根軌跡分析法課件

第4章根軌跡分析法第4章根軌跡分析法閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）決定的。一個(gè)較完善的閉環(huán)控制系統(tǒng)其特征方程一般為高階，直接用時(shí)域法求解困難。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）決4.1根軌跡的基本概念4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制4.4控制系統(tǒng)的根軌跡分析4.1根軌跡的基本概念1948年伊萬斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法——根軌跡法。考慮到開環(huán)零極點(diǎn)更易獲取，在開環(huán)零、極點(diǎn)分布已知的情況下，可繪制閉環(huán)極點(diǎn)隨系統(tǒng)參數(shù)變化（如放大系數(shù)）而在s平面上移動(dòng)的軌跡（根軌跡）。用途：①對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析；②確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)、參數(shù)；③進(jìn)行設(shè)計(jì)和綜合。1948年伊萬斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法——根軌跡4．1根軌跡的基本概念

4．1根軌跡的基本概念一、根軌跡圖1.定義：根平面：在一個(gè)復(fù)平面（s平面）上標(biāo)出開環(huán)零、極點(diǎn)，并根據(jù)此描述閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，這個(gè)復(fù)平面就稱為根平面。根軌跡：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（一般為Kg，根軌跡增益）變化時(shí)，閉環(huán)特征根在根平面上所走過的軌跡。一、根軌跡圖2.用解析法繪制根軌跡（實(shí)例）例4-1：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：1.時(shí)間常數(shù)表示法主要用于頻率分析中；2.零極點(diǎn)表示法主要用于根軌跡分析中。2.用解析法繪制根軌跡（實(shí)例）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：1.時(shí)間常開環(huán)有兩個(gè)極點(diǎn)：

p1=0，p2=－2開環(huán)沒有零點(diǎn)。可見，當(dāng)Kg

變化，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)也隨之連續(xù)變化。當(dāng)Kg從0→∞變化時(shí)，直接描點(diǎn)作出兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡閉環(huán)特征方程為：D(s)=s2+2s+Kg

=0解得閉環(huán)特征根（亦即閉環(huán)極點(diǎn)）開環(huán)有兩個(gè)極點(diǎn)：p1=0，p2=－2（1）當(dāng)Kg

=0時(shí)，s1=0、s2

=－2，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。（2）當(dāng)0＜Kg＜1時(shí)，s1、s2均為負(fù)實(shí)數(shù)，且位于負(fù)實(shí)軸的（－2，0）一段上。（3）當(dāng)Kg=1時(shí)，s1=s2=－1，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。（4）當(dāng)1＜Kg＜∞時(shí)，s1，2=－1±，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)橐粚曹棌?fù)數(shù)極點(diǎn)。s1、s2的實(shí)部不隨Kg變化，其位于過（－1，0）點(diǎn)且平行于虛袖的直線上。（5）當(dāng)Kg＝∞時(shí)，

s1=－1+j∞、s2=－1－j∞，此時(shí)s1、s2將趨于無限遠(yuǎn)處。

（1）當(dāng)Kg=0時(shí)，s1=0、s2=－2，此時(shí)可根據(jù)根軌跡形狀評(píng)價(jià)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：（1）根軌跡增益Kg從0→∞時(shí)，根軌跡均在s平面左半部，在所有的Kg值下系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)0<Kg<1時(shí)，閉環(huán)特征根為實(shí)根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，其階躍響應(yīng)為非周期過程。（3）當(dāng)Kg=1時(shí)，閉環(huán)特征根為相同負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，其階躍響應(yīng)為非周期過程。（4）當(dāng)Kg>1時(shí)，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài),其階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。（5）有一個(gè)為0的開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，其階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess為零?？筛鶕?jù)根軌跡形狀評(píng)價(jià)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：由上述分析過程可知，系統(tǒng)的根軌跡分析的意義在于：由較易獲取的開環(huán)零極點(diǎn)分布分析閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，從而，對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行分析。但是，試探法不是繪制根軌跡的最合適方法，而且也太費(fèi)時(shí)間。對于高階系統(tǒng)，用這種解析的方法繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖是很麻煩的。實(shí)際上，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡都是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征根的關(guān)系，以及已知的開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在根平面上的分布，按照一定的規(guī)則用圖解的方法繪制出來的。

由上述分析過程可知，系統(tǒng)的根軌跡分析的意義在于：由較易二、根軌跡方程

繪制根軌跡的實(shí)質(zhì)，在于由開環(huán)零極點(diǎn)在s平面尋找閉環(huán)特征根的位置。閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為即

m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（根軌跡方程）

Kg：根軌跡增益∴在s平面上凡是滿足上式的任意一個(gè)點(diǎn)s1、s2、…、s∞，都是閉環(huán)特征根，即閉環(huán)極點(diǎn)。對應(yīng)于Kg從0→∞。二、根軌跡方程閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為1、根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是一個(gè)向量方程。相角條件：幅值條件：1、根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是相角條件方程和kg無關(guān)，s平面上任意一點(diǎn)，只要滿足相角條件方程，則必定同時(shí)滿足幅值條件，該點(diǎn)必定在根軌跡上，即對應(yīng)不同的kg時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。（實(shí)、虛軸選用相同的比例尺刻度）相角條件方程和kg無關(guān)，s平面上任意一點(diǎn)，只要滿2、幅值條件和相角條件應(yīng)用

為從一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)指向s的向量為從一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)指向s的向量向量的模為長度，即s平面上兩點(diǎn)之間的距離；相角為此向量指向方向與實(shí)軸之間的夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；1.可以直接計(jì)算；2.或在圖上直接測量S為試探點(diǎn)2、幅值條件和相角條件應(yīng)用為從一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)指向s的向量向量解：

