2022年中考數(shù)學(xué)試題題分項匯編：專題15 解直角三角形

專題15解直角三角形一．選擇題1．（2022·天津）的值等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：正切=對邊與鄰邊之比，進行求解．【詳解】作一個直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如圖：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根據(jù)正切定義，，∵∠A=45°，∴，故選B．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，熟練理解三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．2．（2022·四川樂山）如圖，在中，，，點D是AC上一點，連接BD．若，，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點D作于點E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．【詳解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過點D作于點E，如圖，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江杭州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】要使△ABC的面積S=BC?h的最大，則h要最大，當(dāng)高經(jīng)過圓心時最大．【詳解】解：當(dāng)△ABC的高AD經(jīng)過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大，如圖所示，∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，sinθ=，cosθ=，∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，∴S△ABC=AD?BC=?2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故選：D．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用與三角形面積的求法．4．（2022·云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)垂徑定理求出，再根據(jù)余弦的定義進行解答即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，AB?CD．∴，OC==13，∴．故選：B．【點睛】此題考查的是垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022·陜西）如圖，是的高，若，，則邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解直角求出AD，再在直角中應(yīng)用勾股定理即可求出AB．【詳解】解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故選D．【點睛】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)軸對稱圖形得性質(zhì)即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數(shù)正切值即可求得答案．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：∵它是一個軸對稱圖形，∴m，，即，房頂A離地面的高度為，故選B．【點睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握利用正切值及一條直角邊求另一條直角邊是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江麗水）如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點，平分交于點F，交于點G，若，則的長是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的長；【詳解】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點，∴BE=2，又∵，∴BH=1，即H是BE的中點，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分線，AD∥FG，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵PF∥AD，AP∥DF，∴PF=AD=4，設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，∵PF∥BC，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP===，解得x=；故選B．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·四川廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【詳解】解：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有，，，∴，∴是直角三角形，且，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適輔助線是解題關(guān)鍵．9．（2022·湖北隨州）如圖，已知點B，D，C在同一直線的水平，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，，則建筑物AB的高度為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)AB=x，利用正切值表示出BC和BD的長，CD=BC-BD，從而列出等式，解得x即可．【詳解】設(shè)AB=x，由題意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，∵CD=BC-BD，∴，∴，即AB=，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題10．（2022·山東泰安）如圖，某一時刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角，已知窗戶的高度，窗臺的高度，窗外水平遮陽篷的寬，則的長度為______（結(jié)果精確到）．【答案】4.4m##4.4米【分析】根據(jù)題意可得AD∥CP，從而得到∠ADB=30°，利用銳角三角函數(shù)可得，從而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AD∥CP，∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，∵，∴，∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，∴，即的長度為4.4m．故答案為：4.4m.【點睛】本題主要考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點A，B，C及的一邊上的點E，F(xiàn)均在格點上．（Ⅰ）線段的長等于___________；（Ⅱ）若點M，N分別在射線上，滿足且．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M，N，并簡要說明點M，N的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【答案】

