數(shù)學(xué)建模-薄膜分子穿透力

.4/4專業(yè)資料分子穿透能力的測(cè)定摘要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析,根據(jù)質(zhì)量守恒,利用微分方程模型,得到了關(guān)于濃度低一側(cè)濃度對(duì)時(shí)間的微分方程模型,通過(guò)求解參數(shù)和簡(jiǎn)化以后確定了濃度與時(shí)間的指數(shù)關(guān)系。運(yùn)用MATLAB編程進(jìn)行擬合,求得參數(shù),從而得到滲透率。最后,對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖5.2.1和圖5.3.1。關(guān)鍵字：滲透率MATLAB軟件參數(shù)估計(jì)微分方程模型問(wèn)題重述某種醫(yī)用薄膜有允許一種物質(zhì)的分子穿透它從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴(kuò)散的功能,在測(cè)試時(shí)需測(cè)定薄膜被這種分子穿透的能力。測(cè)定方法如下：用面積10cm2的薄膜將分成體積分別為100cm3和100cm3的兩部分,在兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液。此時(shí)該物質(zhì)分子就會(huì)從高濃度溶液穿過(guò)薄膜向低濃度溶液中擴(kuò)散。通過(guò)單位面積膜分子擴(kuò)散的速度與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比,比例系數(shù)表征了薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能力,稱為滲透率。定時(shí)測(cè)量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度值,以此確定的數(shù)值。對(duì)容器一側(cè)溶液濃度的測(cè)試結(jié)果如下：tj1002003004005006007008009001000Cj<10-3mg/cm3>4.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59試建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型并給出相應(yīng)的算法和程序。二、問(wèn)題分析用單位體積溶液中所含的溶質(zhì)質(zhì)量數(shù)來(lái)表示的濃度叫質(zhì)量-體積濃度,題中給出的濃度為質(zhì)量-體積濃度。通過(guò)薄膜單位面積分子擴(kuò)散速度與膜兩側(cè)溶液濃度差成正比例,比例系數(shù)被稱為滲透率,它表征了薄膜被分子穿透的能力。要確定滲透率,需要建立通過(guò)薄膜單位面積分子擴(kuò)散速與薄膜兩側(cè)濃度差的關(guān)系模型。在本題中我們可以根據(jù)質(zhì)量守恒來(lái)進(jìn)行求解,考察時(shí)段薄膜兩側(cè)容器中該物質(zhì)質(zhì)量的變化,可以用兩種形式表示出來(lái),薄膜的一側(cè)在時(shí)段內(nèi)物質(zhì)質(zhì)量的增加,以及根據(jù)滲透率表示的一側(cè)滲透至另一側(cè)的物質(zhì)的質(zhì)量,兩者相等可得到等式〔1。其次,整個(gè)容器的溶液中含有該物質(zhì)的質(zhì)量不變,與初始時(shí)刻該物質(zhì)的含量相同,也是質(zhì)量守恒,可得到等式〔2,即聯(lián)立兩個(gè)等式,可以得到濃度與時(shí)間的表達(dá)式,代入數(shù)據(jù),對(duì)等式的系數(shù)進(jìn)行求解。模型假設(shè)1、薄膜兩側(cè)的溶液始終是均勻的,即在任何時(shí)刻薄膜兩側(cè)的每一處溶液的溶度都是相同的；2、當(dāng)兩側(cè)濃度不一致時(shí),物質(zhì)的分子穿透薄膜總是從高濃度溶液向低濃度溶液擴(kuò)散；3、通過(guò)單位面積膜分子擴(kuò)散的速度與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比；4、薄膜是雙向性的,即物質(zhì)從膜的任何一側(cè)向另一側(cè)滲透的性能是相同的。四、符號(hào)定義與說(shuō)明符號(hào) 定義與說(shuō)明滲透率t時(shí)刻薄膜的A側(cè)溶液濃度t時(shí)刻薄膜的B側(cè)溶液濃度薄膜A側(cè)的體積薄膜B側(cè)的體積薄膜的面積初始時(shí)刻A側(cè)的溶液濃度初始時(shí)刻B側(cè)的溶液濃度模型的建立與求解5.1模型的建立考察時(shí)段薄膜兩側(cè)容器中該物質(zhì)質(zhì)量的變化。