Lyapunov理論基礎(chǔ)課件

第二章Lyapunov理論基礎(chǔ)

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要問(wèn)題。穩(wěn)定性的定性描述：如果一個(gè)系統(tǒng)在靠近其期望工作點(diǎn)的某處開始運(yùn)動(dòng)，且該系統(tǒng)以后將永遠(yuǎn)保持在此點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)，那么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。

例如：?jiǎn)螖[，飛行器李雅普諾夫的著作《動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》，并于1892年首次發(fā)表。1.線性化方法：從非線性系統(tǒng)的線性逼近的穩(wěn)定性質(zhì)得出非線性系統(tǒng)在一個(gè)平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定性的結(jié)論。2.直接法：不限于局部運(yùn)動(dòng)，它通過(guò)為系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)“類能量”標(biāo)量函數(shù)并檢查該標(biāo)量函數(shù)的時(shí)變性來(lái)確定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì)。

第二章Lyapunov理論基礎(chǔ)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要1§2.1穩(wěn)定性概念幾個(gè)簡(jiǎn)化記法：令表示狀態(tài)空間中由定義的球形區(qū)域，表示由定義的球面本身。1、穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性

定義：如果對(duì)于任何，存在，使得對(duì)于所有的，如果，就有，則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則，就稱平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

或者：對(duì)于線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定等于發(fā)散；對(duì)于非線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定不等于發(fā)散。

§2.1穩(wěn)定性概念幾個(gè)簡(jiǎn)化記法：令表示狀態(tài)空間中由2圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性對(duì)于范德堡方程轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程描述很容易證明該系統(tǒng)在原點(diǎn)處有一個(gè)平衡點(diǎn)。并且是不穩(wěn)定的。圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換成3從任何一個(gè)非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個(gè)極限環(huán)。這意味著如果選擇穩(wěn)定性定義中的為足夠小，使得半徑為的圓完全落入極限環(huán)的封閉曲線內(nèi)，那么在靠近原點(diǎn)處開始的系統(tǒng)軌線最終將越出這個(gè)圓,因此原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。從任何一個(gè)非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個(gè)極限環(huán)。42、漸近穩(wěn)定性與指數(shù)穩(wěn)定性

在許多工程應(yīng)用中，僅有穩(wěn)定性是不夠的。定義：如果某個(gè)平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的，而且存在某一，使得，當(dāng)時(shí)，，那么稱平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

平衡點(diǎn)的吸引范圍是指：凡是起始于某些點(diǎn)的軌線最終都收斂于原點(diǎn)，這些點(diǎn)組成的最大集合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域。注意：收斂并不意味著穩(wěn)定。（見圖）2、漸近穩(wěn)定性與指數(shù)穩(wěn)定性在許多工程應(yīng)用中，僅有穩(wěn)定性是不5定義：如果存在兩個(gè)嚴(yán)格正數(shù)和，使得圍繞原點(diǎn)的某個(gè)球內(nèi)，那么稱平衡點(diǎn)0是指數(shù)穩(wěn)定的。也就是說(shuō)，一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量以快于指數(shù)函數(shù)的速度收斂于原點(diǎn)，通常稱正數(shù)為指數(shù)收斂速度。指數(shù)收斂性的定義在任何時(shí)候都為狀態(tài)提供明顯的邊界。

把正常數(shù)寫成后，不難看到，經(jīng)過(guò)時(shí)間后，狀態(tài)向量的幅值減小到原值的，與線性系統(tǒng)中的時(shí)間常數(shù)相似。定義：如果存在兩個(gè)嚴(yán)格正數(shù)和，使得圍繞原點(diǎn)的某6例1：系統(tǒng)它的解是：以速度指數(shù)收斂于。例2：系統(tǒng)它的解為，是個(gè)慢于任何指數(shù)函數(shù)的函數(shù)。

3、局部與全部穩(wěn)定性

定義：如果漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定對(duì)于任何初始狀態(tài)都能保持，那么就說(shuō)平衡點(diǎn)是大范圍漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的，也稱為全局漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的。例1：系統(tǒng)7§2.2線性化和局部穩(wěn)定性

李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性有關(guān)。Lyapunou線性化方法說(shuō)明：在實(shí)際中使用線性控制方法基本上是合理的。對(duì)于自治非線性系統(tǒng)，如果是連續(xù)可微的,那么系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以寫成()：用表示在處關(guān)于的雅可比矩陣：原非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處的線性化結(jié)果為：

§2.2線性化和局部穩(wěn)定性李雅普諾夫線性化方法與非線性系8對(duì)于一個(gè)具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：有：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，同樣可以得出上述結(jié)論。例2.2考慮系統(tǒng)在處線性化。線性化結(jié)果：對(duì)于一個(gè)具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：線性化結(jié)果：9定理：（李雅普諾夫線性化方法）1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴(yán)格穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都嚴(yán)格在左半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）；2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即如果的所有特征值至少有一個(gè)嚴(yán)格在右半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）；3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都在左半復(fù)平面內(nèi)，但至少有一個(gè)在軸上），那么不能從線性近似中得出任何結(jié)論（其平衡點(diǎn)對(duì)于非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，漸近穩(wěn)定的，或者是不穩(wěn)定的）。定理：（李雅普諾夫線性化方法）10例：對(duì)于一階系統(tǒng)

原點(diǎn)是這個(gè)系統(tǒng)的兩平衡點(diǎn)之一。這個(gè)系統(tǒng)在原點(diǎn)附近的線性化是：應(yīng)用李雅普諾夫線性化方法，得出該非線性系統(tǒng)的下述穩(wěn)定性性質(zhì)：（1）

漸近穩(wěn)定；（2）不穩(wěn)定；（3）不能從線性化說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)定性性質(zhì)。在第三種情況下，非線性系統(tǒng)為這時(shí)線性化方法不能用來(lái)判斷它的穩(wěn)定性。

例：對(duì)于一階系統(tǒng)11例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。式中為單擺長(zhǎng)度，為單擺質(zhì)量，為鉸鏈的摩擦系數(shù)，是重力常數(shù)。(系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是什么？)

在的鄰域內(nèi)設(shè)，那么系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化結(jié)果是因此，該線性近似是不穩(wěn)定的；近而該非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。12

李雅普諾夫線性化定理說(shuō)明

線性控制設(shè)計(jì)存在一致性問(wèn)題，人們必須設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)保持在它的“線性范圍”里。它也說(shuō)明了線性設(shè)計(jì)的主要局限性：線性范圍到底有多大？穩(wěn)定范圍是什么？

