量子力學(xué)課件第14講

第十四講算符的共同本征函數(shù)

(1)Schwartz不等式如果，,是任意兩個(gè)平方可積的波函數(shù)，則

1

(2)算符“漲落”之間的關(guān)系－測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：如令

2

例1，所以，

這即為海森堡（Heisenberg）的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格證明。

例1，3

例2但在特殊態(tài)時(shí)

但這僅是某一特殊態(tài)。例3

在態(tài)下

例24這時(shí)

(3)算符的共同本征函數(shù)組定理1.如果兩個(gè)力學(xué)量相應(yīng)的算符有一組正交，歸一，完備的共同本征函數(shù)組，則算符，必對(duì)易，。定理2：如果兩力學(xué)量所相應(yīng)算符對(duì)易，則它們有共同的正交，歸一和完備的本征函數(shù)組。

5

(4)角動(dòng)量的共同本征函數(shù)組―球諧函數(shù)

因 ，它們有共同本征函數(shù)組。

A.本征值：設(shè)：是它們的共同本征函數(shù)，則

(4)角動(dòng)量的共同本征函數(shù)組―球諧6

的本征值為的本征值為這表明，角動(dòng)量的本征值是量子化的。它與能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。自由粒子的角動(dòng)量是量子化的。

B.本征函數(shù)量子力學(xué)課件_第14講7

已求得的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù)

稱為締合勒讓德函數(shù)（AssociatedLegendrefunction）。已求得的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù)8

當(dāng)給定，也就是的本征值給定，那就唯一地確定了本征函數(shù)。

其性質(zhì)：

1.正交歸一

2．封閉性

當(dāng)給定，也就是的本征值給9

3．所以，

3．10

因此，

4.宇稱

即

5.遞推關(guān)系

因此，11量子力學(xué)課件_第14講12

(4)力學(xué)量的完全集

量子力學(xué)描述與經(jīng)典描述大不一樣，在量子力學(xué)中，是確定體系所處的狀態(tài)。如對(duì)體系測(cè)量力學(xué)量的可能值及相應(yīng)幾率。如能充分確定狀態(tài)，則認(rèn)為是完全描述了。但是，如何才能將狀態(tài)描述完全確定呢？設(shè)：

是力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符，并且對(duì)易如是的本征函數(shù)。

(4)力學(xué)量的完全集13

?

的本征函數(shù)不簡(jiǎn)并，則

?

當(dāng)?shù)谋菊髦凳莾芍睾?jiǎn)并。那問(wèn)題就不一樣了。

測(cè)量

取值時(shí)，并不知處于那一態(tài)，可能為盡管也是的本征態(tài)。但一般而言

? 的本征函數(shù)不簡(jiǎn)并，則14量子力學(xué)課件_第14講15可求得的本征值。若，則一起就唯一地決定函數(shù)量子力學(xué)課件_第14講16

的共同本征態(tài)沒(méi)有一個(gè)是簡(jiǎn)并的。

力學(xué)量完全集：設(shè)力學(xué)量彼此對(duì)易；它們的共同本征函數(shù)是不簡(jiǎn)并的，也就是說(shuō)，本征值a,b,c…僅對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的本征函數(shù)，則稱這一組力學(xué)量為力學(xué)量完全集。所以，以后要描述一個(gè)體系所處的態(tài)時(shí)，我們首先集中注意力去尋找一組獨(dú)立的完全集，以給出特解，然后得通解。有了力學(xué)量完全集，則可得

的共同本征態(tài)沒(méi)有一個(gè)是簡(jiǎn)并的。17

完全集相應(yīng)的本征函數(shù)為§4.5力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化，運(yùn)動(dòng)常數(shù)（守恒量）恩費(fèi)斯脫定理（EhrenfestTheorem）（1）力學(xué)量的平均值，隨時(shí)間變化，運(yùn)動(dòng)常數(shù)

量子力學(xué)課件_第14講18

它隨時(shí)間演化為

19

若不顯含t，則當(dāng)，則（對(duì)體系任何態(tài)）不隨t變。而取的幾率也不隨t變。我們稱與體系對(duì)易的不顯含時(shí)間的力學(xué)量算符為體系的運(yùn)動(dòng)常數(shù)。若不顯含t，則20

運(yùn)動(dòng)常數(shù)并不都能同時(shí)取確定值。因盡管它們都與對(duì)易，但它們之間可能不對(duì)易。如

都是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，但彼此不對(duì)易，不能同時(shí)取確定值。

