二項式定理教案-高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

課題二項式定理授課時間45分鐘學生高二授課人XX教學內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊第六章第3節(jié)第1小節(jié)。二項式定理是初中多項式乘法的繼續(xù)，不過將多項式的個數(shù)擴充到n個。本節(jié)內(nèi)容是在學習了計數(shù)原理、排列數(shù)公式和組合數(shù)公式之后學習二項式定理，一方面，它是計數(shù)原理的一個應用，另一方面，作為統(tǒng)計與概率的一個部分，在學習了二項式定理之后，可以通過類比的方法，探索概率中的二項分布?？傊?，二項式定理具有聯(lián)系不同內(nèi)容的作用。學情分析學生在本節(jié)課之前，已經(jīng)可以利用多項式乘法對二項式的平方、立方等進行計算，同時也學習了計數(shù)原理的相關知識，但并沒有意識將多項式乘法與計數(shù)原理的知識進行聯(lián)系，對多項式乘法沒有一個新的視野。并且，在探究每一項系數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系時，學生還會存在困難，因此需要進一步的引導。教學目標1.通過多項式的乘法運算建立過程性表格，發(fā)現(xiàn)展開式中每一項的由來。2.利用計數(shù)原理解析展開式的項數(shù)以及每一項a、b的次數(shù)和系數(shù)的變化。3.通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律猜想a+4．掌握二項式定理和展開式的通項公式，明確二項式系數(shù)和系數(shù)的區(qū)別。5.在探究過程中，培養(yǎng)學生觀察總結的能力，以及培養(yǎng)學生從特殊到一般的數(shù)學思想。教學重點二項式定理的內(nèi)容教學難點利用計數(shù)原理證明二項式定理課堂教學過程教學流程學生活動設計意圖(一)提出問題，引發(fā)思考如果今天是周二，那么再過810要求810天后是周幾，即求810除以7的余數(shù)是幾，810由于8=7+1，則82=7+12=72接下來要利用計數(shù)原理和排列組合的相關知識，來探究，形如a+b10、a+b（二）回顧已知，加強印象之前，已經(jīng)學到了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，并且，習得了排列組合公式，你能回憶起兩個公式的計算方法嗎？排列數(shù)公式：A組合數(shù)公式：C我們已經(jīng)知道，完全平方公式指出，可知a+b2=(二)引導探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律將a、b一般化，利用多項式乘法運算法則計算乘積a11、求出各項，探究項數(shù)【問題一】數(shù)一數(shù)，展開式一共有幾項？每一項的構成有什么特點，完成以下表格。從a1從a2從a3構成乘積1aaaa2aaba3abaa4abba5baab6babb7bbab8bbbb【問題二】可以發(fā)現(xiàn)，展開式的每一項都包含了從三個因式中選出一個字母相乘的所有可能結果，每一項都是三次項。你能利用計數(shù)原理，來證明展開式擁有8項嗎？2、合并同類項，探究系數(shù)令表格中a1=a2=a3=a,合并同類項，展開式變?yōu)閍3對比a1、a（1）a3的出現(xiàn)，是在三個因式中同時選取a,即都不選b。從而，只能形成C3（2）a2b的出現(xiàn)，是在三個因式中，挑選一個因式取b,其余兩個因式取出a。從而，能形成C【問題三】你能利用相同的思路分析出剩下兩項的形成原因嗎？因此，a+b=4、找尋規(guī)律【問題四】對于a+b3（1）此時等式右邊展開式中有幾項？（2）觀察展開式的每一項，字母a、b的指數(shù)有什么變化規(guī)律？（3）觀察展開式，其中每一項都是一個三次項，你能利用這個特征，將每一項中a、b的變化寫成一個與k(k=0,1,2)有關的通式嗎？