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.4/4專業(yè)資料分子穿透能力的測定摘要通過對問題的分析,根據(jù)質量守恒,利用微分方程模型,得到了關于濃度低一側濃度對時間的微分方程模型,通過求解參數(shù)和簡化以后確定了濃度與時間的指數(shù)關系。運用MATLAB編程進行擬合,求得參數(shù),從而得到滲透率。最后,對擬合結果進行檢驗,檢驗結果見圖5.2.1和圖5.3.1。關鍵字:滲透率MATLAB軟件參數(shù)估計微分方程模型問題重述某種醫(yī)用薄膜有允許一種物質的分子穿透它從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴散的功能,在測試時需測定薄膜被這種分子穿透的能力。測定方法如下:用面積10cm2的薄膜將分成體積分別為100cm3和100cm3的兩部分,在兩部分中分別注滿該物質的兩種不同濃度的溶液。此時該物質分子就會從高濃度溶液穿過薄膜向低濃度溶液中擴散。通過單位面積膜分子擴散的速度與膜兩側溶液的濃度差成正比,比例系數(shù)表征了薄膜被該物質分子穿透的能力,稱為滲透率。定時測量容器中薄膜某一側的溶液濃度值,以此確定的數(shù)值。對容器一側溶液濃度的測試結果如下:tj1002003004005006007008009001000Cj<10-3mg/cm3>4.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59試建立一個較好的數(shù)學模型并給出相應的算法和程序。二、問題分析用單位體積溶液中所含的溶質質量數(shù)來表示的濃度叫質量-體積濃度,題中給出的濃度為質量-體積濃度。通過薄膜單位面積分子擴散速度與膜兩側溶液濃度差成正比例,比例系數(shù)被稱為滲透率,它表征了薄膜被分子穿透的能力。要確定滲透率,需要建立通過薄膜單位面積分子擴散速與薄膜兩側濃度差的關系模型。在本題中我們可以根據(jù)質量守恒來進行求解,考察時段薄膜兩側容器中該物質質量的變化,可以用兩種形式表示出來,薄膜的一側在時段內(nèi)物質質量的增加,以及根據(jù)滲透率表示的一側滲透至另一側的物質的質量,兩者相等可得到等式〔1。其次,整個容器的溶液中含有該物質的質量不變,與初始時刻該物質的含量相同,也是質量守恒,可得到等式〔2,即聯(lián)立兩個等式,可以得到濃度與時間的表達式,代入數(shù)據(jù),對等式的系數(shù)進行求解。模型假設1、薄膜兩側的溶液始終是均勻的,即在任何時刻薄膜兩側的每一處溶液的溶度都是相同的;2、當兩側濃度不一致時,物質的分子穿透薄膜總是從高濃度溶液向低濃度溶液擴散;3、通過單位面積膜分子擴散的速度與膜兩側溶液的濃度差成正比;4、薄膜是雙向性的,即物質從膜的任何一側向另一側滲透的性能是相同的。四、符號定義與說明符號 定義與說明滲透率t時刻薄膜的A側溶液濃度t時刻薄膜的B側溶液濃度薄膜A側的體積薄膜B側的體積薄膜的面積初始時刻A側的溶液濃度初始時刻B側的溶液濃度模型的建立與求解5.1模型的建立考察時段薄膜兩側容器中該物質質量的變化。在容器的一側,物質質量的增加是由于另一側的物質向該側滲透的結果,因此物質質量的增量應等于另一側的該物質向這側的滲透量。設、分別表示在時刻t膜兩側溶液的濃度,濃度單位:以容器A側為例,在時段物質質量的增量為:由于平均每單位時間通過單位面積薄膜的物質分子量與膜兩側溶液的濃度差成正比,比例系數(shù)為K。因此,在時段,從B側滲透至A側的該物質的質量為:于是有:兩邊除以,并令取極限再稍加整理即得:〔1注意到整個容器的溶液中含有該物質的質量不變,與初始時刻該物質的含量相同,因此其中、分別表示在初始時刻兩側溶液的濃度從而:代入式〔1得:解得:由上面的分析得到的表達式后問題歸結為利用CB在時刻tj的測量數(shù)據(jù)Cj<j=1,2,...,N>來辨識K和引入:從而將代入上式有:5.2模型的求解由5.1可知和的關系式,可用該關系式來擬合附件中給的定時測量容器中薄膜某一側的溶液濃度值的實驗數(shù)據(jù),即確定參數(shù)的值。利用MATLAB軟件編程解得容器一側的溶液濃度離散點與擬合結果圖見圖5.2.1。容器一側的溶液濃度離散點與擬合結果圖5.3擬合檢驗運用MATLAB軟件對擬合的結果進行檢驗,檢驗的結果見圖5.3.1擬合檢驗結果截圖。圖5.3.1擬合檢驗結果截圖其中Sse表示誤差平方和,值越小,表示擬合的曲線和真實數(shù)據(jù)越接近Rsquare表示確定系數(shù),值越接近于1越好dfe表示自由度即能夠自由取值的變量個數(shù)Adjrsquare表示調整后的確定系數(shù),值越接近于1越好Rmse表示均方根誤差,值越小,表示擬合的曲線和真實數(shù)據(jù)越接近由結果可知sse和rmse兩者的值都十分接近于一,即表示擬合的曲線和真實數(shù)據(jù)十分接近,并且確定系數(shù)和調整后的確定系數(shù)兩者的值都接近于1,即綜合表示擬合結果較好。六、模型評價及推廣本文主要根據(jù)質量守恒,利用微分方程模型,得到了關于濃度低一側濃度對時間的微分方程模型,通過求解參數(shù)和簡化以后確定了濃度與時間的指數(shù)關系,運用MATLAB編程進行擬合,求得參數(shù),從而得到滲透率。模型較為簡單,易于實現(xiàn),通用性強。七、參考文獻[1]章紹輝,數(shù)學建模.北京;科學出版社,2010第一版.[2]袁振東、洪源,數(shù)學建模.華東師范大學出版社,2002第一版.附件MATLAB程序clc;clearall;t=[1002003004005006007008009001000];t=t';c=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];c=c';st=[0,0.05,0.05];ft_=fittype<'a+b*exp<-0.02*K*t>','dependent',{'c'},'independent',{'t'},'coefficients',{'a','b','K'}>

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