見解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)勾股定理，從圖中找出EF所在直角三角形的直角邊的長進行計算；（Ⅱ）由圖可找到點Q，，即四邊形EFBQ是正方形，因為，所以，點M在EQ上，BM、BN與圓的交點為直徑端點，所以EQ與PD交點為M，通過BM與圓的交點G和圓心O連線與圓相交于H，所以H在BN上，則延長BH與PF相交點即為N．【詳解】解：（Ⅰ）從圖中可知：點E、F水平方向距離為3，豎直方向距離為1，所以，故答案為：；（Ⅱ）連接，與豎網(wǎng)格線相交于點O，O即為圓心；取格點Q（E點向右1格，向上3格），連接與射線相交于點M；連接與相交于點G；連接并延長，與相交于點H；連接并延長，與射線相交于點N，則點M，N即為所求，理由如下：連接由勾股定理算出，由題意得，四邊形為正方形，在和中，，，，，，，，，從而確定了點的位置．【點睛】本題考查作圖，銳角三角函數(shù)、圓周角定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角的定理．12．（2022·江蘇揚州）在中，，分別為的對邊，若，則的值為__________．【答案】【詳解】解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在中，，，．13．（2022·湖南衡陽）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡陽雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽．某課外實踐小組為測量大雁雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數(shù)據(jù)：如圖，，，．已知測角儀的高度為，則大雁雕塑的高度約為_________．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】10.2【分析】先根據(jù)三角形外角求得，再根據(jù)三角形的等角對等邊得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．【詳解】解：∵且，∴，∴，即．∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解題方法是解答的關(guān)鍵．14．（2022·浙江嘉興）如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為_________．【答案】【分析】先求解再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：由題意可得：同理：故答案為：【點睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長”是解本題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江紹興）如圖，，點在射線上的動點，連接，作，，動點在延長線上，，連接，，當(dāng)，時，的長是______．【答案】5或【分析】過點C作CN⊥BE于N，過點D作DM⊥CN延長線于M，連接EM，設(shè)BN=x，則CN=3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由點C、M、D、E四點共圓可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，進而可得BE；【詳解】解：如圖，過點C作CN⊥BE于N，過點D作DM⊥CN延長線于M，連接EM，設(shè)BN=x，則CN=BN?tan∠CBN=3x，∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，則∠CAN=∠DCM，在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∴△ACN≌△CDM（AAS），∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∵∠CMD=∠CED=90°，∴點C、M、D、E四點共圓，∴∠CME=∠CDE=45°，∵∠ENM=90°，∴△NME是等腰直角三角形，∴NE=NM=CM-CN=10-2x，Rt△ANC中，AC=，Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，∴，，，x=5或x=，∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，∴BE=5或BE=；故答案為：5或；【點睛】本題考查了三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程等知識；此題綜合性較強，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．16．（2022·山東泰安）如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點處前行到達斜坡的底部點C處，然后沿斜坡前行到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點A，B，C，D，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測得古塔的高度是___________．【答案】【分析】過D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，設(shè)DF=xm，CF=xm，求出x=10，則BH=DF=+30，CF=m，DH=BF，再求出AH=，即可求解．【詳解】解：過D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH=BF，BH=DF，∵斜坡的斜面坡度i=1：，∴，設(shè)DF=xm，CF=xm，∴CD=，∴x=10，∴BH=DF=10m，CF=m，∴DH=BF=+30（m），∵∠ADH=30°，∴AH=（m），∴AB=AH+BH=（m），故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡角坡度問題，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2022·江蘇連云港）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則_________．【答案】【分析】如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長，從而利用勾股定理求出AC的長，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，由題意得，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2022·四川涼山）如圖，CD是平面鏡，光線從A點出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到B點，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為_______．【答案】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長，然后根據(jù)正切的定義即可得．【詳解】解：如圖，由題意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，解得，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，則，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識點，正確找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．19．（2022·四川涼山）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在格點上，則cos∠ACB的值是________．【答案】【分析】取AB中點D，由圖可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂徑定理得OD⊥AB，則OB=，cos∠DOB=，再證∠ACB=∠DOB，即可解．