（2）

VivialTheorem維里定理不顯含t的力學(xué)量，在定態(tài)上的平均與t無(wú)關(guān)。

運(yùn)動(dòng)常數(shù)并不都能同時(shí)取確定值。因盡21量子力學(xué)課件_第14講22

若是x,y,z的n次齊次函數(shù)，則

例：諧振子勢(shì)是x,y,z的2次齊次函數(shù)

例：庫(kù)侖勢(shì)是x,y,z的–1次齊次函數(shù)量子力學(xué)課件_第14講23

(3)能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系由算符的“漲落”關(guān)系，有如，則有若是不顯含時(shí)間的算符，則有量子力學(xué)課件_第14講24

取則有這即為能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。量子力學(xué)課件_第14講25

（4）恩費(fèi)斯脫定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。

?體系的坐標(biāo)平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于其速度算符的平均值。量子力學(xué)課件_第14講26?

體系動(dòng)量算符平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于作用力的平均值。于是有量子力學(xué)課件_第14講27稱為的恩費(fèi)斯脫定理。

我們可以看到，上面三個(gè)式子與經(jīng)典力學(xué)看起來(lái)非常相似。

量子力學(xué)課件_第14講28

但決不能無(wú)條件地認(rèn)為如果這樣，即得但事實(shí)上，一般而言量子力學(xué)課件_第14講29

但在V(x)隨x的變化很緩慢，以及比較小的條件下，上式近似相等.以一維運(yùn)動(dòng)來(lái)討論

30

當(dāng)場(chǎng)隨空間變化非常緩慢，且很小時(shí)，我們有不等式

量子力學(xué)課件_第14講31

這樣，量子力學(xué)中粒子運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典力學(xué)規(guī)律相似。經(jīng)典運(yùn)動(dòng)是一好的近似。當(dāng)然，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，

32

因此，當(dāng)較小時(shí)， 比較大。所以要有

33

要有兩個(gè)條件：

★

勢(shì)隨空間作緩慢變化：

★

動(dòng)能很大：

要有兩個(gè)條件：34第五章變量可分離型的三維定態(tài)問(wèn)題★不顯含t時(shí)，有特解

第五章變量可分離型的三維定態(tài)問(wèn)題★不顯35

★處理的是變量可分離型的位勢(shì)問(wèn)題。§5.1有心勢(shì)

能量本征方程可寫(xiě)為

36

我們可看到

因此，是兩兩對(duì)易。當(dāng)共同本征函數(shù)組不簡(jiǎn)并時(shí)，它們構(gòu)成一組力學(xué)量完全集（球?qū)ΨQ勢(shì)的體系都有這一特點(diǎn)）。我們可看到37

以的本征值（即量子數(shù)）對(duì)能量本征方程的特解進(jìn)行標(biāo)識(shí)。于是歸結(jié)到解具有不同位勢(shì)的徑向方程

量子力學(xué)課件_第14講38

首先要研究邊條件的共性。對(duì)于束縛態(tài)，對(duì)于，波函數(shù)行為？

（1）不顯含時(shí)間的薛定諤方程解在的漸近行為

A．若

時(shí)，僅當(dāng)0<m<2時(shí)才有束縛態(tài)。

39

根據(jù)維里定理：如是x,y,z的n次齊次函數(shù)，則有（在定態(tài)上）。對(duì)于上述勢(shì)即量子力學(xué)課件_第14講40

在這類位勢(shì)下，束縛態(tài)E<0。所以存在束縛態(tài)的條件為0<m<2量子力學(xué)課件_第14講41即僅當(dāng)時(shí)，才有束縛態(tài)。

B．在

時(shí)，徑向波函數(shù)應(yīng)滿足

由徑向方程

量子力學(xué)課件_第14講42

當(dāng)時(shí)，方程的漸近解為，所以有

（2）三維自由粒子運(yùn)動(dòng)

因，所以可選力學(xué)量完全集量子力學(xué)課件_第14講43于是有

令

于是有44這即為球貝塞爾函數(shù)滿足的方程。而在處為有限的解是而在處為無(wú)窮的解是

量子力學(xué)課件_第14講45量子力學(xué)課件_第14講46

由于的條件，所以自由粒子的本征函數(shù)為對(duì)于自由粒子，亦可選作為力學(xué)量完全集，其共同本征函數(shù)為

47

而前述，

作為力學(xué)量完全集，有共同本征函數(shù)組

量子力學(xué)課件_第14講48

可按它展開(kāi)

