山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建

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宗福建1《電動(dòng)力學(xué)》第29講第六章狹義相對(duì)論

(5)§6.4電動(dòng)力學(xué)的相對(duì)論不變性教師姓名：宗福建單位：山東大學(xué)物理學(xué)院2015年12月22日山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建2上一講復(fù)習(xí)洛倫茲變換山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建3上一講復(fù)習(xí)速度變換公式山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建4上一講復(fù)習(xí)速度變換公式反變換式為山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建5洛倫茲變換的四維形式沿x軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建6洛倫茲變換的四維形式逆變換矩陣為山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建7洛倫茲變換的四維形式沿Y軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建8洛倫茲變換的四維形式沿Y軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建9洛倫茲變換的四維形式沿Z軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建10洛倫茲變換的四維形式沿Z軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建11四維標(biāo)量例如間隔

為洛倫茲標(biāo)量。固有時(shí)也是洛倫茲標(biāo)量。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建12四維速度矢量因物體的位移dxμ為四維矢量，dτ

為標(biāo)量，所以

是一個(gè)四維矢量。這個(gè)四維矢量稱為四維速度矢量。而通常意義下的速度是

（下角指標(biāo)用拉丁字母表示由1-3。）ui不是四維矢量的分量。因?yàn)楫?dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，dxi按四維矢量的分量變換，但dt亦發(fā)生改變，因此ui就不按矢量方式變換。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建13四維速度矢量因?yàn)樗运木S速度的分量是Uμ的前三個(gè)分量和普通速度聯(lián)系著，當(dāng)υ<<c時(shí)即為u，因此Uμ稱為四維速度。參考系變換時(shí)，四維速度有變換關(guān)系山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建14四維速度矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建15四維速度矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建16四維速度矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建17四維波矢量電磁波的相位因子在另一參考系觀察的相位因子相位是一個(gè)不變量。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建18四維波矢量我們知道x與ict合為四維矢量xμ，因此，若k與iω/c合為另一個(gè)四維矢量kμ，它們按四維矢量方式變換，有我們得到一個(gè)四維波矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建19四維波矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建20四維波矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建21四維波矢量設(shè)波矢量k與x軸方向的夾角為θ，k’與x軸方向的夾角為θ’，有這就是相對(duì)論的多普勒效應(yīng)和光行差公式。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建22本講主要內(nèi)容四維電流密度矢量四維勢(shì)矢量電磁場(chǎng)張量任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的勢(shì)任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建23電動(dòng)力學(xué)的相對(duì)論不變性根據(jù)相對(duì)性原理，電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律對(duì)任意慣性參考系可以表為相同的形式。麥克斯韋方程總結(jié)了宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律，由它導(dǎo)出電磁波在真空中以速度c傳播等一系列推論。實(shí)驗(yàn)證明這些推論是對(duì)任意慣性系成立的。由此我們認(rèn)為，麥克斯韋方程組適用于任意慣性參考系，從一慣性系變換到另一慣性系時(shí)，麥克斯韋方程組的形式應(yīng)該不變。麥克斯韋方程組含有電荷密度ρ，電流密度J

，電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感強(qiáng)度B。下面我們先研究ρ

和J

的變換性質(zhì)，然后由麥克斯韋方程組協(xié)變的要求導(dǎo)出電磁場(chǎng)變換關(guān)系。

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宗福建24四維電流密度矢量實(shí)驗(yàn)表明，帶電粒子的電荷與它的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，即電荷Q是一個(gè)洛倫茲標(biāo)量，

當(dāng)粒子靜止時(shí)，設(shè)電荷密度為ρ0，體元為dV0。若粒子以速度u運(yùn)動(dòng)，則體元有洛倫茲收縮

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宗福建25四維電流密度矢量為了保持總電荷Q的不變性，電荷密度相應(yīng)地增大當(dāng)粒子以速度u運(yùn)動(dòng)時(shí)，其電流密度為

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宗福建26四維電流密度矢量如果引入四維電流密度矢量(Uμ是四維速度矢量）,則，四維電流密度的第四分量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建27四維電流密度矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建28四維電流密度矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建29四維電流密度矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建30四維電流密度矢量電流密度J和電荷密度ρ合為四維矢量顯示出這兩物理量的統(tǒng)一性。當(dāng)粒子靜止時(shí)，只有電荷密度ρ0；當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，表現(xiàn)出有電流J，同時(shí)電荷密度亦相應(yīng)的改變。因此，ρ和J是一個(gè)統(tǒng)一的物理量的不同方面，當(dāng)參考系變換時(shí)，它們有確定的關(guān)系。由于相對(duì)論中時(shí)空的統(tǒng)一，使得非相對(duì)論中的不同物理量顯示出它們的統(tǒng)一性。電流密度和電荷密度同一為四維矢量就是其中一個(gè)例子。

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宗福建31四維電流密度矢量電荷守恒定律

用四維形式表示為這方程顯然有協(xié)變性。因?yàn)樽筮吺且粋€(gè)洛倫茲標(biāo)量，在慣性系變換下其值不變，因而上式對(duì)任意慣性參考系成立。

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宗福建32四維勢(shì)矢量先討論勢(shì)方程的協(xié)變性，用勢(shì)表出的電動(dòng)力學(xué)基本方程組在洛倫茲規(guī)范下為