【詳解】解：取AB中點D，如圖，由圖可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴OB=，cos∠DOB=，∵OA=OB，∴∠BOD=∠AOB，∵∠ACB=∠AOB，∴∠ACB=∠DOB，∴cos∠ACB=cos∠DOB=，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，取AB中點D，得Rt△ODB是解題的關(guān)鍵．20．（2022·山東濱州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則sinA=______.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進而利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，∴sinA=．故答案為：．【點睛】在直角三角形中求正弦函數(shù)值是本題的考點，根據(jù)勾股定理求出AB的長是解題的關(guān)鍵．21．（2022·湖北黃岡）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物點處測得乙建筑物點的俯角為，點的俯角為，為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度為，則甲建筑物的高度為________．（，，，結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】【分析】過點作于點，則，，，在中，，設(shè)，則，，，在中，，解得，進而可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作于點，設(shè)，根據(jù)題意可得：，，∴，∴四邊形是矩形，∵從甲建筑物點處測得乙建筑物點的俯角為，點的俯角為，為兩座建筑物的水平距離，乙建筑物的高度為，∴，，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，即，∴解得，經(jīng)檢驗是原分式方程的解且符合題意，∴．故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，涉及到銳角三角函數(shù)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，分式方程等知識．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．22．（2022·四川廣元）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合，DE＝12cm．當(dāng)點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發(fā)沿射線AF方向滑動．當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為_____cm．【答案】【分析】由題意易得cm，則當(dāng)點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，然后可得，進而可知點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，最后問題可求解．【詳解】解：由題意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，∴cm，如圖，當(dāng)點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，∵∠DAM=90°，∴四邊形NAMC′是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴平分∠NAM，即點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，∴當(dāng)時，此時四邊形是正方形，CC′的值最大，最大值為，∴當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為；故答案為．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022·湖北宜昌）如圖，島在A島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，則的大小是_____．【答案】【分析】過作交于，根據(jù)方位角的定義，結(jié)合平行線性質(zhì)即可求解．【詳解】解：島在A島的北偏東方向，，島在島的北偏西方向，，過作交于，如圖所示：，，，故答案為：．【點睛】本題考查方位角的概念與平行線的性質(zhì)求角度，理解方位角的定義，并熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題24．（2022·江蘇宿遷）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓的頂部觀測信號塔底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓的高度為20m，求信號塔的高度（計算結(jié)果保冒根號）．【答案】（20＋20）m．【分析】過點A作AE⊥CD于點E，則四邊形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的長，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的長，即可得到CD的長，得到信號塔的高度．【詳解】解：過點A作AE⊥CD于點E，由題意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝，∴m，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴m，∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，∴信號塔的高度為（20＋20）m．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，借助仰角俯角構(gòu)造直角三角形與矩形是解題的關(guān)鍵．25．（2022·天津）如圖，某座山的項部有一座通訊塔，且點A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為，測得塔底B的仰角為．已知通訊塔的高度為，求這座山的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．【答案】這座山的高度約為【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，．在中，，∴．在中，，∴．∵，∴．∴．答：這座山的高度約為．【點睛】本題考查三角函數(shù)測高，解題的關(guān)鍵在運用三角函數(shù)的定義表示出未知邊，列出方程．26．（2022·浙江湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．【答案】AC=4，sinA=【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【詳解】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，∴．．【點睛】本題考查的是勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵．27．（2022·新疆）周米，王老師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】這棟樓的高度為：米【分析】如圖，過A作AE⊥BC于E，在Rt△AEB和Rt△AEC中，根據(jù)正切的概念分別求出BE、EC，計算即可．【詳解】解：過A作于E，∴由依題意得：，和中，∵，∴，∴∴這棟樓的高度為：米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟練運用銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．28．