教案信號與系統(tǒng)

本章主要內(nèi)容雙邊Z變換及其收斂域ROC。ROC的特征，各類信號的ROC，零極點(diǎn)圖。Z反變換，利用部分分式展開進(jìn)行反變換。由零極點(diǎn)圖分析系統(tǒng)的特性。常用信號的Z變換，Z變換的性質(zhì)。用Z變換表征LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)，LTI系統(tǒng)的Z變換分析法，系統(tǒng)的級聯(lián)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。單邊Z變換，增量線性系統(tǒng)的分析。Z

變換與拉氏變換相對應(yīng)，是離散時(shí)間葉變換的推廣。Z

變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當(dāng)然，Z變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。10.0

引言

(Introduction)由離散時(shí)間Fourier變換到z變換x[k]=2ku[k]的離散時(shí)間Fourier變換(DTFT)?

不存在!將x[k]乘以衰減因子rkDTFT{2k

u[k]

r

k

}

2k

r

k

e

j

kk

0k

0

2k

zk1

2z11令z

rej若|z|

2

2k

(re

j

)kk

0推廣到一般情況DTFT{x[k]rk}

x[k]rke

jkk

z=rejx[k]zk

X

(z)k

定義z反變換cX

(z)z

dzX

(z)

x[k]zkk

1k

12πjx[k]

C為X(z)的收斂域(ROC)中的一閉合曲線雙邊z變換X

(z)zk

1dzx[k]

c

1

2πj正變換：X(z)=Z{x[k]}反變換：x[k]=Z1{X(z)}x[k]

z

X

(z)或物理意義：離散信號可分解為不同頻率復(fù)指數(shù)zk的線性組合符號表示變換。n當(dāng)

r

時(shí)1，

z

即

e為j離散時(shí)間這表明：DTFT就是在單位圓上進(jìn)行的Z變換。X

(re

j

)

x(n)rne

jn

F[x(n)rn

]n可見：對x(n)做Z

變換就等于對x(n)rn做DTFT。因此，Z

變換是對DTFT的推廣。X

(z)

x(n)zn其中z

r是e

j一個(gè)復(fù)數(shù)。10.1

雙邊

Z

變換一.雙邊Z變換的定義:The

z-Transform二.

Z變換的收斂域（ROC）：Z變換與DTFT一樣存在著收斂的問題。并非任何信號的Z變換都存在。并非Z平面上的任何復(fù)數(shù)都能使X

(收斂。Z平面上那些能使X

(收斂的點(diǎn)的集合，就構(gòu)成了X

(的收斂域（ROC）。X(z)存在或級數(shù)收斂的充分條件是

x[n]zn

n例1.

x(n)

anu(n)X

(z)

an1z

a

時(shí)收斂當(dāng)

a

1

時(shí)，

ROC包括了單位圓。1

jX

(e

j

)

1

aez

aIm

單位圓Z平面Rea

1此時(shí)，

x(n

的DTFT存在。ze

j

X

(e

j

)顯然有X

(z)|例2.x(n)

u(n)n0X

(z)

z1z

1此時(shí)，ROC不包括單位圓，所以不能簡單地從得到ze。jX

(e

j

)ImRe通過X

將(Z平面1（例2的ROC）1jX

(e

)

1

e

j

(

2

k

)k

例3.

x(n)

anu(n

1)n

n11

X

(z)

an

zn

an

zn

a1z

11

a1z

1

az1Z平面Im

單位圓Rea

1例6.1和例6.3的結(jié)論是應(yīng)該熟記的，在以后的學(xué)習(xí)將經(jīng)常用到。z

aROC:例4.

x(n)

(

1

)n

u(n)

2n

u(n

1)1

2z1121X

(z)

1121

1

z1n

nn

nnn0(

)

z

2

z22ROC

:

1

z

2一般情況下，

X

(

的ROC是Z

平面上一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)。1/2Z平面ImRe2單位圓結(jié)論：Z變換存在著收斂問題，不是任何信號都存在Z變換，也不是任何復(fù)數(shù)Z都能使X

(z)收斂。僅僅由X

(的表達(dá)式不能唯一地確定一個(gè)信號，只有X

(z)連同相應(yīng)的ROC一道，才能與信號x(n)建立一一對應(yīng)的關(guān)系。Z變換的ROC，一般是Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。且ROC內(nèi)不包含任何極點(diǎn)。i4）如果

x(n)

xi(n)，則其ROC是各個(gè)xi

(

的ROC的公共部分。若沒有公共區(qū)域則表明x(n的Z變換不存在。5）當(dāng)X

(

是有理函數(shù)時(shí)，其ROC的邊界總是由

X

(

的極點(diǎn)所在的圓周界定的。6）若X

(的ROC包括單位圓，則有X

(e

j

)

X

(z)

|ze

j三.