不符合相角條件，

s1不在根軌跡上。滿足相角條件，s2在根軌跡上。（1）.用相角條件求根軌跡（試探法）例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷是否在根軌跡上。解：不符合相角條件，滿足相角條件，s2在根軌跡上。（1）.（2）.用幅值條件確定kg的值解：例：求上例中根軌跡上點(diǎn)對應(yīng)的Kg。、也可以用直尺測量向量的長度。（2）.用幅值條件確定kg的值解：例：求上例中根軌跡上小結(jié)：相角條件判斷是否閉環(huán)極點(diǎn)（根）幅值條件確定對應(yīng)的根軌跡增益圖解法：注意坐標(biāo)、比例但是控制系統(tǒng)的根軌跡圖不能遍歷s平面上所有的點(diǎn)來繪制。因?yàn)樵跐M足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡的圖是有一些規(guī)律的。依據(jù)繪制軌跡圖的一些基本法則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。小結(jié)：4．2繪制根軌跡的基本規(guī)則

4．2繪制根軌跡的基本規(guī)則由開環(huán)零、極點(diǎn)→當(dāng)Kg為可變參數(shù)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡。由開環(huán)零、極點(diǎn)→當(dāng)Kg為可變參數(shù)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡。是Kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)Kg從0→+∞連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)連續(xù)變化，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線?！呔€性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實(shí)數(shù)，∴閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括一對純虛根），根軌跡對稱于實(shí)軸。一、連續(xù)性與對稱性是Kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)?！呔€性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實(shí)數(shù)，二、根軌跡的分支數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)為n階，故開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)數(shù)都為n個(gè)，當(dāng)Kg從0→+∞變化時(shí)，n個(gè)根在s平面上連續(xù)形成n條根軌跡。一條根軌跡對應(yīng)一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)隨Kg的連續(xù)變化軌跡。

根軌跡的分支數(shù)=系統(tǒng)的階數(shù)二、根軌跡的分支數(shù)三、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件有：1.起點(diǎn)：Kg=0，等式右邊=∞，僅當(dāng)成立，∴n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)。三、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件有：1.起點(diǎn)：Kg=0，等∴另外n－m條根軌跡終止于∞處（±∞，相角可為任意方向）。結(jié)論：根軌跡以n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)為起點(diǎn)；以m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為終點(diǎn)，另外n－m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。

2.終點(diǎn)：kg=∞，等式右邊=0①當(dāng)②由于n>m時(shí)，只有s→∞處成立，m條根軌跡終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處；∴另外n－m條根軌跡終止于∞處（±∞，相角可為任意方向）。結(jié)四、根軌跡的漸近線

若n>m，當(dāng)Kg從0→+∞時(shí)，有(n–m)條根軌跡分支沿著實(shí)軸正方向夾角θ，截距為的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)：僅當(dāng)s足夠大時(shí)，根軌跡才向漸近線逐漸逼近，Kg→∞，根軌跡才與漸近線重合。一般直接取180o。四、根軌跡的漸近線若n>m，當(dāng)Kg從0→+∞-2-10-2-10-2-10-2-10［例4-1］已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡的支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，試確定漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)及漸近線的傾斜角。

解

由于n=3，所以有3條根軌跡，起點(diǎn)分別在由于m=0，開環(huán)傳遞函數(shù)沒有有限值零點(diǎn)，所以三條根軌跡的終點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)－σ及傾斜角分別為

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。根軌跡的起點(diǎn)和三條漸近線如圖4.4所示。［例4-1］已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解由于n=3，所五、實(shí)軸上的根軌跡①、兩向量對稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反；、兩向量也對稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反。開環(huán)復(fù)平面上的開環(huán)零、極點(diǎn)，由于是共軛復(fù)數(shù)對，對實(shí)軸上任一點(diǎn)s1的相角影響為0，對于實(shí)軸上根軌跡的判別來說不影響幅角條件?！嗯袛鄐1是否落在根軌跡上，共軛零、極點(diǎn)不考慮。五、實(shí)軸上的根軌跡①、③位于s1左邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：、向量引起的相角為0°∴判斷s1是否落在根軌跡上，位于s1左邊的零、極點(diǎn)不考慮。②位于s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：每個(gè)零、極點(diǎn)提供180°相角。結(jié)論：s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)（開環(huán)）個(gè)數(shù)的總和為奇數(shù)，則s1位于根軌跡上。③位于s1左邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：、［例4.2］設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求實(shí)軸上的根軌跡。解

系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為－0.5，開環(huán)極點(diǎn)為0（二重極點(diǎn)），－1，－1.5，－4（如圖4.5所示）。根據(jù)實(shí)軸上根軌跡的判別條件可以得到區(qū)間［－4，－5］右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為5，以及區(qū)間［－1，－0.5］右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為3，均為奇數(shù)，故實(shí)軸上根軌跡在上述兩區(qū)間內(nèi)如圖中所示。［例4.2］設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為六、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。此點(diǎn)對應(yīng)于二重根（實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)根）。一般多出現(xiàn)在實(shí)軸上。分析：1.如圖，，為實(shí)軸上的根軌跡。兩條根軌跡分別由-p1和-p1出發(fā)，隨kg的增大，會(huì)合于a點(diǎn)繼而又分開，離開實(shí)軸，進(jìn)入復(fù)平面，再回到實(shí)軸，會(huì)合于b點(diǎn)再離開，一條終止于-z1，另一趨于負(fù)無窮遠(yuǎn)處。六、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一2.規(guī)律：①若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間存在根軌跡，之間必有分離點(diǎn)；②若實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（一個(gè)可視為無窮遠(yuǎn)）之間存在根軌跡，之間必有會(huì)合點(diǎn)；③若實(shí)軸上開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之間存在根軌跡，則其間可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)，也可能都沒有。2.規(guī)律：3.求分離角（會(huì)合角）：在分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）上，根軌跡切線與正實(shí)軸的夾角，l為相分離的根軌跡分支數(shù)。

