矩陣分式描述課件

第8章傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述

傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述是復(fù)頻率域理論中表征線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一種基本模型。采用矩陣分式描述和基于多項(xiàng)式矩陣?yán)碚撌褂锌赡軐?duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻率域分析和綜合建立簡(jiǎn)便和實(shí)用的理論和方法。

矩陣分式描述(matrix-fractiondescription，MFD)實(shí)質(zhì)上就是把有理分式矩陣形式的傳遞函數(shù)矩陣G(s)表為兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣之“比”。第8章傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述傳遞函數(shù)矩陣的矩本章主要內(nèi)容?右MFD和左MFD?MFD的特性8.1矩陣分式描述8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述8.5規(guī)范矩陣分式描述?不可簡(jiǎn)約MFD?不可簡(jiǎn)約MFD的基本特性本章主要內(nèi)容?右MFD和左MFD?MFD的特性8.1

給定有理分式矩陣，存在和多項(xiàng)式陣和，使成立，則稱為的一個(gè)右。8.1矩陣分式描述一、定義1.右MFD2.左MFD

給定有理分式矩陣，存在和多項(xiàng)式陣和，使成立，則稱為的一個(gè)左。給定有理分式矩陣8.1矩陣分式描述二、MFD的求取1.右MFD①找出G(s)各列的最小公分母②寫出G(s)的右MFD8.1矩陣分式描述二、MFD的求取1.右MFD①找出G(s8.1矩陣分式描述2.左MFD①找出G(s)各行的最小公分母②寫出G(s)的左MFD8.1矩陣分式描述2.左MFD①找出G(s)各行的最小公分8.1矩陣分式描述三、MFD的特性1.MFD的次數(shù)2.MFD的不惟一性不惟一不惟一8.1矩陣分式描述三、MFD的特性1.MFD的次數(shù)2.MF8.1矩陣分式描述3.右MFD擴(kuò)展構(gòu)造

對(duì)傳遞函數(shù)矩陣，設(shè)為的一個(gè)右，為任一非奇異多項(xiàng)式矩陣，且，則也為的一個(gè)右，且。證明：由當(dāng)W(s)為單模陣，等號(hào)成立。8.1矩陣分式描述3.右MFD擴(kuò)展構(gòu)造對(duì)8.1矩陣分式描述4.最小階MFD（不可簡(jiǎn)約MFD）8.1矩陣分式描述4.最小階MFD（不可簡(jiǎn)約MFD）8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性1.MFD的真性一、基本概念

中的元素滿足，稱為真，為真。2.MFD的嚴(yán)真性

中的元素滿足，稱為嚴(yán)真，為嚴(yán)真。3.另一種定義形式（非零常陣）G(s)為真G(s)為嚴(yán)真8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性1.MFD的真性一、基本8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性二、判據(jù)1.為的右，為列既約，則為真的充要條件是，為嚴(yán)格真的充要條件是。證明：只限證明真性，嚴(yán)真性可類似證明。必要性：已知為真，欲證由表的元為

的元為

的元為8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性二、判據(jù)1.8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性

為真有理分式，分子次數(shù)必小于或等于分母次數(shù)。等價(jià)地，可以導(dǎo)出充分性：已知，欲證為真。利用列次表達(dá)式表示D(s)和N(s),8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性為真有理分式8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性D(s)為列既約，即存在。由已知為非零常陣常數(shù)矩陣，即為真。8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性D(s)為列既約，即8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性例：D(s)為列既約為真2.為的一個(gè)右，為非列既約，引入單模陣，使為列既約，，則為真的充要條件是，為嚴(yán)格真的充要條件是。8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性例：D(s)為列既約為真8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述為非真為嚴(yán)真部分為多項(xiàng)式為多項(xiàng)式且為嚴(yán)真例：為非真解：8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述為非真為嚴(yán)真部8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述嚴(yán)真為8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述嚴(yán)真8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述一、定義

