排列組合解題技巧和方法

排列組合解題技巧和方法排列組合解題技巧和方法排列組合解題技巧和方法排列組合解題技巧和方法編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:運(yùn)用兩個(gè)基本原理例1．n個(gè)人參加某項(xiàng)資格考試，能否通過，有多少種可能的結(jié)果？

例2．同室四人各寫了一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：特殊優(yōu)先，一般在后例1．用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。A．24個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)例2．1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法（）種．例3．乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有（）種.例4．8人站成兩排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法？

相鄰問題用捆綁法：例5計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）．A．B．C．D．例6

四對(duì)兄妹站一排，每對(duì)兄妹都相鄰的站法有多少種？

例7．有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本．若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有()種．例8．7名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？

例9．8人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法？

例10．

5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？

不相鄰問題用“插空法”：例11．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有()個(gè)．例12．4男4女站成一行，男女相間的站法有多少種？

例13．排一張有8個(gè)節(jié)目的演出表，其中有3個(gè)小品，既不能排在第一個(gè)，也不能有兩個(gè)小品排在一起，有幾種排法？

例14．

5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？

例15．

馬路上有編號(hào)為1、2、3、…、9的9盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)兩端的路燈，則滿足要求的關(guān)燈方法有幾種？

六．順序固定用“除法”：例16．6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？

例17．4個(gè)男生和3個(gè)女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。元素定序，先排后除或選位不排或先定后插例18．

5人參加百米跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有幾種情況？

練習(xí)6

要編制一張演出節(jié)目單，6個(gè)舞蹈節(jié)目已排定順序，要插入5個(gè)歌唱節(jié)目，則共有幾種插入方法？

七．分排問題用“直排法”：把幾個(gè)元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。例19．7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？

八．逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。例20.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（）A．6九、構(gòu)造模型“隔板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來解決問題。例21．方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？

例．把10本相同的書發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？

例22．20個(gè)相同的球分給3個(gè)人，允許有人可以不取，但必須分完，有多少種分法？

相同元素進(jìn)盒，用檔板分隔例23．10張參觀公園的門票分給5個(gè)班，每班至少1張，有幾種選法？

練習(xí)9

從全校10個(gè)班中選12人組成排球隊(duì)，每班至少一人，有多少種選法？

十.正難則反——排除法對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問題，若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計(jì)算出符合條件的排列組合數(shù)的方法．例24．從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有()種．A．140種B．80種C．70種D．35種例25．求以一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。例26．100件產(chǎn)品中有3件是次品，其余都是正品?，F(xiàn)在從中取出5件產(chǎn)品，其中含有次品，有多少種取法？

例27．8個(gè)人站成一排，其中A與B、A與C都不能站在一起，一共有多少種排法？

十二．一一對(duì)應(yīng)法：例29.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場(chǎng)？

十三、多元問題——分類討論法對(duì)于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)行分類討論，最后總計(jì)。例30．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A）A．42B．30C．20D．12例31．如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種（以數(shù)字作答）多類元素組合，分類取出例32．車間有11名工人，其中4名車工，5名鉗工，AB二人能兼做車鉗工。今需調(diào)4名車工和4名鉗工完成某一任務(wù)，問有多少種不同調(diào)法？

