全國III卷理科數(shù)學(xué)(原卷)

2021年_全國III卷理科數(shù)學(xué)(原卷+答案)2021年_全國III卷理科數(shù)學(xué)(原卷+答案)2021年_全國III卷理科數(shù)學(xué)(原卷+答案)2021年一般高等學(xué)校招生全國一致考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本卷須知：1．答卷前，考生務(wù)必然自己的姓名、準(zhǔn)考據(jù)號(hào)填寫在答題卡上。2．回復(fù)選擇題時(shí)，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需變動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標(biāo)號(hào)，回復(fù)非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1．會(huì)合Ax|x1≥0，B0，1，2，那么AIBA．0B．1C．1，2D．0，1，22．1i2iA．3iB．3iC．3iD．3i3．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連結(jié)起來，構(gòu)件的凸出局部叫棒頭，凹進(jìn)局部叫卯眼，圖中木構(gòu)件右側(cè)的小長(zhǎng)方體是棒頭．假定如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，那么咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖能夠是4．假定sin1，那么cos23A．8B．7C．7D．899995．x225的張開式中x4的系數(shù)為xA．10B．20C．40D．806．直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓x2222上，那么ABP面積y的取值范圍是A．2，6B．4，8C．2，32D．22，327．函數(shù)yx4x22的圖像大概為1/108．某集體中的每位成品使用挪動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式互相獨(dú)立，設(shè)X為該集體的10位成員中使用挪動(dòng)支付的人數(shù)，DX，PX4PX6，那么pA．0．7B．0．6C．0．4D．0．39．△ABC的內(nèi)角A，，BC的對(duì)邊分別為a，b，c，假定ABC的面積為a2b2c2，那么C4A．πB．πC．πD．π234610．設(shè)A，，B，CD是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為93，那么三棱錐DABC體積的最大值為A．123B．183C．243D．54312x2y21〔a0，b02作C的一11．設(shè)F，F(xiàn)是雙曲線C：2b2〕的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過Fa條漸近線的垂線，垂足為P．假定PF16OP，那么C的離心率為A．5B．2C．3D．212．設(shè)alog0.3，blog20.3，那么A．a(chǎn)bab0B．a(chǎn)bab0C．a(chǎn)b0abD．a(chǎn)b0ab二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。13．向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．假定c∥2a+b，那么________．14．曲線yax1ex在點(diǎn)0，1處的切線的斜率為2，那么a________．15．函數(shù)fxcos3xπ在0，π的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．616．點(diǎn)M1，1和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．假定∠AMB90，那么k________．三、解答題：共70分。解贊同寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必然作答。第22、23為選考題。考生依據(jù)要求作答。〔一〕必考題：共60分。17．〔12分〕2/10等比數(shù)列a中，a11，a54a3．n〔1〕求an的通項(xiàng)公式；〔2〕記Sn為an的前n項(xiàng)和．假定Sm63，求m．18．〔12分〕某工廠為提升生產(chǎn)效率，張開技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了達(dá)成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，采納40名工人，將他們隨機(jī)分紅兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間〔單位：min〕繪制了以下莖葉圖：〔1〕依據(jù)莖葉圖判斷哪一種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明原因；〔2〕求40名工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超出m和不超出m的工人數(shù)填入下邊的列聯(lián)表：超出m不超出m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式〔3〕依據(jù)〔2〕中的列表，可否有99%的掌握以為兩種生產(chǎn)方式的效率有差別？nad2PK2≥k附：K2bc0.001．a(chǎn)bcdacbd，k19．〔12分〕如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧?所在平面CD垂直，M是?上異于，的點(diǎn)．CDCD〔1〕證明：平面AMD⊥平面BMC；〔2〕當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．20．〔12分〕斜率為k的直線l與橢圓C：x2y21交于A，B兩點(diǎn)．線段AB的中點(diǎn)433/10為M1，mm0．〔1〕證明：k1；2uuuruuuruuuruuuruuuruuur〔2〕設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FPFAFB0．證明：FA，F(xiàn)P，F(xiàn)B成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．21．〔12分〕函數(shù)fx2xax2ln1x2x．〔1〕假定a0，證明：當(dāng)1x0時(shí)，fx0；當(dāng)x0時(shí)，fx0；〔2〕假定x0是fx的極大值點(diǎn)，求a．〔二〕選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，那么按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]〔10分〕在平面直角坐標(biāo)系xcos，為參數(shù)〕，過點(diǎn)0，2且傾斜角xOy中，⊙O的參數(shù)方程為〔ysin為的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)．1〕求的取值范圍；2〕求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．23．[選修4—5：不等式選講]〔10分〕設(shè)函數(shù)fx2x1x1．1〕畫出yfx的圖像；2〕當(dāng)x∈，0，fx≤axb，求ab的最小值．絕密★啟用前2021年一般高等學(xué)校招生全國一致考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參照答案一、選擇題1234567891011124/10CDABCADBCBCB二、填空題114．315．316．213．217．解：〔1〕設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得anqn1．由得q44q2，解得q0〔舍去〕，q2或q2．故an(2)n1或an2n1．〔2〕假定an(2)n1，那么Sn1(2)n．由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解．3假定an2n1，那么Sn2n1．由Sm63得2m64，解得m6．綜上，m6．18．解：1〕第二種生產(chǎn)方式的效率更高．