稱的一個(gè)右為不可簡(jiǎn)約，當(dāng)且僅當(dāng)和為右互質(zhì)。

稱的一個(gè)左為不可簡(jiǎn)約，當(dāng)且僅當(dāng)和為左互質(zhì)。二、基本特性1.不可簡(jiǎn)約MFD的不惟一性

對(duì)傳遞函數(shù)矩陣，其右不可簡(jiǎn)約和左不可簡(jiǎn)約均為不惟一。2.兩個(gè)不可簡(jiǎn)約MFD間的關(guān)系

設(shè)和為傳遞函數(shù)矩陣的任意兩個(gè)右不可簡(jiǎn)約，則存在單模陣使成立：8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述一、定義稱8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述證明：（1）構(gòu)造矩陣U(s)由取有且由D(s)非奇異知U(s)非奇異。（2）證明U(s)為多項(xiàng)式矩陣

由和右互質(zhì)，存在多項(xiàng)式矩陣和，使成立：由有為多項(xiàng)式矩陣。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述證明：（1）構(gòu)造矩陣U(s)由取8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述（3）證明U(s)為單模陣

由和右互質(zhì)，存在多項(xiàng)式矩陣和，使成立：由有為多項(xiàng)式矩陣。故：U(s)為單模陣3.不可簡(jiǎn)約MFD的廣義惟一性

若為傳遞函數(shù)矩陣的右不可簡(jiǎn)約，且取，為任一單模陣，則也為的右不可簡(jiǎn)約。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述（3）證明U(s)為單模陣8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述4.右不可簡(jiǎn)約MFD和右可簡(jiǎn)約MFD的關(guān)系

的任一右不可簡(jiǎn)約和任一右可簡(jiǎn)約，必存在非奇異多項(xiàng)式矩陣，使成立：證明：（1）由右可簡(jiǎn)約找出一個(gè)右不可簡(jiǎn)約

由和非右互質(zhì)，即和的最大右公因子為非奇異但非單模?；耍t也為的一個(gè)。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述4.右不可簡(jiǎn)約MFD和右可簡(jiǎn)約8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述由gcrd構(gòu)造定理，有右乘

和的最大右公因子為單模陣，即和為右互質(zhì)，為的右不可簡(jiǎn)約。（2）證明的存在性和非奇異性

由和為不可簡(jiǎn)約，存在單模陣使8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述由gcrd構(gòu)造定理，有右乘8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述運(yùn)用和，導(dǎo)出由U(s)為單模和R(s)為非奇異，知T(s)為非奇異。5.不可簡(jiǎn)約MFD在史密斯形和不變多項(xiàng)式意義下的同一性G(s)的所有右不可簡(jiǎn)約MFD，成立（1）具有相同的史密斯形（2）具有相同不變多項(xiàng)式8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述運(yùn)用8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述6.左不可簡(jiǎn)約MFD和右不可簡(jiǎn)約MFD的關(guān)系

的任一左不可簡(jiǎn)約，右不可簡(jiǎn)約，必成立7.不可簡(jiǎn)約MFD的最小階性

的一個(gè)左和右，則為最小階左不可簡(jiǎn)約為最小階右不可簡(jiǎn)約證明：充分性：已知為不可簡(jiǎn)約，欲證為最小階。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述6.左不可簡(jiǎn)約MFD和右不可簡(jiǎn)8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述表為的任一右可簡(jiǎn)約，有T(s)為非奇異矩陣即不可簡(jiǎn)約的階次最小。必要性：已知為最小階，欲證為不可簡(jiǎn)約。采用反證法，反設(shè)為可簡(jiǎn)約，為和的為右不可簡(jiǎn)約8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述表8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述為右不可簡(jiǎn)約又可找到使其階次較低反設(shè)不成立，即為不可簡(jiǎn)約。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述為右不可簡(jiǎn)約又可找到8.5確定不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述的算法理論依據(jù)基于最大公因子的算法為和的

為任一可簡(jiǎn)約為右不可簡(jiǎn)約例：

為一可簡(jiǎn)約8.5確定不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述的算法理論依據(jù)基于最大8.5確定不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述的算法確定和的為右不可簡(jiǎn)約8.5確定不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述的算法確定和8.6規(guī)范矩陣分式描述

