(diǎn)E,ZACB=90°，ZFEC=ZACB=90°，易證/A=ZF.二△ABCgAFCE..AB=FC．點(diǎn)撥：根據(jù)圖形特征，要證明相等的兩邊分別在兩個(gè)三角形中，常利用證明兩邊所在的兩個(gè)三角形全等來(lái)證.在證明兩角相等時(shí)，利用了同角的余角相等證明，也可用等角的余角相等來(lái)證，但較復(fù)雜.例3兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板如圖1-1所示放置，圖1-2是由它抽圖1-2圖1-1象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連結(jié)DC.求證：NABE二圖1-2圖1-1分析：圖1-2是由兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)圖形，分別從一個(gè)等腰三角形取一條腰，夾角為等角加同角，就可構(gòu)成邊角邊對(duì)應(yīng)相等的AABE與WCD全等，從而可證全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.證明：△ABC與△AED均為等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，ABAC=ZEAD=90.??易證ZBAE=ZCAD. °.?.△ABE#△ACD./.ZABE=ZACD.點(diǎn)撥：由有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形，當(dāng)分別從一個(gè)等腰三角形中取一腰時(shí)，可構(gòu)成邊角邊全等三角形；證夾角相等時(shí)常用等角加同角的和相等.此題可以拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、正方形等.例4點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作AABE和ABCF，連接AF,CE?取AF、CE的中點(diǎn)M、N,連接BM,BN,MN.如圖1,若AABE和AFBC是等腰直角三角形，且ZABE=ZFBC=900,則AMBN是三角形.如圖1-2,在AABE和ABCF中，若BA=BE,BC=BF，且ZABE=ZFBC=a,則AMBN是三角形，且ZMBN=.(3)如圖1-3,若將(2)中的AABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件不變，那么(2)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明.分析：(1)判斷三角形形狀時(shí)，三角形一般是特殊三角形，由已知易知BM=-AF=-EC=BN,又可證得ZMBN=90°,所以△MBN為等腰直角三角形.2 2(2)圖形中是兩個(gè)等腰三角形以公共頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)而成，則一個(gè)等腰三角形取一腰，構(gòu)成兩個(gè)邊角邊全等三角形.解：(1)等腰直角等腰a結(jié)論仍然成立證明：如圖1-3,易證△ABF^^EBC./.AF=CE,ZAFB=ZECB..「M,N分別是AF、CE的中點(diǎn)，「.FM=CN..?.△MFBWNCB.「.BM二BN.ZMBF=ZNBC./.ZMBN=ZMBF+ZFBN=ZFBN+ZNBC=ZFBC=a.點(diǎn)撥：在圖形形狀發(fā)生變化時(shí)，抓住影響結(jié)論的主要條件是否變化，如果沒(méi)有變，則結(jié)論不變；如主要條件變，則結(jié)論變.在證明此類問(wèn)題時(shí)，圖形變化后的證明思想或證明方法，常可由特殊(變化前)的證法類比得到.練習(xí)：如圖1，四邊形ABCD是矩形，APBC和^QCD都是等邊三角形，點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形.求證：(1)/PBA=/PCQ=30°；(2)PA=PQ.如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG.(1)求證：BE=DG；(2)圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖1,在左ABE中，AB=AE,AD=AC,/BAD=/EAC,BC、DE交于點(diǎn)O.求證：(1)AABC^AAED；(2)OB=OE.圖1如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一邊與射線DC相交于Q.當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜想圖1如圖1-1，在SBC中，ZACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(1)如果AB=AC，ZBAC=90，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖1-2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為 ，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為;②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1-3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(2)如果AB豐AC，ZBAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)ZACB滿足什么條件時(shí)，CF±BC(點(diǎn) F\C、F不重合)，并說(shuō)明理由. / \e

圖1-2圖1-1圖1-2（四）總結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在對(duì)例題、習(xí)題分析、證明、總結(jié)反思的過(guò)程中，體驗(yàn)根據(jù)線段和角的位置關(guān)系證明角等和線段相等的方法，即當(dāng)兩角或兩邊在一個(gè)三角形中時(shí)，利用等邊對(duì)等角或等角對(duì)等邊，當(dāng)兩角或兩邊在兩個(gè)三角形中時(shí)證明他們所在的兩個(gè)三角形全等；體驗(yàn)由有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形，當(dāng)分別從一個(gè)等腰三角形中取一腰時(shí)，可構(gòu)成邊角邊全等三角形.通過(guò)練習(xí)拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、正方形等，結(jié)論仍然成立.老師在用時(shí)可將例習(xí)題變?yōu)閷W(xué)案使用，也可根據(jù)自己的習(xí)慣和學(xué)生情況增減習(xí)題使用.教案設(shè)計(jì)程序簡(jiǎn)單，易于使用者直接使用或改變.歡迎提寶貴意見?。。ㄎ澹┓此迹罕竟?jié)課例習(xí)題編排按照由易到難、有簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生通過(guò)課上的體驗(yàn)、總結(jié)、交流再通過(guò)練習(xí)進(jìn)行鞏固，希望達(dá)到教學(xué)目標(biāo).附練習(xí)參考答案：證明：（1）?/四邊形ABCD是矩形，ZABC=ZBCD=90°.△PB。和^QCD是等邊三角形，ZPBC=ZPCB=ZQCD=60°，ZPBA=ZABC-ZPBC=30°，ZPCD=ZBCD-ZPCB=30°. 圖1ZPCQ=ZQCD-ZPCD=30°.ZPBA=ZPCQ=30°

(2)?「AB=DC=QC,ZPBA=ZPCQ,PB二PC,△PABWPQC,PA=PQ.(1)證明：如圖I,：正方形ABCD和正方形ECGF:.BC=CD,CE=CG,/BCE=ZDCG=90°.在4BCE和4DCG中，|BC=CD</BCE=/DCGCE=CG:.△BCE#4DCG(SAS).BE=DG.(2)存在.4BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到4DCG(或?qū)?DCG逆時(shí)A針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE)A證明:(1)如圖1,VZBAD=ZEAC,/.ZBAC=ZEAD.在^ABC和AAED中|AB=AE</BAC=/EADAC=AD/.△ABC^^AED(SAS).(2)由(1)知ZABC=ZAED.?「AB=AE,/.ZABE=ZAEB./.ZOBE=ZOEB..OB二OE.解：PQ=PB證明：過(guò)？點(diǎn)作MN〃BC分別交AB、DC于點(diǎn)M、N在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，.AM二PM.又「AB二MN,.?.MB=PN.,；ZBPQ=900,/.ZBPM+ZNPQ=9Go.又-/ZMBP+ZBPM=90o,/.ZMBP=ZNPQ./.RtAMBP^RtANPQ,..PB二PQ.(1)①垂直，相等；②如圖1-2,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF得AD=AF,NDAF=90°.\*ZBAC=90°,.ZDAF=ZBAC, /.ZDAB=ZFAC,又AB=AC,.ADAB^AFAC,.?.CF=BD, ZACF=ZABD.VZBAC=90°,AB=AC