李雅普諾夫線性化定理說(shuō)明13§2.3李雅普諾夫直接法

李雅普諾夫直接法的基本原理是對(duì)于下述基本物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)上的擴(kuò)展：如果一個(gè)機(jī)械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)消耗的，那么該系統(tǒng)無(wú)論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定至某個(gè)平衡點(diǎn)。非線性質(zhì)量—阻尼器—彈簧系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)方程是

整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的能量是它的動(dòng)能和勢(shì)能之和§2.3李雅普諾夫直接法李雅普諾夫直接法的基本原理是14建立了能量與穩(wěn)定性的關(guān)系。穩(wěn)定性與機(jī)械能的變化有關(guān)李雅普諾夫直接法建立在把上述概念推廣到更復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。一、正定函數(shù)和李雅普諾夫函數(shù)

定義：一個(gè)標(biāo)量連續(xù)函數(shù)，如果，而且在一個(gè)球內(nèi)那么稱函數(shù)為局部正定的。建立了能量與穩(wěn)定性的關(guān)系。穩(wěn)定性與機(jī)械能的變化有關(guān)15

局部正定函數(shù)的幾何意義：對(duì)于具有兩個(gè)狀態(tài)變量和的正定函數(shù)，在三維空間中畫出，它典型地對(duì)應(yīng)于一只看起來(lái)象向上的杯子的曲面，杯子的最低點(diǎn)位于原點(diǎn)。同樣可以定義：負(fù)定、半正定、半負(fù)定等一些概念。局部正定函數(shù)的幾何意義：對(duì)于具有兩個(gè)狀態(tài)變量和16定義：如果一個(gè)球域內(nèi)，函數(shù)為正定的且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且如果它沿著系統(tǒng)的任何軌跡線的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的，即那么稱為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。定義：如果一個(gè)球域內(nèi)，函數(shù)為正定的17

幾何解釋：表示值的點(diǎn)總是指向杯底，或指向越來(lái)越小的值等高線。二、平衡點(diǎn)定理李雅普諾夫直接法的幾個(gè)定理建立起李雅普諾夫函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的精確關(guān)系。1、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理定理（局部穩(wěn)定性）：如果在球域內(nèi)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，使得：（1）為正定（局部地）；（2）為半負(fù)定（局部地）。那么平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的。如果實(shí)際上導(dǎo)數(shù)在域內(nèi)局部負(fù)定，那么穩(wěn)定性是漸近的。幾何解釋：表示值的點(diǎn)總是指向杯底，或指向越來(lái)越18例：局部穩(wěn)定性具有粘滯阻尼的單擺由下列方程描述判斷系統(tǒng)在原點(diǎn)的局部穩(wěn)定性?？疾煜铝袠?biāo)量函數(shù)：它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以得出原點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)的結(jié)論。不能得到關(guān)于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的結(jié)論，因?yàn)閮H僅半負(fù)定。例：局部穩(wěn)定性19例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點(diǎn)為平衡點(diǎn)處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù)它沿任何系統(tǒng)軌線的導(dǎo)數(shù)是這樣，在二維球域里（即在由定義的區(qū)域里）就是局部負(fù)定的。因此，根據(jù)上面的定理，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

例：研究非線性系統(tǒng)202、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理為了斷定一個(gè)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，必須將擴(kuò)展為整個(gè)狀態(tài)空間；還有必須是徑向無(wú)界的，即（換句話說(shuō)，當(dāng)從任何方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)），。定理（全局穩(wěn)定性）：假設(shè)存在狀態(tài)的某個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，使得：（1）是正定的，（2）為負(fù)定的，（3）當(dāng)時(shí)，。那么平衡點(diǎn)0是全局漸近穩(wěn)定的。2、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理21徑向無(wú)界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值曲面）對(duì)應(yīng)于封閉曲線。如果該曲線不是封閉的，即使?fàn)顟B(tài)保持穿過(guò)對(duì)應(yīng)于越來(lái)越小的的等值曲線（面），狀態(tài)軌線仍可能從平衡點(diǎn)漂移。例如，對(duì)于正定函數(shù)當(dāng)時(shí)，曲線是開曲線。下圖說(shuō)明狀態(tài)向“能量”越來(lái)越低的曲線移動(dòng)時(shí)的發(fā)散現(xiàn)象。徑向無(wú)界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值22例：一階非線性系統(tǒng)式中，是任何一個(gè)與它的標(biāo)量自變量有相同符號(hào)的連續(xù)函數(shù)，即選李雅普諾夫函數(shù)為當(dāng)時(shí)，趨向于無(wú)窮，它函數(shù)是徑向無(wú)界。它的導(dǎo)數(shù)是是一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。對(duì)于例：一階非線性系統(tǒng)對(duì)于23例：考慮系統(tǒng)狀態(tài)空間的原點(diǎn)是這個(gè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，設(shè)是正定函數(shù)沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是它是負(fù)定的。因此，原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。例：考慮系統(tǒng)它是負(fù)定的。因此，原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。243、注釋

對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)可以存在許多李雅普諾夫函數(shù)。例如，如果是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，那么下面的也是李雅普諾夫函數(shù)：此處是任意嚴(yán)格正常數(shù)，是任何大于1的標(biāo)量。與的正定，負(fù)定和徑向無(wú)界的特性是一致的。注意：對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特別選擇的李雅普諾夫函數(shù)可能比其它的李雅普諾夫函數(shù)產(chǎn)生更精確的結(jié)果。對(duì)具有粘滯阻尼的單擺，選李雅普諾夫函數(shù)3、注釋25它的導(dǎo)數(shù)為是局部負(fù)定的。雖然修正過(guò)的沒有明顯的物理意義，但它卻能夠證明單擺的漸近穩(wěn)定性。注意：李雅普諾夫分析中的定理都是充分性定理。作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個(gè)平衡點(diǎn)，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)定性是否為漸近的以及是否為全局的。

它的導(dǎo)數(shù)為作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個(gè)平衡點(diǎn)，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)26三、不變集定理

定理的中心概念是不變集的概念。

定義：如果每條起始于集合中某點(diǎn)的系統(tǒng)軌線在任何未來(lái)時(shí)間里都保持在該集合內(nèi)，那么該集合稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)不變集。1、局部不變集定理不變集定理反映了一種直覺概念，即李雅普諾夫函數(shù)必須逐漸減小至0（即必須收斂于0），因?yàn)槭怯邢陆绲摹６ɡ恚ň植坎蛔兗ɡ恚簩?duì)自治系統(tǒng)，是連續(xù)的，而且令為具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，假設(shè)：（1）對(duì)于某個(gè)，由定義的區(qū)域是有界的；（2）對(duì)所有中的，。

