土體本構模型-高等土力學03-2009

土體本構模型-高等土力學03-2009第一頁，共220頁。本構關系：材料的應力－應變(時間)關系本構模型：反映材料的應力－應變(時間)關系的數(shù)學模型，即數(shù)學表達式。當然，這種數(shù)學表達式可能很復雜，而且包括一系列的數(shù)學表達式。第二頁，共220頁?！?.應力和應變(一）應力和應變分量的幾種表示方法1.一般分量土體中一點的應力狀態(tài)，可以用處于該點的正六面體單元的表面上的6個（9個）應力分量來表示，即3個正應力分量，3個剪應力分量寫成矩陣形式為圖5－1中表示了單元體上的這6個應力分量。相應地，也有6個應變分量，以矩陣表示為應力偏量（1）矩陣或向量表示法第三頁，共220頁?！?.應力和應變圖5-1（2）張量表示法如果某些量依賴與坐標軸的選取，并且，當座標變換時，它們的變換具有某種指定的形式，則這些量總稱為張量。一點的應力分量就總稱為應力張量。在進行公式推導時，一般盡量用一種表示方法：矩陣或張量，不宜混用第四頁，共220頁。在彈性力學中，法向應力和應變以拉為正，壓為負；而土體一般不能受拉，土力學中討論的地基應力、土壓力等，都是以壓為正，拉為負。因此，土力學中，應力應變分量的正負規(guī)定就與彈性力學相反，即正面上的負向應力為正，負面上的正向應力為正。不僅正應力如此，剪應力也如此，以保持一致，并能套用彈性力學公式。注意：§1.應力和應變第五頁，共220頁。2.主應力應變分量在正六面體單元中可以找到3個互相垂直的面，其上剪應力為0，只作用有正應力。這樣的面叫正應力面，所作用的正應力叫主應力。3個面上的主應力按大小排列，分別為大主應力、中主應力和小主應力?！?.應力和應變應力狀態(tài)表示方法之一：主應力＋方向余弦主應力與坐標軸的選擇無關，應變也可用三個主應變分量表示，矩陣形式第六頁，共220頁。將坐標系的三個軸順著三個主應力方向放，分別以1，2，3表示，如圖5-2所示。再對這個坐標系的8個掛限分別作等傾面。8個掛限的等傾面圍成了一個正八面體。這些等傾面叫八面體面。根據(jù)力的平衡關系可以推得正八面體面上的正應力和剪應力分別為3.八面體應力和應變圖5-2§1.應力和應變第七頁，共220頁。剪應力τOCT作用在八面體面上還有個方向問題。這決定于中主應力接近大主應力還是小主應力。與應力相應，還有八面體面上的應變，正應變和剪應變分別為§1.應力和應變第八頁，共220頁。

在土體本構模型理論中，常常也用球應力和偏應力、m或q作為應力分量。球應力也稱為平均正應力以p表示4.球應力、偏應力及相應應變偏應力又叫廣義剪應力，以q表示§1.應力和應變應力洛德角或洛德參數(shù)第九頁，共220頁。p和q也可以用八面體應力來表示，如下另外p＝

ｑ反映了復雜應力狀態(tài)下受剪的程度，因此常用來表示剪應力。當時，如軸對稱的三軸儀試樣受力情況，ｑ＝§1.應力和應變第十頁，共220頁。可以推知相應的應變分量類比體積應變：偏應變：其中表示了復雜受力狀態(tài)下的剪切變形。對于軸對稱三軸試樣的變形，有§1.應力和應變第十一頁，共220頁。球應力和偏應力，以及相應的應變分量，實際上與八面體應力和應變是等效的，僅僅是系數(shù)不同。但在分析能量時，要簡單得多?？梢酝频茫貉由祗w積變形能：形變能：§1.應力和應變第十二頁，共220頁。對于一組確定的p和q，可以有許多種主應力分量的組合，解是不確定的。因此，要有第三個分量。第三個分量常取應力羅德（Lode）參數(shù)式中，，為三個應力摩爾圓的直徑，見圖5-3

§1.應力和應變還有一個參數(shù)b也反映了中主應力接近大主應力的程度。若，b=1；若,b=0第十三頁，共220頁。圖5-3相應地，也有應變羅德參數(shù)§1.應力和應變第十四頁，共220頁。5.應力不變量第一應力不變量：第二應力不變量：第三應力不變量：此外，還有下面兩個偏應力不變量，它們須與第一應力不變量Ｉ１相結合形成三個獨立的應力分量：§1.應力和應變第二偏應力不變量：第三偏應力不變量：不隨坐標軸的選取而改變表示一點應力狀態(tài)的方法？？第十五頁，共220頁。（二）應力空間和應力路徑1．應力和應變空間為了表示應力狀態(tài)，表示各應力分量的數(shù)值，常常以應力分量為坐標軸形成一個空間，叫做應力空間。該空間內的一點的幾個坐標值就是相應的應力分量。如果應力分量取三個主應力，和，以三個主應力分量為坐標軸構成一個直角坐標系，叫主應力空間。這個空間內一點有三個坐標值，就代表了實際土體中一點的某種應力狀態(tài)。圖5-4中的M點代表了應力狀態(tài)，和?！?.應力和應變第十六頁，共220頁。圖5-4§1.應力和應變彈塑性力學：Pi平面為過原點與空間主對角線垂直的平面平面第十七頁，共220頁。在主應力空間內，法線與空間主對角線重合的等傾面，被叫做π面。所謂空間主對角線，就是與3個坐標軸的夾角都相等的線。主應力空間中，在該線上有區(qū)別

八面體面是幾何空間（長度坐標系）內的面，π面是在應力空間內的面。兩者坐標系不同，物理概念不同。再者，八面體面在幾何空間內的八個掛限都有，而π面只存在于應力空間內的第一掛限和與其相對的掛限，其它掛限內的等傾面并不是π面?？臻g主對角線也只存在于這兩個掛限?！?.應力和應變第十八頁，共220頁。利用π面可以較好地反映應力狀態(tài)。圖5-4中點M的坐標代表主應力分量。通過M點作π面。它到原點的距離為在π面上，M到空間主對角線的距離＝它們分別與應力分量p和q有關。而點M在π面內的方位可反映第三個分量。將圖5-4中的三個主應力坐標軸，以及代表應力狀態(tài)的點M投影到π面上，如圖5-5所示?！?.應力和應變第十九頁，共220頁。在該面上放一個二維的直角坐標系，令Y軸與σ2軸重合，X軸在σ1

的那一側。定義到X軸的轉角θσ叫應力羅德角。它就是與第三應力分量有關的參數(shù)?？梢宰C明，它與羅德參數(shù)間的關系為：§1.應力和應變第二十頁，共220頁。應力空間還可以用其他形式的應力分量為坐標。如果以σｘ，σｙ，σｚ，τｘｙ，τｙｚ和τｚｘ六個應力分量為坐標，則應力空間是六維空間，無法用圖形表示，僅可以作抽象的理解。p-q平面§1.應力和應變第二十一頁，共220頁。如果忽略第三應力不變量或應力羅德角對變形的影響，可以只用ｐ、ｑ兩個分量來構成二維的應力空間，叫p－q平面，如圖5-6所示。在后面的本構模型理論中，常常會用到這種ｐ－ｑ平面。圖5-6§1.應力和應變表示應力狀態(tài)或應力路徑也有優(yōu)點二維問題中，第二十二頁，共220頁。類比與應力空間相應，以應變分量為坐標軸形成一個空間，叫做應變空間。該空間內的一點的幾個坐標值就是應變分量。圖5-8所示為主應變空間。它的三個坐標軸分別為