傳遞函數(shù)矩陣MFD具有不惟一性，MFD惟一化得途徑是對(duì)MFD的分母矩陣限定為規(guī)范形而得到規(guī)范MFD。1、列埃爾米特形MFD

為G(s)的列埃爾米特形MFD，具有如下形式其中：（1）為首1多項(xiàng)式，（2）8.6規(guī)范矩陣分式描述傳遞函數(shù)矩陣MFD具有其中：（1）為首1多項(xiàng)式，8.6規(guī)范矩陣分式描述2、行埃爾米特形MFD

為G(s)的行埃爾米特形MFD，具有如下形式（2）其中：（1）為首1多項(xiàng)式，8.6規(guī)范矩8.6規(guī)范矩陣分式描述3、結(jié)論

對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其所有不可簡(jiǎn)約右MFD均具有相同列埃爾米特形MFD，其所有不可簡(jiǎn)約左MFD均具有相同行埃爾米特形MFD。8.6規(guī)范矩陣分式描述3、結(jié)論對(duì)再見！再見！第8章傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述

傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述是復(fù)頻率域理論中表征線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一種基本模型。采用矩陣分式描述和基于多項(xiàng)式矩陣?yán)碚撌褂锌赡軐?duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻率域分析和綜合建立簡(jiǎn)便和實(shí)用的理論和方法。

矩陣分式描述(matrix-fractiondescription，MFD)實(shí)質(zhì)上就是把有理分式矩陣形式的傳遞函數(shù)矩陣G(s)表為兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣之“比”。第8章傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述傳遞函數(shù)矩陣的矩本章主要內(nèi)容?右MFD和左MFD?MFD的特性8.1矩陣分式描述8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述8.5規(guī)范矩陣分式描述?不可簡(jiǎn)約MFD?不可簡(jiǎn)約MFD的基本特性本章主要內(nèi)容?右MFD和左MFD?MFD的特性8.1

給定有理分式矩陣，存在和多項(xiàng)式陣和，使成立，則稱為的一個(gè)右。8.1矩陣分式描述一、定義1.右MFD2.左MFD

給定有理分式矩陣，存在和多項(xiàng)式陣和，使成立，則稱為的一個(gè)左。給定有理分式矩陣8.1矩陣分式描述二、MFD的求取1.右MFD①找出G(s)各列的最小公分母②寫出G(s)的右MFD8.1矩陣分式描述二、MFD的求取1.右MFD①找出G(s8.1矩陣分式描述2.左MFD①找出G(s)各行的最小公分母②寫出G(s)的左MFD8.1矩陣分式描述2.左MFD①找出G(s)各行的最小公分8.1矩陣分式描述三、MFD的特性1.MFD的次數(shù)2.MFD的不惟一性不惟一不惟一8.1矩陣分式描述三、MFD的特性1.MFD的次數(shù)2.MF8.1矩陣分式描述3.右MFD擴(kuò)展構(gòu)造

對(duì)傳遞函數(shù)矩陣，設(shè)為的一個(gè)右，為任一非奇異多項(xiàng)式矩陣，且，則也為的一個(gè)右，且。證明：由當(dāng)W(s)為單模陣，等號(hào)成立。8.1矩陣分式描述3.右MFD擴(kuò)展構(gòu)造對(duì)8.1矩陣分式描述4.最小階MFD（不可簡(jiǎn)約MFD）8.1矩陣分式描述4.最小階MFD（不可簡(jiǎn)約MFD）8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性1.MFD的真性一、基本概念

中的元素滿足，稱為真，為真。2.MFD的嚴(yán)真性

中的元素滿足，稱為嚴(yán)真，為嚴(yán)真。3.另一種定義形式（非零常陣）G(s)為真G(s)為嚴(yán)真8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性1.MFD的真性一、基本8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性二、判據(jù)1.為的右，為列既約，則為真的充要條件是，為嚴(yán)格真的充要條件是。證明：只限證明真性，嚴(yán)真性可類似證明。必要性：已知為真，欲證由表的元為

的元為

的元為8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性二、判據(jù)1.8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性