3.求分離角（會(huì)合角）：在分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）上，根軌跡切線與正4.分離點(diǎn)的求取消Kg得：特征方程：→s分離點(diǎn)①重根法特征方程：A（s）=0具有重根，則：4.分離點(diǎn)的求取消Kg得：特征方程：→s分離點(diǎn)①重②極值法③牛頓余數(shù)定理的使用（二階以上）②極值法③牛頓余數(shù)定理的使用（二階以上）舉例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。解：（用重根法）舉例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實(shí)軸上的分判斷：開環(huán)極點(diǎn)有三個(gè)∴在實(shí)軸上為根軌跡，則s1滿足，為分離點(diǎn)。-2-10-0.423判斷：開環(huán)極點(diǎn)有三個(gè)∴在實(shí)軸上七、根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角入射角：止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角：由其它各開環(huán)零點(diǎn)指向的向量的幅角：由其它各開環(huán)極點(diǎn)指向的向量的幅角入射角：出射角：七、根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)［例4.4］設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖4.10所示，試確定根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。

解

利用公式（4.30），由作圖可得考慮到幅角的周期性，取=－26.6°。同理，可得=+26.6°。

［例4.4］設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖4.10所示，試確定根八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)隨著Kg↑，根軌跡可能由s左半平面→右半平面，系統(tǒng)會(huì)從穩(wěn)定→不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。

求解方法（兩種方法）：②勞斯判據(jù)：第一列有0元素（純虛根），代入輔助方程，此處的增益→臨界根軌跡增益Kgp。①令s=jω代入閉環(huán)特征方程A（s）=0，再令求出ω、交點(diǎn)坐標(biāo)和Kg。八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)隨著Kg↑，根軌跡可能由s左半例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)、臨界根軌跡增益kgp。解：①

∴交點(diǎn)坐標(biāo)：得：（舍去）令s=jω代入有例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)、臨界根軌跡當(dāng)時(shí)，s1行等于0，有一對純虛根，輔助方程

1230s3s2s1s0

解：②勞斯判據(jù)當(dāng)時(shí)，s1行等于0，有一對-2-10-0.423根軌跡和虛軸交點(diǎn)相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。即K>3后，系統(tǒng)不穩(wěn)定（有閉環(huán)右極點(diǎn)）。-2-10-0.423根軌跡和虛軸交點(diǎn)相應(yīng)于系九、閉環(huán)極點(diǎn)的和由根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)：開環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)之和=常數(shù)表明，隨著Kg↑，若閉環(huán)一些特征根增大時(shí)，另一些特征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。即一些分支向右移動(dòng)時(shí)，另一些分支必向左移動(dòng)，保持左右平衡。①可根據(jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向。②對于某一Kg，若已知（n-1）個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，可求最后一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。九、閉環(huán)極點(diǎn)的和由根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)：開環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由根與系數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為∴

是一個(gè)n階方程，設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）分別為，則由根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，∴設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由根與系數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，試求其相應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，并求交點(diǎn)處的臨界根軌跡增益Kgp解：開環(huán)極點(diǎn)之和閉環(huán)極點(diǎn)之和：例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為-2-10-0.423③①②①向左，②、③關(guān)于實(shí)軸對稱，只能向右移動(dòng)。-2-10-0.423③①②①向左，②、③關(guān)于實(shí)小結(jié)：①按9條規(guī)則→繪制控制系統(tǒng)從Kg=0→+∞時(shí)根軌跡的草圖→直觀分析Kg變化對性能的影響；②進(jìn)一步根據(jù)幅角條件，采用試探法準(zhǔn)確確定若干點(diǎn)的位置（特別是虛軸附近或原點(diǎn)附近）→精確根軌跡。（根軌跡的重要部位，穩(wěn)定→不穩(wěn)定）小結(jié)：4．3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制4．3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制例4.6：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解

繪制根軌跡圖的步驟如下：（1）根軌跡共有2支。起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)s=－0.1，－1.5，一支根軌跡的終在s=－1，另一支沿負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間（－∞，－1），［－0.5，－0.1］。（3）根軌跡在實(shí)軸的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)已在例4.3中求得：分離點(diǎn)坐標(biāo)為－σd1=－0.33，Kgd1=0.06；會(huì)合點(diǎn)的坐標(biāo)為－σd2=－1.67，Kgd2=22.6。（4）復(fù)平面上的根軌跡是圓。

一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡例4.6：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解繪制根軌跡圖的步驟如下例4.7：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解

繪制步驟如下：（1）求得系統(tǒng)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為－1±j。（2）根軌跡共有4條，起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)0，－3，－1±j，一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)－2其余3條終止于無窮遠(yuǎn)處。（3）根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸進(jìn)線傾角為當(dāng)k=0，1，2時(shí)分別和傾斜角為60°，180°，300°（4）實(shí)軸上根軌跡在區(qū)間（－∞，－3）和［－2，0］。（5）實(shí)軸上無分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。（6）根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)－1±j的出射角已在例4-4中求得為±26.6°例4.7：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解繪制步驟如下：（6）根軌跡（7）計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即

列出勞斯矩陣為s4182Kgs35

6+Kgs22Kg

s10由于Kg＞0，若勞斯矩陣第一列的s1行等于零，則系統(tǒng)具有共軛虛根。即當(dāng)

可解得Kg=7.0。相應(yīng)的ω值由s2行系數(shù)組成的輔助方程確定，即以s=jω代入可得：ω±1.6［40－(6+7)］s2+5×2×7=0（7）計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由于Kg＞0，若勞斯矩陣第一列第四章根軌跡分析法課件二、參數(shù)根軌跡某些開環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等，作為可變參數(shù)所繪制的根軌跡，稱之為參數(shù)根軌跡。用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)對系統(tǒng)的影響。繪制參數(shù)根軌跡的步驟如下：（1）寫出原系統(tǒng)的特征方程。（2）以特征方程中不含參數(shù)的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中原系統(tǒng)的參數(shù)即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。（3）繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。［例4.8］

控制系統(tǒng)如圖4.15所示，當(dāng)Kg=4時(shí)，試?yán)L制開環(huán)極點(diǎn)p變化時(shí)參數(shù)根軌跡。解

當(dāng)Kg=4時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為二、參數(shù)根軌跡某些開環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等，作所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

（4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征方程求得。由于由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