，和。圖5-8§1.應力和應變第二十三頁，共220頁。2.應力路徑在應力空間內，代表應力狀態(tài)的點移動的軌跡，叫應力路徑。它表示應力變化的過程，或者加荷的方式?！?.應力和應變第二十四頁，共220頁。圖9更常用的是用p-q平面的應力路徑與其相應，當然也有應變路徑。§1.應力和應變設土體中一點初始應力狀態(tài)如圖5-9應力空間內Ａ點所示，受力后變化到Ｂ。從Ａ到Ｂ，可以有各種方式，如σ１、σ２和σ３按比例增加；初期σ３增加得多，σ１和σ２增加得少，而后期反過來。對于某種加荷方式，代表應力狀態(tài)的點將從Ａ沿某種軌跡移動到Ｂ。加荷過程中，不同的加荷方式可以用不同的應力路徑來表示。第二十五頁，共220頁。（三）應力應變關系矩陣廣義虎克定律增量形式第二十六頁，共220頁。（三）應力應變關系矩陣復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系是多元化的，要表示出多元素與多元素之間的關系，就要用張量或矩陣。常用到的增量形式的應力應變關系的矩陣為式中[D]叫剛度矩陣，如果應力和應變分量取一般形式，各有6個分量，則矩陣[D]為6×6，共36個元素。如果用主應力和主應變分量，則矩陣[D]為3×3，共9個元素。二維問題的應力分量為，應變分量為，因此其矩陣[D]也是3×3的，將上式展開可寫成：§1.應力和應變第二十七頁，共220頁。對于任一元素Dij，其意義為，要產(chǎn)生單位應變增量而其它應變增量為0時，在應施加的應力增量中的分量。顯然，Dij的值愈大，材料愈難變形，表示材料剛度愈大?！?.應力和應變第二十八頁，共220頁。應力應變關系也可寫成相反的形式，即:式中[C]叫柔度矩陣。對于二維問題，將其展開，可寫成在復雜受力條件下，建立土的應力應變關系，實際上就是要給出矩陣[C]或[D]。

[C]或[D]互為逆矩陣§1.應力和應變Cij越大，材料越軟第二十九頁，共220頁?！?.土體三維變形的試驗１．三軸儀應力變形試驗三軸儀的構造示意如圖5-10所示。圖5-10第三十頁，共220頁。儀器構造：中間為圓柱形土樣。其下為透水石，透水石放在三軸儀底座上；試樣頂部也放有透水石再上面是金屬的試樣帽。試驗時，土樣的上下兩端與透水石接觸處，分別放置濾紙。試樣外側包有薄橡皮膜，膜的下端扎緊于底座，上端扎緊于試樣帽。所謂壓力室就是能夠施加水壓力或氣壓力的密室，側向為有機玻璃筒，上部為金屬頂蓋，下部固定于底座，其間設有密封圈防止漏水，頂蓋的中央為一金屬活塞桿傳遞豎向荷載?！?.土體三維變形試驗第三十一頁，共220頁。實驗原理：試驗時在壓力室中充水并加壓，這一壓力叫圍壓。圍壓通過橡皮膜從側向傳到試樣上，也通過試樣帽從豎向作用給土樣，此時試樣受各向相等的壓力：小主應力σ３。待固結穩(wěn)定后再用加壓設備豎向加荷。土樣上增加的豎向應力叫偏應力q（軸向附件應力），此時豎向應力為大主應力，σ1＝σ３+q。由于土樣是圓柱形的，故中主應力σ2＝σ３。在加豎向荷載時，可以用測微表量測試樣的豎向變形量ΔＬ，由此可推得軸向應變εa＝ΔＬ/L0，式中L0為初始試樣高度?！?.土體三維變形試驗第三十二頁，共220頁。三軸儀中的試樣是圓柱形的，其受力和變形是軸對稱的，它有兩個方向的應力和，同時測得兩種應變和，由它們可推出側向應變§2.土體三維變形試驗第三十三頁，共220頁。缺陷

三軸儀試樣的應力變形狀態(tài)是軸對稱的，而實際工程問題中土體應力應變狀態(tài)往往并非軸對稱的，因此需要有相應的試驗設備來研究更加復雜的應力狀態(tài)。

§2.土體三維變形試驗第三十四頁，共220頁。2.平面應變試驗巖土工程許多問題可以簡化為平面應變問題－平面問題注意：（1）三個方向的尺寸；小主應力方向尺寸應較小，試樣才能達到破壞；（2）試驗儀器中難以處理的問題；不同方向的加荷板打架！§2.土體三維變形試驗第三十五頁，共220頁。3.真三軸試驗真三軸儀的試樣為立方體，從三個方向分別施加三個主應力分量。由于加荷方式的不同，產(chǎn)生了不同型式的真三軸儀：（１）三個方向全為剛性板加荷?！?.土體三維變形試驗（２）方向為剛性板加荷，另兩方向為氣壓或液壓柔性加荷。（３）方向柔性加荷，而和方向為剛性板。第三十六頁，共220頁。圖5-12是河海大學的真三軸儀示意，屬于第（３）種類型。圖5-12a.整體結構b.加荷與變形示意§2.土體三維變形試驗第三十七頁，共220頁。實驗原理方向的傳力塊B是由多層金屬板與橡皮相間復合而成。在豎向該傳力塊可與試樣同步壓縮，而在向靠金屬板傳力保持剛性。豎向荷載由試樣和傳力塊共同承擔，但荷載傳感器只量測試樣上的荷載，從而可算得。傳壓塊B上下有滾輪，可適應試樣在向的變形。這樣方向的加荷板不要予留空隙，可使均勻作用于試樣，且試樣自始至終規(guī)整。小主應力則用氣壓施加?！?.土體三維變形試驗第三十八頁，共220頁。4.空心扭剪儀土樣P1P2a.空心圓柱試樣b.扭剪儀整體結構圖5-13§2.土體三維變形試驗外室為什么是空心而不用實心？？第三十九頁，共220頁。儀器所用的試樣為空心的圓柱體，如圖13(a)所示，儀器的整體結構如圖13(b)所示。試樣被包在內外橡皮膜之中。該儀器可以對試樣施加４種荷載，徑向內壓力、徑向外壓力、豎向壓力和環(huán)向扭剪應力，根據(jù)內外徑向應力可以推算出環(huán)向應力?！?.土體三維變形試驗第四十頁，共220頁?！?.土體三向變形的主要規(guī)律利用前面所講的一些土體應力變形試驗的儀器進行試驗研究可以揭示土體變形的許多規(guī)律。這是建立本構模型的依據(jù)。1.非線性和非彈性

圖5-15(a)是金屬和混凝土等堅硬材料的軸向拉壓曲線，圖5-15(b)為土的三軸試驗得出的軸向應力－

與軸向應變之間的關系曲線。與金屬材料不同的是，初始的直線階段很短，對于松砂和正常固結粘土，幾乎沒有直線階段，加荷一開始就呈非線性。第四十一頁，共220頁。這種非線性變化的產(chǎn)生，是因為除彈性變形以外還出現(xiàn)了不可恢復的塑性變形。土體是松散介質，受力后顆粒之間的位置調整，在荷載卸除后，不能恢復，形成較大的塑性變形。