X

(的幾何表示——零極點(diǎn)圖：(z

zi

))X

(zp如果

X是(

有理函數(shù)，將其分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式分別因式分解可以得到：由其全部的零、極點(diǎn)即可確定出

X

(z，) 最多相差一個(gè)常數(shù)因子

M

。因此，若在Z平面上表示出X

(

的全部零、極點(diǎn)，即構(gòu)成X

(

的幾何表示——零極點(diǎn)圖。如果在零極點(diǎn)圖上同時(shí)標(biāo)出ROC，則由該零極點(diǎn)圖可以唯一地確定一個(gè)信號。零極點(diǎn)圖對描述LTI系統(tǒng)和分析LTI系統(tǒng)的特性，具有重要的用途。10.2 Z

變換的ROCThe

Region

of

Convergence

for

the

z-TransformROC的特征：X

(

的ROC是Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。在ROC內(nèi)，

X

(

無極點(diǎn)。有限長序列的ROC是整個(gè)有限Z平面（可能不包括

z

0

，或

z

）。這個(gè)ROC內(nèi)。5.左邊序列的ROC是某個(gè)圓的4.右邊序列的ROC是某個(gè)圓的外部，但可能不包括

z

。那么

z

r0

的全部有限值都在，但可能不包括z

0。那么滿足這個(gè)ROC內(nèi)。全部值都一定在0

z

的r06.雙邊序列的Z變換如果存在，則ROC必是一個(gè)環(huán)形區(qū)域。如果x[n]的變換X(z)是有理的，而且若是x[n]右邊序列，那么ROC就位于0

z

r0平面內(nèi)最外層極點(diǎn)的外邊；也就是半徑等于極點(diǎn)中最大模值的圓的外邊。而且若x[n]是因果序列（即為x[n]等于0的右邊序列），那么也包括z=∞。如果x[n]的變換X(z)是有理的，而且若是x[n]左邊序列，那么ROC就位于z

r0

平面內(nèi)最里層的非零點(diǎn)的里邊；也就是半徑等于X(z)中除去z=0的極點(diǎn)中最小模值的圓的里邊，并且向圓內(nèi)延伸到可能包括z=0。特別是若是反因果序列(即x[n]為等于0的左邊序列)，ROC那么也包括z=0。N

1n01

az1z

N

aNz

N

1

(z

a)n

nX

(z)

a

z

其他n1

aN

z

N極點(diǎn)：z

（一階）z

0

（N－1階）2j

k零點(diǎn)：

z

ae

N(k

0,1

N

1)jImzRez(N

8)

aa0(N

1)ROC

:

z

0在

z

處a，零極點(diǎn)抵消，使有限

Z平面內(nèi)無極點(diǎn)。例1.x(n)

an

,

0

n

N

1,a

00,例2.

x(n)

bn

,

b

0x(n)

bnu(n)

bnu(n

1)bnu(n)

1

, z

b1

bz1b

nu(n

1)

,

z

b111

b1z1bZ平面ImRe1/b在

b

時(shí)1，兩部分的收斂域無公共部分，表明此時(shí)

不存X

(在z)。0

b

1時(shí)，ROC為

b

z

1/

b例3.X

(z)13(1

1

z1

)(1

2z1

)2ReIm(2)0

1/

3在有限Z平面上極點(diǎn)總數(shù)與零點(diǎn)總數(shù)相同零點(diǎn)：z

0

（二階）若其ROC為：12z

23極點(diǎn)：z

1

,1z

2則

x(n為右邊序列，且是因果的，但其 變換不存在。時(shí)x(n是左邊序列，且是反因果的，其變換不存在。23z

1變換存331

z

2

時(shí)

x(是n

雙邊序列，其在。ROC是否包括

z

，是x(n

是否因果的標(biāo)志。ROC是否包括z

0，是x(n)是否反因果的標(biāo)志。22

x(n)r

n

1

X

(re

j

)e

jnd2x(n)

X2令z

re，j則dz

jre

j

d

jzd10.3

Z-反變換The

Inverse

Z-Transform一.Z-反變換：X

(re

j

)

x(n)r

ne

jnn當(dāng)

從

0

2

時(shí)，Z沿著ROC內(nèi)半徑為

r

的圓變化一周。12

j

x(n)

cX

(z)z

dzn1其中C

是ROC中逆時(shí)針方向的圓周。步驟：1.求出X

(將X

(

展開為部分分式；根據(jù)總的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC；利用常用變換對和Z變換性質(zhì)求出每一項(xiàng)的反變換。二.反變換的求?。?.部分分式展開法：當(dāng)X