如取方向在z方向（即為z軸），則

可按它展開(kāi)49

a.對(duì)kr求導(dǎo)，得

量子力學(xué)課件_第14講50于是有

量子力學(xué)課件_第14講51量子力學(xué)課件_第14講52

b.當(dāng)時(shí)于是當(dāng)在任意方向，則b.當(dāng)時(shí)53

為和之間的夾角

為和之間的夾角54

現(xiàn)可求

的歸一化因子：而根據(jù)展開(kāi)有

量子力學(xué)課件_第14講55

量子力學(xué)課件_第14講56

從而有即于是有量子力學(xué)課件_第14講57量子力學(xué)課件_第14講58（3）球方勢(shì)阱：考慮位勢(shì)為

令

（3）球方勢(shì)阱：考慮位勢(shì)為59

第十四講算符的共同本征函數(shù)

(1)Schwartz不等式如果，,是任意兩個(gè)平方可積的波函數(shù)，則

60

(2)算符“漲落”之間的關(guān)系－測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：如令

61

例1，所以，

這即為海森堡（Heisenberg）的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格證明。

例1，62

例2但在特殊態(tài)時(shí)

但這僅是某一特殊態(tài)。例3

在態(tài)下

例263這時(shí)

(3)算符的共同本征函數(shù)組定理1.如果兩個(gè)力學(xué)量相應(yīng)的算符有一組正交，歸一，完備的共同本征函數(shù)組，則算符，必對(duì)易，。定理2：如果兩力學(xué)量所相應(yīng)算符對(duì)易，則它們有共同的正交，歸一和完備的本征函數(shù)組。

64

(4)角動(dòng)量的共同本征函數(shù)組―球諧函數(shù)

因 ，它們有共同本征函數(shù)組。

A.本征值：設(shè)：是它們的共同本征函數(shù)，則

(4)角動(dòng)量的共同本征函數(shù)組―球諧65

的本征值為的本征值為這表明，角動(dòng)量的本征值是量子化的。它與能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。自由粒子的角動(dòng)量是量子化的。

B.本征函數(shù)量子力學(xué)課件_第14講66

已求得的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù)

稱為締合勒讓德函數(shù)（AssociatedLegendrefunction）。已求得的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù)67

當(dāng)給定，也就是的本征值給定，那就唯一地確定了本征函數(shù)。

其性質(zhì)：

1.正交歸一

2．封閉性

當(dāng)給定，也就是的本征值給68

3．所以，

3．69

因此，

4.宇稱

即

5.遞推關(guān)系

因此，70量子力學(xué)課件_第14講71

(4)力學(xué)量的完全集

量子力學(xué)描述與經(jīng)典描述大不一樣，在量子力學(xué)中，是確定體系所處的狀態(tài)。如對(duì)體系測(cè)量力學(xué)量的可能值及相應(yīng)幾率。如能充分確定狀態(tài)，則認(rèn)為是完全描述了。但是，如何才能將狀態(tài)描述完全確定呢？設(shè)：

是力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符，并且對(duì)易如是的本征函數(shù)。

(4)力學(xué)量的完全集72

?

的本征函數(shù)不簡(jiǎn)并，則

?

當(dāng)?shù)谋菊髦凳莾芍睾?jiǎn)并。那問(wèn)題就不一樣了。

測(cè)量

取值時(shí)，并不知處于那一態(tài)，可能為盡管也是的本征態(tài)。但一般而言

? 的本征函數(shù)不簡(jiǎn)并，則73量子力學(xué)課件_第14講74可求得的本征值。若，則一起就唯一地決定函數(shù)量子力學(xué)課件_第14講75

的共同本征態(tài)沒(méi)有一個(gè)是簡(jiǎn)并的。

力學(xué)量完全集：設(shè)力學(xué)量彼此對(duì)易；它們的共同本征函數(shù)是不簡(jiǎn)并的，也就是說(shuō)，本征值a,b,c…僅對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的本征函數(shù)，則稱這一組力學(xué)量為力學(xué)量完全集。所以，以后要描述一個(gè)體系所處的態(tài)時(shí)，我們首先集中注意力去尋找一組獨(dú)立的完全集，以給出特解，然后得通解。有了力學(xué)量完全集，則可得