圖15a.金屬b.土體§3.土體三向變形的主要規(guī)律第四十二頁，共220頁。如果加荷到某一應力后再卸荷，曲線將如圖16所示。ＯＡ為加荷段，ＡＢ為卸荷段。卸荷后能恢復的應變即彈性應變。不可恢復的那部分應變?yōu)樗苄詰?。圖16§3.土體三向變形的主要規(guī)律第四十三頁，共220頁。經(jīng)過一個加荷退荷循環(huán)后，再加荷，將如圖16中的ＢＣ段所示，它并不與ＡＢ線重合，而存在一個環(huán)，叫回滯環(huán)?；販h(huán)的存在表示退荷再加荷過程中能量消耗了，要給以能量的補充。再加荷還會產(chǎn)生新的不可恢復的變形，不過同一荷載多次重復后塑性變形逐漸減小。非線性和非彈性是土體變形的突出特點。彈性、塑性、粘性（流變性）§3.土體三向變形的主要規(guī)律第四十四頁，共220頁。彈性、塑性、粘性能夠恢復的變形；不能恢復的變形；狀態(tài)隨時間而變化的性質§3.土體三向變形的主要規(guī)律第四十五頁，共220頁。２．剪脹性和塑性體積應變土體受力后會有明顯的塑性體積變形。圖17為土樣在三軸儀中逐步施加各向相等的壓力ｐ后，再卸除所得到的ｐ與體積應變之間的關系曲線圖17§3.土體三向變形的主要規(guī)律p第四十六頁，共220頁?？梢姶嬖诓豢苫謴偷乃苄泽w積應變，而且它往往比彈性體積應變更大。這一點與金屬不同，金屬塑性變形是由于晶格之間的錯動滑移而造成的，只有形狀改變，不產(chǎn)生體積變化。金屬是很密實的材料，晶格間沒有可壓縮的孔隙，因此被認為是沒有塑性體積變形的。土體的塑性變形也與顆粒的錯位滑移有關。這種錯動滑移不僅在受剪時發(fā)生，受壓時也存在。在各向相等的壓力作用下，從宏觀上來說，是不受剪切的；但在微觀上，顆粒間有錯動?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第四十七頁，共220頁。剪切也會引起塑性體積變形在三軸儀中對土樣施加偏壓力的同時，減小圍壓，并令，使球應力ｐ保持不變，所得出的應力—應變曲線將如圖19所示。盡管體積應力ｐ不變，但圖中仍有體積應變，此時測得的體積應變完全是剪切造成的。在圖19（ａ）中，體積應變隨偏應力增大而增大。剪切引起的體積收縮，叫剪縮。軟土和松砂常表現(xiàn)為剪縮。§3.土體三向變形的主要規(guī)律第四十八頁，共220頁。圖5-19ab§3.土體三向變形的主要規(guī)律第四十九頁，共220頁。在圖19（ｂ）中，開始階段為剪縮，以后曲線向上彎曲，為負的體積應變，即體積膨脹，這種現(xiàn)象叫做剪脹。緊密砂土，超固結粘土，常表現(xiàn)為剪脹?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第五十頁，共220頁。a.松砂b.密砂圖5-20§3.土體三向變形的主要規(guī)律砂土受剪所產(chǎn)生體積變形可用圖20來說明。假定土體沿水平向受剪切。對于松砂，受剪后某些顆粒填入原來的孔隙，體積減小；對于密砂，原來的孔隙體積較小，受剪時一些顆粒必須上抬才能繞過前面的顆粒產(chǎn)生錯動滑移，于是體積膨脹。第五十一頁，共220頁。３．塑性剪應變土體受剪發(fā)生剪應變。剪應變的一部分與骨架的輕度偏斜相對應，荷載卸除后能恢復，是彈性剪應變。另一部分則與顆粒之間的相對錯動滑移相聯(lián)系，荷載卸除后不能恢復，為塑性剪應變。不僅剪應力能引起剪應變，體積應力也會引起剪應變。三軸儀中的土樣在應力和下變形穩(wěn)定后，保持不變而降低,見圖21（a），則會發(fā)現(xiàn)，隨著減小，軸向應變不斷增大，直至最后達到破壞。§3.土體三向變形的主要規(guī)律第五十二頁，共220頁。a.單元體應力變化

c.應力路徑

§3.土體三向變形的主要規(guī)律AespBBAqp破壞線AB破壞線b.摩爾圓變化

d.剪應變等q試驗第五十三頁，共220頁。在這一應力變化過程中，應力摩爾圓直徑不變，位置不斷向左移動，如圖21（b），摩爾圓從Ａ移動到Ｂ。當圍壓降到一定值，摩爾圓與庫侖破裂線相切，土樣剪壞，這時剪應變已發(fā)展到很大數(shù)值。由此可見，球應力的變化確實引起了不可恢復的剪應變。這種應力變化可以用圖21（c）中ｑ－ｐ坐標系中的線段ＡＢ來表示。還可點繪出剪應變εs隨球應力ｐ減小而增加的關系曲線，如圖21（d）中的ＡＢ段?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第五十四頁，共220頁。４．硬化和軟化三軸試驗測得的軸向應力σ１－σ３與軸向應變εａ的關系曲線有兩種形態(tài)。圖22（ａ）所示曲線有一直上升的趨勢直至破壞，這種形狀的應力應變關系叫硬化型,軟土和松砂表現(xiàn)為這種形態(tài)圖22(a)§3.土體三向變形的主要規(guī)律第五十五頁，共220頁。圖22（ｂ）所示曲線前面部分是上升的，應力達到某一峰值后轉為下降曲線，即應力在降低，而應變卻在增加，這種形態(tài)叫做軟化型。緊密砂和超壓密粘土表現(xiàn)為這種形態(tài)。圖22(b)§3.土體三向變形的主要規(guī)律第五十六頁，共220頁。將εａ轉換為εｓ，點繪ｑ－εｓ曲線，其形式與圖22也相似，存在硬化和軟化兩種形式。對于其他剪切試驗（如直剪、單剪），得出的τ－γ關系曲線也有硬化和軟化的區(qū)別?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第五十七頁，共220頁。５．應力路徑對變形的影響巖土材料存在較大的塑性變形。沿不同的應力路徑加荷，各階段的塑性變形增量不同，累積起來，就有不同的應變總量。這就是應力路徑對變形的影響。圖23ab§3.土體三向變形的主要規(guī)律第五十八頁，共220頁。虛線ＡＣ表示排水試驗的有效應力路徑。實線ＡＢＣ表示先做不排水試驗，其有效應力路徑為ＡＢ，達到接近破壞的Ｂ點后，排水固結，保持ｑ不變而ｐ增加，應力路徑為ＢＣ。兩種應力路徑初始和終了應力狀態(tài)相同，兩種路徑所對的軸向應變εａ大不同。實線，因Ｂ點接近破壞線，必然產(chǎn)生較大的軸向應變，最終εａ必然較大如圖23（ｂ）中的ＡＢＣ線所示。虛線遠離破壞線，其軸向應變必然較小，如圖23（ｂ）中的ＡＣ1線所示?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第五十九頁，共220頁。６．應力歷史對變形的影響應力歷史指歷史上的應力路徑。由于塑性變形不可恢復，歷史上發(fā)生的變形將保存和積累起來。它無疑會影響今后的變形。圖24中，Ａ、Ｂ兩點具有相同的應力σ１－σ３，然而Ａ點處于初始加荷曲線上，Ｂ點處于再加荷曲線上，兩點對應不同的，它們所處應力—應變關系曲線的斜率也不同。如果施加同樣的荷載增量，則對應Ａ狀態(tài)的土體應變增量大，而對應Ｂ狀態(tài)的土體應變增量小。因Ａ、Ｂ兩點有著不同的應力歷史，加荷后就有不同的變形。超固結土比正常固結土變形小，也是這個緣故?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第六十頁，共220頁。圖24§3.土體三向變形的主要規(guī)律又如，壓縮試驗中，Pc的影響圖24中，Ａ、Ｂ兩點具有相同的應力σ１－σ３，然而Ａ點處于初始加荷曲線上，Ｂ點處于再加荷曲線上，兩點對應不同的，它們所處應力—應變關系曲線的斜率也不同。如果施加同樣的荷載增量，則對應Ａ狀態(tài)的土體應變增量大，而對應Ｂ狀態(tài)的土體應變增量小。因Ａ、Ｂ兩點有著不同的應力歷史，加荷后就有不同的變形。超固結土比正常固結土變形小，也是這個緣故。第六十一頁，共220頁。７．各向異性地基土一般是水平向成層。由于土沉積過程中水平和豎直方向條件不同，土的結構存在著差異，使土體在許多方面表現(xiàn)為各向異性。應力—應變關系也不例外，這種叫原生各向異性。此外，各向應力狀態(tài)不同，還能引起新的各向異性。重塑土本來不存在土體結構上的兩向差異，但只要各向應力不等，在應力—應變關系上就會表現(xiàn)為各向異性，稱為應力引起的各向異性。----次生各向異性§3.土體三向變形的主要規(guī)律第六十二頁，共220頁。ab圖25應力引起的各向異性§3.土體三向變形的主要規(guī)律ABA平面應變條件下，分別從大主應力和小主應力方向分別加載Δσ第六十三頁，共220頁。剛度矩陣或柔度矩陣為非對稱：C12<>C21;C11=C22§3.土體三向變形的主要規(guī)律A第六十四頁，共220頁。8、固結應力對變形的影響高壓三軸試驗資料表明，土體在高圍壓（固結應力）下的變形性狀與低圍壓情況下有所不同。主要有如下三個方面：（1）強度包線不呈直線，而是呈向下微彎的曲線，如圖28（a）所示。這表示有效強度指標隨著固結壓力的增加而降低了。為了反映這種變化，可以用折線來代替曲線，也就是在不同的壓力范圍用不同的強度指標。如圖28（b）所示，壓力低于σA，用1，壓力高于σA，用2?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第六十五頁，共220頁。8、固結應力對變形的影響§3.土體三向變形的主要規(guī)律f0Df如何確定？第六十六頁，共220頁。（2）有些土，如緊密砂，在低壓力下受剪時體積會發(fā)生膨脹。而在高壓力下，所有土都表現(xiàn)為剪縮，如圖29中所示的εv-εa曲線。（3）軟化現(xiàn)象一般也是在低壓力下表現(xiàn)出來的。在高壓下，通常（σ1-σ3）-