(是有理函數(shù)時(shí)，可將其展開為部分分式Aiii的所有極點(diǎn)

ai

；1

a

z1X

(z)

14

3n

n

x(n)

(

1

)

u(n)

2(

)

u(n

1)1

2X

(z)

1

1

z1

1

1

z14

3ROC1

ROC2ROC

:

|

z

|

1/

41ROC2

:

|

z

|

1/

33

5

z1例：X(z)

6

(1

1

z1

)(1

1

z1

)4

3展開為部分分式有：1413

z

將X

(冪級數(shù)展開法:（長除法）由X

(的z)定義，將其展開為冪級數(shù)，有X

(z)

x(n)zn

x(1)z

x(0)

x(1)z1

x(2)z2

x(n)zn

展開式中

z項(xiàng)

n

的系數(shù)即為

。x(n當(dāng)

是X有(

理函數(shù)時(shí)，可以通過長除的方法將其展開為冪級數(shù)。由于右邊序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個(gè)Z的負(fù)冪項(xiàng)，所以要按降冪長除。由于左邊序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個(gè)Z的正冪項(xiàng)，所以要按升冪長除。對雙邊序列，先要將其分成對應(yīng)信號的右邊和左邊的兩部分，再分別按上述原則長除。例如：

X

(z)

1

2z1

4z3x[n]

4

,1,

n

02

,

n

1n

30,

n

其它，可得。43

5

z1例：X(z)

6

(1

1

z1

)(1

1

z1

)321

z

14

3ROC1

:

|

z

|

1/

4所以前一項(xiàng)按降冪長除，后一項(xiàng)按升冪長除。冪級數(shù)展開法的缺點(diǎn)是當(dāng)

X

較(

復(fù)雜（含多個(gè)極點(diǎn)時(shí)）難以得出

的x(n閉式。冪級數(shù)展開法適合用來求解非有理函數(shù)形式的反X

變(z)換。1X

(z)

1

1

z11

1

z14

3ROC1

ROC22ROC :

|

z

|

1/

33.

留數(shù)法：

對有理函數(shù)的

X

(由留數(shù)定理有：2

jx(n)

1

iRes[

X

(z)z

,

z

]n1cn1X

(z)z dz

izi

是C內(nèi)的極點(diǎn)。iRes[X

(z)z

,

z

]n1x(n)

iiz

是C外的極點(diǎn)。n

0時(shí)，Res[X

(z)z,

z

]n1izi

是C內(nèi)的極點(diǎn)。in

0時(shí)，x(n)10.4.

由零極點(diǎn)圖對離散時(shí)間變換幾何求值Geometric

Evaluation

oftheFourierTransform

from

the

Pole-Zero

Plot當(dāng)ROC包括z

1時(shí)，Z

變換在單位圓上的情況就是X

(e

j

)，因此也可以利用零極點(diǎn)圖對其進(jìn)行幾何求值。其方法與拉氏變換時(shí)完全類似：考查動點(diǎn)在單位圓上移動一周時(shí)，各極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量的長度與幅角變化的情況，即可反映系統(tǒng)的頻率特性。例1.

一階系統(tǒng)h(n)

anu(n)y(n)

ay(n

1)

x(n)1

az11H

(z)

,

z

a當(dāng)a

1

時(shí)，ROC包括單位圓。H

(e

j

)

11

ae

jH

(e

j

)

1顯然，VH取(e決j

)于2的變V化。當(dāng)0

a時(shí)

1，在

處0

，

H有(e最j

)大值。當(dāng)

時(shí)，

H有(e最j

)小值。H

(e

j

)

隨呈單調(diào)變化。V1Ve

jRe[z]jIm[z]2a

1相頻特性一階系統(tǒng)的頻率特性：0

a

1幅頻特性當(dāng)1

a時(shí)

，0V1a2Ve

jRe[z]jIm[z]1

a

0.5a

0.95相頻特性幅頻特性可以看出：a越小，極點(diǎn)靠原點(diǎn)越近，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)越平緩，系統(tǒng)的帶寬越寬；此時(shí)

衰h(n減越快，上升越快s(。na越大，極點(diǎn)靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害。例2.