（4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征方程求得。GDK(s)與原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)在閉環(huán)特征方程上是等價(jià)的，因此稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。GDK(s)中的參數(shù)稱為等效根軌跡增益。按照根軌跡繪圖規(guī)則，可以繪制等效系統(tǒng)的等效根軌跡從零變化到無窮大時(shí)等效系統(tǒng)的根軌跡如圖4.16所示。

所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為三、多回路系統(tǒng)的根軌跡

實(shí)際中，許多系統(tǒng)為抑制干擾以提高系統(tǒng)的性能，除了有主反饋閉環(huán)外，還設(shè)置了內(nèi)環(huán)通道，這就是多回路系統(tǒng)。例如在機(jī)電調(diào)速系統(tǒng)中，通常是除了速度反饋外，還有電流反饋形成的內(nèi)環(huán)，亦稱雙閉環(huán)系統(tǒng)。在工業(yè)過程控制中也有類似的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，如串級(jí)控制系統(tǒng)。這些都是多回路系統(tǒng)。多回路系統(tǒng)的根軌跡的繪制較單回路要復(fù)雜一些。三、多回路系統(tǒng)的根軌跡 實(shí)際中，許多系統(tǒng)為抑制干擾以提高系統(tǒng)四、正反饋系統(tǒng)的根軌跡我們知道，負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要特點(diǎn)。但在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個(gè)正反饋回路（如圖4.21所示）。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)加進(jìn)的。因此，在利用根軌跡法對系統(tǒng)進(jìn)行分析或綜合時(shí)，有時(shí)需繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。這時(shí)，繪制根軌跡的條件和規(guī)則與上述有所區(qū)別。在繪制正反饋回路的根軌跡時(shí)，需對表4.1中的一些規(guī)則，作如下修改。規(guī)則4n-m條漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角的計(jì)算公式為：

規(guī)則5在實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。

規(guī)則7根軌跡的出射角和入射角的計(jì)算公式為

除了上述3項(xiàng)規(guī)則修改外，其他規(guī)則均不變。四、正反饋系統(tǒng)的根軌跡我們知道，負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)的一個(gè)重［例4.9］設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

解

繪制步驟如下：（1）根軌跡起點(diǎn)在0，－1，－5。共有三支，終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。

（2）趨于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與實(shí)軸相交于－2，夾角由（4-53）計(jì)算，結(jié)果為0°，120°，240°

（3）實(shí)軸上根軌跡的區(qū)間：［－5，－1］和［0，∞］。

（4）根軌跡的分離點(diǎn)按下式計(jì)算

即

解得s=－3.52，－0.48由于－0.48不在根軌跡上，所以根軌跡分離點(diǎn)為－3.52，分離角為±90°系統(tǒng)的零度根軌跡如圖4.22所示。

［例4.9］設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌五、

滯后系統(tǒng)的根軌跡

包含時(shí)間滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為純時(shí)間滯后系統(tǒng)，或簡稱為滯后系統(tǒng)。滯后環(huán)節(jié)的存在使根軌跡具有一定的特殊性，并往往對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利的影響。滯后系統(tǒng)的根軌跡方程為相應(yīng)的幅值方程為幅角方程為

五、滯后系統(tǒng)的根軌跡包含時(shí)間滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為純時(shí)間滯后當(dāng)τ=0時(shí)幅值方程和幅角方程與一般系統(tǒng)的幅值方程和幅角方程相同。當(dāng)τ≠0時(shí)，特征根s=σ+jω的實(shí)部將影響幅值方程，而幅角方程也不是180°，他是ω的函數(shù)，且和k值有關(guān)，當(dāng)k=0時(shí)，幅角方程為當(dāng)k=1時(shí)，幅角方程變?yōu)轱@然，當(dāng)k值從0，1，2…變到∞時(shí)，幅角條件公式的右邊也有無窮多個(gè)數(shù)值。因此，對應(yīng)于一定的Kg值，同時(shí)滿足幅值條件和幅角條件的復(fù)平面上的點(diǎn)有無窮多個(gè)，即滯后系統(tǒng)的根軌跡有無窮多支?？梢?，繪制一般系統(tǒng)的根軌跡的基本法則，用于滯后系統(tǒng)均應(yīng)作相應(yīng)的更改。

當(dāng)τ=0時(shí)幅值方程和幅角方程與一般系統(tǒng)的幅值方程和幅角方程相4．4控制系統(tǒng)的根軌跡分析4．4控制系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。根據(jù)根軌跡→求已知參數(shù)（一般為σ%、tS）下的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)→分析系統(tǒng)性能。分析可包括：1.由給定參數(shù)確定閉環(huán)零、極點(diǎn)；2.分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；3.計(jì)算系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)；4.根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。一、求取閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的方法：

例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求具有阻尼比ξ=0.5的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和其它閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時(shí)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：①繪制根軌跡一、求取閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的方法：解：①繪制根軌跡②分離點(diǎn)：③與虛軸的交點(diǎn)：穩(wěn)定范圍②分離點(diǎn)：③與虛軸的交點(diǎn)：穩(wěn)定范圍④作圖求ξ=0.5時(shí)三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)④作圖求ξ=0.5時(shí)三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部之比

⑤性能分析模之比∴-s1、-s2在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過程中起著主導(dǎo)性作用，是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)?？筛鶕?jù)由-s1、-s2所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算三階系統(tǒng)。非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部之比⑤性能分析模之比∴-s1單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：Ⅰ型系統(tǒng)：單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：Ⅰ型系統(tǒng)：二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系：1.系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，與閉環(huán)零點(diǎn)無關(guān)；2.快速性好：閉環(huán)極點(diǎn)均遠(yuǎn)離虛軸，以使每個(gè)分量衰減更快；3.平穩(wěn)性好：主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于β=±45°等阻尼線上，其對應(yīng)最佳阻尼系數(shù)為ξ=0.707；二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系：4.若非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部比>5，且主導(dǎo)極點(diǎn)附近又無閉環(huán)零點(diǎn)，則非主導(dǎo)極點(diǎn)可忽略。一般可近似將高階系統(tǒng)看成由共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)或由實(shí)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)組成的一階系統(tǒng)。5.閉環(huán)零點(diǎn)可以抵消或削弱附近閉環(huán)極點(diǎn)的作用，當(dāng)某個(gè)零點(diǎn)-zi與某個(gè)極點(diǎn)-pj非常接近，成為一對偶極子。