εa曲線是硬化型的，如圖29所示?！?.土體三向變形的主要規(guī)律第六十七頁，共220頁。

圖29不同圍壓下的應力—應變曲線§3.土體三向變形的主要規(guī)律第六十八頁，共220頁?！?.土體三向變形的主要規(guī)律9、中主應力對變形的影響中主應力對強度影響平面應變條件下測定的摩擦角比軸對稱條件下大3－5度；中主應力對應力－應變曲線有影響b=0;b=0.5;b=1.0第六十九頁，共220頁?！?.彈性非線性模型引言實際工程中的初始應力狀態(tài)、應力增量和應力路徑是千變萬化的，試驗無法模擬這種復雜的變化。因此，必須通過假定、推理、驗證，建立某種符合實際變形規(guī)律的數(shù)學計算方法－數(shù)學模型，將少量的特定條件下試驗得出的結果推廣到一般，運用于工程。這種數(shù)學模型就是本構模型。第七十頁，共220頁。§4.彈性非線性模型引言線性彈性模型（廣義虎克定律）第七十一頁，共220頁?！?.彈性非線性模型線性彈性模型（廣義虎克定律）用E、v，v<0.5,不能反映剪脹用K、G，其取值基本沒有限制,能反映剪脹第七十二頁，共220頁。§4.彈性非線性模型引言線性彈性模型（廣義虎克定律）第七十三頁，共220頁?！?.彈性非線性模型引言第七十四頁，共220頁。§4.彈性非線性模型引言假定土體為線彈性材料會有較大誤差，因此提出非線性彈性模型。式中只含有兩個參數(shù)：彈性模量E和泊松比ν，它隨應力狀態(tài)變化,通過試驗得出彈性參數(shù)隨應力而變化的規(guī)律，從而建立相應公式。第七十五頁，共220頁?！?.彈性非線性模型彈性模量E和泊松比ν，體積變形模量K和剪切模量G它隨應力狀態(tài)變化,通過試驗得出彈性參數(shù)隨應力而變化的規(guī)律，從而建立相應公式。第七十六頁，共220頁。（一）彈性參數(shù)的確定1、彈性模型E由應力應變全量的廣義虎克定律，當σ2

=σ3=0時，，因此，。對于粘性土，做無側限壓縮試驗，此時，σ2

=σ3=0

，加豎向應力σ，測相應的應變，見圖32（a）。點繪出軸向應力σ與軸向應變的關系曲線，如圖32（b）所示；曲線上的點A所對應的大主應力σ1

=σ，大主應變=

，故彈性模量它是曲線在點A

處的割線的斜率，故稱割線模量，以Es表示。§4.彈性非線性模型第七十七頁，共220頁?！?.彈性非線性模型b：割線模量a圖32c：泊松比第七十八頁，共220頁。對于增量廣義虎克定律，用Et和νt分別表示模量和泊松比，則

無側限壓縮試驗時，,自然有。因此，曲線的切線斜率，就等于增量關系中的彈性模量，稱切線模量，

§4.彈性非線性模型第七十九頁，共220頁。2、泊松比ν寫出廣義虎克定律的另一個式子做無側限壓縮試驗，，而故量測側向膨脹應變,它就是。點繪關系曲線，見圖32（c），則線上一點割線的斜率就等于全量的泊松比，叫割線泊松比，以νs表示，.。自然，曲線的切線斜率具有切線泊松比的意義，以νt

表示§4.彈性非線性模型第八十頁，共220頁。它用于反映增量的應力應變關系。圖32(c)§4.彈性非線性模型復雜應力狀態(tài)下E、v的定義？？？第八十一頁，共220頁。3、體積模量B在三軸儀中對土樣施加各向相等的壓力σ3，也就是球應力p，逐步增大，測相應的體積應變可點繪出關系曲線，如圖5-34所示，其割線斜率為割線體積模量圖5-34切線的斜率為切線體積模量§4.彈性非線性模型第八十二頁，共220頁。4、剪切模量G在三軸儀試驗中對土樣逐級施加偏應力測相應的軸向應變，可求得偏應變?yōu)榘嗣骟w剪應力：八面體剪應變：

利用八面體面上的剪應力剪應變間的關系可確定剪切模量§4.彈性非線性模型第八十三頁，共220頁。點繪關系曲線，可得割線剪切模量Gs

和切線剪切模量Gt

如圖35所示。圖35§4.彈性非線性模型第八十四頁，共220頁。(二)、雙曲線模型(鄧肯-張模型)一.切線彈性模量康納等人發(fā)現(xiàn)，在加荷時，－關系曲線可以用雙曲線來擬合，如圖5-36（ａ）所示。對于某一小主應力來說，可以用下式表示式中，ａ和ｂ為試驗常數(shù)。上式也可寫成§4.彈性非線性模型第八十五頁，共220頁。若以為縱坐標，為橫坐標，構成新的坐標系，則雙曲線轉換成直線，見圖36（ｂ），其斜率為ｂ，截距為ａ。ab圖5-36§4.彈性非線性模型第八十六頁，共220頁。鄧肯和張利用上述關系推導出了彈性模量公式。在不變條件下，由式得增量的彈性模量將式代入上式得由式得§4.彈性非線性模型第八十七頁，共220頁。代入式得§4.彈性非線性模型現(xiàn)在來研究ａ和ｂ的意義以及它們隨應力的變化。由式可見，當→０時第八十八頁，共220頁?！?.彈性非線性模型