原因以下：〔i〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間最少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔ii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85．5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73．5分鐘．所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔iii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)均勻所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)均勻所需時(shí)間低于80分鐘，所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔iv〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間散布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大概呈對(duì)稱散布；用第二種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間散布在莖7上的最多，對(duì)于莖7大概呈對(duì)稱散布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間散布的區(qū)間同樣，故能夠以為用第二種生產(chǎn)方式達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高．以上給出了4種原因，考生答出此中隨意一種或其余合理原因均可得分．5/10〔2〕由莖葉圖知m798180．2列聯(lián)表以下：超出m不超出m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515〔3〕因?yàn)镵240(151555)2106.635，所以有99%的掌握以為兩種生產(chǎn)方式的效率20202020有差別．19．解：〔1〕由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．?因?yàn)镸為CD上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BCICM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．〔2〕以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，uuurDA的方向?yàn)閤軸正方向，成立以以下列圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，M為CD?的中點(diǎn)．由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，uuuuruuuruuur(2,0,0)AM(2,1,1),AB(0,2,0),DA設(shè)n(x,y,z)是平面MAB的法向量，那么nuuuur0,2xyz0,AMnuuur即2y0.AB0.可取n(1,0,2)．6/10uuurDA是平面MCD的法向量，所以u(píng)uurnuuur5DA，cosn,DAuuur5|n||DA|uuur25sinn,DA5，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是25．520．解：〔1〕設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，那么x12y121,x22y221．4343兩式相減，并由y1y2k得x1x2x1x2由題設(shè)知x1x21,y1y24m，于是22k由題設(shè)得0m3，故k1．22〔2〕由題意得F(1,0)，設(shè)P(x3,y3)，那么

y1y2k0．3．①4m(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0)．由〔1〕及題設(shè)得x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0．又點(diǎn)P在C上，所以m3，從而P(1,uuur3．3)，|FP|422于是uuur21)2y121)2x1)x1．|FA|(x1(x13(1242uuur2x2同理|FB|．uuur2uuur所以|FA||FB|41(x1x2)3．2uuuruuuruuuruuuruuuruuur故2|FP||FA||FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差數(shù)列．7/10設(shè)該數(shù)列的公差為d，那么uuuruuur1x2|1(x1x2)24x1x22|d|||FB||FA|||x12．②32代入①得k1．將m471所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0．44故x1x22,x1x21，代入②解得|d|321．2828所以該數(shù)列的公差為321或321．282821．解：〔1〕當(dāng)a0時(shí)，f(x)(2x)ln(1x)2x，f()ln(1x)x．x1x設(shè)函數(shù)g(x)f(x)ln(1x)x，那么g(x)x2．1x(1x)當(dāng)1x0時(shí)，g(x)0；當(dāng)x0時(shí)，g(x)0．故當(dāng)x1時(shí)，g(x)g(0)0，且僅當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，從而f(x)0，且僅當(dāng)x0時(shí)，f(x)0．所以f(x)在(1,)單一遞加．又f(0)0，故當(dāng)1x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0．〔2〕〔i〕假定a0，由〔1〕知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，這與x0是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾．〔ii〕假定a0，設(shè)函數(shù)h(x)f(x)ln(1x)2x．2x2x2ax2ax因?yàn)楫?dāng)|x|min{1,1}時(shí)，2xax20，故h(x)與f(x)符號(hào)同樣．|a|又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x0是h(x)的極大值點(diǎn)．h(x)1x2(2xax2)2x(12ax)x2(a2x24axx6a1)．1(2xax2)2(x1)(ax22)2假如6a10，那么當(dāng)0x6a1，且|x|min{1,1}時(shí)，h(x)0，故x0不是4a|a|8/10h(x)的極大值點(diǎn)．假如6a10，那么a2x24ax6a10存在根x10，故當(dāng)x(x1,0)，且|x|min{1,1}時(shí)，h(x)0，所以x0不是h(x)的極大值點(diǎn)．|a|x3(x24)假如6a10，那么h(x)(x1)(x26x12)2．那么當(dāng)x(1,0)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0．所以x0是h(x)的極大值點(diǎn)，從而x0是f(x)的極大值點(diǎn)綜上，a1．622．解：〔1〕eO的直角坐標(biāo)方程為x2y21．當(dāng)2時(shí)，l與eO交于兩點(diǎn)．當(dāng)2時(shí)，記tank，那么l的方程為ykx2．l與eO交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)|21(,)(,)|1或k1，即1k2，解得k42或24．(,)綜上，的取值范圍是44．xtcos,(t〔2〕ly2tsin4)．的參數(shù)方程為為參數(shù)，4tAtB設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，那么tP2，且tA，tB知足t222tsin10．xtPcos,于是tAtB22sin，tP2sin．又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)知足y2tPsin.2sin2,222cos2所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是y24)．2(為參數(shù)，49/1023．解：3x,x1,2f(x)x2,1x1,23x,x1.〔1〕yf(x)的圖像以以下列圖．