函數(shù)零點的個數(shù)問題

全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解）全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解）函數(shù)零點的個數(shù)問題一、知識點講解與分析：1、零點的定義：一般地，對于函數(shù)y=f(x)QeD),我們把方律(x)=0的實數(shù)根X稱為函數(shù)y=f(X)(xeD)的零點2、函數(shù)零點存在性定理：設函就x)在閉區(qū)I'小,b］上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，那么在開區(qū)間(a,b)內至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點xe(a,b)，使0得f(x)=0。0(1)f(x)在［a,b］上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提(2)零點存在性定理中的幾個〃不一定〃(假設f(x)連續(xù))①若f(a)f(b)<0,則f(x)的零點不一定只有一個，可以有多個②若f(a)f(b)>0,那么f&)在［a,b］不一定有零點③若f(x)在［a,b］有零點，則f(a)f(b)不一定必須異號3、若f(x)在［a,b］上是單調函數(shù)且連續(xù)，則f(a)f(b)<0nf(x)在(a,b)的零點唯一4、函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像交點之間的聯(lián)系設函數(shù)為y=f(x),則f(x)的零點即為滿足方程f(x)=0的根，若f(x)=g(x)-h(x)，則方程可轉變?yōu)間(x)=h(x)，即方程的根在坐標系中為g(x),h(x)交點的橫坐標，其范圍和個數(shù)可從圖像中得到。由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特點，且能相互轉化，在解決有關根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉化。(詳見方法技巧)二、方法與技巧:1、零點存在性定理的應用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構造為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內。例如：對于方程lnx+x=0，無法直接求出根，構造函數(shù)f（x）=lnx+x，由f（1）＞0,f『］＜0即可判定其零點必在［1,1］中12）12）2、函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用（1）函數(shù)的零點：工具：零點存在性定理作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內。缺點：方法單一，只能判定零點存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結論與代入的特殊值有關（2）方程的根：工具：方程的等價變形作用：當所給函數(shù)不易于分析性質和圖像時，可將函數(shù)轉化為方程，從而利用等式的性質可對方程進行變形，構造出便于分析的函數(shù)缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)（3）兩函數(shù)的交點：工具：數(shù)形結合作用：前兩個主要是代數(shù)運算與變形，而將方程轉化為函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)（即零點，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點：數(shù)形結合能否解題，一方面受制于利用方程所構造的函數(shù)(故當方程含參時，通常進行參變分離，其目的在于若含X的函數(shù)可作出圖像，那么因為另外一個只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察)，另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構造函數(shù)的技巧以及作圖時速度與精度的平衡作圖問題詳見1.7函數(shù)的圖像)3、在高中階段主要考察三個方面：(1)零點所在區(qū)間一一零點存在性定理，(2)二次方程根分布問題，(3)數(shù)形結合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第(3)個類型常要用到函數(shù)零點，方程，與圖像交點的轉化，請通過例題體會如何利用方程構造出函數(shù)，進而通過圖像解決問題的。三、例題精析：例「直線y=a與函數(shù)y=x3-3X的圖象有三個相異的交點，則a的取值范圍為().A.(-2,2)B.[-2,2]C.L,+8)D.