而是曲線－的初始切線斜率，其意義為初始切線模量，用Ei來表示，見圖5-36（ａ）。因此這表示ａ是初始切線模量的倒數(shù)。試驗表明，隨σ3

變化。如果在雙對數(shù)紙上點繪和的關系，則近似地為一直線，如圖5-37所示。第八十九頁，共220頁?！?.彈性非線性模型

圖5-37這里為大氣壓力。引入是為了使縱橫坐標化為無因次量。直線的截距為，斜率為。于是有，,由此得，第九十頁，共220頁。§4.彈性非線性模型

由式還可見，當→∞時這里用表示當→∞時的值，也就是的漸近值。實際上，不可能趨向無窮大，在達到一定值后試樣就破壞了，這時的偏應力為，它總是小于第九十一頁，共220頁。叫破壞比。將式和式代入式，并利用上式，得§4.彈性非線性模型

令第九十二頁，共220頁。§4.彈性非線性模型

ｓ叫應力水平。它表示當前應力圓直徑與相同小主應力條件下破壞應力圓直徑之比，反映了強度發(fā)揮程度。式（5-43）也可寫成令第九十三頁，共220頁?！?.彈性非線性模型

破壞偏應力與固結壓力有關，由下圖中的幾何關系不難推出將上式和式（5-40）代入式（5-43），得

Et隨應力水平增加而降低，隨固結壓力增加而增加。包含５個參數(shù)，ｃ、φ為強度指標，另外三個數(shù)K、ｎ和Rf第九十四頁，共220頁?！?.彈性非線性模型５個參數(shù)確定：ｃ、φ為強度指標，另外三個數(shù)K、ｎ和Rf的確定方法在推導中已作說明Rf對不同的s3會有不同的值，取平均值

第九十五頁，共220頁。二、切線泊松比圖5-35中所示為三軸試驗測得的關系曲線。利用式（5-21）可由體積應變推出側向應變。普通三軸儀豎向加荷，側向為膨脹應變，故為負值。點繪關系曲線，如圖5-41（ａ）所示。庫哈威和鄧肯也用雙曲線來擬合，與式（5-34）相似，將有式中ｆ和Ｄ為兩個參數(shù)。將上式轉換成§4.彈性非線性模型第九十六頁，共220頁。ab圖41它表示，若以為縱坐標，為橫坐標，則試驗關系將為一直線，如圖41（ｂ）所示§4.彈性非線性模型第九十七頁，共220頁。由上式可得如果將圖5-41（a）縱橫坐標交換，就成為曲線。其斜率為增量泊松比將式（5-49）代入上式，并利用式（5-35a）把所含用應力來代替可得§4.彈性非線性模型（5-49）第九十八頁，共220頁。其中§4.彈性非線性模型第九十九頁，共220頁?！?.彈性非線性模型由式（5-47），當（-）→∞時，Ｄ＝?？梢姡氖菨u近值的倒數(shù)。當（-）→０時式中，為初始切線泊松比，即各向等壓狀態(tài)下的泊松比。對于不同的σ３，有不同的值，在半對數(shù)紙上點繪與關系曲線，近似為一直線，如圖5-42所示。其截距為Ｇ，斜率為Ｆ。于是有初始切線泊松比為第一百頁，共220頁?！?.彈性非線性模型圖5-42最后得切線泊松比公式為第一百零一頁，共220頁?！?.彈性非線性模型上式算得的有時可能大于０.５，在試驗中測得的ν值也確有可能超過０.５，這是由于土體存在剪脹性。然而，有限元計算中，ν若大于或等于０.５，勁度矩陣就出現(xiàn)異常。因此，實際計算中，當ν＞０.４９時，令ν＝０.４９參數(shù)G、F、D。第一百零二頁，共220頁。三、切線體積模量鄧肯等人還提出了一種確定切線體積模量的方法，并在有限元計算中使用和兩參數(shù)。這習慣上被稱做Ｅ－Ｂ模型，而計算中使用和者被稱作Ｅ－ν模型。對于E-B模型，二維問題的剛度矩陣可表示為在三軸試驗中施加偏應力，則平均正應力的變化為。因此§4.彈性非線性模型第一百零三頁，共220頁。鄧肯等人假定，Ｂ與應力水平ｓ無關，或者說與偏應力

無關，它僅僅隨固結壓力σ３而變。對于同一σ３，為常量。由上式可見，這相當于假定與

成比例關系。根據(jù)這種假定，對同一σ３，如果點繪

/3－

關系曲線，應為一直線，如圖5-43所示?！?.彈性非線性模型第一百零四頁，共220頁。圖5-43§4.彈性非線性模型鄧肯等人取與應力水平ｓ＝０.７相應的點與原點連線的斜率作為平均斜率，即第一百零五頁，共220頁。§4.彈性非線性模型

對于不同的σ３，也不同。在雙對數(shù)紙上點繪與關系曲線，可得一直線，如圖5-44所示，其截距為，斜率為ｍ，則第一百零六頁，共220頁。四、回彈模量對卸荷和再加荷的情況，試驗表明應力應變關系曲線與加荷是不一樣的，應該由回彈試驗測定彈性模量。圖39§4.彈性非線性模型加荷卸荷再加荷第一百零七頁，共220頁。在圖5-39中，ＯＡ為加荷狀態(tài)的應力應變關系曲線，其斜率為Ｅt；而卸荷與再加荷的曲線之間略有差異，中間本應存在一個回滯環(huán)，這里近似假定它們一致，且為一直線，如AB所示，其斜率為。它具有卸荷再加荷情況下彈性模量的物理意義，叫回彈模量。在曲線的不同位置卸荷，回彈模量略有不同。鄧肯等人認為可以忽略這種差異，假定不隨變化。但對于不同的圍壓，可測出顯著不同的,即須隨而變?！?.彈性非線性模型第一百零八頁，共220頁。在雙對數(shù)紙上點繪與關系曲線，可得一直線，如圖5-40所示，其截距為，斜率為ｎ。這樣回彈模量可由下式計算圖5-40§4.彈性非線性模型第一百零九頁，共220頁?；貜棙藴剩骸?.彈性非線性模型且ｓ＜ｓ０時，用Eur；否則，用Et加荷函數(shù)：fl<0.75(fl)max：Eur0.75(fl)max<fl<(fl)max：第一百一十頁，共220頁。（四）參數(shù)的確定及參數(shù)的變化范圍Ｅ－v模型：F、C、Rf、K、n、G、F、D、Ｅ－Ｂ模型：用φ，ｃ，Rf、K，ｎ，，Kｂ和ｍ共７個參數(shù)作三軸排水試驗測軸向應變εa和體積應變εv。點繪應力應變關系曲線。按以下方法確定參數(shù)：

（１）在τ～σ坐標系中繪不同σ3時的極限摩爾圓。如圖5-38所示。§4.彈性非線性模型如圖5-38第一百一十一頁，共220頁。

（２）對每一個σ3，點繪-

關系曲線，近似取為直線，如圖5-36（ｂ）所示?！?.彈性非線性模型圖5-36（ｂ）第一百一十二頁，共220頁。（４）對各用式（5-42）計算Ｒｆ?！?.彈性非線性模型

（3）點繪與關系曲線，如圖5-35所示。若Ｒｆ值小，則曲線在高應力水平下仍然挺拔，坡度較大。第一百一十三頁，共220頁。

（５）由試驗εｖ～εａ關系，利用式（5-21）轉換為εｒ～εａ關系。§4.彈性非線性模型····第一百一十四頁，共220頁。

（６）如果要確定體積模量Ｂ有關參數(shù)，可從--

關系曲線上，找出應力水平ｓ＝０.７時的值近似地令然后點繪與關系曲線，如圖5-42所示從擬合的直線可定Kｂ和ｍ?！?.彈性非線性模型圖5-42第一百一十五頁，共220頁。參數(shù)數(shù)值范圍說明（有效內摩擦角）２０°－５５°軟土較低，砂土中等，堆石較高ｃ（有效粘聚力）０－０.５ＭＰａK50－2500軟土較低，砂土中等，堆石較高n0－1.0Rf0.5－0.95G0.2－0.6F0.01－0.2D1－20.0Kb（0.3－3.0）Km0－1.0n>mKur（1.2－3.0）K第一百一十六頁，共220頁。（五）對雙曲線模型的討論1.Ｅ－n