三、不變集定理27

令為中的所有的點(diǎn)的集合，而為中最大的不變集；那么，當(dāng)時(shí)起始于內(nèi)的每一個(gè)解趨向于。

例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點(diǎn)為平衡點(diǎn)處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù)

沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是令為中的所有的點(diǎn)的集合，而28對(duì)于，由定義的區(qū)域是有界的。集合只是原點(diǎn)0，它是一個(gè)不變集（因?yàn)樗且粋€(gè)平衡點(diǎn)）。局部不變集定理的所有條件都滿足，因而任何起始于這個(gè)圓內(nèi)的軌線都收斂于原點(diǎn)。這樣，根據(jù)不變集定理就明顯地確定了該系統(tǒng)的吸引范圍。對(duì)于，由29例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)

由定義的集合是不變的，因?yàn)樵谠摷现袨?。在不變集的運(yùn)動(dòng)由下面方程之一等價(jià)地描述因此，可以看到不變集實(shí)際上代表一個(gè)極限環(huán)。例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)30判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個(gè)侯選李雅普諾夫函數(shù)它表示到極限環(huán)的距離的量度?？捎貌蛔兗ɡ砼袛嗍諗啃浴＿@樣是嚴(yán)格負(fù)的。除了在情況下，集合就是由它們的并集組成。假如取，原點(diǎn)不屬于，現(xiàn)在的集合正是極限環(huán)。用不變集定理證明了極限環(huán)的漸進(jìn)穩(wěn)定性；同時(shí)意味著原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個(gè)侯選李雅普諾夫函數(shù)這樣31推論：對(duì)是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，假設(shè)在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，有：（1）是局部正定的；（2）是半負(fù)定的；（3）由定義的集合不包含除平凡軌跡之外的系統(tǒng)軌線。那么，平衡點(diǎn)0是漸近穩(wěn)定的。而且，在內(nèi)形式為（由定義）的最大連通域是這個(gè)平衡點(diǎn)的一個(gè)吸引范圍。推論：對(duì)是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個(gè)32

內(nèi)的最大不變集就只包含平衡點(diǎn)0。注意下列各點(diǎn)：a、上述推論用為半負(fù)定的條件，以及關(guān)于內(nèi)軌線的第三個(gè)條件代替了李雅普諾夫局部漸近穩(wěn)定性定理的負(fù)定條件。b、在內(nèi)的最大連通域是平衡點(diǎn)的一個(gè)吸引范圍，但不一定是整個(gè)吸引范圍，因?yàn)楹瘮?shù)不是唯一的。c、集合本身不一定是一個(gè)吸引范圍。實(shí)際上，上面的推論不保證是不變的，某些起始于內(nèi)但在之外的軌線，實(shí)際上可能終止于之外。

2、全局不變集定理把所涉及的區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)空間并要求標(biāo)量具有徑向無(wú)界性，可對(duì)上述定理進(jìn)行推廣。（略）

內(nèi)的最大不變集就只包含平衡點(diǎn)0。注意下列各點(diǎn)：33例：對(duì)具有下面形式的一個(gè)二階系統(tǒng)：其中，和是滿足下面符號(hào)條件的連續(xù)函數(shù)：對(duì)于對(duì)于分析其在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數(shù)為：可以把它看成系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之和。

例：對(duì)具有下面形式的一個(gè)二階系統(tǒng)：34根據(jù)假設(shè)，僅當(dāng)時(shí)。意味著只要，它就不等于0。系統(tǒng)不能在之外的任何平衡值上停住。中的最大不變集只包含一個(gè)點(diǎn)，即。應(yīng)用局部不變集定理表明原點(diǎn)是一個(gè)局部漸近穩(wěn)定點(diǎn)。如果積分當(dāng)時(shí)徑向無(wú)界，是徑向無(wú)界的。原點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。根據(jù)假設(shè)，僅當(dāng)時(shí)35§2.4基于Lyapunov函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析

如何尋找一個(gè)Lyapunov函數(shù)？不存在尋找Lyapunov函數(shù)的具體方法，這是Lyapunov穩(wěn)定性理論的根本缺點(diǎn)。對(duì)于具體問(wèn)題人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、直覺和對(duì)系統(tǒng)的具體理解去尋找一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)可以用系統(tǒng)的方法找到的；對(duì)于一個(gè)給定的非線性系統(tǒng)有很多數(shù)學(xué)方法可以幫助尋找Lyapunov函數(shù)。最強(qiáng)有力、最巧妙的方法是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的理解來(lái)尋找Lyapunov函數(shù)?！?.4基于Lyapunov函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析如36一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析

Lyapunov函數(shù)象“能量”一樣是可以疊加的。1、對(duì)稱、斜對(duì)稱和正定矩陣

方陣的對(duì)稱性：方陣的斜對(duì)稱性：任何一個(gè)方陣表示為一個(gè)對(duì)稱陣和斜對(duì)稱陣的和：與斜對(duì)稱陣相聯(lián)系的二次函數(shù)總是0，根據(jù)定義有：

一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析Lyapunov函數(shù)37

在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經(jīng)常使用形式的二次函數(shù)作為侯選李雅普諾夫函數(shù)，總是可以假定是對(duì)稱的。正定矩陣定義：一個(gè)方陣，如果那么該方陣是正定的。每個(gè)正定矩陣都與一個(gè)正定函數(shù)相聯(lián)系。一個(gè)方陣為正定的必要條件是：它的對(duì)角元素是嚴(yán)格正的。一個(gè)對(duì)稱的方陣是正定的充分必要條件是：它的所有特征值都是嚴(yán)格正的。一個(gè)正定矩陣總是可逆的。一個(gè)正定矩陣總可以被分解為在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經(jīng)常使用形式的二次函38證明：（1）（2）（3）

同樣可以定義矩陣半正定，負(fù)定和半負(fù)定的概念。對(duì)于一個(gè)時(shí)變矩陣，如果則稱是一致正定的。

證明：392、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

給定一個(gè)線性系統(tǒng)為，考察侯選Lyapunov函數(shù)：其中，為一給定的對(duì)稱正定陣。沿系統(tǒng)軌跡微分得式中，，該式稱為L(zhǎng)yapunov方程。有效的解法是：

（1）選擇一個(gè)正定矩陣；

（2）從Lyapunov方程求解矩陣；

（3）檢查是否正定。2、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)40定理：線性定常系統(tǒng)嚴(yán)格穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任何對(duì)稱正定矩陣，李雅普諾夫方程式的唯一解矩陣是對(duì)稱正定的（證明略）。的一個(gè)簡(jiǎn)單選擇是單位矩陣。例：分析一個(gè)二階系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)嚴(yán)格穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于41二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法