（2022·湖南邵陽）如圖，一艘輪船從點處以的速度向正東方向航行，在處測得燈塔在北偏東方向上，繼續(xù)航行到達處，這時測得燈塔在北偏東方向上，已知在燈塔的四周內(nèi)有暗礁，問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由．（提示：，）【答案】這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的，理由見解析【分析】如圖，過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)方向角的定義及余角的性質(zhì)求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可．【詳解】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D．如圖所示：根據(jù)題意可知∠BAC=90°?60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，tan∠DBC=，即=1∴CD=BD設(shè)BD=CD=xkm，在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，∴tan∠DAC=，即解得x=15+15≈40.98，∵40.98km>40km∴這艘船繼續(xù)向東航行安全．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)定義．29．（2022·湖南懷化）某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀念園．如圖，紀念園中心點A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上，C村在B村的正東方向且兩村相距2.4千米．有關(guān)部門計劃在B、C兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿過紀念園？試通過計算加以說明．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）【答案】不穿過，理由見解析【分析】先作AD⊥BC，再根據(jù)題意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，設(shè)CD=x，可表示AD和BD，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值列出方程，求出AD，與800米比較得出答案即可．【詳解】不穿過，理由如下：過點A作AD⊥BC，交BC于點D，根據(jù)題意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°.設(shè)CD=x，則BD=2.4-x，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，∴∠CAD=45°，∴AD=CD=x．在Rt△ABD中，，即，解得x=0.88，可知AD=0.88千米=880米，因為880米＞800米，所以公路不穿過紀念園．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．30．（2022·四川成都）2022年6月6日是第27個全國“愛眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實踐探究活動．如圖，當(dāng)張角時，頂部邊緣處離桌面的高度的長為，此時用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時（點是的對應(yīng)點），用眼舒適度較為理想．求此時頂部邊緣處離桌面的高度的長．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】約為【分析】在Rt△ACO中，根據(jù)正弦函數(shù)可求OA=20cm，在Rt△中，根據(jù)正弦函數(shù)求得的值．【詳解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=，在Rt△中，，cm，∴cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．31．（2022·四川瀘州）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10nmile．該漁船自西向東航行一段時間后到達點B，此時測得小島C位于西北方向且與點B相距8nmile．求B，D間的距離（計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．【答案】B，D間的距離為14nmile．【分析】如圖，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出B，D間的距離．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．在Rt△ABC中，AC=BC=8，∴AB=BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10nmile，∠EAD=60°，∴DE=AD?sin60°=10×=(nmile)，AE=AD=5(nmile)，∴BE=AB-AE=11(nmile)，∴BD=14(nmile)，答：B，D間的距離為14nmile．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．32．（2022·浙江臺州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2，梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．【分析】根據(jù)豎直的墻與梯子形成直角三角形，利用銳角三角函數(shù)即可求出AC的長．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，∴BC=AB?sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)．33．（2022·湖南湘潭）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片．某中學(xué)八年級數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進行了設(shè)計傘的實踐活動．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計理念，設(shè)計了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中）：傘柄始終平分，，當(dāng)時，傘完全打開，此時．請問最少需要準備多長的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】72cm【分析】過點作于點，解，分別求得，進而求得，根據(jù)黃金比求得，求得的長，即可求解．【詳解】如圖，過點作于點，，始終平分，，解得答：最少需要準備長的傘柄【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．34．（2022·湖南常德）第24屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽，激起了國人對冰雪運動的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個滑雪大跳臺（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區(qū)四部分組成．圖是其示意圖，已知：助滑坡道米，弧形跳臺的跨度米，頂端到的距離為40米，，，，．求此大跳臺最高點距地面的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）【答案】70【分析】過點作，交于點，則四邊形是矩形，可得，在中，求得，根據(jù)，，求得，進而求得，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過點作，交于點，則四邊形是矩形，，，，在中，米，，，，，解得，頂端到的距離為40米，即米米．