可在系統(tǒng)中人為引入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)，以抵消對動(dòng)態(tài)過程中有明顯壞影響的極點(diǎn)，從而提高性能指標(biāo)。4.若非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部比>5，且主導(dǎo)極點(diǎn)附近又無閉環(huán)三、增加開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡和系統(tǒng)性能的影響1.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，增加-p=-2或-z=-2，討論對系統(tǒng)根軌跡和動(dòng)態(tài)性能的影響。增加零點(diǎn)后，根軌跡及其分離點(diǎn)向左偏移增加極點(diǎn)后，根軌跡及其分離點(diǎn)向右偏移三、增加開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡和系統(tǒng)性能的影響1.已知系統(tǒng)開環(huán)①增加極點(diǎn)后，Kg從0→∞，兩條根軌跡離開實(shí)軸，并進(jìn)入s右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)根軌跡仍在s左半平面時(shí)，Kg↑，β↑，ξ↓，振蕩程度↑，│ζωn│↓，衰減因子↓，快速性↓，動(dòng)態(tài)性能↓。①增加極點(diǎn)后，Kg從0→∞，兩條根軌跡離開實(shí)軸，并進(jìn)入s右半②增加零點(diǎn)后，根軌跡始終在s左半平面，最后變?yōu)閮蓚€(gè)負(fù)實(shí)根，穩(wěn)定性↑，β↓，ξ↑，σ%↓，tS↓，動(dòng)態(tài)性能↑。

∴常在工程中采用增加零點(diǎn)的方法對系統(tǒng)進(jìn)行校正。②增加零點(diǎn)后，根軌跡始終在s左半平面，最后變?yōu)閮蓚€(gè)負(fù)實(shí)根，穩(wěn)例2.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，討論增加開環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。a.原系統(tǒng)：3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，無開環(huán)零點(diǎn)，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定b.，穩(wěn)定，由于閉環(huán)極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)，階躍響應(yīng)呈衰減振蕩c.，不穩(wěn)定∴引入開環(huán)零點(diǎn)數(shù)值要適當(dāng)，才能比較顯著地改善性能。例2.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，討論增加開環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影結(jié)論：增加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響：①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布；②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距；③可構(gòu)成開環(huán)偶極子，改善系統(tǒng)性能；④根軌跡曲線向左偏移，意味著閉環(huán)極點(diǎn)向左偏移虛軸，穩(wěn)定裕度好，快速性好，所加開環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸影響越大。結(jié)論：增加開環(huán)極點(diǎn)對根軌跡的影響：①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布；②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距；③改變了根軌跡的分支數(shù)；④根軌跡曲線向右偏移，動(dòng)態(tài)性能下降，所加開環(huán)極點(diǎn)越靠近虛軸影響越大。增加開環(huán)極點(diǎn)對根軌跡的影響：本章小結(jié)1.根軌跡的基本概念（根軌跡法的前提：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知）；2.根軌跡的繪制（9條基本法規(guī)）（注意：實(shí)軸附近，虛軸附近）；3.用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能。本章小結(jié)第4章根軌跡分析法第4章根軌跡分析法閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）決定的。一個(gè)較完善的閉環(huán)控制系統(tǒng)其特征方程一般為高階，直接用時(shí)域法求解困難。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）決4.1根軌跡的基本概念4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制4.4控制系統(tǒng)的根軌跡分析4.1根軌跡的基本概念1948年伊萬斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法——根軌跡法。考慮到開環(huán)零極點(diǎn)更易獲取，在開環(huán)零、極點(diǎn)分布已知的情況下，可繪制閉環(huán)極點(diǎn)隨系統(tǒng)參數(shù)變化（如放大系數(shù)）而在s平面上移動(dòng)的軌跡（根軌跡）。用途：①對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析；②確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)、參數(shù)；③進(jìn)行設(shè)計(jì)和綜合。1948年伊萬斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法——根軌跡4．1根軌跡的基本概念

4．1根軌跡的基本概念一、根軌跡圖1.定義：根平面：在一個(gè)復(fù)平面（s平面）上標(biāo)出開環(huán)零、極點(diǎn)，并根據(jù)此描述閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，這個(gè)復(fù)平面就稱為根平面。根軌跡：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（一般為Kg，根軌跡增益）變化時(shí)，閉環(huán)特征根在根平面上所走過的軌跡。一、根軌跡圖2.用解析法繪制根軌跡（實(shí)例）例4-1：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：1.時(shí)間常數(shù)表示法主要用于頻率分析中；2.零極點(diǎn)表示法主要用于根軌跡分析中。2.用解析法繪制根軌跡（實(shí)例）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：1.時(shí)間常開環(huán)有兩個(gè)極點(diǎn)：

p1=0，p2=－2開環(huán)沒有零點(diǎn)?？梢?，當(dāng)Kg

變化，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)也隨之連續(xù)變化。當(dāng)Kg從0→∞變化時(shí)，直接描點(diǎn)作出兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡閉環(huán)特征方程為：D(s)=s2+2s+Kg

=0解得閉環(huán)特征根（亦即閉環(huán)極點(diǎn)）開環(huán)有兩個(gè)極點(diǎn)：p1=0，p2=－2（1）當(dāng)Kg