克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有形式的自治非線性系統(tǒng)的侯選Lyapunov函數(shù)的一種簡(jiǎn)單形式，即，這種方法的基本思想很簡(jiǎn)單，就是檢查這個(gè)具體選擇的函數(shù)是否確實(shí)能成為一個(gè)Lyapunov函數(shù)。

定理：對(duì)自治系統(tǒng)，對(duì)平衡點(diǎn)原點(diǎn)，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣，即二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法定理：對(duì)自治系42

如果矩陣在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域上是負(fù)定的，那么原點(diǎn)是一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)是如果為整個(gè)狀態(tài)空間，而且當(dāng)時(shí)，，那么該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

例：非線性系統(tǒng)

判斷原點(diǎn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

有：矩陣是負(fù)定的。如果矩陣在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域上是負(fù)定43上述定理的應(yīng)用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負(fù)定的條件。定理（廣義Krasovskii定理）：對(duì)自治系統(tǒng)，對(duì)平衡點(diǎn)原點(diǎn)，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣。那么原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在兩個(gè)對(duì)稱正定矩陣和，使得，矩陣在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是半負(fù)定的。且函數(shù)就是這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)。如果為整個(gè)狀態(tài)空間，而且當(dāng)時(shí)有，那么該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

上述定理的應(yīng)用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負(fù)定的44三、變量梯度法

變量梯度法是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一種形式化方法。它假定未知Lyapunov函數(shù)的梯度具有某種形式，然后通過(guò)積分這個(gè)假定的梯度來(lái)求得Lyapunov函數(shù)本身。對(duì)于低階系統(tǒng)，這種方法有時(shí)會(huì)成功地找到Lyapunov函數(shù)。

有一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，可以通過(guò)積分關(guān)系使的它與其梯度聯(lián)系起來(lái)：其中。為了從梯度找到唯一的標(biāo)量函數(shù)，該梯度函數(shù)必須滿足所謂旋轉(zhuǎn)條件：三、變量梯度法變量梯度法是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一45其中第個(gè)分量就是方向?qū)?shù)。變量梯度法原理就是假定梯度具有某種特定形式，而不是假定Lyapunov函數(shù)本身。其中一種簡(jiǎn)單的假定就是梯度函數(shù)具有某種形式：

式中為待定系數(shù)。這樣，尋找Lyapunov函數(shù)的過(guò)程如下：

（1）假定是由上式給出的形式（或另外的形式）；（2）求解系數(shù)，以滿足旋轉(zhuǎn)方程；（3）限制上式中的系數(shù)，使的是半負(fù)定的（至少是局部半負(fù)定的）

其中第個(gè)分量就是方向?qū)?shù)。46（4）通過(guò)積分，由計(jì)算；

（5）檢查是否正定。

因?yàn)闈M足旋轉(zhuǎn)條件意味著上述積分結(jié)果與積分路徑無(wú)關(guān)，那么依次沿著平行于每一條軸的路徑進(jìn)行積分，來(lái)求通常是方便的，即例：用變量梯度法為下列非線性系統(tǒng)求一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。

（4）通過(guò)積分，由計(jì)算；47假定待定的李雅普諾夫函數(shù)的梯度具有下面這種形式旋轉(zhuǎn)方程是：如果選取系數(shù)：則：那么，可算出為：

假定待定的李雅普諾夫函數(shù)的梯度具有下面這種形式48這樣，在區(qū)域上是局部負(fù)定的，而函數(shù)則為它確實(shí)是正定的，因此，系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性得到了保證。注意：上式并不是通過(guò)變量梯度法能夠獲得的唯一的Lyapunov函數(shù)。例如取：得到正定函數(shù)：它的導(dǎo)數(shù)是：容易證明，是一個(gè)局部負(fù)定的函數(shù)，因此，這表示系統(tǒng)的另一個(gè)Lyapunov函數(shù)。這樣，在區(qū)域上是局部負(fù)定的，而函數(shù)則49四、根據(jù)物理意義誘導(dǎo)產(chǎn)生李雅普諾夫函數(shù)

數(shù)學(xué)方法，對(duì)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)有效，對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)方程往往作用甚微。如果系統(tǒng)的工程含義和物理性質(zhì)被適當(dāng)?shù)陌l(fā)掘，那么一種精巧的和強(qiáng)有力的李雅普諾夫分析方法可能適用于非常復(fù)雜的系統(tǒng)。五、性能分析

李雅普諾夫函數(shù)能夠進(jìn)一步估計(jì)穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。1、一個(gè)簡(jiǎn)單的收斂性引理

引理：如果一個(gè)實(shí)函數(shù)滿足不等式

式中為一實(shí)數(shù)，那么

四、根據(jù)物理意義誘導(dǎo)產(chǎn)生李雅普諾夫函數(shù)數(shù)學(xué)方法，對(duì)簡(jiǎn)單50上述引理說(shuō)明，如果是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，滿足就能保證指數(shù)收斂到零。應(yīng)用李雅普諾夫直接法進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，可以把處理成

的形式，可以推導(dǎo)出的指數(shù)收斂性和收斂速度。進(jìn)而狀態(tài)的指數(shù)收斂速率也可以確定。上述引理說(shuō)明，如果是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，滿足512、估計(jì)線性系統(tǒng)的收斂速度線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：由矩陣?yán)碚摫砻鳎河校阂虼擞校?、估計(jì)線性系統(tǒng)的收斂速度52根據(jù)引理有：這說(shuō)明，狀態(tài)至少以的速度收斂于原點(diǎn)。

3、估計(jì)非線性系統(tǒng)的收斂速度

對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算以獲得的一個(gè)明顯估計(jì)。例：對(duì)非線性系統(tǒng)

根據(jù)引理有：53候選的Lyapunov函數(shù)：求這個(gè)方程的解，有：其中：，如果，有這意味著狀態(tài)向量的范數(shù)已1的速率按指數(shù)收斂于零。反之結(jié)果會(huì)如何？有限時(shí)間趨于無(wú)限。候選的Lyapunov函數(shù)：54§2.5基于李雅普諾夫直接法的控制設(shè)計(jì)

第一種方法：假設(shè)控制律的一種形式，然后找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來(lái)判斷所選定的控制律能否導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定。第二種方法：假設(shè)一個(gè)候選的李雅普諾夫函數(shù)，然后找到一個(gè)控制律以使得這個(gè)候選函數(shù)成為真正的李雅普諾夫函數(shù)。例：控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)把系統(tǒng)的狀態(tài)控制到原點(diǎn)選擇控制規(guī)律§2.5基于李雅普諾夫直接法的控制設(shè)計(jì)第一種方法：假設(shè)控制55一、模型參考控制系統(tǒng)假設(shè)對(duì)象的狀態(tài)方程為：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖：

