2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)同濟中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末達標(biāo)檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第天長高尺，蕪草第天長高尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是（）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．3．集合，，則()A． B． C． D．4．一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．5．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A． B． C． D．6．命題“”的否定是（）A． B．C． D．7．若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．11．已知全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．12．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方形邊長為，空間中的動點滿足，，則三棱錐體積的最大值是______.14．已知數(shù)列的首項，函數(shù)在上有唯一零點，則數(shù)列|的前項和__________.15．已知圓，直線與圓交于兩點，，若，則弦的長度的最大值為___________.16．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Sn．18．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當(dāng)斜率時，求的最小值.19．（12分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點，是的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α121．（12分）數(shù)列滿足，，其前n項和為，數(shù)列的前n項積為.（1）求和數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和，并證明：對任意的正整數(shù)m、k，均有.22．（10分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所示：根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進行預(yù)測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進行預(yù)測．從實際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關(guān)性檢驗的臨界值表：（2）某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】因為，所以的虛部是，故選C.2、C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A，再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B，求交集運算即可.【詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A．【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因為正四棱錐底邊邊長為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.5、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.7、B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個零點，即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題，難度不大.8、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵．9、A【解析】

求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程得到，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設(shè)，，取，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.10、C【解析】

可設(shè)，根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到：，可設(shè)，，且，根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出，從而得出在上單調(diào)遞增，再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關(guān)系，從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解：因為，即，又，設(shè)，根據(jù)條件，，；若，，且，則：；在上是減函數(shù)；；；在上是增函數(shù)；所以，故選：C【點睛】考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程：設(shè)，通過條件比較與，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.11、D【解析】

先求出集合N的補集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，，可得或，又所以.故選：D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由推導(dǎo)出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，根據(jù)題中條件得出，進而可求出的最大值，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點，空間中的動點滿足，，所以，整理得，，當(dāng)，時，取最大值，所以，三棱錐的體積為.因此，三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．14、【解析】

由函數(shù)為偶函數(shù)，可得唯一零點為，代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式，再進行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列，最后運用分部求和可得答案.【詳解】因為為偶函數(shù)，在上有唯一零點，所以，∴，∴，∴為首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以，.故答案為：【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點,同時也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項,考查了數(shù)列的分部求和，屬于中檔題.15、【解析】

取的中點為M，由可得，可得M在上，當(dāng)最小時，弦的長才最大.【詳解】設(shè)為的中點，，即，即，，.設(shè)，則，得.所以，.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題.16、【解析】三視圖還原如下圖：，由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以，，填?！军c睛】三視圖還原，當(dāng)出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯位相減法求出，運用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ），當(dāng)為奇數(shù)時，，又由，得，當(dāng)為偶數(shù)時，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【點睛】本題主要考查了由遞推公式求通項公式，錯位相減法求前項和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學(xué)生的運算求解與邏輯推理能力.18、（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因為曲線的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為.解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為），代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程點互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點在平面的投影恰好為的中點，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因為.所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中點，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點，方向為軸方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，由得取，則設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.解法二：在中，，取中點，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設(shè)到平面的距離為，由，即，即，可得，設(shè)直線與平面所成角大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題.20、A=【解析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【點睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單21、（1），；（2），證明見解析【解析】

（1）利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項公式．（2）利用裂項相消法求出數(shù)列的和，進一步利用放縮法求出結(jié)論．【詳解】（1），，得是公比為的等比數(shù)列，，，當(dāng)時，數(shù)列的前項積為，則，兩式相除得，得，又得，；（2），故.【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項和的應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．22、（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長