=0時(shí)，s1=0、s2

=－2，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。（2）當(dāng)0＜Kg＜1時(shí)，s1、s2均為負(fù)實(shí)數(shù)，且位于負(fù)實(shí)軸的（－2，0）一段上。（3）當(dāng)Kg=1時(shí)，s1=s2=－1，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。（4）當(dāng)1＜Kg＜∞時(shí)，s1，2=－1±，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)橐粚曹棌?fù)數(shù)極點(diǎn)。s1、s2的實(shí)部不隨Kg變化，其位于過（－1，0）點(diǎn)且平行于虛袖的直線上。（5）當(dāng)Kg＝∞時(shí)，

s1=－1+j∞、s2=－1－j∞，此時(shí)s1、s2將趨于無限遠(yuǎn)處。

（1）當(dāng)Kg=0時(shí)，s1=0、s2=－2，此時(shí)可根據(jù)根軌跡形狀評(píng)價(jià)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：（1）根軌跡增益Kg從0→∞時(shí)，根軌跡均在s平面左半部，在所有的Kg值下系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)0<Kg<1時(shí)，閉環(huán)特征根為實(shí)根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，其階躍響應(yīng)為非周期過程。（3）當(dāng)Kg=1時(shí)，閉環(huán)特征根為相同負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，其階躍響應(yīng)為非周期過程。（4）當(dāng)Kg>1時(shí)，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài),其階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。（5）有一個(gè)為0的開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，其階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess為零?？筛鶕?jù)根軌跡形狀評(píng)價(jià)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：由上述分析過程可知，系統(tǒng)的根軌跡分析的意義在于：由較易獲取的開環(huán)零極點(diǎn)分布分析閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，從而，對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行分析。但是，試探法不是繪制根軌跡的最合適方法，而且也太費(fèi)時(shí)間。對于高階系統(tǒng)，用這種解析的方法繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖是很麻煩的。實(shí)際上，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡都是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征根的關(guān)系，以及已知的開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在根平面上的分布，按照一定的規(guī)則用圖解的方法繪制出來的。

由上述分析過程可知，系統(tǒng)的根軌跡分析的意義在于：由較易二、根軌跡方程

繪制根軌跡的實(shí)質(zhì)，在于由開環(huán)零極點(diǎn)在s平面尋找閉環(huán)特征根的位置。閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為即

m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（根軌跡方程）

Kg：根軌跡增益∴在s平面上凡是滿足上式的任意一個(gè)點(diǎn)s1、s2、…、s∞，都是閉環(huán)特征根，即閉環(huán)極點(diǎn)。對應(yīng)于Kg從0→∞。二、根軌跡方程閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為1、根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是一個(gè)向量方程。相角條件：幅值條件：1、根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是相角條件方程和kg無關(guān)，s平面上任意一點(diǎn)，只要滿足相角條件方程，則必定同時(shí)滿足幅值條件，該點(diǎn)必定在根軌跡上，即對應(yīng)不同的kg時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。（實(shí)、虛軸選用相同的比例尺刻度）相角條件方程和kg無關(guān)，s平面上任意一點(diǎn)，只要滿2、幅值條件和相角條件應(yīng)用

為從一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)指向s的向量為從一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)指向s的向量向量的模為長度，即s平面上兩點(diǎn)之間的距離；相角為此向量指向方向與實(shí)軸之間的夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；1.可以直接計(jì)算；2.或在圖上直接測量S為試探點(diǎn)2、幅值條件和相角條件應(yīng)用為從一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)指向s的向量向量解：

不符合相角條件，

s1不在根軌跡上。滿足相角條件，s2在根軌跡上。（1）.用相角條件求根軌跡（試探法）例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷是否在根軌跡上。解：不符合相角條件，滿足相角條件，s2在根軌跡上。（1）.（2）.用幅值條件確定kg的值解：例：求上例中根軌跡上點(diǎn)對應(yīng)的Kg。、也可以用直尺測量向量的長度。（2）.用幅值條件確定kg的值解：例：求上例中根軌跡上小結(jié)：相角條件判斷是否閉環(huán)極點(diǎn)（根）幅值條件確定對應(yīng)的根軌跡增益圖解法：注意坐標(biāo)、比例但是控制系統(tǒng)的根軌跡圖不能遍歷s平面上所有的點(diǎn)來繪制。因?yàn)樵跐M足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡的圖是有一些規(guī)律的。依據(jù)繪制軌跡圖的一些基本法則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。小結(jié)：4．2繪制根軌跡的基本規(guī)則

4．2繪制根軌跡的基本規(guī)則由開環(huán)零、極點(diǎn)→當(dāng)Kg為可變參數(shù)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡。由開環(huán)零、極點(diǎn)→當(dāng)Kg為可變參數(shù)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡。是Kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)Kg從0→+∞連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)連續(xù)變化，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線?！呔€性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實(shí)數(shù)，∴閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括一對純虛根），根軌跡對稱于實(shí)軸。一、連續(xù)性與對稱性是Kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。∵線性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實(shí)數(shù)，二、根軌跡的分支數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)為n階，故開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)數(shù)都為n個(gè)，當(dāng)Kg從0→+∞變化時(shí)，n個(gè)根在s平面上連續(xù)形成n條根軌跡。一條根軌跡對應(yīng)一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)隨Kg的連續(xù)變化軌跡。

根軌跡的分支數(shù)=系統(tǒng)的階數(shù)二、根軌跡的分支數(shù)三、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件有：1.起點(diǎn)：Kg=0，等式右邊=∞，僅當(dāng)成立，∴n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)。三、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件有：1.起點(diǎn)：Kg=0，等∴另外n－m條根軌跡終止于∞處（±∞，相角可為任意方向）。結(jié)論：根軌跡以n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)為起點(diǎn)；以m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為終點(diǎn)，另外n－m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。

2.終點(diǎn)：kg=∞，等式右邊=0①當(dāng)②由于n>m時(shí)，只有s→∞處成立，m條根軌跡終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處；∴另外n－m條根軌跡終止于∞處（±∞，相角可為任意方向）。結(jié)四、根軌跡的漸近線

