撥開云霧見天日

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2021年廣東省進行高考改革，數(shù)學試題是全國新高考試題Ⅰ卷，與往年高考試題相比，最大的變化是新高考試題增加多項選擇題這種新題型.

今年高考的多項選擇題是每題設置4個選項，有多個選項符合題目要求.

評分方式是全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

下面從多項選擇題的選拔功能、答題策略、試題分析、考點歸納、穩(wěn)定訓練等五方面進行分析研究，揭開多項選擇題的“神秘面紗〞，為更好地應對高考新題型提供幫助和指導.

一、準確發(fā)揮選拔功能，加強考試的信度和效度

高考數(shù)學的單項選擇題和多項選擇題都是設置4個選項，單項選擇題有且只有一個選項符合題意，但多項選擇題則有多個選項符合題意.

做單項選擇題只有正確、錯誤兩種情形，評分也只有5分、0分兩種結果，但做多項選擇題還有部分正確這種情形，所以多項選擇題的得分多了一種可能性，即0分、2分、5分.

雖然考生得5分的難度加大，但顯然得0分的可能性也大大降低.

那么引入多項選擇題后，對考生的得分畢竟有哪些影響？多項選擇題為數(shù)學基礎和數(shù)學能力在不同層次的考生都提供了發(fā)揮空間，同時能夠更加準確地發(fā)揮數(shù)學科考試的區(qū)分選拔功能.

多項選擇題的設置給廣大考生增加了得分機遇，增進了數(shù)學學習的獲得感，也更精準地測試和區(qū)分了不同層次考生的數(shù)學能力水平，加強了考試的信度和效度，對新高考是有益的嘗試.

二、正確評估自己實力，理智操縱“穩(wěn)〞或“狠〞

由于多項選擇題有多個選項符合題意，選擇1個符合題目的選項比單項選擇題更簡單，但要把符合題意的選項全部選出來，難度加大，所以多項選擇題比單項選擇題更有挑戰(zhàn)性.

對基礎薄弱且平日做題馬虎、判斷不果斷、計算拖沓的學生來說，一旦出現(xiàn)拿捏不準的選項，建議采用保守策略，選擇一個最有把握的選項，確保2分到手，不能太過激進，以免得0分.

但對于一些數(shù)學基礎對比扎實的學生來說，選擇一個最有把握的選項還是選擇多個選項會有點糾結，需要自己隨機應變，理智把握“穩(wěn)〞或“狠〞的關系.

從總體上來看，做多項選擇題得2分簡單，得5分難，多項選擇題的多級得分模式有利于提高低水平學生的得分，也有利于區(qū)分出高水平的學生.

因此，在復習的過程中，我們要關注每個問題的分析思路，不斷加強自己的“四基〞（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）和“四能〞（提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力），加強積累，應對新高考的多項選擇題的挑戰(zhàn).

三、多角度分析試題，選取最正確的解題方法

做多項選擇題有兩種途徑：途徑一是通過逐一檢驗4個選項，選出符合題意的所有選項，我們把這種解法稱為直接法;途徑二是通過排除不符合題意的選項，選擇剩下的選項，我們把這種解法稱為間接法.

下面結合2021年新高考全國數(shù)學I卷4道多項選擇題進行分析.

9.

有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1，2，…，n），c為非零常數(shù)，則（）

A.

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)一致

B.

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一致

C.

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差一致

D.

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差一致

直接法：

設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為

，中位數(shù)為x0，標準差為s1，極差為c1，

樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)為

，中位數(shù)為y0，標準差為s2，極差為c2，則

=

，

=

=

=

+c，

y0=x0+c，

s1=

，

s2=

=

=s1，

c1=xmax-xmin，c2=ymax-ymin=（xmax+c）-（xmin+c）=c1，

應選擇CD.

間接法：

根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的概念，y1，y2，…，yn的平均數(shù)是x1，x2，…，xn的平均數(shù)加上c，y1，y2，…，yn的中位數(shù)是x1，x2，…，xn的中位數(shù)加上c，

由于c為非零常數(shù)，

所以AB選項錯誤，

應選擇CD.