也就是，即使在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)某些不確定性的情況下，局部穩(wěn)定的控制器。參照前面的例題：二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。一、模型參考控制系統(tǒng)也就是，即使在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)某些不確定56參考模型為：誤差向量為：誤差向量的微分方程：現(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得在穩(wěn)態(tài)時(shí)對(duì)誤差微分方程給出的系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

參考模型為：57如果：1、是一個(gè)負(fù)定矩陣；2、設(shè)計(jì)控制向量使得為非正值。平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的（滿足徑向無(wú)界）。

例子：考慮由下式描述的非線性時(shí)變系統(tǒng)：式中，是時(shí)變參數(shù)，為正常數(shù)。設(shè)參考模型的方程為：

如果：58設(shè)計(jì)一個(gè)非線性控制器，使得系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地工作。定義令誤差向量為：Lyapunov函數(shù)的形式為：式中為正定的實(shí)對(duì)稱矩陣。選擇矩陣：

有：設(shè)計(jì)一個(gè)非線性控制器，使得系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地工作。59選?。菏街校簞t：

采用這個(gè)控制規(guī)律，平衡點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。瞬態(tài)響應(yīng)收斂的速度取決于矩陣。二、基于Lyapunov直接法的二次型最優(yōu)控制建立Lyapunov函數(shù)與二次型性能指標(biāo)之間的直接關(guān)系式，用Lyapunov方法來(lái)解最優(yōu)化問(wèn)題。設(shè)系統(tǒng)為：選?。?0矩陣為穩(wěn)定矩陣，其中包括一個(gè)（或幾個(gè)）可調(diào)參數(shù)，使下列性能指標(biāo)達(dá)到極小。式中為正定的實(shí)對(duì)稱矩陣。利用Lyapunov函數(shù)解決該問(wèn)題：可由確定的各元素。矩陣為穩(wěn)定矩陣，其中包括一個(gè)（或幾個(gè)）可調(diào)參數(shù)，使下列61性能指標(biāo)：由于矩陣為穩(wěn)定矩陣，可得

有：因而性能指標(biāo)可依據(jù)初始條件和求得。例：對(duì)下圖所示的系統(tǒng)，確定阻尼比的值，使得系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，性能指標(biāo)達(dá)到極小。

性能指標(biāo)：62有：定義狀態(tài)變量：則狀態(tài)方程為：性能指標(biāo)可寫為：

有：63的極值為：下面求解使性能指標(biāo)取極小的參數(shù)值。結(jié)論為：

的極值為：64例：其中，和是可量測(cè)的狀態(tài)，和是已知的正常數(shù)。跟蹤控制的目標(biāo)就是跟蹤它的期望值可能的控制器設(shè)計(jì)方案之一：表示正的控制增益，定義為：定理：上述的控制器能在下式意義下，提供一個(gè)全局穩(wěn)定的跟蹤。作業(yè)1：證明這個(gè)定理。例：作業(yè)1：證明這個(gè)定理。65作業(yè)提示：（1）取Lyapunov函數(shù)（2）求導(dǎo)數(shù)（3）得出（4）積分（5）求解

作業(yè)提示：66第二章Lyapunov理論基礎(chǔ)

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要問(wèn)題。穩(wěn)定性的定性描述：如果一個(gè)系統(tǒng)在靠近其期望工作點(diǎn)的某處開始運(yùn)動(dòng)，且該系統(tǒng)以后將永遠(yuǎn)保持在此點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)，那么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。

例如：?jiǎn)螖[，飛行器李雅普諾夫的著作《動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》，并于1892年首次發(fā)表。1.線性化方法：從非線性系統(tǒng)的線性逼近的穩(wěn)定性質(zhì)得出非線性系統(tǒng)在一個(gè)平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定性的結(jié)論。2.直接法：不限于局部運(yùn)動(dòng)，它通過(guò)為系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)“類能量”標(biāo)量函數(shù)并檢查該標(biāo)量函數(shù)的時(shí)變性來(lái)確定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì)。

第二章Lyapunov理論基礎(chǔ)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要67§2.1穩(wěn)定性概念幾個(gè)簡(jiǎn)化記法：令表示狀態(tài)空間中由定義的球形區(qū)域，表示由定義的球面本身。1、穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性

定義：如果對(duì)于任何，存在，使得對(duì)于所有的，如果，就有，則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則，就稱平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

或者：對(duì)于線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定等于發(fā)散；對(duì)于非線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定不等于發(fā)散。

§2.1穩(wěn)定性概念幾個(gè)簡(jiǎn)化記法：令表示狀態(tài)空間中由68圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性對(duì)于范德堡方程轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程描述很容易證明該系統(tǒng)在原點(diǎn)處有一個(gè)平衡點(diǎn)。并且是不穩(wěn)定的。圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換成69從任何一個(gè)非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個(gè)極限環(huán)。這意味著如果選擇穩(wěn)定性定義中的為足夠小，使得半徑為的圓完全落入極限環(huán)的封閉曲線內(nèi)，那么在靠近原點(diǎn)處開始的系統(tǒng)軌線最終將越出這個(gè)圓,因此原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。從任何一個(gè)非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個(gè)極限環(huán)。702、漸近穩(wěn)定性與指數(shù)穩(wěn)定性

在許多工程應(yīng)用中，僅有穩(wěn)定性是不夠的。定義：如果某個(gè)平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的，而且存在某一，使得，當(dāng)時(shí)，，那么稱平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

平衡點(diǎn)的吸引范圍是指：凡是起始于某些點(diǎn)的軌線最終都收斂于原點(diǎn)，這些點(diǎn)組成的最大集合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域。注意：收斂并不意味著穩(wěn)定。（見圖）2、漸近穩(wěn)定性與指數(shù)穩(wěn)定性在許多工程應(yīng)用中，僅有穩(wěn)定性是不71定義：如果存在兩個(gè)嚴(yán)格正數(shù)和，使得圍繞原點(diǎn)的某個(gè)球內(nèi)，那么稱平衡點(diǎn)0是指數(shù)穩(wěn)定的。也就是說(shuō)，一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量以快于指數(shù)函數(shù)的速度收斂于原點(diǎn)，通常稱正數(shù)為指數(shù)收斂速度。指數(shù)收斂性的定義在任何時(shí)候都為狀態(tài)提供明顯的邊界。