若n>m，當(dāng)Kg從0→+∞時(shí)，有(n–m)條根軌跡分支沿著實(shí)軸正方向夾角θ，截距為的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)：僅當(dāng)s足夠大時(shí)，根軌跡才向漸近線逐漸逼近，Kg→∞，根軌跡才與漸近線重合。一般直接取180o。四、根軌跡的漸近線若n>m，當(dāng)Kg從0→+∞-2-10-2-10-2-10-2-10［例4-1］已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡的支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，試確定漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)及漸近線的傾斜角。

解

由于n=3，所以有3條根軌跡，起點(diǎn)分別在由于m=0，開環(huán)傳遞函數(shù)沒有有限值零點(diǎn)，所以三條根軌跡的終點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)－σ及傾斜角分別為

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。根軌跡的起點(diǎn)和三條漸近線如圖4.4所示。［例4-1］已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解由于n=3，所五、實(shí)軸上的根軌跡①、兩向量對稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反；、兩向量也對稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反。開環(huán)復(fù)平面上的開環(huán)零、極點(diǎn)，由于是共軛復(fù)數(shù)對，對實(shí)軸上任一點(diǎn)s1的相角影響為0，對于實(shí)軸上根軌跡的判別來說不影響幅角條件?！嗯袛鄐1是否落在根軌跡上，共軛零、極點(diǎn)不考慮。五、實(shí)軸上的根軌跡①、③位于s1左邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：、向量引起的相角為0°∴判斷s1是否落在根軌跡上，位于s1左邊的零、極點(diǎn)不考慮。②位于s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：每個(gè)零、極點(diǎn)提供180°相角。結(jié)論：s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)（開環(huán)）個(gè)數(shù)的總和為奇數(shù)，則s1位于根軌跡上。③位于s1左邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：、［例4.2］設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求實(shí)軸上的根軌跡。解

系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為－0.5，開環(huán)極點(diǎn)為0（二重極點(diǎn)），－1，－1.5，－4（如圖4.5所示）。根據(jù)實(shí)軸上根軌跡的判別條件可以得到區(qū)間［－4，－5］右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為5，以及區(qū)間［－1，－0.5］右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為3，均為奇數(shù)，故實(shí)軸上根軌跡在上述兩區(qū)間內(nèi)如圖中所示。［例4.2］設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為六、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。此點(diǎn)對應(yīng)于二重根（實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)根）。一般多出現(xiàn)在實(shí)軸上。分析：1.如圖，，為實(shí)軸上的根軌跡。兩條根軌跡分別由-p1和-p1出發(fā)，隨kg的增大，會(huì)合于a點(diǎn)繼而又分開，離開實(shí)軸，進(jìn)入復(fù)平面，再回到實(shí)軸，會(huì)合于b點(diǎn)再離開，一條終止于-z1，另一趨于負(fù)無窮遠(yuǎn)處。六、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一2.規(guī)律：①若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間存在根軌跡，之間必有分離點(diǎn)；②若實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（一個(gè)可視為無窮遠(yuǎn)）之間存在根軌跡，之間必有會(huì)合點(diǎn)；③若實(shí)軸上開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之間存在根軌跡，則其間可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)，也可能都沒有。2.規(guī)律：3.求分離角（會(huì)合角）：在分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）上，根軌跡切線與正實(shí)軸的夾角，l為相分離的根軌跡分支數(shù)。

3.求分離角（會(huì)合角）：在分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）上，根軌跡切線與正4.分離點(diǎn)的求取消Kg得：特征方程：→s分離點(diǎn)①重根法特征方程：A（s）=0具有重根，則：4.分離點(diǎn)的求取消Kg得：特征方程：→s分離點(diǎn)①重②極值法③牛頓余數(shù)定理的使用（二階以上）②極值法③牛頓余數(shù)定理的使用（二階以上）舉例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。解：（用重根法）舉例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實(shí)軸上的分判斷：開環(huán)極點(diǎn)有三個(gè)∴在實(shí)軸上為根軌跡，則s1滿足，為分離點(diǎn)。-2-10-0.423判斷：開環(huán)極點(diǎn)有三個(gè)∴在實(shí)軸上七、根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角入射角：止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角：由其它各開環(huán)零點(diǎn)指向的向量的幅角：由其它各開環(huán)極點(diǎn)指向的向量的幅角入射角：出射角：七、根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)［例4.4］設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖4.10所示，試確定根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。

解

利用公式（4.30），由作圖可得考慮到幅角的周期性，取=－26.6°。同理，可得=+26.6°。

［例4.4］設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖4.10所示，試確定根八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)隨著Kg↑，根軌跡可能由s左半平面→右半平面，系統(tǒng)會(huì)從穩(wěn)定→不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。

求解方法（兩種方法）：②勞斯判據(jù)：第一列有0元素（純虛根），代入輔助方程，此處的增益→臨界根軌跡增益Kgp。①令s=jω代入閉環(huán)特征方程A（s）=0，再令求出ω、交點(diǎn)坐標(biāo)和Kg。八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)隨著Kg↑，根軌跡可能由s左半例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)、臨界根軌跡增益kgp。解：①

∴交點(diǎn)坐標(biāo)：得：（舍去）令s=jω代入有例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)、臨界根軌跡當(dāng)時(shí)，s1行等于0，有一對純虛根，輔助方程

1230s3s2s1s0

解：②勞斯判據(jù)當(dāng)時(shí)，s1行等于0，有一對-2-10-0.423根軌跡和虛軸交點(diǎn)相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。即K>3后，系統(tǒng)不穩(wěn)定（有閉環(huán)右極點(diǎn)）。-2-10-0.423根軌跡和虛軸交點(diǎn)相應(yīng)于系九、閉環(huán)極點(diǎn)的和由根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)：開環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)之和=常數(shù)表明，隨著Kg↑，若閉環(huán)一些特征根增大時(shí)，另一些特征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。即一些分支向右移動(dòng)時(shí)，另一些分支必向左移動(dòng)，保持左右平衡。①可根據(jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向。②對于某一Kg，若已知（n-1）個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，可求最后一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。九、閉環(huán)極點(diǎn)的和由根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)：開環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由根與系數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為∴