模型和Ｅ－Ｂ模型的差異兩種模型采用了相同的彈性模量，無論加荷還是卸荷。它們的差異僅在于泊松比n和體積模量Ｂ。在有限元計算中所得結果差異比較大；E-B模型實際上用了兩種泊松比nt和nur。這一點與Ｅ－v模型無論加荷還是卸荷都取一種泊松比是不同的。E－B模型的泊松比較??；回彈狀態(tài)時nur

<0，不宜用Kur計算宜：n>m§4.彈性非線性模型第一百一十七頁，共220頁。2.雙曲線模型反映的變形特征（3）模型將回彈模量與加荷模量區(qū)別開來。（4）由于模型用于增量法有限元計算，故能在一定程度上反映應力路徑對變形的影響。圖5-46中有兩條應力路徑:起點A，終點B；ADB變形要大于ACB。§4.彈性非線性模型（１）通過Ｅ，ν或Ｂ隨應力的變化反映了非線性變形特性（２）模型恰當?shù)胤从沉思羟凶冃坞S應力水平的增加而增加，隨圍壓的增加而減??；體積變形隨圍壓的增加而減小。第一百一十八頁，共220頁。§4.彈性非線性模型圖5-46（4）應力路徑對變形的影響：圖5-46中有兩條應力路徑:起點A，終點B；ADB變形要大于ACB。第一百一十九頁，共220頁。3.雙曲線模型的存在問題（１）不能反映剪脹剪縮性（２）不能反映軟化特性（３）不能反映各向異性，模型的建立和參數(shù)的確定完全依據(jù)大主應力σ１方向加荷的試驗結果?！?.彈性非線性模型（4）模型對卸荷狀態(tài)取回彈模量，以便區(qū)別加荷模量。但沒有提出卸荷時的泊松比和卸荷時的體積模量。第一百二十頁，共220頁。4.雙曲線模型實用性§4.彈性非線性模型首先因為它能反映土體變形的主要特點，盡管還存在許多問題。第三，在廣泛應用中逐漸積累了使用它的經(jīng)驗。其次，該模型有一個重要特點就是簡單。第一百二十一頁，共220頁。1.K－G模型§4.彈性非線性模型(二)、其它非線性模型第一百二十二頁，共220頁?！?.彈塑性模型彈塑性模型把在荷載作用下所發(fā)生的變形分成兩部分：一是彈性變形，即可恢復的變形；另一是塑性變形，即不可恢復的變形。引言彈性變形可以用廣義虎克定律來求解，塑性變形則要用塑性力學的方法來建立應力應變關系。第一百二十三頁，共220頁。①破壞準則和屈服準則②硬化規(guī)律

③流動法則

三大假定：§5.彈塑性模型為了建立塑性變形的關系式，須要給出三個條件，即三方面的假定。對這三個假定采用的具體形式不同就形成了不同的彈塑性模型。第一百二十四頁，共220頁。一、屈服準則和破壞準則塑性變形并不是任何荷載下都發(fā)生，而是加到一定的荷載時才發(fā)生。究竟達到什么應力狀態(tài)才發(fā)生，就要有一個判別標準，這個標準叫做屈服準則。荷載逐步增加，變形逐步發(fā)展，達到某種應力狀態(tài)時，土體破壞。這種應力狀態(tài)是一種極限應力狀態(tài)。判斷是否達到這一狀態(tài)的標準，叫破壞準則。

屈服是發(fā)生塑性變形的下限應力狀態(tài)，破壞則是其上限應力狀態(tài)。因此討論塑性變形不能不明確其上下限。

§5.彈塑性模型第一百二十五頁，共220頁。（一）破壞準則土體的破壞決定于應力狀態(tài)，故破壞準則可寫成其中，是應力分量的某種函數(shù)，叫破壞函數(shù)；kf是試驗確定的常數(shù)。破壞函數(shù)在主應力空間內代表一曲面，叫破壞面。若表示應力狀態(tài)的點落在破壞面以內，材料不破壞；若落在破壞面上，材料破壞。應力狀態(tài)永遠不能超出破壞面。

§5.彈塑性模型第一百二十六頁，共220頁。土體的破壞有兩種型式：剪切破壞和拉裂破壞。但由于土的抗拉強度小，往往假定為0，不考慮拉裂破壞。下面所講的破壞準則主要指剪切破壞準則。建立破壞準則，其實就是將抗剪強度以某種應力分量的形式表達出來?！?.彈塑性模型第一百二十七頁，共220頁。破壞準則主要有以下幾種：1、屈雷斯卡準則這一準則是假定最大剪應力達到某一數(shù)值時破壞，即如果主應力的大小不確定，可寫成§5.彈塑性模型第一百二十八頁，共220頁。它在主應力空間內是以空間主對角線為中心軸的正六角柱面，見圖5-48（a）。上式也可用應力不變量來表示，即§5.彈塑性模型圖5-48第一百二十九頁，共220頁。屈雷斯卡準則包含了破壞與球應力無關的假定；對巖體體，破壞與球應力有關，故§5.彈塑性模型圖5-48廣義屈雷斯卡準則第一百三十頁，共220頁。飽和土不排水剪強度為其摩爾圖包線如圖5-48（b）所示，為不排水粘聚力，與式（5-54）相比可見，，屈雷斯卡準則很好地體現(xiàn)了飽和土不排水條件下的強度特征?！?.彈塑性模型第一百三十一頁，共220頁。2、米塞斯準則該準則是假定偏應力q達到一定值時破壞，即它在主應力空間為圓柱面如圖5-49（a）所示?！?.彈塑性模型第一百三十二頁，共220頁。b§5.彈塑性模型廣義米塞斯準則考慮球應力對強度的影響，將kf用I1（I1=σ1+σ2+σ3）的函數(shù)代替，則成為廣義米塞斯準則，在主應力空間為圓錐面，如圖5-49（b）所示。第一百三十三頁，共220頁。b圖5-49§5.彈塑性模型破壞線廣義米塞斯準則在q－p二維應力空間為一傾斜直線如圖5-49（c）所示。劍橋模型中破壞準則為q=Mp第一百三十四頁，共220頁。3、摩爾—庫侖準則對土體，摩爾—庫侖強度理論已將某一面上的抗剪強度轉換為達到破壞時單元體主應力之間的關系，它是現(xiàn)成的破壞準則。其表達式為或§5.彈塑性模型在保持相同的情況下，按摩爾—庫倉準則，三軸壓縮和拉伸具有相同強度（不受影響）。而實際試驗結果，在相同情況下，拉伸試驗所得的強度常高于壓縮試驗測得的強度。第一百三十五頁，共220頁。它表示破壞與σ2無關，在主應力空間破壞面是σ2軸平行的面，且投影到σ1軸與σ3軸構成的平面內，是一直線。如果σ1、σ2、σ3的大小不確定，則為6個面，它們在主應力空間構成不等角的六角錐面，如圖5-50所示圖5-50§5.彈塑性模型第一百三十六頁，共220頁。4、拉德—鄧肯準則拉德和鄧肯根據(jù)砂土真三軸試驗提出這一破壞準則的破壞面是曲邊三角形。見圖5-51§5.彈塑性模型第一百三十七頁，共220頁。5、松岡元—中井準則6、畢肖普準則7、方開澤準則§5.彈塑性模型第一百三十八頁，共220頁。8、德洛克—普拉格準則（一種廣義米塞斯準則）上述各破壞準則之間的主要差別在于反映中主應力對強度的影響不同。