為真有理分式，分子次數(shù)必小于或等于分母次數(shù)。等價(jià)地，可以導(dǎo)出充分性：已知，欲證為真。利用列次表達(dá)式表示D(s)和N(s),8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性為真有理分式8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性D(s)為列既約，即存在。由已知為非零常陣常數(shù)矩陣，即為真。8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性D(s)為列既約，即8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性例：D(s)為列既約為真2.為的一個(gè)右，為非列既約，引入單模陣，使為列既約，，則為真的充要條件是，為嚴(yán)格真的充要條件是。8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性例：D(s)為列既約為真8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述為非真為嚴(yán)真部分為多項(xiàng)式為多項(xiàng)式且為嚴(yán)真例：為非真解：8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述為非真為嚴(yán)真部8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述嚴(yán)真為8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述嚴(yán)真8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述一、定義

稱的一個(gè)右為不可簡(jiǎn)約，當(dāng)且僅當(dāng)和為右互質(zhì)。

稱的一個(gè)左為不可簡(jiǎn)約，當(dāng)且僅當(dāng)和為左互質(zhì)。二、基本特性1.不可簡(jiǎn)約MFD的不惟一性

對(duì)傳遞函數(shù)矩陣，其右不可簡(jiǎn)約和左不可簡(jiǎn)約均為不惟一。2.兩個(gè)不可簡(jiǎn)約MFD間的關(guān)系

設(shè)和為傳遞函數(shù)矩陣的任意兩個(gè)右不可簡(jiǎn)約，則存在單模陣使成立：8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述一、定義稱8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述證明：（1）構(gòu)造矩陣U(s)由取有且由D(s)非奇異知U(s)非奇異。（2）證明U(s)為多項(xiàng)式矩陣

由和右互質(zhì)，存在多項(xiàng)式矩陣和，使成立：由有為多項(xiàng)式矩陣。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述證明：（1）構(gòu)造矩陣U(s)由取8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述（3）證明U(s)為單模陣

由和右互質(zhì)，存在多項(xiàng)式矩陣和，使成立：由有為多項(xiàng)式矩陣。故：U(s)為單模陣3.不可簡(jiǎn)約MFD的廣義惟一性

若為傳遞函數(shù)矩陣的右不可簡(jiǎn)約，且取，為任一單模陣，則也為的右不可簡(jiǎn)約。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述（3）證明U(s)為單模陣8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述4.右不可簡(jiǎn)約MFD和右可簡(jiǎn)約MFD的關(guān)系

的任一右不可簡(jiǎn)約和任一右可簡(jiǎn)約，必存在非奇異多項(xiàng)式矩陣，使成立：證明：（1）由右可簡(jiǎn)約找出一個(gè)右不可簡(jiǎn)約

由和非右互質(zhì)，即和的最大右公因子為非奇異但非單模。基此，取則也為的一個(gè)。8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述4.右不可簡(jiǎn)約MFD和右可簡(jiǎn)約8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述由gcrd構(gòu)造定理，有右乘

和的最大右公因子為單模陣，即和為右互質(zhì)，為的右不可簡(jiǎn)約。（2）證明的存在性和非奇異性

由和為不可簡(jiǎn)約，存在單模陣使8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述由gcrd構(gòu)造定理，有右乘8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述運(yùn)用和，導(dǎo)出由U(s)為單模和R(s)為非奇異，知T(s)為非奇異。5.不可簡(jiǎn)約MFD在史密斯形和不變多項(xiàng)式意義下的同一性G(s)的所有右不可簡(jiǎn)約MFD，成立（1）具有相同的史密斯形（2）具有相同不變多項(xiàng)式8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述運(yùn)用8.4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述6.左不可簡(jiǎn)約MFD和右不可簡(jiǎn)約MFD的關(guān)系

的任一左不可簡(jiǎn)約，右不可簡(jiǎn)約，必成立7.不可簡(jiǎn)約MFD的最小階性

的一個(gè)左和右，則為最小階左不可簡(jiǎn)約為最小階右不可簡(jiǎn)約證明：充分性：已知為不可簡(jiǎn)約，欲證