總結歸納：此題根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差的定義，進行簡單的計算，不管用直接法還是間接法，都可以對比快地得到答案，主要考察對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的理解和簡單計算，考察高中數(shù)學科的必備知識，屬于基礎性題目.

10.

已知O為坐標原點，點P1（cos

，sin

），P2（cos

，-sin

），P3（cos（

+

），sin（

+

）），A（1，0），則（

）

A.

=

B.

=

C.

·

=

·

D.

·

=

·

直接法一：

=

=1，

=

=1，A正確.

=

=

，

=

=

，B錯誤.

·

=1×cos（

+

）+0×sin（

+

）=cos（

+

），

·

=cos

cos

+sin

（-sin

）=cos（

+

），C正確.

·

=1×cos

+0×sin

=cos

，

·

=cos

cos（

+

）+（-sin

）sin（

+

）=cos（

+2

），D錯誤.

所以選擇AC.

直接法二：

把點A，P1，P2，P3以及相關向量在直角坐標系中標出來，如圖1所示，

由向量的模以及數(shù)量積簡單得到A，C項正確，B，D錯誤，

所以選擇AC.

間接法：

取

=30°，

=60°，

則

=

，

=1，

B錯誤.

·

=

，

·

=-

，D錯誤.

所以排除BD，

應選擇AC.

總結歸納：此題根據(jù)向量的模、數(shù)量積的坐標運算公式，結合三角恒等變換公式進行簡單的運算，或者數(shù)形結合，都可以直接判斷A，C選項正確，B，D選項不一定成立.

當然假如能對

，

取特別值，可以很快排除B，D選項，此題用間接法處理更好.

主要考察對向量的模、向量數(shù)量積、三角函數(shù)定義的理解和三角恒等變換公式的運用，考察高中數(shù)學科的必備知識，屬于基礎性題目.

11.

已知點P在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點A（4，0），B（0，2），則（

）

A.

點P到直線AB的距離小于10

B.

點P到直線AB的距離大于2

C.

當∠PBA最小時，PB=3

D.

當∠PBA最大時，PB=3

直接法：

如圖2，（x-5）2+（y-5）2

=

16的圓心為C（5，5），

半徑r=4，直線AB

∶

+

+1，即x+2y-4=0，

C到直線AB的距離d=

=

，

所以當點P在P1處時，點P到直線AB的距離取最小值，最小值為d-r=

-40，|？漬|0，b>0）共軛的雙曲線是

-

=1（a>0，b>0）

B.

互為共軛的雙曲線漸近線不一致

C.

互為共軛的雙曲線的離心率為e1，e2，則e1e2≥2

D.

互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上

解析：由新定義可以得到與

-

=1（a>0，b>0）共軛的雙曲線方程是

-

=1（a>0，b>0），它們漸近線都是y=±

x，排除選項A、B，

應選擇CD.

2.

已知曲線C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），則以下結論正確的是

A.

若曲線C是橢圓，則1B.

若m3，則曲線C是雙曲線

C.

？堝m∈（1，3），使得曲線C不是橢圓

D.

若m=5，則曲線C與直線y=kx+1恒有兩個交點

解析：對于方程C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），

可化為

+

=1，

若3-m=m-1，即m=2時，曲線C是圓，

選項A不符合題意.

若（3-m）（m-1）3或m選項C符合題意.

若m=5，則曲線C是雙曲線

-

=1，

聯(lián)立

-

=1y=kx+1得（2-2k2）x2-2kx+3=0

由△=28k2-8>02-2k2≠0，顯然當k>

或k0，b>0，a+b=1，則

A.

a2+b2的最小值為

B.

的是小值為2

C.

+

的范圍為[9，+∞]

D.

若c>1，則（

-2）·c+

的最小值為8

解析：對于A，由a2+b2≥

=

，當且僅當a=b=

時取等，可得a2+b2的最小值為

，所以A正確.

對于B，由

=

=

+

，又由00，f（x）單調遞增，

當x∈（0，

）時，f（x）=exsinx，f

′（x）=ex（sinx+cosx）>0，f（x）單調遞增，

且f（x）在（-

，

）連續(xù)，故f（x）在（-

，

）單調遞增，故C正確.

當x∈[0，

]時，f（x）≥ax？圳a≤

，