二階系統(tǒng)：sinh(n)

rn

sin(n

1)

u(n)0

r

1,（系統(tǒng)欠阻尼）y(n)

2r

cos

y(n

1)

r2

y(n

2)

x(n)11

2r

cos

z1

r

2

z2H

(z)

1,2極點(diǎn)：z

re

j零點(diǎn)：z

0

（二階）考查動點(diǎn)在單位圓上移動一周時(shí)，各極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量的長度與幅角的變化情況，即可得到二階系統(tǒng)的頻率特性。V1V2e

jjIm[z]3VRe[z]1當(dāng)

從

0時(shí)，在靠近處

頻

率響應(yīng)會出現(xiàn)極大值。若r越接近于1，

H

(e的j峰)

值越 。由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，

和h(n的)

變s化(n速率越慢。隨著r減小，極點(diǎn)逐步靠近原點(diǎn)，頻率響應(yīng)趨于平坦，而h和(n的s變(n化速率會加快。幅頻特性相頻特性二階系統(tǒng)的頻率特性：

0

r

1,當(dāng)極點(diǎn)很靠近單位圓時(shí)，也可以從零極點(diǎn)圖粗略4確定系統(tǒng)的帶寬。更一般的情況，二階系統(tǒng)也可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。其特性相當(dāng)于兩個(gè)一階系統(tǒng)級聯(lián)的結(jié)果。（二階系統(tǒng)具有重階實(shí)數(shù)極點(diǎn)的情況）x1(n)

X1(z)x2

(n)

X2

(z)ROC:

R1ROC

:

R2則ax1(n)

bx2

(n)

aX1(z)

bX2

(z)ROC

：包括

R1

R210.5

Z變換的性質(zhì)1.線性：Properties

of

the

Z-transformZ變換的許多性質(zhì)與DTFT的性質(zhì)相似，其推論方法也相同。這里主要

其ROC的變化。如果 性組合過程中出現(xiàn)零極點(diǎn)相抵消，則ROC可能會擴(kuò)大。2.時(shí)移(右移)：若x(n)

X

(z)ROC:R

但在z

和0z可能會有增刪。由于信號時(shí)移可能會改變其因果性，故會使ROC

在

z

0，

z

有可能改變。ROC

:

R00nx(n

n

)

X

(z)z則3.

Z域尺度變換：

若

x(n)

X

(z)ROC

:

R則

z0

x(n)

X

(z

/

z

)n0ROC

:

z0

R|

z

/時(shí)z0

|，Rz

R

時(shí)X

(收斂，故

收X斂(z

/。z0

)

z

z0

R當(dāng)z0

e時(shí)0，即為移頻特性。j0若

z是一般復(fù)數(shù)00

0jz

r

e0，則

的X零(z極/

z點(diǎn))

不僅要將

的零極X點(diǎn)(逆z)

時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，而且在徑0向有 倍的尺度變r(jià)0化。1/2r0

2014.時(shí)域反轉(zhuǎn)：若x(n)

X

(z)則x(n)

X

(z1)ROC:

RROC:1/R(收斂域邊界倒置)信號在時(shí)域反轉(zhuǎn)，會引起

X

(的z)零、極點(diǎn)分布按倒量對稱發(fā)生改變。如果z是iX的(z)零/極點(diǎn),則就1是/zi的零X/(極z1

)點(diǎn)。由于

也是iz的

零/極X

點(diǎn)(

，因此i1/

z也是X

(z的1

)零/極點(diǎn)。23

z

2ziizRe0即：

X

(與

X的(z零1

)極點(diǎn)呈共軛倒量對稱。jImi1/

z

*i1/

z例：若X

(z)的ROC為1

z

32

2則X

(z1

)的ROC為5.時(shí)域內(nèi)插:x(n

/

k

)0k若x(n)

X

(z)ROC

:

R則xk

(n)

x (n)

X

(zk

)n

為k的整數(shù)倍其它n1ROC

:

R

kkk

(n)nX

(z)

xzn

x(r)zrk

X

(zk

)r

證明：ROC

:

R當(dāng)

x(n是實(shí)信號時(shí)，

x*(n)

，

x于(n是) 有X

(z)

X

*(z)表明如果X

(有復(fù)數(shù)零極點(diǎn)，必共軛成對出現(xiàn)。6.共軛對稱性：

若x(n)

X

(z)則x*(n)

X

*(z*)ROC

:

RROC包括

R1

R2如果在相乘時(shí)出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消的情況則ROC可能會擴(kuò)大。x1(n)

x2

(n)

nx1(m)x2

(n

m)z

n

m

2

X1

(z)

X

2

(z)x

(m)X

(z)zmm

1該性質(zhì)是LTI系統(tǒng)Z變換分析法的理論基礎(chǔ)。7.卷積性質(zhì)：若x1(n)

X1(z)x2

(n)

X2

(z)ROC:

R1ROC

:

R2x1(n)

x2

(n)

X1(z)X2

(z)則8.Z域微分：若x(n)

X

(z)利用該性質(zhì)可以方便地求出某些非有理函數(shù)的反X

(變換，或具有高階極點(diǎn)的

的反X變(換。ROC

:

R則nx(n)dROC

:

RdX

(z)az1n1

a(a)

u(n

1)

nx(n)dz

1

az1z

x(n)

a

(a)n1u(n

1)

1

(a)n

u(n

1)n

ndX

(z)

az2dz

1

az1例1.