是一個(gè)n階方程，設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）分別為，則由根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，∴設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由根與系數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，試求其相應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，并求交點(diǎn)處的臨界根軌跡增益Kgp解：開環(huán)極點(diǎn)之和閉環(huán)極點(diǎn)之和：例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為-2-10-0.423③①②①向左，②、③關(guān)于實(shí)軸對稱，只能向右移動(dòng)。-2-10-0.423③①②①向左，②、③關(guān)于實(shí)小結(jié)：①按9條規(guī)則→繪制控制系統(tǒng)從Kg=0→+∞時(shí)根軌跡的草圖→直觀分析Kg變化對性能的影響；②進(jìn)一步根據(jù)幅角條件，采用試探法準(zhǔn)確確定若干點(diǎn)的位置（特別是虛軸附近或原點(diǎn)附近）→精確根軌跡。（根軌跡的重要部位，穩(wěn)定→不穩(wěn)定）小結(jié)：4．3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制4．3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制例4.6：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解

繪制根軌跡圖的步驟如下：（1）根軌跡共有2支。起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)s=－0.1，－1.5，一支根軌跡的終在s=－1，另一支沿負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間（－∞，－1），［－0.5，－0.1］。（3）根軌跡在實(shí)軸的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)已在例4.3中求得：分離點(diǎn)坐標(biāo)為－σd1=－0.33，Kgd1=0.06；會(huì)合點(diǎn)的坐標(biāo)為－σd2=－1.67，Kgd2=22.6。（4）復(fù)平面上的根軌跡是圓。

一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡例4.6：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解繪制根軌跡圖的步驟如下例4.7：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解

繪制步驟如下：（1）求得系統(tǒng)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為－1±j。（2）根軌跡共有4條，起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)0，－3，－1±j，一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)－2其余3條終止于無窮遠(yuǎn)處。（3）根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸進(jìn)線傾角為當(dāng)k=0，1，2時(shí)分別和傾斜角為60°，180°，300°（4）實(shí)軸上根軌跡在區(qū)間（－∞，－3）和［－2，0］。（5）實(shí)軸上無分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。（6）根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)－1±j的出射角已在例4-4中求得為±26.6°例4.7：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解繪制步驟如下：（6）根軌跡（7）計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即

列出勞斯矩陣為s4182Kgs35

6+Kgs22Kg

s10由于Kg＞0，若勞斯矩陣第一列的s1行等于零，則系統(tǒng)具有共軛虛根。即當(dāng)

可解得Kg=7.0。相應(yīng)的ω值由s2行系數(shù)組成的輔助方程確定，即以s=jω代入可得：ω±1.6［40－(6+7)］s2+5×2×7=0（7）計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由于Kg＞0，若勞斯矩陣第一列第四章根軌跡分析法課件二、參數(shù)根軌跡某些開環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等，作為可變參數(shù)所繪制的根軌跡，稱之為參數(shù)根軌跡。用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)對系統(tǒng)的影響。繪制參數(shù)根軌跡的步驟如下：（1）寫出原系統(tǒng)的特征方程。（2）以特征方程中不含參數(shù)的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中原系統(tǒng)的參數(shù)即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。（3）繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。［例4.8］

控制系統(tǒng)如圖4.15所示，當(dāng)Kg=4時(shí)，試?yán)L制開環(huán)極點(diǎn)p變化時(shí)參數(shù)根軌跡。解

當(dāng)Kg=4時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為二、參數(shù)根軌跡某些開環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等，作所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

（4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征方程求得。由于由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

（4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征方程求得。GDK(s)與原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)在閉環(huán)特征方程上是等價(jià)的，因此稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。GDK(s)中的參數(shù)稱為等效根軌跡增益。按照根軌跡繪圖規(guī)則，可以繪制等效系統(tǒng)的等效根軌跡從零變化到無窮大時(shí)等效系統(tǒng)的根軌跡如圖4.16所示。

所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為三、多回路系統(tǒng)的根軌跡

實(shí)際中，許多系統(tǒng)為抑制干擾以提高系統(tǒng)的性能，除了有主反饋閉環(huán)外，還設(shè)置了內(nèi)環(huán)通道，這就是多回路系統(tǒng)。例如在機(jī)電調(diào)速系統(tǒng)中，通常是除了速度反饋外，還有電流反饋形成的內(nèi)環(huán)，亦稱雙閉環(huán)系統(tǒng)。在工業(yè)過程控制中也有類似的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，如串級(jí)控制系統(tǒng)。這些都是多回路系統(tǒng)。多回路系統(tǒng)的根軌跡的繪制較單回路要復(fù)雜一些。三、多回路系統(tǒng)的根軌跡 實(shí)際中，許多系統(tǒng)為抑制干擾以提高系統(tǒng)四、正反饋系統(tǒng)的根軌跡我們知道，負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要特點(diǎn)。但在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個(gè)正反饋回路（如圖4.21所示）。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)加進(jìn)的。因此，在利用根軌跡法對系統(tǒng)進(jìn)行分析或綜合時(shí)，有時(shí)需繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。這時(shí)，繪制根軌跡的條件和規(guī)則與上述有所區(qū)別。在繪制正反饋回路的根軌跡時(shí)，需對表4.1中的一些規(guī)則，作如下修改。規(guī)則4n-m條漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角的計(jì)算公式為：

規(guī)則5在實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。

規(guī)則7根軌跡的出射角和入射角的計(jì)算公式為

除了上述3項(xiàng)規(guī)則修改外，其他規(guī)則均不變。四、正反饋系統(tǒng)的根軌跡我們知道，負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)的一個(gè)重［例4.9］設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

解

繪制步驟如下：（1）根軌跡起點(diǎn)在0，－1，－5。共有三支，終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。

（2）趨于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與實(shí)軸相交于－2，夾角由（4-53）計(jì)算，結(jié)果為0°，120°，240°

（3）實(shí)軸上根軌跡的區(qū)間：［－5，－1］和［0，∞］。

（4）根軌跡的分離點(diǎn)按下式計(jì)算