(―叫―21思路：考慮數(shù)形結合，先做出y=X3-3X的圖像，y'=3x2-3=3(x-1)(x+1)，令y>0可解得：x<-1或X>1,故y=X3-3X在(-8,-1),(1,+8)單調遞增，在(-1,1)單調遞減，函數(shù)的極大值為f(-1)=2,極小值為f(1)=-2，做出草圖。而y=a為一條水平線，通過圖像可得，y=a介于極大值與極小值之間，則有在三個相異交點?？傻茫篴e(-2,2)^案：A小煉有話說：作圖時可先作常系數(shù)函數(shù)圖象，對于含有參數(shù)的函數(shù)，先分析參數(shù)所扮演的角色,然后數(shù)形結合，即可求出參數(shù)范圍。全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質專題學案匯編(附詳解)例2:設函數(shù)/(J=%2+2x-2ln(X+1)，若關于％的方程fG)=x2+%+a在[0,2]上恰有兩個相異實根，則實數(shù)a的取值范圍是思路：方程等價于：x2+2x_2ln(x+1)=x2+x+ana=x一2ln(x+1)，即函數(shù)y=a與g(x)=x-2ln(x+1)的圖像恰有兩個交、、.點，分析g(x)的單調性并作出草圖：\g'(x)=1-二=M...令g,(x)>0解得：一x+1x+1-Hx>1g(x)在(0,1)單調遞減，在(1,2)單調遞增，g(1)=1-21n2g(0)=0,gG)=2-2ln3，由圖像可得，水平線y=a位于g(1),g(2)之間時，恰好與(x)有兩個不同的交點。.??1-2ln2<a<2-2ln3答案：1-2ln2<a<2-2ln3小煉有話說(1)本題中的方程為x2+2x-2ln(x+1)=x2+x+a，在構造函數(shù)時，進行了x與a的分離，此法的好處在于一側函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含x所以為一條水平線，便于上下平移，進行數(shù)形結合。由此可得：若關于x的函數(shù)易于作出圖像，則優(yōu)先進行參變分離。所以在本題中將方程轉變?yōu)閍=x-2ln(x+1),構造函數(shù)g(x)=x-2ln(x+1)并進行數(shù)形結合。(2)在作出函數(shù)草圖時要注意邊界值是否能夠取到，數(shù)形結合時也要注意能否取到邊界值。例3：已知函數(shù)f(x)=!kx+2,x<0(keR),若函數(shù)y=f(x)+k有三個零點，貝U[lnx,x>0實數(shù)k的取值范圍是()A.kA.k<2B.-1<k<0C.-2<k<-1D.k<-2思路：函數(shù)y=/G)+上有三個零點，等價于方程f(x)=-k有三個不同實數(shù)根，進而等價于f(x)與y=-k圖像有三個不同交點，作出f(x)的圖像，則k的正負會導致f(x)圖像不同，且會影響尸-k的位置，所以按k>0,k<0進行分類討論,然后通過圖像求出k的范圍為k<-2。答案：D小煉有話說：(1)本題體現(xiàn)了三類問題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零群方程的根o函數(shù)圖象的交點，運用方程可進行等式的變形進而構造函數(shù)進行數(shù)形結合，解決這類問題要選擇合適的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。(2左題所求k在圖像中扮演兩個角色一方面決定f(x)左側圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的位置與x軸的關系，所以在作圖時要兼顧這兩方面，進行數(shù)形結合。例4：已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x)，當xJ,3),f(x)=lnx，若在區(qū)間［1,9)內，函數(shù)g(x)=f(x)-ax有三個不同零點，則實數(shù)〃的取值范圍是()B.1n31[B.1n31[9,3e)1n31[9，2e)(1n31n3)思路：f(x^=f(3思路：f(x^=f(3x)nf=f(xl3J，當xe[3,9)時，f(1=f(X]=嗚，所l3J3以f(JI]r"x<3Iln—,3<x<9[3,而g(x)=f(x)一ax有三個不同零點oy=f(x)與J=ax有三個不同交點，如圖所示，可得直線y=ax應在圖中兩條虛線之間，所以答案：B答案：B小煉有話說：本題有以下兩個亮點。(1)如何利用f(x)=fH)已知x」,3),f(x)的解析式求xe[3,9),f(x)的解13J析式。(2)參數(shù)a的作用為直線y=ax的斜率，故數(shù)形結合求出三個交點時a的范圍例5：已知函數(shù)f(x)是定義在(-8,0)?Q”)上的偶函數(shù)，當x>0時，’2ix-11一1,0<x<2f(x)=11f(x一2)x>2，則函數(shù)g(x)=4f(x)-1的零點個數(shù)為()A.4B.6C.8D.10思路：由f(x)為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可，當x￡(0,2]時，可以利用y=2x利用圖像變換作出圖像，x>2時，f(x)=1f(x-2)，即自變^2量差2個單位，函數(shù)值折半，進而可作出(2,4],(4,6]，……的圖像，g(x)的零點個數(shù)即為f(x)=4根的個數(shù)，即f(x)與尸4的交點個數(shù)，觀察圖像在x>0時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得x<0時，也有5個交點。