X

(z)

ln(1

az1)z

a例2：X

(z)az1(1

az1

)2z

aanu(n)

11

az1z

aaz21

2d

1(

1

)

dz

1

az(1

az

)z

d

X

(z)

az1dz

(1

az1

)2

x(n)

nanu(n)9.初值定理：若x(n是)因果信號，且z則

x(0)

lim

X

(z)x(n)

X

(z)證明：將X

(z按)定義式展開有：X

(z)

x(0)

x(1)z1

x(2)z2

x(n)zn

z

時(shí)有

lim

X

(z)

x(0)顯然當(dāng)z10.終值定理：若

x(是n

因果信號，且x(n)

，

X除(z了)

在X

(可以有一z

階1極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則z1

lim(z

1)

X

(z)limn證明：x(n)

0,

n

除0了,

在X

(

可以有外，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，(z

1)X

(z)在單位圓上無極點(diǎn)z

單1

階極點(diǎn)[x(n

1)

x(n)]zlimlimz1

z1nmmn1

lim[x(n

1)

x(n)]n1(z

1)

X

(z)

(m

1)

x(m)]m

lim[x(0)

x(1)

limx(m

1)

limx(n)m

n這其實(shí)表明：如果x有(n)終值存在，則其終值等于X

(在z

處1的留數(shù)。z1lim(z

1)X

(z)

Res[X

(z),1]信號的極點(diǎn)的位置與信號終值之間關(guān)系示意圖10.6

常用信號的Z變換對Some

Common

Z-Transform

Pairs10.7

利用Z變換分析與表征LTI系統(tǒng)ysis

and

Characterization

of

LTI

SystemsUsing

Z-Transforms一.系統(tǒng)特性與

H的(

關(guān)系:LTI系統(tǒng)的特性可以由

h(n

或

H

(e

j

)描述，因而也可以由H

(

連同ROC來表征。H

(稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)的特性應(yīng)該在系統(tǒng)函數(shù)中有所表現(xiàn)。根據(jù)卷積性質(zhì)只要單位圓是在

H

(的z)ROC內(nèi)，將

H在(z單)

位圓上求值（即z）

，e

j就H變(成z)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。Y

(z)

H

(z)

X

(z)H(z)與h[k]的關(guān)系H

(z)

Z{h[k]}h[k]

Z

1[H

(z)]h[k]

[k]yzs

[k]

=

[k]*h[k]

h[k

]1H

(z)

Z{yzs[k]}

Z{h[k]}

Z{h[k]}Z{[k]}求零狀態(tài)響應(yīng)h[k]H(z)x[k]yzs

[k]=

x[k]*h[k]Yzs(z)

=

X(z)H(z)X(z)求H(z)的方法①由系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求解：H(z)=Z{h[k]}③由系統(tǒng)的差分方程寫出H(z)H

(z)

Z{yzs[k]}Z{x[k]}②由定義式有h(n)

0,所以,H

(外部，

并且包括

z

。1.因果性：如果LTI系統(tǒng)是因果的，則n

0

時(shí)的ROC是最外部極點(diǎn)的ROC內(nèi)。即H

(2.穩(wěn)定性：若LTI系統(tǒng)穩(wěn)定，則

h(n)

，n即

h(n

的DTFT存在，表明單位圓在

H

(

的的ROC必包括單位圓。因此，因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)其

H

(z)的全部極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)，反之亦然。當(dāng)

H

(

是關(guān)于Z的有理函數(shù)時(shí)，因果性要求

H

(z)的分子階數(shù)不能高于分母階數(shù)。解：例：求單位延時(shí)器y[k]=x[k1]的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。x[k]

z

X

(z)利用z變換的位移特性，有x[k

1]

z

z1

X

(z)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得1Y

(z)

z

1

X

(z)H

(z)

zs

zX

(z)

X

(z)即單位延時(shí)器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為z1

。例：一LTI離散系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為y[1]=8，y[2]=2,當(dāng)輸入x[k]=(0.5)ku[k]時(shí)，輸出響應(yīng)為y[k]=

4(0.5)ku[k]

0.5k(0.5)k1

u[k1](0.5)ku[k]求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：y[k]

5(0.5)k

u[k]

(k

1)(0.5)k

u[k]

(0.5)k

u[k]15

1

1

0.5z1

(1

0.5z1

)2

1

0.5z1Y

(z)

3

0.5z

1

1.5z

2(1

0.5z

1

)2

(1

0.5z

1

)對于初始狀態(tài)為y[1]=8,y[2]=2的一般二階系統(tǒng)211

21

a

z1

a

z21

a

z1

a

z2b

b

z1

b

z2

8a

2a

8a

z1Y

(z)