§5.彈塑性模型第一百三十九頁，共220頁。（二）屈服準則實際土體中的受力情況是復雜的，往往不是單向加載，而是三個方向都有應力作用。若存在側向壓力，土體強度會提高，荷載要更大才會屈服。屈服要將三個方向的應力綜合起來考慮，這就要根據(jù)三軸試驗，乃至真三軸試驗建立綜合的屈服準則，它可表示為§5.彈塑性模型荷載加到什么程度材料才會屈服呢，就要根據(jù)力學性試驗給出一個屈服的準則。第一百四十頁，共220頁。上式意味著各應力分量的某種函數(shù)組合達到一個臨界值k時，材料才會屈服。f叫屈服函數(shù)。與坐標軸方向的選取無關，故可將取某種與坐標方向無關的應力不變量。k是與應力歷史有關的常數(shù)。對某一k值，在應力空間對應一確定的曲面，叫屈服面，如圖5-54所示。當k值變化時，對應一系列的屈服面。圖5-54§5.彈塑性模型第一百四十一頁，共220頁?！?.彈塑性模型理想彈塑性材料在未屈服時，只有彈性變形，一旦屈服，就產(chǎn)生塑性變形，且塑性變形不斷發(fā)展直至破壞，破壞準則也就是屈服準則。K是一不變的常數(shù)，屈服面是一固定的曲面，即破壞面。對于巖土類材料，屈服和破壞是不同的。第一百四十二頁，共220頁。在運用屈服準則時，由當前應力各分量計算f值。若f<k，則材料處于彈性變形階段，在應力空間內相應的點落在屈服面以內；當f=k時材料屈服。f也有可能超過原有的k。但此時k提高了，且仍然保持f=k。這是由于屈服后材料硬化的緣故。§5.彈塑性模型第一百四十三頁，共220頁?！?.彈塑性模型在圖5-55（a）中，初始加荷時，在應力—應變曲線的A點材料屈服。超過A點，譬如達到B點退荷，再加荷，則當應力達到sA

時并不屈服，而是達到sB時才屈服?？梢娗臉藴矢淖兞?，也就是材料硬化了，k改變了。k如何變化的規(guī)律，叫硬化規(guī)律。第一百四十四頁，共220頁。由于加荷過程中k變化，f值也變化，在應力空間對應一系列互不相交的屈服面，如圖5-55（b）所示?！?.彈塑性模型第一百四十五頁，共220頁。對于處于屈服狀態(tài)的體系，即當前應力處于屈服面上，施加一新的應力增量，將有如下三種可能。（1）的方向指向屈服面內部。這將使也就是，可見應力增加后進入彈性狀態(tài)，這叫卸載?！?.彈塑性模型第一百四十六頁，共220頁。（2）指向屈服面外部。新的應力狀態(tài)到了原屈服面的外部，轉入新的屈服面上，這時。同時，k增加，發(fā)生塑性變形。（3）沿著屈服面的切線方向，則df=0，顯然有。應力狀態(tài)改變后仍處于同一屈服面上，不引起新的塑性變形，這叫中性加載，或中性變載。§5.彈塑性模型第一百四十七頁，共220頁?！?.彈塑性模型屈服函數(shù)一般地是三個應力不變量的函數(shù)，如σ1、σ2、σ3或I1、I2、I3，或I1、J2、J3。不少模型假定f僅僅是第一和第二應力不變量的函數(shù)，或者說是p和q的函數(shù)，寫成f（p,q），而忽略第三應力不變量的影響。這樣函數(shù)f(p,q)就和廣義米塞斯破壞準則一樣，在主應力空間對應著以空間對角線為軸的回轉面。由于自變量只有兩個，便可在以p、q為坐標軸的平面標系里表示屈服函數(shù)。屈服面就成了屈服曲線，或者叫屈服軌跡。第一百四十八頁，共220頁?！?.彈塑性模型金屬材料沒有塑性體積應變，屈服僅僅被看作發(fā)生塑性剪切應變。屈服函數(shù)與破壞函數(shù)形式一樣，屈服面即破壞面。第一百四十九頁，共220頁?！?.彈塑性模型土體有體積變形。在p-q平面內是向上傾斜的曲線，除原點以外不與p軸相交，如圖5-57（a）所示。第一百五十頁，共220頁?！?.彈塑性模型巖土類材料的顯著特點就是存在塑性體積應變，即使q=0，p也會引起塑性體積應變，會發(fā)生屈服。因此屈服面應該與p軸相交，如圖5-57（b）所示。彈性區(qū)不再是開口的，而是被“帽子”封閉起來，采用這類屈服面的模型叫“帽子”類模型。只有“帽子”類的模型才能較好地反映土的體積變形特性第一百五十一頁，共220頁?！?.彈塑性模型考慮到開口的錐形屈服面主要反映塑性剪切變形，而帽蓋形屈服面主要反映塑性體積變形，因此人們提出將兩者結合起來的雙屈服面模型，甚至多屈服面模型。這種雙屈服面模型可以克服單屈服面模型的一些缺點，是值得研究和發(fā)展的。第一百五十二頁，共220頁。二、硬化規(guī)律當材料達到屈服后，屈服的標準要改變，即k的變化。k的變化有三種情況：①屈服后k增加，這意味著材料變硬了，叫硬化；②k減小了，叫軟化③k不變，叫理想塑性變形?！?.彈塑性模型第一百五十三頁，共220頁。硬化與應力歷史有關，只有應力狀態(tài)達到了屈服標準以后才會發(fā)生進一步的硬化。達到了屈服自然就發(fā)生了塑性變形。因此，可以用塑性變形或塑性功作為衡量硬化發(fā)展的程度，叫做硬化參數(shù)，用H來表示。k為硬化參數(shù)H的函數(shù)，為即屈服函數(shù)的更一般的形式是對一個確定的H值，上式給出一個確定的函數(shù)值，在應力空間對應一確定的屈服面?！?.彈塑性模型第一百五十四頁，共220頁。硬化規(guī)律（屈服面變化的規(guī)律）有如下兩種假定（1）假定屈服面的中心不變，形狀不變，其大小隨硬化參數(shù)而變化。－等向硬化（2）假定屈服面大小和形狀都不變，硬化只是改變其位置，這叫運動硬化，或叫隨動硬化§5.彈塑性模型第一百五十五頁，共220頁。硬化參數(shù)H的假定有如下幾種（1）塑性功Wp。在圖5-54中，OABC所圍城的面積就代表塑性功，對復雜受力狀態(tài)，如果把圖中和看作是抽象的應力和應變，則OABC的面積可抽象地理解為塑性功§5.彈塑性模型第一百五十六頁，共220頁。塑性功的數(shù)學表達式為

在p、q坐標系里，可表示為即塑性功包括體積應力在塑性體積應變上所做的功和偏應力在塑性偏應變上所做的功?！?.彈塑性模型圖5-54第一百五十七頁，共220頁。（3）塑性偏應變，這里可由增量累計，用下式表示§5.彈塑性模型（2）塑性體積應變，為硬化參數(shù)相應的屈服面總是“帽子”型的。這種假定能較好地反映土體的體積變形特征。式中為應變偏量的增量第一百五十八頁，共220頁。（4）塑性全應變（5）和的某種函數(shù)組合。