米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．35．（2022·湖北宜昌）知識小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角一般要滿足．如圖，現(xiàn)有一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上．(1)當(dāng)人安全使用這架梯子時，求梯子頂端與地面距離的最大值；(2)當(dāng)梯子底端距離墻面時，計算等于多少度？并判斷此時人是否能安全使用這架梯子？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）【答案】(1)梯子頂端與地面的距離的最大值3.8米(2)，人能安全使用這架梯子【分析】（1）AB的長度固定，當(dāng)∠ABO越大，OA的高度越大，當(dāng)時，取最大值，此時，根據(jù)∠ABO的正弦三角函數(shù)計算出OA長度即可；（2）根據(jù)AB=4，OB=1.64，利用∠ABO的余弦函數(shù)值，即可求出∠ABO的大小，從而得到答案．(1)∵當(dāng)時，取最大值，在中，，∴，所以梯子頂端與地面的距離的最大值3.8米．(2)在中，，，，∴，∵，∴人能安全使用這架梯子．【點睛】本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中考常見考題，利用圖形中的直角三角形，建立三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．36．（2022·湖南株洲）如圖1所示，某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段至山谷點處，再從點處沿線段至山坡②的山頂點處．如圖2所示，將直線視為水平面，山坡①的坡角，其高度為0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．(1)求的度數(shù)；(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程．【答案】(1)105°(2)【分析】（1）根據(jù)山坡②的坡度，可求，即可求解；（2）由余弦值和正弦值分別求出BC、AC即可求解；(1)解：∵山坡②的坡度，∴，∴，∵，∴，(2)∵，，∴，∴千米，∵，，∴，∴，∴該登山運動愛好者走過的路程．．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．37．（2022·甘肅武威）灞陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水繞長安，繞灞陵，為玉石欄桿灞陵橋”之語，得名灞陵橋（圖1），該橋為全國獨一無二的純木質(zhì)疊梁拱橋．某綜合實踐研究小組開展了測量汛期某天“灞陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實踐活動，過程如下：方案設(shè)計：如圖2，點C為橋拱梁頂部（最高點），在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAF和∠CBF的度數(shù)（A，B，D，F(xiàn)在同一條直線上），河邊D處測得地面AD到水面EG的距離DE（C，F(xiàn)，G在同一條直線上，DF∥EG，CG⊥AF，F(xiàn)G=DE）．?dāng)?shù)據(jù)收集：實地測量地面上A，B兩點的距離為8.8m，地面到水面的距離DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．問題解決：求灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．【答案】16.9m【分析】設(shè)BF=xm，根據(jù)題意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長，再在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答．【詳解】解：設(shè)BF=xm，由題意得：DE=FG=1.5m，在Rt△CBF中，∠CBF=35°，∴CF=BF?tan35°≈0.7x（m），∵AB=8.8m，∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，∴tan26.6°=≈0.5，∴x=22，經(jīng)檢驗：x=22是原方程的根，∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），∴灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG約為16.9m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．38．（2022·江西）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點G到的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高為7.5m，詳見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；（2）過點G作GP⊥AB于P，計算AG的長，利用∠A的正弦可得結(jié)論．(1)證明：∵，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；(2)如圖，過點G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，在Rt△APG中，sinA=，∴=0.96，∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.5m.【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題．39．（2022·浙江寧波）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點B轉(zhuǎn)動，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m．(1)若∠ABD=53°，求此時云梯AB的長．(2)如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸到險情處？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【答案】(1)15m(2)在該消防車不移動位置的前提下，云梯能夠伸到險情處；理由見解析【分析】（1）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，即可解答；（2）根據(jù)題意可得DE=BC=2m，從而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，進行比較即可解答．(1)解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，∴AB==15（m），∴此時云梯AB的長為15m；(2)解：在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處，理由：由題意得：DE=BC=2m，∵AE=19m，∴AD=AE-DE=19-2=17（m），在Rt△ABD中，BD=9m，∴AB=（m），∵m＜20m，∴在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．40．（2022·四川自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心處，另一端系小重物．測量時，使支桿、量角器90°刻度線與鉛垂線相互重合（如圖①），繞點轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標與直徑兩端點共線（如圖②），此目標的仰角．請說明兩個角相等的理由．