X

(z)

0

1

2

1

2

2

1

0.25z22.5

1.25z1

0.5z2H

(z)

(1

0.5z

1

)2

(1

0.5z

1

)3

0.5z

1

1.5z

2H(z)y[n]

1

y[n

1]2

2

1

nx[n]

u[n]例已知一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為試確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。若，用z變換確定上述系統(tǒng)的輸出y[n]Y

(z)

1

z

1Y

(z)

1

z

2Y

(z)

X

(z)2

4(1Y

(

)H

(z)1

j

34

4z

1

j

3

14

4

2極點(diǎn)為，收斂域?yàn)?,

z

11`

1

z

121X

(z)

Y

(z)

X

j

33

z4

sin3

1

n

2

2

y[n]

j

1

3

1）

由

x(求n)得

及X

(其統(tǒng)的描述求得

及其二.LTI系統(tǒng)的Z變換分析法：分析步驟：R。OC:R12）由系H

(。ROC

:

R2的ROC3）由Y

(z)

X

(得z)出H

(z)并確定Y

(它包括

。

R14）對Y

(做z)反變換得到。y(nR2三.

由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的

H

(

:由差分方程描述的LTI系統(tǒng)，其方程為N

Nak

y(n

k)

bk

x(n

k)k

0

k

0對方程兩邊做Z變換可得：N

Nkka

z Y

(z)

k

0k

0kb

z X

(z)kNNb

za

zkkk

0H

(z)

k

0

k

k是一個(gè)有理函數(shù)。H

(的ROC需要通過其它條件確定，如：系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定性。系統(tǒng)是否具有零初始條件等。1x

[n]

1（

）u[n

n]6

y[n]

（a

1）n

1（0

1）n

u[n]2

3例：若系統(tǒng)的輸入是，那么輸出是。其中a是實(shí)數(shù)。611,

z

111X

(z)

Y1

(z)

101121

z6az113z1111213az1

,

z

21

z1

1z1

a

10

（5＋

）3,那么輸出是。n若x2

[n]

1求該系統(tǒng)的差分方程。n

1742y

[n]

aH

z)

1

(z)Y

z)

2

3

a

10

5

H

(1)

74解得：a

9

，1111112611

z3z

1

zH

(z)z56z

11

13

z

1

6

1

H

(z)

y[n]

5

y[n

1]

6例：由下列差分方程做出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并求其系統(tǒng)函數(shù)H(z)

和單位脈沖響應(yīng)h(n)。(1)

y(n)

x(n)

5x(n

1)

8x(n

3)解：由方程可得Y

(z)

(1

5z1

8z3

)X

(z)H

(z)

1

5z1

8z3h(n)

(n)

5

(n

1)

8

(n

3)FIRz

1z

1z

11

58x(n)

y(n)(2)

y(n)

3y(n

1)

3y(n

2)

y(n

3)

x(n)解：由方程可得(1

3z1

3z2

z3

)Y

(z)

X

(z)(1

z1

)31H

(z)

利用Z變換的性質(zhì)可得h(n)

1

(n

1)(n

2)u(n)2IIRx(n)z

1z

1z

1y(n)

331系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布系統(tǒng)函數(shù)可以表達(dá)為零極點(diǎn)增益形式，即H

(z)

N

(z)

K

(z

r1

)(z

r2

)(z

rm

)D(z)

(z

z1

)(z

z2

)(z

zn

)D(z)=0的根是H(z)的極點(diǎn)，在z平面用表示。(2)(3)0.5j1

0.5

00.5j0.5

1jjRe(z)Im(z)z3(z

1

j)(z

1

j)H(z)

(z

0.5)(z

1)2(z

0.5

j0.5)(z

0.5

j0.5)N(z)=0的根是H(z)的零點(diǎn)，在z平面用

表示。例如零極點(diǎn)與時(shí)域特性系統(tǒng)的時(shí)域特性主要取絕于系統(tǒng)的極點(diǎn)(z

z1

)(z

z2

)(z

zn

)由系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點(diǎn)分布，可將H(z)展開成部分分式，對每個(gè)部分分式取z反變換可得h[k]。如H(z)為單極點(diǎn)時(shí)，有H

(z)

K

(z

r1

)(z

r2

)(z

rm

)

kini

1z

ziu[k

1]k

(z

)h[k]

Z

1{H

(z)}

k

1ini1

i零極點(diǎn)與時(shí)域特性離散系統(tǒng)H(z)與h[k]關(guān)系kkkkRe(

z)kkkkIm(

z)11

jkj

|

r

|

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理：離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h[k]

k

H(z)的收斂域包含單位圓則系統(tǒng)穩(wěn)定。因果系統(tǒng)的極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)則該系統(tǒng)穩(wěn)定。由H(z)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：例：試判斷下面因果LTI離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性1H

