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本文格式為Word版,下載可任意編輯——牢記一個(gè)性質(zhì),巧解疊加雙曲線(xiàn)雷添淇
近年來(lái),中考數(shù)學(xué)中涌現(xiàn)了一類(lèi)將兩個(gè)反比例函數(shù)圖象“疊加〞,使雙曲線(xiàn)成對(duì)出現(xiàn),設(shè)置“雙動(dòng)點(diǎn)〞或“多點(diǎn)聯(lián)動(dòng)〞的問(wèn)題,下面向同學(xué)們介紹此類(lèi)題的解題思路.
引例點(diǎn)[A],B分別在兩個(gè)反比例函數(shù)[y=k1x]和[y=k2x]的圖象上,若點(diǎn)[A],B所連線(xiàn)段與坐標(biāo)軸平行,求證:線(xiàn)段AB與原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積等于[12k1-k2].
證明:已知點(diǎn)[A],B分別在反比例函數(shù)[y=k1x]和[y=k2x]的圖象上.
如圖1,當(dāng)AB[?]x軸時(shí),延長(zhǎng)[AB]交[y]軸于點(diǎn)[C],由于[S△AOC=12k1],[S△BOC=12k2],所以[S△AOB=12k1-k2].
同理,如圖2,當(dāng)AB[?]y軸時(shí),或無(wú)論[k1?k20]與[k1?k20]時(shí),結(jié)論均成立.
[x][x][A][B][y=[k1x]][y=[k2x]][y][O][x][y=[k1x]][y=[k2x]][y][A][B][O][y=[k1x]][y=[k2x]][B][A][y][O]
圖2
熟練把握該性質(zhì)可以幫助我們順利解決雙曲線(xiàn)疊加類(lèi)問(wèn)題,下面舉例介紹.
例1如圖3,平行于[x]軸的直線(xiàn)與函數(shù)[y=k1x]([k10],[x0]),[y=k2x]([k20],[x0])的圖象分別相交于[A],[B]兩點(diǎn),點(diǎn)[A]在點(diǎn)[B]的右側(cè),[C]為[x]軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△[ABC]的面積為4,則[k1-k2=].
解析:如圖3,連接[OA],[OB],設(shè)直線(xiàn)[AB]交[y]軸于[D],作[AF⊥x]軸于[F]、[BE⊥x]軸于[E].
∵AB[?]x軸,點(diǎn)[C]、點(diǎn)[O]均在[x]軸上,即△ABC與△AOB同底等高,
∴[S△ABC=S△AOB=S△AOD-S△BOD=12(S矩形ADOF-S矩形BDOE)=12(k1-k2)=4],
∴[k1-k2=8].
故填8.
點(diǎn)評(píng):(1)此題可以作為前文性質(zhì)的拓展結(jié)論1:如圖4,當(dāng)點(diǎn)C在與AB平行的坐標(biāo)軸上時(shí),有[S△ABC=S△AOB=12k1-k2].
(2)此外,可再參與一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D,進(jìn)一步拓展,得到以下拓展結(jié)論2:如圖5,當(dāng)點(diǎn)C,D在與AB平行的坐標(biāo)軸上時(shí),若[CD=AB],則有[S?ABCD=2S△AOB=k1-k2].
[A][B][y=[k1x]][y=[k2x]][y][O][x][C][圖4][A][B][y=[k1x]][y=[k2x]][y][O][x][C][D][圖5]
例2如圖6,已知反比例函數(shù)[y1=9x(x0)]和[y2=5x(x0)],若點(diǎn)[P]在[y1=9x]的圖象上,[PE⊥x]軸于點(diǎn)[E],交[y2=5x]的圖象于點(diǎn)[A],[PD⊥y]軸于點(diǎn)[D],交[y2=5x]的圖象于點(diǎn)[B],則[S四邊形PAOB=]
.
解析:如圖6,連接OP,
則[S四邊形PAOB=S△POB+S△POA=12k1-k2+12k1-k2=k1-k2=9-5=4].
故填4.
點(diǎn)評(píng):(1)此題可以作為前文性質(zhì)的拓展結(jié)論3:如圖6,已知反比例函數(shù)[y1=k1x]([k10],[x0]),[y2=k2x](0[k2k1],[x0]),若點(diǎn)[P]在[y1=k1x]的圖象上,[PE⊥x]軸于點(diǎn)[E],交[y2=k2x]的圖象于點(diǎn)[A],[PD⊥y]軸于點(diǎn)[D],交[y2=k2x]的圖象于點(diǎn)[B],則[S四邊形PAOB=k1-k2].
(2)在此題中,還可以推導(dǎo)出如下結(jié)論:如圖6,已知反比例函數(shù)[y1=k1x]([k10],[x0]),[y2=k2x]([k20],[x0]),若點(diǎn)[P]在[y1=k1x]([k10],[x0])的圖象上,[PE⊥x]軸于點(diǎn)[E],交[y2=k2x](0[k2k1],[x0])的圖象于點(diǎn)[A],[PD⊥y]軸于點(diǎn)[D],交[y2=k2x]([k20],[x0])的圖象于點(diǎn)[B],則[S△PAB=(k1-k2)22k1].
如圖7,若點(diǎn)[P]在[y2=k2x]([k20],[x0])的圖象上,[PE⊥x]軸于點(diǎn)[E],交[y1=k1x]([k1k20
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