（三）猜測定理，類比證明以上是3個a+b相乘的情況，你能猜測出4個a+b相乘的結果，以及n個a+b相乘的結果嗎？根據(jù)a+b3的展開結果和問題四中a+b類比a+b31、求出每項，探究項數(shù)由于a+bn是n個（a+b）相乘，由分步乘法計數(shù)原理，從每一個（a+bC其中每一項都可以表示為an2、合并同類項，探究系數(shù)an?kbk的出現(xiàn)，是在n個因式中挑選n-k個因式取出a，其余k個因式取出b，且b所以，合并同類項后，an?從而，猜想正確，a+b3、探究規(guī)律【問題五】（1）此時展開式共有幾項？是n項嗎？（2）展開式的每一項，字母a、b的指數(shù)有什么變化規(guī)律？（3）展開式的第一項是什么？第二項？第n項是？最后一項是？（4）你能發(fā)現(xiàn)項數(shù)與k的關系嗎？【得出定理】這個公式稱為二項式定理，等式右邊的式子稱為a+bn的二項展開式，a+bn的二項展開式共有n+1項，其中各項的系數(shù)Cnk（k=0,1,2,3?Tk+特別地，若設a=11（四）回歸問題，應用解決再過810天，即計算77觀察到，除了第一項外，每一項都是7的倍數(shù)，因此，可知，810除以7余1，所以，如果今天是周二，那么再過8學生動手計算7+12和7學生自行默寫排列組合公式，并回憶計數(shù)原理的定義。計算a=并填充完表格的最后一列【預設回答】展開式一共有8項，每一項都含有3個字母，這三個字母都分別來自于3個因式【預設回答】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從三個因式中分別選出一個字母，因此，最終的展開式一共有C2【預設回答】（3）ab2是在三個因式中挑選兩個因式出b，從而，能形成C（4）b3是在三個因式中都取出b，從而，只能形成1個【預設回答】（1）此時式中有4項（2）字母a的指數(shù)從3開始遞減至0，字母b的指數(shù)從0遞増至3（3）寫成a(k=0,1,2)的形式【預設回答】（1）展開式共有n+1項（2）字母a的指數(shù)從n開始遞減至0，字母b的指數(shù)從0遞増至n（3）展開式的第1項是Cn0an，第2項是Cn1（4）項數(shù)=k+1學生回到最初的問題，利用公式嘗試計算。利用常見數(shù)學問題，引出二項式的乘法。將實際問題一般化，從問題出發(fā)，吸引學生的探究興趣。復習舊知，提示本節(jié)課所用方法，形成初步印象。一般化a、b，進行一個過渡。列表顯示展開式中利用乘法運算各項的形成過程，更能清晰的體會從每個因式中取出一個的過程，從而引導學生利用計數(shù)原理進行計算。根據(jù)表格的內(nèi)容，指出計數(shù)原理的方法，初步嘗試用計數(shù)原理進行項數(shù)的運算。從一般再到特殊，正式形成a+b3找尋規(guī)律，明確每一項的特征，鞏固已有思想，為后續(xù)猜測a+bn類比a+b3展開式的形成過程，分步驟對a+b探求展開式中的規(guī)律，為得出定理內(nèi)容做鋪墊，同時為得出Tk+回到問題，體現(xiàn)數(shù)學來源于生活并應用于生活的作用。強化訓練，鞏固提升【例1】求x+解：根據(jù)二項式定理，x==【例2】（1）求1+解：第4項是T=則展開式第4項系數(shù)為280，第4項的二項式系數(shù)為C（2）求2x?1解：通項為C求x2的系數(shù)，即令3-k=2，k=1因此，x2的系數(shù)為：（-1）學生獨立完成，并核驗答案和計算過程。學生在黑板上演示做題過程，并嘗試進行講解。例1針對二項式定理進行應用，使學生熟悉公式，初步掌握計算方法例2（1）對展開式的二項式系數(shù)和系數(shù)進行區(qū)別，形成做題的易錯點（2）針對展開式的通項公式進行訓練，明確先求k，再通項的解題技巧。并強調(diào)-1對系數(shù)的影響。小結歸納，回顧反思1.通過探討a+b32.明確1+3.明確二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別4.能利用二項式定理解決二項式的展開問題，能求出展開式中的任意一項。學生分小組舉手回答歸納概括，形成知識體系，引導學生結合自身理解，形成認知。作業(yè)布置，分層訓練層次一：教材P31練習1、2、4層次二：教材P31練習3