(z)

(1

0.5z

1

)(1

1.5z

1

)解：從收斂域看該因果系統(tǒng)的收斂域?yàn)閨z|>1.5收斂域不包含單位圓，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。從極點(diǎn)看系統(tǒng)的極點(diǎn)為z1=0.5,

z2=1.5極點(diǎn)z2=1.5在單位圓外，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。解：例

一因果離散系統(tǒng)

，求

a)

H(z) b)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)k的范圍。z1x[k]

y[k]g[k]

k

k3

4z1(k

/

3)G(z)

X

(z)G(z)Y

(z)

G(z)

(k

/

4)z1G(z)1

(k

/

4)z

1H

(z)

1

(k

/

3)z

1系統(tǒng)穩(wěn)定k

3零極點(diǎn)與頻域特性由于系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓，因此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)可由H(z)求出。單位圓D1D2N2N1z1z2p2p1112Re(z)Im(z)ejH(z)

Knm

j

1

(z

pi)i

1(z

zj)z

ejH(e )

Knimji1j1(ej(ej

z

)jjj

zj)

Nje(ejij(ej

p)

Dei

ij1

2ej[(

m)(1

2

n

)]H(e )

KD1D2

DnN1N2

Nm用z平面pi和z

點(diǎn)指向j單位圓上

p

)

ej點(diǎn)的向量表示H

(ej

)(

)解：當(dāng)=0時(shí)例：已知某因果離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1

z1

,

1(1

)

1

z12H(z)

試用向量法定性畫出該系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。0NDRe(z)Im(z)1ejN

2

D

12

DH(ej0)

11

N(0)

(0)

(0)

0當(dāng)=時(shí)N

0

D

1H

(e

j0

)

1

N

02

D

(π)

(π)

(π)

π

π

π2

2當(dāng)0<<時(shí)，D隨著的增大而增大，N隨著的增大而減小，D

,

H

(e

j

)

N

,()

()

()

因此解：例：已知某因果離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1

z1

,

1(1

)

1

z12H(z)

試用向量法定性畫出該系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。0NDRe(z)Im(z)1ej(ej)|()10.8

系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示System

Function

Algebra

and

BlockDiagram

Representations一.系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù):H1(z)1.級聯(lián)：X

(z)Y

(z)H2(z)W

(z)Y(z)

H2

(z)W(z)

H2

(z)H1(z)X

(z)Y

(z)H1(z)H2(z)X

(z)一、系統(tǒng)的基本聯(lián)接2.系統(tǒng)的并聯(lián)X

(z)H1(z)H2(z)Y

(z)H1(z)+H2(z)X

(z)Y

(z)Y(z)

H1(z)X

(z)

H2

(z)X

(z)

[H1(z)

H2

(z)]X

(z)3.反饋聯(lián)接：由系統(tǒng)框圖可列出如下方程：X1(z)

X

(z)

Y(z)G(z)Y(z)

X1(z)H1(z)

X

(z)H1(z)

Y(z)H1(z)G(z)H1

(z)1

H1

(z)G(z)H

(z)

12ROC：包括

R

Rn

ny[k]

aj

y[k

j]

bi

x[k

i]

jnj

1

i0na

zb

zi

i

jj

11.直接型結(jié)構(gòu)設(shè)差分方程中的

m=n，即1ni

jna

zi

jH

(z)

i0

i0j

1.b

z111H

(z)2H

(z)1.直接型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可以看成兩個(gè)子系統(tǒng)的級聯(lián)nw[k

]

a

j

w[k

j]

x[k

]j

1ny[k]

bi

w[k

i]i0X

(z)1

W

(z)1H

(z)

n

jj

11

aj

zY

(z)niH2

(z)

bi

z

W

(z)i0描述這兩個(gè)系統(tǒng)的差分方程為1.直接型結(jié)構(gòu)

anan1a1a2bn1b1b20by[k

]w[k

n

1]

w[k

n]bnw[k

2]w[k

1]x[k

]

w[k

]DDD時(shí)域框圖1.直接型結(jié)構(gòu)X(z)Y(z)W(z)bnz-1z-

1z-1ana1an-1z-1---b0b1bn

-1z-1W(z)z-nW(z)z-n+1W(z)n

a

z

n

bn

z

nz

(n1)n111b01

a

zH

(z)

a

b1

z

1

bn1

z

(n1)z域框圖2.級聯(lián)型結(jié)構(gòu)H(z)

=

H1(z)

H2(z)

…..