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宗福建33四維勢(shì)矢量引入微分算符，洛倫茲標(biāo)量算符則在上式中，電流密度J激發(fā)矢勢(shì)A，電荷密度ρ激發(fā)標(biāo)勢(shì)φ。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建34四維勢(shì)矢量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建35四維勢(shì)矢量既然J和ρ構(gòu)成一個(gè)四維矢量，在參考系變換下它們按一定方式變換，則A和φ自然也應(yīng)該統(tǒng)一為一個(gè)四維矢量，在參考系變換下互相變換。若A和φ合為一個(gè)四維矢量

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宗福建36四維勢(shì)矢量四維形式的達(dá)郎貝爾方程可以表示為，洛倫茲條件可以用四維形式表示為這方程兩邊都是四維量，因而有明顯的協(xié)變性。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建37四維勢(shì)矢量在參考系變換下，四維勢(shì)按矢量變換：若Σ'相對(duì)于Σ沿x方向以速度v運(yùn)動(dòng)，得勢(shì)的變換關(guān)系

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宗福建38四維勢(shì)矢量在參考系變換下，四維勢(shì)按矢量變換：若Σ'相對(duì)于Σ沿x方向以速度v運(yùn)動(dòng)，得勢(shì)的變換關(guān)系

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宗福建39電磁場(chǎng)張量電磁場(chǎng)E和B用勢(shì)表出為

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宗福建40電磁場(chǎng)張量其分量為

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宗福建41電磁場(chǎng)張量引入一個(gè)反對(duì)稱四維張量電磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)四維張量

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宗福建42電磁場(chǎng)張量引入一個(gè)反對(duì)稱四維張量電磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)四維張量

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宗福建43電磁場(chǎng)張量用電磁場(chǎng)張量可以把麥克斯韋方程組寫為明顯的協(xié)變形式。這方程組中的一對(duì)方程

可以合寫為

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宗福建44電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建45電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建46電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建47電磁場(chǎng)張量另一對(duì)方程可以合寫為

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宗福建48電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建49電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建50電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建51電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建52電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建53電磁場(chǎng)張量由張量變換關(guān)系

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宗福建54電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建55電磁場(chǎng)張量山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建56電磁場(chǎng)張量導(dǎo)出電磁場(chǎng)的變換關(guān)系

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宗福建57電磁場(chǎng)張量導(dǎo)出電磁場(chǎng)的變換關(guān)系

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宗福建58電磁場(chǎng)張量導(dǎo)出電磁場(chǎng)的變換關(guān)系

可寫為更緊致的形式

式中∥和⊥分別表示與相對(duì)速度υ平行和垂直的分量。

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宗福建59電磁場(chǎng)張量導(dǎo)出電磁場(chǎng)的變換關(guān)系

當(dāng)υ<<c時(shí)，過渡到非相對(duì)論電磁場(chǎng)變換式

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宗福建60電磁場(chǎng)張量矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)統(tǒng)一為四維矢量以及電場(chǎng)和磁場(chǎng)統(tǒng)一為四維張量，反映出電磁場(chǎng)的統(tǒng)一性和相對(duì)性。電場(chǎng)和磁場(chǎng)是一種物質(zhì)的兩個(gè)方面。在給定參考系中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)表現(xiàn)出不同性質(zhì)，但是當(dāng)參考系變換時(shí)，它們可以相互轉(zhuǎn)化。例如在某參考系上觀察一個(gè)靜止電荷，它只激發(fā)靜電場(chǎng)，只須用標(biāo)矢φ描述。但是變換到另一參考系時(shí)，電荷是運(yùn)動(dòng)的，除了電場(chǎng)之外還有磁場(chǎng)，必須同時(shí)用A和φ描述山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建61電磁場(chǎng)張量關(guān)于電磁現(xiàn)象的參考系問題，至此完全獲得解決。電動(dòng)力學(xué)基本方程式對(duì)任意慣性參考系成立。在坐標(biāo)變換下，勢(shì)按四維矢量變換，電磁場(chǎng)按四維張量變換。

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宗福建62任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)例求以勻速υ運(yùn)動(dòng)的帶電荷e的粒子的電磁場(chǎng)。解

選參考系Σ'固定在粒子上。在Σ'上觀察時(shí)，粒子靜止，因而只有靜電場(chǎng)，其電磁場(chǎng)強(qiáng)度為

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宗福建63設(shè)在參考系Σ上觀察，粒子以速度υ沿x軸方向運(yùn)動(dòng)。由變換式的反變換得

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宗福建64任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)我們還必須把上式用Σ系的距離表出。設(shè)粒子經(jīng)過Σ系原點(diǎn)的時(shí)刻為t=0。我們?cè)谕粫r(shí)刻觀察各點(diǎn)上的場(chǎng)值。由洛倫茲變換式得（注意所有距離都是對(duì)Σ系同時(shí)確定的）

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宗福建65任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)代入得（t=t'=0時(shí)刻）

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宗福建66任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)簡(jiǎn)單討論一下所得結(jié)果。當(dāng)υ<<c時(shí)，略去(υ/c)1/2級(jí)項(xiàng)，得

式中E0為靜止粒子的靜電場(chǎng)。

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宗福建67任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)當(dāng)υ~c時(shí)，在與υ⊥的方向上，在與υ∥的方向上，

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宗福建68任意運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)電場(chǎng)分布如右圖所示。注意當(dāng)υ→c時(shí)電場(chǎng)趨向于集中在與υ垂直的平面上，且B≈ex/c×