共計10個交點答案：D小煉有話說：(1)f(x)=1f(x-2)類似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關系。依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時，以一個〃周期〃圖像為基礎，其余各部分按照倍數(shù)調整圖像即可(2)周期性函數(shù)作圖時，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準確標出，便于數(shù)形結合。(3)巧妙利用f(x)的奇偶性，可以簡化解題步驟。例如本題中求交點個數(shù)時，只需分析正半軸的情況，而負半軸可用對稱性解決例6：對于函數(shù)f(x)，若在定義域內存在實數(shù)X，滿足f(-x)=-f(x)，稱f(x)為〃局部奇函數(shù)”，若f(x)=4x-m2x+1+m2-3為定義域R上的〃局部奇函數(shù)〃，則實數(shù)m的取值范圍是()A.1-、芹<m<1+%，3B.1-、薩<m<2sC.-2產(chǎn)<m<2RD.-2%.2<m<1-%：3思路：由〃局部奇函數(shù)〃可得：4x-2m-2x+m2-3+4-x-2m-2-x+m2-3=0，整理可得：(4x+4-x)-2m(2x+2I+2m2-6=0，考慮到4x+4-x=Q+2-x)-2，從而可將2x+2-x視為整體，方程轉化為：(2x+2-x)-2mQ+2-x)+2m2-8=0,利用換元設t=2x+2-x(t>2)，則問題轉化為只需讓方程12-2mt+2m2-8=0存在大于等于2的解即可，故分一個解和兩個解來進行分類討論。設g。)=12-2mt+2m2-8=0。(1)若方程有一個解，則有相切(切點％=m大于等于2)或相交(其中交點在x=2兩側)，即:“二0或g(2)<0,解得：m=2、：2或1-戶<m<1+2[m>2\>0(2)若方程有兩解，則L(2)>0，解得：m>2,—2”<m<20<m>1+邪,m<1—邪n1+J3<m<2婢，綜上所述：1—J3<m<2J2m>2答案：A小煉有話說：本題借用〃局部奇函數(shù)〃概念，實質為方程的根的問題，在化簡時將2x+2T視為整體，進而將原方程進行轉化，轉化為關于2x+2T的二次方程，將問題轉化為二次方程根分布問題，進行求解。例7：已知函數(shù)y=f(x)的圖像為R上的一條連續(xù)不斷的曲線，當x中0時，TOC\o"1-5"\h\zf'(x)+應>0，則關于x的函數(shù)g(x)=f(x)+1的零點的個數(shù)為()xxA.0B.1C.2D.0或2思路：f，(x)+9>0n對'(x)+f(x)>0A(x))>0，結合g(x)的零點個xxx數(shù)即為方程f(x)+1=0,結合條件中的不等式，可將方程化為xf(x)+1=0,可x設h(x)=xf(x)+1,即只需求出h(x)的零點個數(shù)，當x>0時，h(x)>0,即h(x)在(0,+8)上單調遞增；同理可得：h(x)在(f0)上單調遞減，,h(x)=h(0)=1,min故h(x)>h(0)=1>0，所以不存在零，點。答案：A

小煉有話說：(1)本題由于/(X)解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構造函數(shù)，利用單調性與零點存在性定理進行解決。(2)所給不等式f'(x)+蟲>0呈現(xiàn)出f(x)輪流求導的特點，猜想可能是符合x導數(shù)的乘法法則，變形后可得(xf(x))>0，而g(x)的零點問題可利用方程進行變x形，從而與條件中的xf(x)相聯(lián)系，從而構造出h(x)例8:定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足對VxeR，有f(x+2)=f(x)-f(1)，且當xe[2,3]時，f(x)=-2x2+12x-18，若函數(shù)y=f(x)-log(x+1)在(0,+s)上至少有三個零點，則a的取值范圍是(A.B.C.0,4IA.B.C.0,4I5D.04J思路：f(x+2)=f(x)-f(1)體現(xiàn)的是間隔2個單位的自變量，其函數(shù)值差f(1)，聯(lián)想到周期性，考慮先求出f(1)的值，由f(x)為偶函數(shù)，可令x=-1，得f(1)=f(-1)-f(1)f(1)=0：.f(x+2)=f(x),f(x)為周期是2的周期函數(shù)已知條件中函數(shù)y=f(x)-log(x+1)有三個零點，可將零點問題轉化為方程af(x)-log(x+1)=0即f(x)=log(x+1)至少有三個根，所以f(x)與y=logQ+1)有三個交點。先利用f(x)在axe[2,3]的函數(shù)解析式及周期性對稱性作圖通