把正常數(shù)寫成后，不難看到，經(jīng)過(guò)時(shí)間后，狀態(tài)向量的幅值減小到原值的，與線性系統(tǒng)中的時(shí)間常數(shù)相似。定義：如果存在兩個(gè)嚴(yán)格正數(shù)和，使得圍繞原點(diǎn)的某72例1：系統(tǒng)它的解是：以速度指數(shù)收斂于。例2：系統(tǒng)它的解為，是個(gè)慢于任何指數(shù)函數(shù)的函數(shù)。

3、局部與全部穩(wěn)定性

定義：如果漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定對(duì)于任何初始狀態(tài)都能保持，那么就說(shuō)平衡點(diǎn)是大范圍漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的，也稱為全局漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的。例1：系統(tǒng)73§2.2線性化和局部穩(wěn)定性

李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性有關(guān)。Lyapunou線性化方法說(shuō)明：在實(shí)際中使用線性控制方法基本上是合理的。對(duì)于自治非線性系統(tǒng)，如果是連續(xù)可微的,那么系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以寫成()：用表示在處關(guān)于的雅可比矩陣：原非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處的線性化結(jié)果為：

§2.2線性化和局部穩(wěn)定性李雅普諾夫線性化方法與非線性系74對(duì)于一個(gè)具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：有：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，同樣可以得出上述結(jié)論。例2.2考慮系統(tǒng)在處線性化。線性化結(jié)果：對(duì)于一個(gè)具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：線性化結(jié)果：75定理：（李雅普諾夫線性化方法）1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴(yán)格穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都嚴(yán)格在左半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）；2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即如果的所有特征值至少有一個(gè)嚴(yán)格在右半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）；3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都在左半復(fù)平面內(nèi)，但至少有一個(gè)在軸上），那么不能從線性近似中得出任何結(jié)論（其平衡點(diǎn)對(duì)于非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，漸近穩(wěn)定的，或者是不穩(wěn)定的）。定理：（李雅普諾夫線性化方法）76例：對(duì)于一階系統(tǒng)

原點(diǎn)是這個(gè)系統(tǒng)的兩平衡點(diǎn)之一。這個(gè)系統(tǒng)在原點(diǎn)附近的線性化是：應(yīng)用李雅普諾夫線性化方法，得出該非線性系統(tǒng)的下述穩(wěn)定性性質(zhì)：（1）

漸近穩(wěn)定；（2）不穩(wěn)定；（3）不能從線性化說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)定性性質(zhì)。在第三種情況下，非線性系統(tǒng)為這時(shí)線性化方法不能用來(lái)判斷它的穩(wěn)定性。

例：對(duì)于一階系統(tǒng)77例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。式中為單擺長(zhǎng)度，為單擺質(zhì)量，為鉸鏈的摩擦系數(shù)，是重力常數(shù)。(系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是什么？)

在的鄰域內(nèi)設(shè)，那么系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化結(jié)果是因此，該線性近似是不穩(wěn)定的；近而該非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。78

李雅普諾夫線性化定理說(shuō)明

線性控制設(shè)計(jì)存在一致性問(wèn)題，人們必須設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)保持在它的“線性范圍”里。它也說(shuō)明了線性設(shè)計(jì)的主要局限性：線性范圍到底有多大？穩(wěn)定范圍是什么？

李雅普諾夫線性化定理說(shuō)明79§2.3李雅普諾夫直接法

李雅普諾夫直接法的基本原理是對(duì)于下述基本物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)上的擴(kuò)展：如果一個(gè)機(jī)械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)消耗的，那么該系統(tǒng)無(wú)論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定至某個(gè)平衡點(diǎn)。非線性質(zhì)量—阻尼器—彈簧系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)方程是

整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的能量是它的動(dòng)能和勢(shì)能之和§2.3李雅普諾夫直接法李雅普諾夫直接法的基本原理是80建立了能量與穩(wěn)定性的關(guān)系。穩(wěn)定性與機(jī)械能的變化有關(guān)李雅普諾夫直接法建立在把上述概念推廣到更復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。一、正定函數(shù)和李雅普諾夫函數(shù)

定義：一個(gè)標(biāo)量連續(xù)函數(shù)，如果，而且在一個(gè)球內(nèi)那么稱函數(shù)為局部正定的。建立了能量與穩(wěn)定性的關(guān)系。穩(wěn)定性與機(jī)械能的變化有關(guān)81

局部正定函數(shù)的幾何意義：對(duì)于具有兩個(gè)狀態(tài)變量和的正定函數(shù)，在三維空間中畫出，它典型地對(duì)應(yīng)于一只看起來(lái)象向上的杯子的曲面，杯子的最低點(diǎn)位于原點(diǎn)。同樣可以定義：負(fù)定、半正定、半負(fù)定等一些概念。局部正定函數(shù)的幾何意義：對(duì)于具有兩個(gè)狀態(tài)變量和82定義：如果一個(gè)球域內(nèi)，函數(shù)為正定的且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且如果它沿著系統(tǒng)的任何軌跡線的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的，即那么稱為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。定義：如果一個(gè)球域內(nèi)，函數(shù)為正定的83

幾何解釋：表示值的點(diǎn)總是指向杯底，或指向越來(lái)越小的值等高線。二、平衡點(diǎn)定理李雅普諾夫直接法的幾個(gè)定理建立起李雅普諾夫函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的精確關(guān)系。1、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理定理（局部穩(wěn)定性）：如果在球域內(nèi)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，使得：（1）為正定（局部地）；（2）為半負(fù)定（局部地）。那么平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的。如果實(shí)際上導(dǎo)數(shù)在域內(nèi)局部負(fù)定，那么穩(wěn)定性是漸近的。幾何解釋：表示值的點(diǎn)總是指向杯底，或指向越來(lái)越84例：局部穩(wěn)定性具有粘滯阻尼的單擺由下列方程描述判斷系統(tǒng)在原點(diǎn)的局部穩(wěn)定性?？疾煜铝袠?biāo)量函數(shù)：它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以得出原點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)的結(jié)論。不能得到關(guān)于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的結(jié)論，因?yàn)閮H僅半負(fù)定。例：局部穩(wěn)定性85例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點(diǎn)為平衡點(diǎn)處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù)它沿任何系統(tǒng)軌線的導(dǎo)數(shù)是這樣，在二維球域里（即在由定義的區(qū)域里）就是局部負(fù)定的。因此，根據(jù)上面的定理，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