十四、混合問題——先選后排法對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略．例33．12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（）A．種B．種C．種D．種例34．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）A．24種B．18種C．12種D．6種分組分配問題:例18名同學(xué),(1)平均分成三組,有____________種分法.(2)平均分給數(shù)、理、化小組有___________種分法.(3)分配給化學(xué)小組7人,物理小組6人,數(shù)學(xué)小組5人,有__________種分法.(4)分給數(shù)、理、化小組,其中一個(gè)組為5人,一個(gè)組為6人,一個(gè)組為7人,有_________種分法.用多種方法解1.某班上午要上語文、數(shù)學(xué)、體育和英語,又體育教師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié),則不同的排課方案有_________________種.2.從5位女同學(xué),6位男同學(xué)中選出3位女同學(xué)和2位男同學(xué)擔(dān)任五種不同的職務(wù),有____________________種選法.3.從甲、乙,......,等6人中選出4名代表,那么(1)甲一定當(dāng)選,共有___________種選法.(2)甲一定不入選,共有_________種選法.(3)甲、乙二人至少有一人當(dāng)選,共有_____________種選法.4.將5本不同的數(shù)學(xué)書,4本不同的物理,3本不同的化學(xué)書排成一排,(1)各類書必須排成一起,問有________________________種排法.(2)化學(xué)書不全排在一起,問有________________________種排法.(3)化學(xué)書每?jī)杀径疾幌噜?問有________________種排法.5.有男女售票員各4人,被分配在四輛公共汽車上,要求每輛車上男、女各1人,則有________________種分法.6.四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一列,男孩甲前面至少有一個(gè)女孩站著,并且站在這個(gè)男孩前面的女孩個(gè)數(shù)必少于站在他后面的男孩的個(gè)數(shù),則有_______________________種站法.排列組合11．某段街道旁邊規(guī)劃樹立10塊廣告牌，廣告底色選用紅、綠兩種顏色，則相鄰兩塊廣告底色不同為綠色的配色方案的種數(shù)為（）A．72 B．78 C．143 D．1562．在如圖所示的10塊地上選出6塊種植A1、A2、…、A6等六個(gè)不同品種的蔬菜，每塊種植一種不同品種蔬菜，若A1、A2、A3必須橫向相鄰種在一起，A4、A5橫向、縱向都不能相鄰種在一起，則不同的種植方案有（）A．3120 B．3360 C．5160 D．55203．四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有種（用數(shù)字作答）．4．從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)）．每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是．（用數(shù)字作答）．5．從0，1，2，3，4，5中任取3個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被5整除的三位數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）6．安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的總數(shù)是．（用數(shù)字作答）7．安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）．8．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1，2，3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1，2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有種．（以數(shù)作答）9．某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種．10．某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有種．11．從6名男生和4名女生中，選出3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法共有種．12．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）13．安排3名支教教師去4所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有種．（用數(shù)字作答）14．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色．要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．15．要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為．（以數(shù)字作答）16．某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種．小張用10元錢買雜志（每種至多買一本，10元錢剛好用完），則不同買法的種數(shù)是（用數(shù)字作答）．17．某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有種（用數(shù)字作答）．18．某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有種．（用數(shù)字作答）．19．10個(gè)相同的小球分給3個(gè)人，每人至少2個(gè)，有種分法．20．7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)．若每天安排3人，則不同的安排方案共有種（用數(shù)字作答）．21．將4個(gè)相同的紅球，5個(gè)相同的白球，6個(gè)相同的黑球放入到4個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子中小球的顏色齊全，則不同的放法共有種．（用數(shù)字作答）22．某學(xué)校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有種．（用數(shù)字作答）23．將4個(gè)相同的白球和5個(gè)相同的黑球全部放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子既要有白球，又要有黑球，且每個(gè)盒子中球數(shù)不能少于2個(gè)，那么所有不同的放法的種數(shù)為．24．將5名上海世博會(huì)的志愿者分配到中國(guó)館、美國(guó)館、英國(guó)館工作，要求每個(gè)國(guó)家館至少分配一名志愿者且其中甲、乙兩名志愿者不同時(shí)在同一個(gè)國(guó)家館工作，則不同的分配方案有種．25．將四個(gè)相同的紅球和四個(gè)相同的黑球排成一排，然后從左至右依次給它們賦以編號(hào)l，2，…，8．則紅球的編號(hào)之和小于黑球編號(hào)之和的排法有種．26．有A、B、C、D、E五名學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計(jì)競(jìng)賽，決出了第一到第五的名次，A、B兩位同學(xué)去問成績(jī)，教師對(duì)A說：“你沒能得第一名”．又對(duì)B說：“你得了第三名”．從這