的共同本征態(tài)沒(méi)有一個(gè)是簡(jiǎn)并的。76

完全集相應(yīng)的本征函數(shù)為§4.5力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化，運(yùn)動(dòng)常數(shù)（守恒量）恩費(fèi)斯脫定理（EhrenfestTheorem）（1）力學(xué)量的平均值，隨時(shí)間變化，運(yùn)動(dòng)常數(shù)

量子力學(xué)課件_第14講77

它隨時(shí)間演化為

78

若不顯含t，則當(dāng)，則（對(duì)體系任何態(tài)）不隨t變。而取的幾率也不隨t變。我們稱與體系對(duì)易的不顯含時(shí)間的力學(xué)量算符為體系的運(yùn)動(dòng)常數(shù)。若不顯含t，則79

運(yùn)動(dòng)常數(shù)并不都能同時(shí)取確定值。因盡管它們都與對(duì)易，但它們之間可能不對(duì)易。如

都是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，但彼此不對(duì)易，不能同時(shí)取確定值。

（2）

VivialTheorem維里定理不顯含t的力學(xué)量，在定態(tài)上的平均與t無(wú)關(guān)。

運(yùn)動(dòng)常數(shù)并不都能同時(shí)取確定值。因盡80量子力學(xué)課件_第14講81

若是x,y,z的n次齊次函數(shù)，則

例：諧振子勢(shì)是x,y,z的2次齊次函數(shù)

例：庫(kù)侖勢(shì)是x,y,z的–1次齊次函數(shù)量子力學(xué)課件_第14講82

(3)能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系由算符的“漲落”關(guān)系，有如，則有若是不顯含時(shí)間的算符，則有量子力學(xué)課件_第14講83

取則有這即為能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。量子力學(xué)課件_第14講84

（4）恩費(fèi)斯脫定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。

?體系的坐標(biāo)平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于其速度算符的平均值。量子力學(xué)課件_第14講85?

體系動(dòng)量算符平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于作用力的平均值。于是有量子力學(xué)課件_第14講86稱為的恩費(fèi)斯脫定理。

我們可以看到，上面三個(gè)式子與經(jīng)典力學(xué)看起來(lái)非常相似。

量子力學(xué)課件_第14講87

但決不能無(wú)條件地認(rèn)為如果這樣，即得但事實(shí)上，一般而言量子力學(xué)課件_第14講88

但在V(x)隨x的變化很緩慢，以及比較小的條件下，上式近似相等.以一維運(yùn)動(dòng)來(lái)討論

89

當(dāng)場(chǎng)隨空間變化非常緩慢，且很小時(shí)，我們有不等式

量子力學(xué)課件_第14講90

這樣，量子力學(xué)中粒子運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典力學(xué)規(guī)律相似。經(jīng)典運(yùn)動(dòng)是一好的近似。當(dāng)然，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，

91

因此，當(dāng)較小時(shí)， 比較大。所以要有

92

要有兩個(gè)條件：

★

勢(shì)隨空間作緩慢變化：

★

動(dòng)能很大：

要有兩個(gè)條件：93第五章變量可分離型的三維定態(tài)問(wèn)題★不顯含t時(shí)，有特解

第五章變量可分離型的三維定態(tài)問(wèn)題★不顯94

★處理的是變量可分離型的位勢(shì)問(wèn)題?！?.1有心勢(shì)

能量本征方程可寫(xiě)為

95

我們可看到

因此，是兩兩對(duì)易。當(dāng)共同本征函數(shù)組不簡(jiǎn)并時(shí)，它們構(gòu)成一組力學(xué)量完全集（球?qū)ΨQ勢(shì)的體系都有這一特點(diǎn)）。我們可看到96

以的本征值（即量子數(shù)）對(duì)能量本征方程的特解進(jìn)行標(biāo)識(shí)。于是歸結(jié)到解具有不同位勢(shì)的徑向方程

量子力學(xué)課件_第14講97

首先要研究邊條件的共性。對(duì)于束縛態(tài)，對(duì)于，波函數(shù)行為？

（1）不顯含時(shí)間的薛定諤方程解在的漸近行為

A．若

時(shí)，僅當(dāng)0<m<2時(shí)才有束縛態(tài)。

98

根據(jù)維里定理：如是x,y,z的n次齊次函數(shù)，則有（在定態(tài)上）。對(duì)于上述勢(shì)即量子力學(xué)課件_第14講99

在這類位勢(shì)下，束縛態(tài)E<0。所以存在束縛態(tài)的條件為0<m<2