例：研究非線性系統(tǒng)862、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理為了斷定一個(gè)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，必須將擴(kuò)展為整個(gè)狀態(tài)空間；還有必須是徑向無(wú)界的，即（換句話說(shuō)，當(dāng)從任何方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)），。定理（全局穩(wěn)定性）：假設(shè)存在狀態(tài)的某個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，使得：（1）是正定的，（2）為負(fù)定的，（3）當(dāng)時(shí)，。那么平衡點(diǎn)0是全局漸近穩(wěn)定的。2、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理87徑向無(wú)界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值曲面）對(duì)應(yīng)于封閉曲線。如果該曲線不是封閉的，即使?fàn)顟B(tài)保持穿過(guò)對(duì)應(yīng)于越來(lái)越小的的等值曲線（面），狀態(tài)軌線仍可能從平衡點(diǎn)漂移。例如，對(duì)于正定函數(shù)當(dāng)時(shí)，曲線是開曲線。下圖說(shuō)明狀態(tài)向“能量”越來(lái)越低的曲線移動(dòng)時(shí)的發(fā)散現(xiàn)象。徑向無(wú)界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值88例：一階非線性系統(tǒng)式中，是任何一個(gè)與它的標(biāo)量自變量有相同符號(hào)的連續(xù)函數(shù)，即選李雅普諾夫函數(shù)為當(dāng)時(shí)，趨向于無(wú)窮，它函數(shù)是徑向無(wú)界。它的導(dǎo)數(shù)是是一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。對(duì)于例：一階非線性系統(tǒng)對(duì)于89例：考慮系統(tǒng)狀態(tài)空間的原點(diǎn)是這個(gè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，設(shè)是正定函數(shù)沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是它是負(fù)定的。因此，原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。例：考慮系統(tǒng)它是負(fù)定的。因此，原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。903、注釋

對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)可以存在許多李雅普諾夫函數(shù)。例如，如果是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，那么下面的也是李雅普諾夫函數(shù)：此處是任意嚴(yán)格正常數(shù)，是任何大于1的標(biāo)量。與的正定，負(fù)定和徑向無(wú)界的特性是一致的。注意：對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特別選擇的李雅普諾夫函數(shù)可能比其它的李雅普諾夫函數(shù)產(chǎn)生更精確的結(jié)果。對(duì)具有粘滯阻尼的單擺，選李雅普諾夫函數(shù)3、注釋91它的導(dǎo)數(shù)為是局部負(fù)定的。雖然修正過(guò)的沒有明顯的物理意義，但它卻能夠證明單擺的漸近穩(wěn)定性。注意：李雅普諾夫分析中的定理都是充分性定理。作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個(gè)平衡點(diǎn)，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)定性是否為漸近的以及是否為全局的。

它的導(dǎo)數(shù)為作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個(gè)平衡點(diǎn)，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)92三、不變集定理

定理的中心概念是不變集的概念。

定義：如果每條起始于集合中某點(diǎn)的系統(tǒng)軌線在任何未來(lái)時(shí)間里都保持在該集合內(nèi)，那么該集合稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)不變集。1、局部不變集定理不變集定理反映了一種直覺概念，即李雅普諾夫函數(shù)必須逐漸減小至0（即必須收斂于0），因?yàn)槭怯邢陆绲?。定理（局部不變集定理）：?duì)自治系統(tǒng)，是連續(xù)的，而且令為具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，假設(shè)：（1）對(duì)于某個(gè)，由定義的區(qū)域是有界的；（2）對(duì)所有中的，。

三、不變集定理93

令為中的所有的點(diǎn)的集合，而為中最大的不變集；那么，當(dāng)時(shí)起始于內(nèi)的每一個(gè)解趨向于。

例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點(diǎn)為平衡點(diǎn)處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù)

沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是令為中的所有的點(diǎn)的集合，而94對(duì)于，由定義的區(qū)域是有界的。集合只是原點(diǎn)0，它是一個(gè)不變集（因?yàn)樗且粋€(gè)平衡點(diǎn)）。局部不變集定理的所有條件都滿足，因而任何起始于這個(gè)圓內(nèi)的軌線都收斂于原點(diǎn)。這樣，根據(jù)不變集定理就明顯地確定了該系統(tǒng)的吸引范圍。對(duì)于，由95例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)

由定義的集合是不變的，因?yàn)樵谠摷现袨?。在不變集的運(yùn)動(dòng)由下面方程之一等價(jià)地描述因此，可以看到不變集實(shí)際上代表一個(gè)極限環(huán)。例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)96判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個(gè)侯選李雅普諾夫函數(shù)它表示到極限環(huán)的距離的量度?？捎貌蛔兗ɡ砼袛嗍諗啃?。這樣是嚴(yán)格負(fù)的。除了在情況下，集合就是由它們的并集組成。假如取，原點(diǎn)不屬于，現(xiàn)在的集合正是極限環(huán)。用不變集定理證明了極限環(huán)的漸進(jìn)穩(wěn)定性；同時(shí)意味著原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個(gè)侯選李雅普諾夫函數(shù)這樣97推論：對(duì)是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，假設(shè)在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，有：（1）是局部正定的；（2）是半負(fù)定的；（3）由定義的集合不包含除平凡軌跡之外的系統(tǒng)軌線。那么，平衡點(diǎn)0是漸近穩(wěn)定的。而且，在內(nèi)形式為（由定義）的最大連通域是這個(gè)平衡點(diǎn)的一個(gè)吸引范圍。推論：對(duì)是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個(gè)98

內(nèi)的最大不變集就只包含平衡點(diǎn)0。注意下列各點(diǎn)：a、上述推論用為半負(fù)定的條件，以及關(guān)于內(nèi)軌線的第三個(gè)條件代替了李雅普諾夫局部漸近穩(wěn)定性定理的負(fù)定條件。b、在內(nèi)的最大連通域是平衡點(diǎn)的一個(gè)吸引范圍，但不一定是整個(gè)吸引范圍，因?yàn)楹瘮?shù)不是唯一的。c、集合本身不一定是一個(gè)吸引范圍。實(shí)際上，上面的推論不保證是不變的，某些起始于內(nèi)但在之外的軌線，實(shí)際上可能終止于之外。

2、全局不變集定理把所涉及的區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)空間并要求標(biāo)量具有徑向無(wú)界性，可對(duì)上述定理進(jìn)行推廣。（略）

內(nèi)的最大不變集就只包含平衡點(diǎn)0。注意下列各點(diǎn)：99例：對(duì)具有下面形式的一個(gè)二階系統(tǒng)：其中，和是滿足下面符號(hào)條件的連續(xù)函數(shù)：對(duì)于對(duì)于分析其在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數(shù)為：可以把它看成系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之和。