Hn(z)將系統(tǒng)函數(shù)的N(z)和D(z)分解為一階或二階實(shí)系數(shù)因子形式，將它們組成一階和二階子系統(tǒng)，即畫出每個(gè)子系統(tǒng)直接型模擬流圖，然后將各子系統(tǒng)級聯(lián)。H1(z)H2(z)Hn(z)X(z)Y(z)二、離散系統(tǒng)的模擬框圖3.并聯(lián)型結(jié)構(gòu)將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式，形成一階和二階子系統(tǒng)并聯(lián)形式，即H(z)=

H1(z)

+H2(z)

+

….

+Hn(z)畫出每個(gè)子系統(tǒng)直接型模擬流圖，然后將各子系統(tǒng)并聯(lián)。X(z)Y(z)H1(z)H2(z)Hn(z)例：已知3

3.6z1

0.6z2H

(z)

1

0.1z1

0.2z

2試畫出其直接型，級聯(lián)型和并聯(lián)型的模擬框圖。解：1）直接型z-1z-10.20.1X(z)-+0.63.6Y(z)3例：已知3

3.6z1

0.6z2H

(z)

1

0.1z1

0.2z

2試畫出其直接型，級聯(lián)型和并聯(lián)型的模擬框圖。解：2）級聯(lián)型1

z11

0.4z11H

(z)

3

0.6z1

0.5z1-z-10.50.6X(z)Y(z)3+z-10.4例：已知3

3.6z1

0.6z2H

(z)

1

0.1z1

0.2z

2試畫出其直接型，級聯(lián)型和并聯(lián)型的模擬框圖。1

2.8z1

0.4z11H

(z)

3

0.5z1

0.5z1解：3）并聯(lián)型z10.5X(z)z10.473Y(z)例：已知描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為：y[k]

3

y[k

1]

14

8x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2在z域求解：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]，零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]和完全響應(yīng)y

[k]。系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，單位脈沖響應(yīng)h[k]，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。若x[k]=2

u[k1]，重新計(jì)算(1)(2)。解：對差分方程兩邊進(jìn)行z變換得Y

(z)

3

{z1Y

(z)4整理后可得41

34

8

1]

13

yY

(z解：(1)例：已知描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為：y[k]

3

y[k

1]

1

y[k

2]

2x[k]

3x[k

1]

k

04

8x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2]

1,在z域求解：(1)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]，零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]和完全響應(yīng)y

[k]。13

1

z

1zi4

81

3

z

1

1

z2Y

(z)

8

4

1

1

z

1

1

1

z

12

49

/

4

5

/

89

1(

)

5

(

1

)k

,

k

0yzi

[k]

Z{Yzi

(z)}

k18341

)(1

Yzs

(z)

1

z

2

)(1

zz2

3z

11

z

11

40

/

3412111

z

1

z4

2

8

4

16

14

/

3zskk(

)

40

]u[k]1

14

1Y

[k]

[16(

)2

3

4

3,

k

034024

497

1(

)

4

2(

)

kkzi

zsy[k

]

y

[k]

y

[k]

55

1解：(2)例：已知描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為：y[k]

3

y[k

1]

14

8x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2在z域求解：(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)，單位脈沖響應(yīng)h[k]，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得H

(z)

X

(z)3

14

8z

1

z

Yzs

(z)

2

3z

11

14z

1

12116

14z進(jìn)行z反變換即得h[k]

Z

1[H

(z)]

[16對因果系統(tǒng)，由于其極點(diǎn)為z1=1/2，z2=1/4，均在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。例：已知描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為：4

8y[k]

3

y[k

1]

1

y[k

2]

2x[k]

3x[k

1]

k

0x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2]

1,在z域求解：(3)若x[k]=2

u[k1]，重新計(jì)算(1)(2)。解：(3)若x[k]=2u[k1]，說明系統(tǒng)的輸入信號變了，但系統(tǒng)沒變，系統(tǒng)的初始狀態(tài)也沒變，因此，系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，單位脈沖響應(yīng)和穩(wěn)定性都不變，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)也不變，只有系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)會隨輸入信號發(fā)生變化，由線性非時(shí)變特性1

1zsT{2u[k

1]}

2Y

[k

1]

2[16(

)

(

)k

1

40

]u[k

1]2

3

4

3k

1

14系統(tǒng)的完全響應(yīng)也相應(yīng)地改變?yōu)閥[k]

yzi

[k]

T{2u[k

1]}

340 ]u[k

1],

k

03

414

1

(

)214

2

8

49

1

5

1(

)

(

)

2[16(

)k

1k

1k

k可得一.單邊Z變換：

(z)

x(n)znn0單邊Z變換是雙邊Z變換的特例，也就是因果信號的雙邊Z變換。因此單邊Z變換

(

的ROC一定是最外部極