過圖像可得：。>1時，不會有3個交點，考慮0<〃<1的圖像。設g(1=logx,a則y=logQ+1)=g(%+J,利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當x=2時，ay=log(x+1)的圖像在f(x)上方即可，即alog(2|+1)>f(2)=一2nlog3>一2=loga-2所以-!->3n0<a<—aaaa23答案：B小煉有話說：本題有以下幾個亮點：(1)f(x)的周期性的判定：f(x+2)=f(x)-f(1)可猜想與f(x)周期性有關，可帶入特殊值，解出f(1)，進而判定周期，配合對稱性作圖(2)在選擇出交點的函數(shù)時，若要數(shù)形結合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，f(x)的圖像可做，且y=log(x+1)可通過圖像變換做出a例9:已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，當x式-1,目時，f(x)=［尸2，x［一1,1「其中%>0，若方程3f(x)=x恰有三個不同的實數(shù)［t(1-x-2),x￡(1,31根，則實數(shù)的取值范圍是()A.(4)IOfA.(4)IOf思路：由_S'3，2V3f(x+2)=-f(x)-4413，3V37可得D.f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期為4，所解方程可視為y=f(x)與g(x)=x的交點，而用勺作用為影響y=t(1-x-2)圖像直線的斜率，也絕對此段的最值(y=t)，先做出y=x的圖像，再根max3據(jù)三個交點的條件作出f(x)的圖像(如圖)，可發(fā)現(xiàn)只要在x=2處，f(x)的圖像高于g（x）圖像且在X=6處/（X）的圖像低于g（x）圖像即可。所以有f(f(6)<g(6)If(2)>g(2尸f(6)=f(2)=t<2f⑵=t>—答案：B例10：（例10：（優(yōu)質試題甘肅天水一中五月考）已知函數(shù)f（x）=<sin-1,x<0logx(a>0,a中1),x>0

a的圖像上關于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是（A.。金B(yǎng).C.D.思路：考慮設對稱點為x，-x，其中x>0，則

000A.。金B(yǎng).C.D.思路：考慮設對稱點為x，-x，其中x>0，則

000問題轉化為方程f（x）=f（-x）至少有三個解。即sin1=logx有三個根，所以問題轉aF*13化為g(x)=sin1與h（x）=1ogx有三個交點，先做出y=sina圖像，通過觀察可知若y=logx與其有三個交點，則0<a<1，進一步觀察圖像可a得：只要g（5）<h（5），則滿足題意，所以(5冗、sin-vk271<log5n-2<log5nlog——<log5n—>5aaaa2aa2答案：A三、近年模擬題題目精選：1、已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當xe[0,1]時，f（x）="x，那么在區(qū)間（-1,3）內，關于％的方程f(X)=kx+k(keR)有4個根，則k的取值范圍是().C.0<k<1或k=-D.0<k<1464X2+2X,X<02八，一,X>0eX2、(優(yōu)質試題吉林九校聯(lián)考二模，16)若直角坐標平面內A,B兩點滿足條件：①點AX2+2X,X<02八，一,X>0eX一個〃姊妹點對”((AB)與(B,A)可看作同一點對)，已知f(x)=<則f(X)的〃姊妹點對“有個3、(優(yōu)質試題，天津)已知函數(shù)f(x)=\2~X)X<2，函數(shù)g(X)=b-f(2-x),1(x-2)2,x>2,其中beR，若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()A.B.「(7A.B.「(7、c.(0，4JD.(7214,4、(優(yōu)質試題，湖南)已知f(x)=\X3,X<°，若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)=f(x)-b[x2,x>a有兩個零點，則a的取值范圍是5、(優(yōu)質試題，新課標全國卷I)已知函數(shù)f(x)一ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一TOC\o"1-5"\h\z的零點x,且x>0,則a的取值范圍是()00D.A.(2,+8)B.(1,+s)C.(-*-2)D.(-*-1)6、(優(yōu)質試題，山東)已知函數(shù)f(x)=x-2+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A.[0,1]B.[[I]C.(1.2)D.V27V27(2,+8)7、(優(yōu)質試題，天津)已知函數(shù)f(x)=x2+3x,xeR，若方程f(x)-〃x-1=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是8、(優(yōu)質試題，江蘇)已知函數(shù)f"=lnx,g(x)=[0,0<x-1，則方程Ix2-4-2,x>1f(x)+g(x)=1實根的個數(shù)為TOC\o"1-5"\h\z9、已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)^I?一的零點x，且x>0，貝Ua的00取值范圍是()A.(2,+8)