例：對(duì)具有下面形式的一個(gè)二階系統(tǒng)：100根據(jù)假設(shè)，僅當(dāng)時(shí)。意味著只要，它就不等于0。系統(tǒng)不能在之外的任何平衡值上停住。中的最大不變集只包含一個(gè)點(diǎn)，即。應(yīng)用局部不變集定理表明原點(diǎn)是一個(gè)局部漸近穩(wěn)定點(diǎn)。如果積分當(dāng)時(shí)徑向無(wú)界，是徑向無(wú)界的。原點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。根據(jù)假設(shè)，僅當(dāng)時(shí)101§2.4基于Lyapunov函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析

如何尋找一個(gè)Lyapunov函數(shù)？不存在尋找Lyapunov函數(shù)的具體方法，這是Lyapunov穩(wěn)定性理論的根本缺點(diǎn)。對(duì)于具體問(wèn)題人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、直覺和對(duì)系統(tǒng)的具體理解去尋找一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)可以用系統(tǒng)的方法找到的；對(duì)于一個(gè)給定的非線性系統(tǒng)有很多數(shù)學(xué)方法可以幫助尋找Lyapunov函數(shù)。最強(qiáng)有力、最巧妙的方法是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的理解來(lái)尋找Lyapunov函數(shù)?！?.4基于Lyapunov函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析如102一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析

Lyapunov函數(shù)象“能量”一樣是可以疊加的。1、對(duì)稱、斜對(duì)稱和正定矩陣

方陣的對(duì)稱性：方陣的斜對(duì)稱性：任何一個(gè)方陣表示為一個(gè)對(duì)稱陣和斜對(duì)稱陣的和：與斜對(duì)稱陣相聯(lián)系的二次函數(shù)總是0，根據(jù)定義有：

一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析Lyapunov函數(shù)103

在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經(jīng)常使用形式的二次函數(shù)作為侯選李雅普諾夫函數(shù)，總是可以假定是對(duì)稱的。正定矩陣定義：一個(gè)方陣，如果那么該方陣是正定的。每個(gè)正定矩陣都與一個(gè)正定函數(shù)相聯(lián)系。一個(gè)方陣為正定的必要條件是：它的對(duì)角元素是嚴(yán)格正的。一個(gè)對(duì)稱的方陣是正定的充分必要條件是：它的所有特征值都是嚴(yán)格正的。一個(gè)正定矩陣總是可逆的。一個(gè)正定矩陣總可以被分解為在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經(jīng)常使用形式的二次函104證明：（1）（2）（3）

同樣可以定義矩陣半正定，負(fù)定和半負(fù)定的概念。對(duì)于一個(gè)時(shí)變矩陣，如果則稱是一致正定的。

證明：1052、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

給定一個(gè)線性系統(tǒng)為，考察侯選Lyapunov函數(shù)：其中，為一給定的對(duì)稱正定陣。沿系統(tǒng)軌跡微分得式中，，該式稱為L(zhǎng)yapunov方程。有效的解法是：

（1）選擇一個(gè)正定矩陣；

（2）從Lyapunov方程求解矩陣；

（3）檢查是否正定。2、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)106定理：線性定常系統(tǒng)嚴(yán)格穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任何對(duì)稱正定矩陣，李雅普諾夫方程式的唯一解矩陣是對(duì)稱正定的（證明略）。的一個(gè)簡(jiǎn)單選擇是單位矩陣。例：分析一個(gè)二階系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)嚴(yán)格穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于107二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法

克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有形式的自治非線性系統(tǒng)的侯選Lyapunov函數(shù)的一種簡(jiǎn)單形式，即，這種方法的基本思想很簡(jiǎn)單，就是檢查這個(gè)具體選擇的函數(shù)是否確實(shí)能成為一個(gè)Lyapunov函數(shù)。

定理：對(duì)自治系統(tǒng)，對(duì)平衡點(diǎn)原點(diǎn)，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣，即二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法定理：對(duì)自治系108

如果矩陣在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域上是負(fù)定的，那么原點(diǎn)是一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)是如果為整個(gè)狀態(tài)空間，而且當(dāng)時(shí)，，那么該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

例：非線性系統(tǒng)

判斷原點(diǎn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

有：矩陣是負(fù)定的。如果矩陣在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域上是負(fù)定109上述定理的應(yīng)用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負(fù)定的條件。定理（廣義Krasovskii定理）：對(duì)自治系統(tǒng)，對(duì)平衡點(diǎn)原點(diǎn)，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣。那么原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在兩個(gè)對(duì)稱正定矩陣和，使得，矩陣在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是半負(fù)定的。且函數(shù)就是這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)。如果為整個(gè)狀態(tài)空間，而且當(dāng)時(shí)有，那么該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

上述定理的應(yīng)用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負(fù)定的110三、變量梯度法

變量梯度法是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一種形式化方法。它假定未知Lyapunov函數(shù)的梯度具有某種形式，然后通過(guò)積分這個(gè)假定的梯度來(lái)求得Lyapunov函數(shù)本身。對(duì)于低階系統(tǒng)，這種方法有時(shí)會(huì)成功地找到Lyapunov函數(shù)。

有一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，可以通過(guò)積分關(guān)系使的它與其梯度聯(lián)系起來(lái)：其中。為了從梯度找到唯一的標(biāo)量函數(shù)，該梯度函數(shù)必須滿足所謂旋轉(zhuǎn)條件：三、變量梯度法變量梯度法是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一111其中第個(gè)分量就是方向?qū)?shù)。變量梯度法原理就是假定梯度具有某種特定形式，而不是假定Lyapunov函數(shù)本身。其中一種簡(jiǎn)單的假定就是梯度函數(shù)具有某種形式：

式中為待定系數(shù)。這樣，尋找Lyapunov函數(shù)的過(guò)程如下：

（1）假定是由上式給出的形式（或另外的形式）；（2）求解系數(shù)，以滿足旋轉(zhuǎn)方程；（3）限制上式中的系數(shù)，使的是半負(fù)定的（至少是局部半負(fù)定的）

其中第個(gè)分量就是方向?qū)?shù)。112（4）通過(guò)積分，由計(jì)算；

（5）檢查是否正定。

因?yàn)闈M足旋轉(zhuǎn)條件意味著上述積分結(jié)果與積分路徑無(wú)關(guān)，那么依次沿著平行于每一條軸的路徑進(jìn)行積分，來(lái)求通常是方便的，即例：用變量梯度法為下列非線性系統(tǒng)求一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。

（4）通過(guò)積分，由計(jì)算；113假定待定的李雅普諾夫函數(shù)的梯度具有下面這種形式旋轉(zhuǎn)方程是：如果選取系數(shù)：則：那么，可算出為：

假定待定的李雅普諾夫函數(shù)的梯度具有下面這種形式114這樣，在區(qū)域上是局部負(fù)定的，而函數(shù)則為它確實(shí)是正定的，因此，系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性得到了保證。注意：上式并