〔2〕由〔1〕知，yf(x)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各局部所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時(shí)，f(x)axb在[0,)成立，所以ab的最小值為5．10/10絕密★啟用前2021年一般高等學(xué)校招生全國一致考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本卷須知：1．答卷前，考生務(wù)必然自己的姓名和準(zhǔn)考據(jù)號(hào)填寫在答題卡上。2．回復(fù)選擇題時(shí)，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需變動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標(biāo)號(hào)。回復(fù)非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1.會(huì)合，，那么A.B.C.D.【答案】C【分析】分析：由題意先解出會(huì)合A,從而獲得結(jié)果。詳解：由會(huì)合A得,所以故答案選C.點(diǎn)睛：本題主要察看交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2.A.B.C.D.【答案】D【分析】分析：由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算張開即可。詳解：應(yīng)選D.點(diǎn)睛：本題主要察看復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連結(jié)起來，構(gòu)件的凸出局部叫榫頭，凹進(jìn)局部叫卯眼，圖中木構(gòu)件右側(cè)的小長(zhǎng)方體是榫頭．假定如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，那么咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖能夠是1A.AB.BC.CD.D【答案】A【分析】分析：察看圖形可得。詳解：觀擦圖形圖可知，俯視圖為故答案為A.點(diǎn)睛：本題主要考擦空間幾何體的三視圖，察看學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。4.假定，那么A.B.C.D.【答案】B【分析】分析：由公式可得。詳解：故答案為B.點(diǎn)睛：本題主要察看二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題。5.的張開式中的系數(shù)為A.10B.20C.40D.80【答案】C【分析】分析：寫出，此后可得結(jié)果詳解：由題可得2令,那么所以應(yīng)選C.點(diǎn)睛：本題主要察看二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題。6.直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，那么面積的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【分析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)獲得再計(jì)算圓心到直線距離，獲得點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),那么點(diǎn)P在圓上圓心為〔2，0〕，那么圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為那么故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要察看直線與圓，察看了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。7.函數(shù)的圖像大概為3A.AB.BC.CD.D【答案】D【分析】分析：由特別值除去即可詳解：當(dāng)時(shí)，，除去A,B.,當(dāng)時(shí)，,除去C故正確答案選D.點(diǎn)睛：本題察看函數(shù)的圖像，察看了特別值除去法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系，屬于中檔題。8.某集體中的每位成員使用挪動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式互相獨(dú)立，設(shè)為該集體的10位成員中使用挪動(dòng)支付的人數(shù)，，，那么A.0.7B.0.6C.0.4D.【答案】B【分析】分析：判斷出為二項(xiàng)散布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可。或，4,可知故答案選B.點(diǎn)睛：本題主要察看二項(xiàng)散布有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題。9.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，假定的面積為，那么A.B.C.D.【答案】C【分析】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得。詳解：由題可知所以由余弦定理所以應(yīng)選C.點(diǎn)睛：本題主要察看解三角形，察看了三角形的面積公式和余弦定理。10.設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，那么三棱錐體積的最大值為A.B.C.D.【答案】B【分析】分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，此后進(jìn)行計(jì)算可得。詳解：以以下列圖，5點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的重心中，有應(yīng)選B.點(diǎn)睛：本題主要察看三棱錐的外接球，察看了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很重點(diǎn)，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算獲得，再由勾股定理獲得OM，從而獲得結(jié)果，屬于較難題型。11.設(shè)是雙曲線〔〕的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．假定，那么的離心率為A.B.2C.D.【答案】C【分析】分析：由雙曲線性質(zhì)獲得，此后在和在中利用余弦定理可得。6詳解：由題可知在中，在中,應(yīng)選C.點(diǎn)睛：本題主要察看雙曲線的有關(guān)知識(shí)，察看了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題。12.設(shè)，，那么A.B.C.D.【答案】B學(xué)|科|網(wǎng)...學(xué)|科|網(wǎng)...學(xué)|科|網(wǎng)...學(xué)|科|網(wǎng)...學(xué)|科|網(wǎng)...學(xué)|科|網(wǎng)...學(xué)|科|網(wǎng)...詳解：.,即又即應(yīng)選B.點(diǎn)睛：本題主要察看對(duì)數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分．13.向量，，．假定，那么________．7【答案】【分析】分析：由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可。詳解：由題可得,即故答案為點(diǎn)睛：本題主要察看向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。14.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，那么________．【答案】【分析】分析：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可。詳解：那么所以故答案為-3.點(diǎn)睛：本題主要察看導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。15.函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．【答案】【分析】分析：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，獲得的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)。