2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古通遼市數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點(diǎn)，過(guò)的平面與棱、、分別交于、、，設(shè)三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（）A．， B．，C．， D．，2．在邊長(zhǎng)為的菱形中，，沿對(duì)角線(xiàn)折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．3．2019年10月1日，中華人民共和國(guó)成立70周年，舉國(guó)同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為A．96 B．84 C．120 D．3604．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．5．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-16．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．107．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，，，為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)（）.A．6 B．5 C．4 D．39．若，，，點(diǎn)C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．10．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．11．雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左支及右支于，滿(mǎn)足，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B．3 C． D．212．從拋物線(xiàn)上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，且，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則直線(xiàn)的斜率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，其中，為正的常數(shù)，且，則的值為_(kāi)______.14．某校名學(xué)生參加軍事冬令營(yíng)活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級(jí)別從小到大共種，分別為士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級(jí)別連續(xù)的個(gè)不同角色.已知這名學(xué)生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，現(xiàn)在新加入名學(xué)生，將這名學(xué)生分成組進(jìn)行游戲，則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為_(kāi)_______.15．如果橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在x軸上，且=,那么橢圓的方程是．16．已知，則的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的平分線(xiàn)與交于點(diǎn)D，與的外接圓交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)A），，求的值.18．（12分）某市計(jì)劃在一片空地上建一個(gè)集購(gòu)物、餐飲、娛樂(lè)為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個(gè)購(gòu)物廣場(chǎng)的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂(lè)大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購(gòu)物廣場(chǎng)、美食城和歡樂(lè)大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設(shè)，用關(guān)于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.19．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng)：具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：（1）估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率（2）某會(huì)員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)；（3）假設(shè)每個(gè)會(huì)員每星期最多消費(fèi)4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會(huì)員中隨機(jī)抽取兩位，記從這兩位會(huì)員的消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)之差的絕對(duì)值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望21．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點(diǎn)，且，.求證：平面；求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)，且）.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點(diǎn)在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設(shè)直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)，取與重合時(shí)的情況，計(jì)算出以及的值，利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè)，延長(zhǎng)到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除B、D選項(xiàng)；因?yàn)?，，此時(shí)，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除C選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．2、A【解析】

畫(huà)圖取的中點(diǎn)M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點(diǎn)M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.3、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開(kāi)頭的排列數(shù)共個(gè)，其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共個(gè)，所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選B．4、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿(mǎn)足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時(shí)要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.7、D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論．【詳解】執(zhí)行該程序可得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖．解題可模擬程序運(yùn)行，觀(guān)察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解．8、C【解析】

若對(duì)任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知，，又三角形有一個(gè)內(nèi)角為，所以，，解得或（舍），故，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.9、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線(xiàn)定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．10、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問(wèn)題，若已知垂直，通?？傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0，繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.11、A【解析】

設(shè)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到，得到離心率.【詳解】設(shè)，直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)?，所以為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，，整理得，故該雙曲線(xiàn)的離心率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.12、A【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn)方程，所以，解得，把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程可得，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入斜率公式可得，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

把已知等式變形，展開(kāi)兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合已知求得值．【詳解】解：由，得，，即，，又，，解得：．為正的常數(shù)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．14、【解析】

對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類(lèi)討論，分析各種情況下個(gè)學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.【詳解】依題意，名學(xué)生分成組，則一定是個(gè)人組和個(gè)人組.①若新加入的學(xué)生是士兵，則可以將這個(gè)人分組如下；名士兵；士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)各名；營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)各名；師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)、司令各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對(duì)稱(chēng)性可知也可以是司令；②若新加入的學(xué)生是排長(zhǎng)，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)各名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各名；名司令；名排長(zhǎng).所以新加入的學(xué)生可以是排長(zhǎng)，由對(duì)稱(chēng)性可知也可以是軍長(zhǎng)；③若新加入的學(xué)生是連長(zhǎng)，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)各名；連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)各名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長(zhǎng)，由對(duì)稱(chēng)性可知也可以是師長(zhǎng)；④若新加入的學(xué)生是營(yíng)長(zhǎng)，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)各名；營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)各名；師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)、司令各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營(yíng)長(zhǎng)，由對(duì)稱(chēng)性可知也可以是旅長(zhǎng)；⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長(zhǎng)，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)各名；旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)各名；名司令；名團(tuán)長(zhǎng).所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長(zhǎng).綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演種角色.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于中等題.15、【解析】

由題意可設(shè)橢圓方程為：∵短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在軸上∴又，∴，∴橢圓的方程為，故答案為．考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解三角形以及解方程組的相關(guān)知識(shí)．16、【解析】

先求，再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由，利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為，再利用余弦定理求解.（2）根據(jù)，利用兩角和的余弦得到，利用數(shù)形結(jié)合，設(shè)，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，即，所?（2）∵，.所以，從而.所以，.不妨設(shè)，O為外接圓圓心則AO=1，，.在中，由正弦定理知，有.即；在中，由，，從而.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.18、（1），最大值公頃；（2）17、25、5、5.【解析】

（1）由余弦定理求出三角形ABC的邊長(zhǎng)BC，進(jìn)而可以求出，，由面積公式求出，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表達(dá)式求出，?！驹斀狻浚?）由余弦定理得，，所以，，同理可得又，所以，故在區(qū)間上的最大值為，近似值為。（2）由（1）知，，，所以，進(jìn)而，由知，，，故、、、的值分別是17、25、5、5?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.又∵四邊形是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又∵，為的中點(diǎn)，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.（2）∵平面，，∴平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示：則，，，.∴，，.設(shè)為平面的法向量，則，得，令，則.由題意知為平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查線(xiàn)線(xiàn)垂直，先證線(xiàn)面垂直時(shí)解題關(guān)鍵，第二問(wèn)考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1）（2）22.5（3）見(jiàn)解析，【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率，得出概率；（2）根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算平均利潤(rùn)；（3）求出各種情況對(duì)應(yīng)的的值和概率，得出分布列，從而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率；（2）第1次消費(fèi)利潤(rùn)；第2次消費(fèi)利潤(rùn)；第3次消費(fèi)利潤(rùn)；第4次消費(fèi)利潤(rùn)；這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)：（3）1次消費(fèi)利潤(rùn)是27，概率是；2次消費(fèi)利潤(rùn)是，概率是；3次消費(fèi)利潤(rùn)是，概率是；4次消費(fèi)利潤(rùn)是，概率是