硬化規(guī)律是與屈服函數(shù)聯(lián)系在一起的。如果硬化參數(shù)取為塑性功，當塑性能為某一確定值時，屈服函數(shù)值就確定了，也就確定了在應力空間的一個屈服面。該屈服面上各點有相等的塑性功。屈服面即硬化參數(shù)的等值面屈服函數(shù)和硬化規(guī)律都是在試驗基礎上作的假定，然而，這兩種假定之間須匹配?！?.彈塑性模型第一百五十九頁，共220頁。屈服函數(shù)和硬化規(guī)律都是在試驗基礎上作的假定，然而，這兩種假定之間須匹配。§5.彈塑性模型第一百六十頁，共220頁。三、流動規(guī)則所謂應變增量的方向，是指在以應變分量為坐標軸構成的應變空間內，應變增量分量的合成矢量的方向，如圖5-59所示。這個合成矢量的方向就規(guī)定了各分量之間的比例關系?！?.彈塑性模型流動規(guī)則是用于確定塑性應變增量方向的假定第一百六十一頁，共220頁。塑性變形，或者說塑性流動，與其他性質的流動一樣，可以看成是由于某種勢的不平衡所引起的，這種勢稱塑性勢。塑性勢理論：米塞斯假設存在某種塑性勢函數(shù),它是應力狀態(tài)的函數(shù)，以來表示，它對應力分量的微分決定了塑性應變增量的比例。表示成數(shù)學公式為§5.彈塑性模型第一百六十二頁，共220頁。由于g是應力的函數(shù)，就可以在應力空間里將g表示出來。在應力空間內把塑性勢相等的點連接起來，形成許多等勢面，叫塑性勢面。代表塑性勢面法線的方向余弦?！?.彈塑性模型如果把應力空間和應變空間重疊在一起，則上式表示塑性應變增量的方向與塑性勢面的法線方向一致，也就是說與塑性勢面正交，如圖5-59（b）所示。第一百六十三頁，共220頁。根據(jù)試驗資料可整理出各種應力狀態(tài)下塑性應變增量的方向，也就是塑性勢面的法向，應力空間內各點的塑性勢面方向確定后就可找出塑性勢函數(shù)。§5.彈塑性模型第一百六十四頁，共220頁。流動規(guī)則的兩種假定：（一）相關聯(lián)的流動規(guī)則

這個規(guī)則假定塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)一致屈服面就是塑性勢面，即§5.彈塑性模型德洛克公設：一個單元體存在初始應力，緩慢地施加一個外荷，再卸除之，則在加荷過程中外荷做了正功（＞0），在加荷與卸荷循環(huán)中，外荷作功非負值（≥0），對于彈性情況為零，對塑性變形為正值。根據(jù)這一公設可以推斷，塑性勢面必須與屈服面一致。也就是說，只要承認德洛克公設，流動規(guī)則就一定是相關聯(lián)的。

第一百六十五頁，共220頁。（一）相關聯(lián)的流動規(guī)則

圖5-60（a）中，縱坐標為抽象的應力，橫坐標為抽象的應變。ABCD表示了一個加荷卸荷循環(huán)。初始狀態(tài)A在彈性區(qū)，加荷到B屈服，再在塑性狀態(tài)下繼續(xù)加荷到C，然后卸去所加荷載，退到D。ABCD所圍成的面積，如圖5-60（a）中的陰影所示，即在此循環(huán)中所作的功，為正功。這一過程在應力空間的變化示于圖5-60（b）?！?.彈塑性模型第一百六十六頁，共220頁。ab圖5-60§5.彈塑性模型··要求：2向量的夾角小于等于90度第一百六十七頁，共220頁?？赏频孟率鼋Y論：（1）代表初始應力的所有點都必須落在與垂直的平面的另一側，如圖5-61（a）所示，這對屈服面上的所有點都成立，故屈服面須是凸的，假如屈服面為凹的，如5-61（b）所示ab§5.彈塑性模型c第一百六十八頁，共220頁。（2）必須與屈服面垂直。如果不垂直也會存在某些區(qū)域使，如圖5-61（c）所示。§5.彈塑性模型c第一百六十九頁，共220頁。（二）不相關聯(lián)的流動法則

對于巖土類材料，由試驗得出的塑性應變增量的方向有時并不與屈服面正交，用相關聯(lián)的流動規(guī)則算出的應力—應變關系與試驗結果有較大偏離。因此提出了不相關聯(lián)的流動規(guī)則，即

在應力空間內一點，若屈服面與塑性勢面不一致則必然存在某一區(qū)域，在面以外而又在面以內，如圖5-62中的陰影部分所示，，即兩向量間的夾角為鈍角?！?.彈塑性模型第一百七十頁，共220頁。兩向量間的夾角為鈍角意味著：荷載增量做了負功，但并不違反能量原理，須要注意的是存在初始的應力，這時應力全量在塑性應變增量上仍然是做了正功。即此時

與的交角是銳角。圖5-62§5.彈塑性模型·軟化即不符合德洛克公設第一百七十一頁，共220頁。四、彈塑性矩陣（一）單屈服面模型1、剛度矩陣圖5-63以抽象的應力和應變坐標來表示非線性的關系，曲線的“斜率”為[Dep]。應力—應變關系可寫成其中§5.彈塑性模型第一百七十二頁，共220頁。彈性應變與應力之間關系為圖5-63§5.彈塑性模型第一百七十三頁，共220頁。塑性應變與應力之間的關系則要用屈服準則和硬化規(guī)律推導上式給出了塑性應變增量各分量與總的應變增量各分量之間的對應關系，將它代入式（5-79）就得式（5-75），§5.彈塑性模型兩邊微分第一百七十四頁，共220頁。其中

A是反映硬化特性的一個變量，與硬化參數(shù)H的選擇有關，而H又決定于塑性應變，如果在矩陣中含有應變作為變量，就難以在計算中應用，必須將A用應力分量作為變量，使只決定于應力。§5.彈塑性模型第一百七十五頁，共220頁。（1）硬化參數(shù)H§5.彈塑性模型（2）（3）第一百七十六頁，共220頁。2、柔度矩陣流動規(guī)則中，規(guī)定了塑性應變增量的方向，或者說規(guī)定了塑性應變增量各分量之間的比例關系；而塑性應變增量的大小主要決定于。的另一種表示形式：將上式代入式（5-71），§5.彈塑性模型第一百七十七頁，共220頁。[Cp]為塑性變形柔度矩陣。令§5.彈塑性模型第一百七十八頁，共220頁。不難驗證。在公式形式上比簡單，推導過程也簡單，且更直接地區(qū)分出彈性變形和塑性變形。在有限元計算中也可以用求逆的方法來形成。由和的計算公式可見，若，即采用相關聯(lián)的流動法則，則兩矩陣都是對稱的；若，即采用不相關聯(lián)的流動法則，那么這兩個矩陣都是非對稱的。如果要反映材料各向異性的特點就可以用不相關聯(lián)的流動法則。

§5.彈塑性模型第一百七十九頁，共220頁。（二）雙屈服面模型的彈塑性矩陣雙屈服面模型的屈服準則為相應的流動法則為如圖5-64所示，屈服面和將p－q應力空間劃分為4個區(qū)域?！?.彈塑性模型第一百八十頁，共220頁。圖5-64設當前應力處于兩屈服面交點N。加荷后應力狀態(tài)落入A區(qū)，只有彈性變形；落入B和C區(qū)，只有一種屈服，仍用式（5-81）確定；落入D區(qū)有兩種屈服，按下式確定?！?.彈塑性模型第一百八十一頁，共220頁?！?.彈塑性模型第一百八十二頁，共220頁。雙屈服面的剛度矩陣是比較復雜的，而柔度矩陣比較簡單。它的推導過程和最后公式形式都要簡單得多。因此，對雙屈服面模型可用求逆的方法確定?！?.彈塑性模型第一百八十三頁，共220頁。五、彈塑性模型舉例（一）劍橋模型§5.彈塑性模型這是英國劍橋大學羅斯科（Roscoe）等人提出的用于正常固結或弱超固結粘土的模型。由三軸壓縮試驗結果可整理出q-p和e-p關系曲線，如圖5-65所示。圖中實線表示排水剪試驗，虛線為固結不排水試驗。第一百八十四頁，共220頁?！?.彈塑性模型施加各向等壓的應力p,令q=0，