在容器的一側(cè),物質(zhì)質(zhì)量的增加是由于另一側(cè)的物質(zhì)向該側(cè)滲透的結(jié)果,因此物質(zhì)質(zhì)量的增量應(yīng)等于另一側(cè)的該物質(zhì)向這側(cè)的滲透量。設(shè)、分別表示在時(shí)刻t膜兩側(cè)溶液的濃度,濃度單位:以容器A側(cè)為例,在時(shí)段物質(zhì)質(zhì)量的增量為：由于平均每單位時(shí)間通過(guò)單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比,比例系數(shù)為K。因此,在時(shí)段,從B側(cè)滲透至A側(cè)的該物質(zhì)的質(zhì)量為：于是有：兩邊除以,并令取極限再稍加整理即得：〔1注意到整個(gè)容器的溶液中含有該物質(zhì)的質(zhì)量不變,與初始時(shí)刻該物質(zhì)的含量相同,因此其中、分別表示在初始時(shí)刻兩側(cè)溶液的濃度從而：代入式〔1得：解得：由上面的分析得到的表達(dá)式后問(wèn)題歸結(jié)為利用CB在時(shí)刻tj的測(cè)量數(shù)據(jù)Cj<j=1,2,...,N>來(lái)辨識(shí)K和引入：從而將代入上式有：5.2模型的求解由5.1可知和的關(guān)系式,可用該關(guān)系式來(lái)擬合附件中給的定時(shí)測(cè)量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度值的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),即確定參數(shù)的值。利用MATLAB軟件編程解得容器一側(cè)的溶液濃度離散點(diǎn)與擬合結(jié)果圖見(jiàn)圖5.2.1。容器一側(cè)的溶液濃度離散點(diǎn)與擬合結(jié)果圖5.3擬合檢驗(yàn)運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)擬合的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),檢驗(yàn)的結(jié)果見(jiàn)圖5.3.1擬合檢驗(yàn)結(jié)果截圖。圖5.3.1擬合檢驗(yàn)結(jié)果截圖其中Sse表示誤差平方和,值越小,表示擬合的曲線和真實(shí)數(shù)據(jù)越接近Rsquare表示確定系數(shù),值越接近于1越好dfe表示自由度即能夠自由取值的變量個(gè)數(shù)Adjrsquare表示調(diào)整后的確定系數(shù),值越接近于1越好Rmse表示均方根誤差,值越小,表示擬合的曲線和真實(shí)數(shù)據(jù)越接近由結(jié)果可知sse和rmse兩者的值都十分接近于一,即表示擬合的曲線和真實(shí)數(shù)據(jù)十分接近,并且確定系數(shù)和調(diào)整后的確定系數(shù)兩者的值都接近于1,即綜合表示擬合結(jié)果較好。六、模型評(píng)價(jià)及推廣本文主要根據(jù)質(zhì)量守恒,利用微分方程模型,得到了關(guān)于濃度低一側(cè)濃度對(duì)時(shí)間的微分方程模型,通過(guò)求解參數(shù)和簡(jiǎn)化以后確定了濃度與時(shí)間的指數(shù)關(guān)系,運(yùn)用MATLAB編程進(jìn)行擬合,求得參數(shù),從而得到滲透率。模型較為簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn),通用性強(qiáng)。七、參考文獻(xiàn)[1]章紹輝,數(shù)學(xué)建模.北京；科學(xué)出版社,2010第一版.[2]袁振東、洪源,數(shù)學(xué)建模.華東師范大學(xué)出版社,2002第一版.附件MATLAB程序clc;clearall;t=[1002003004005006007008009001000];t=t';c=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];c=c';st=[0,0.05,0.05];ft_=fittype<'a+b*exp<-0.02*K*t>','dependent',{'c'},'independent',{'t'},'coefficients',{'a','b','K'}>