(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學(xué)們在觀測點處測得頂端的仰角，觀測點與樹的距離為5米，點到地面的距離為1.5米；求樹高．（，結(jié)果精確到0.1米）(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端距離地面高度（如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測點（在同一直線上），分別測得點的仰角，再測得間的距離，點到地面的距離均為1.5米；求（用表示）．【答案】(1)證明見解析(2)10.2米(3)米【分析】（1）根據(jù)圖形和同角或等角的余角相等可以證明出結(jié)果；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意，可以計算出PH的長，注意最后的結(jié)果；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題目中的數(shù)據(jù)，可以用含、m的式子表示出PH．(1)證明：∵∴∴(2)由題意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，在Rt△POQ中tan∠POQ=∴∴（米）故答案為：10.2米．(3)由題意得：，由圖得：，∴∴∴∴米故答案為：米【點睛】本題考查解直角三角形中的仰角、俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．41．（2022·浙江紹興）圭表（如圖是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”，當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設(shè)計的圭表平面示意圖，表垂直圭，已知該市冬至正午太陽高度角（即為，夏至正午太陽高度角（即為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為4米．(1)求∠BAD的度數(shù)．(2)求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）【答案】(1)47°(2)3.3米【分析】（1）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和解答即可；（2）分別求出和的正切值，用表示出和，得到一個只含有的關(guān)系式，再解答即可．(1)解：，，，答：的度數(shù)是．(2)解：在Rt△ABC中，，∴．同理，在Rt△ADC中，有．∵，∴．∴，∴（米）．答：表AC的長是3.3米．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握建模思想來解決．42．（2022·浙江金華）圖1是光伏發(fā)電場景，其示意圖如圖2，為吸熱塔，在地平線上的點B，處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達吸熱器點F處．已知，在點A觀測點F的仰角為．（1）點F的高度為______m．（2）設(shè)，則與的數(shù)量關(guān)系是_______．【答案】

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【分析】（1）過點A作AG⊥EF，垂足為G，證明四邊形ABEG是矩形，解直角三角形AFG，確定FG，EG的長度即可．（2）根據(jù)光的反射原理畫出光路圖，清楚光線是平行線，運用解直角三角形思想，平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）過點A作AG⊥EF，垂足為G．∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，∴四邊形ABEG是矩形，∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，∵∠AFG=45°，∴FG=AG=EB=8m，∴EF=FG+EG=9(m)．故答案為：9；（2）．理由如下：∵∠E=∠EG=∠EG=90°，∴四邊形EG是矩形，∴EG==1m，G=E=，∴tan∠FG=，∴∠FG=60°，∠FG=30°，根據(jù)光的反射原理，不妨設(shè)∠FAN=2m，∠FM=2n，∵光線是平行的，∴AN∥M，∴∠GAN=∠GM，∴45°+2m=30°+2n，解得n-m=7.5°，根據(jù)光路圖，得，∴，故，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，光的反射原理，熟練掌握解直角三角形，靈活運用光的反射原理是解題的關(guān)鍵．43．（2022·重慶）如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點在點的正東方向，米．點在點的正北方向．點，在點的正北方向，米．點在點的北偏東，點在點的北偏東．(1)求步道的長度（精確到個位）；(2)點處有直飲水，小紅從出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點到達點，也可以經(jīng)過點到達點．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)283米(2)經(jīng)過點到達點較近【分析】（1）過作的垂線，垂足為，可得四邊形ACHE是矩形，從而得到米，再證得△DEH為等腰直角三角形，即可求解；（2）分別求出兩種路徑的總路程，即可求解．(1)解：過作的垂線，垂足為，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四邊形ACHE是矩形，∴米，根據(jù)題意得：∠D=45°，∴△DEH為等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴（米）；(2)解：根據(jù)題意得：∠ABC=∠BAE=30°，在中，∴米，∴經(jīng)過點到達點，總路程為AB+BD=500米，∴（米），∴（米），∴經(jīng)過點到達點，總路程為，∴經(jīng)過點到達點較近．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，明確題意，準確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．44．（2022·江蘇連云港）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標桿，小亮的所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．(1)在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．經(jīng)檢驗是方程的解答：阿育王塔的高度約為．(2)由題意知，∴，即，∴．經(jīng)檢驗是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．45．（2022·浙江嘉興）小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1，紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱圖形，其示意圖如圖2．已知，，，，．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）(1)連結(jié)，求線段的長．(2)求點A，B之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點C作于點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再利用銳角三角函數(shù)，即可求解；（2）連結(jié)．設(shè)紙飛機機尾的橫截面的對稱軸為直線l，可得對稱軸l經(jīng)過點C．從而得到四邊形DGCE是矩形，進而得到DE=CG，然后過點D作于點G，過點E作EH⊥AB于點H，可得，從而得到，再利用銳角三角函數(shù)，即可求解．(1)解：如圖2，過點C作于點F，∵，∴，平分．∴，∴，∴．(2)解：如圖3，連結(jié)．設(shè)紙飛機機尾的橫截面的對稱軸為直線l，∵紙飛機機尾的橫截面示意圖是一個軸對稱