詳解：由題可知，或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn)。點(diǎn)睛：本題主要察看三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題。16.點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．假定8，那么________．【答案】2【分析】分析：利用點(diǎn)差法進(jìn)行計(jì)算即可。詳解：設(shè)那么所以所以取AB中點(diǎn),分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為因?yàn)?因?yàn)镸’為AB中點(diǎn)，所以MM’平行于x軸因?yàn)镸(-1,1)所以，那么即故答案為2.點(diǎn)睛：本題主要察看直線與拋物線的地點(diǎn)關(guān)系，察看了拋物線的性質(zhì)，設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，取AB中點(diǎn),分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的性質(zhì)獲得，從而獲得斜率。三、解答題：共70分．解贊同寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必然作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．〔一〕必考題：共60分．17.等比數(shù)列中，．〔1〕求的通項(xiàng)公式；9〔2〕記為的前項(xiàng)和．假定，求．【答案】〔1〕或2〕【分析】分析：〔1〕列出方程，解出q可得；〔2〕求出前n項(xiàng)和，解方程可得m。詳解：〔1〕設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由得，解得〔舍去〕，或．故或．〔2〕假定，那么．由得，此方程沒有正整數(shù)解．假定，那么．由得，解得．綜上，．點(diǎn)睛：本題主要察看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。某工廠為提升生產(chǎn)效率，張開技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了達(dá)成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，采納40名工人，將他們隨機(jī)分紅兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間〔單位：min〕繪制了以下莖葉圖：〔1〕依據(jù)莖葉圖判斷哪一種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明原因；〔2〕求40名工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超出和不超出的工人數(shù)填入下邊的列聯(lián)表：超出不超出第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式〔3〕依據(jù)〔2〕中的列聯(lián)表，可否有99%的掌握以為兩種生產(chǎn)方式的效率有差別？10附：，【答案】〔1〕第二種生產(chǎn)方式的效率更高.原因看法析2〕803〕能【分析】分析：〔1〕計(jì)算兩種生產(chǎn)方式的均勻時(shí)間即可?！?〕計(jì)算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)據(jù)達(dá)成列聯(lián)表。〔3〕由公式計(jì)算出，再與比較可得結(jié)果。詳解：〔1〕第二種生產(chǎn)方式的效率更高.原因以下：〔i〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間最少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高.〔ii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高.〔iii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)均勻所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)均勻所需時(shí)間低于80分鐘，所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高.〔iv〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間散布在莖8上的最多，對(duì)于莖8大致呈對(duì)稱散布；用第二種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間散布在莖7上的最多，對(duì)于莖7大概呈對(duì)稱散布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間散布的區(qū)間同樣，故能夠以為用第二種生產(chǎn)方式達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高.學(xué)科*網(wǎng)以上給出了4種原因，考生答出此中隨意一種或其余合理原因均可得分.11〔2〕由莖葉圖知.列聯(lián)表以下：超出不超出第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515〔3〕因?yàn)椋杂?9%的掌握以為兩種生產(chǎn)方式的效率有差別.點(diǎn)睛：本題主要察看了莖葉圖和獨(dú)立性查驗(yàn)，察看學(xué)生的計(jì)算能力和分析問題的能力，切近生活。19.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．〔1〕證明：平面平面；〔2〕當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．【答案】〔1〕看法析2〕【分析】分析：〔1〕先證平面CMD,得,再證，從而達(dá)成證明?！?〕先成立空間直角坐標(biāo)系，此后判斷出的地點(diǎn)，求出平面和平面的法向量，從而求得平面與平面所成二面角的正弦值。詳解：〔1〕由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.〔2〕以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,成立以以下列圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.12當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量,那么即可取.是平面MCD的法向量,所以，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.點(diǎn)睛：本題主要察看面面垂直的證明，利用線線垂直獲得線面垂直，再獲得面面垂直，第二問主要察看成立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，察看數(shù)形聯(lián)合，將幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題進(jìn)行求解，察看學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題。20.斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．〔1〕證明：；〔2〕設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【答案】〔1〕〔2〕或【分析】分析：〔1〕設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明。13〔2〕解出m,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，獲得,再由兩點(diǎn)間距離公式表示出，獲得直的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解。詳解：〔1〕設(shè)，那么.兩式相減，并由得.由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.〔2〕由題意得，設(shè)，那么.由〔1〕及題設(shè)得