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文檔簡介
2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知向量,,且,則()A. B. C.1 D.23.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示,且,則的最小值為()A. B.C. D.4.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體中最長的棱長為().A. B. C.1 D.6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.8.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-29.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗(指標(biāo)值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算最強10.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.12.阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.14.已知向量,且,則___________.15.已知實數(shù)滿約束條件,則的最大值為___________.16.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,其中.(1)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求和的極坐標(biāo)方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點,與交于另一點,若,求的取值范圍.19.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)和交點的交點為,求的面積.21.(12分)設(shè)函數(shù),(1)當(dāng),,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.22.(10分)已知直線與拋物線交于兩點.(1)當(dāng)點的橫坐標(biāo)之和為4時,求直線的斜率;(2)已知點,直線過點,記直線的斜率分別為,當(dāng)取最大值時,求直線的方程.
2023學(xué)年模擬測試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】
根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【題目詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到,此時與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當(dāng)時,取得最小值為,故選:.【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.2、A【答案解析】
根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程,解方程求得的值.【題目詳解】由于向量,,且,所以解得.故選:A【答案點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.3、A【答案解析】
是函數(shù)的零點,根據(jù)五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得.【題目詳解】由題意,,∴函數(shù)在軸右邊的第一個零點為,在軸左邊第一個零點是,∴的最小值是.故選:A.【答案點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性,考查函數(shù)的對稱性.函數(shù)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo).4、B【答案解析】
可解出集合,然后進行補集、交集的運算即可.【題目詳解】,,則,因此,.故選:B.【答案點睛】本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【答案解析】
首先由三視圖還原幾何體,進一步求出幾何體的棱長.【題目詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長的棱長為.故選:B.【答案點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】
根據(jù)兩個函數(shù)相等,求出所有交點的橫坐標(biāo),然后求和即可.【題目詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)的和,故選B.【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).7、A【答案解析】
對復(fù)數(shù)進行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【題目詳解】因為,所以z的虛部為2.【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.8、B【答案解析】
通過復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算,化簡求解即可.【題目詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【答案點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算,復(fù)數(shù)模長的概念,屬于基礎(chǔ)題.9、D【答案解析】
根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【題目詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【答案點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【答案解析】
把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.【題目詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個,恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【答案點睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計數(shù)計算概率.11、A【答案解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【題目詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【答案點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎(chǔ)題.12、D【答案解析】
設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【題目詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為,所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【答案點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【答案解析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計算時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!绢}目詳解】因為,所以,因為,所以.當(dāng),即時,,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時,因為在上單調(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【答案點睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.14、【答案解析】
由向量平行的坐標(biāo)表示得出,求解即可得出答案.【題目詳解】因為,所以,解得.故答案為:【答案點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、8【答案解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移計算得到答案.【題目詳解】根據(jù)約束條件,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距,由圖可知當(dāng)經(jīng)過點時截距最大,故的最大值為8.故答案為:.【答案點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.16、【答案解析】
由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【題目詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【答案點睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極大值,無極小值;(2).(3)見解析【答案解析】
(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出;(2)先求導(dǎo),再函數(shù)在區(qū)間上遞增,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值,問題得以解決;(3)取得到,取,可得,累加和根據(jù)對數(shù)的運算性和放縮法即可證明.【題目詳解】解:(1)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),則令,解得當(dāng)時,,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時,函數(shù)取得極大值,即極大值為,無極小值;(2)因為,所以,因為在區(qū)間上遞增,所以在上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立.當(dāng)時,在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時,,設(shè),則在區(qū)間上恒成立.所以在單調(diào)遞增,則,所以,即綜上所述.(3)由(2)可知當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上遞增,所以,即,取,則.所以所以【答案點睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題,以及不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,屬于較難題.18、(1);(2)【答案解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【題目詳解】(1)因為,所以的普通方程為,又,,,的極坐標(biāo)方程為,的方程即為,對應(yīng)極坐標(biāo)方程為.(2)由己知設(shè),,則,,所以,又,,當(dāng),即時,取得最小值;當(dāng),即時,取得最大值.所以,的取值范圍為.【答案點睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,三角函數(shù)的值域求解等知識,考查了學(xué)生的運算求解能力.19、(1)證明見解析(2)證明見解析【答案解析】
(1)先根據(jù)絕對值不等式求得的最大值,從而得到,再利用基本不等式進行證明;(2)利用基本不等式變形得,兩邊開平方得到新的不等式,利用同理可得另外兩個不等式,再進行不等式相加,即可得答案.【題目詳解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即兩邊開平方得.同理可得,.三式相加,得.【答案點睛】本題考查絕對值不等式、應(yīng)用基本不等式證明不等式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和推理論證能力.20、(1);(2)【答案解析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.(2)將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,求得兩個曲線交點的極坐標(biāo),即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【題目詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為.所以的極坐標(biāo)方程為(2)解方程組,得到.所以,則或().當(dāng)()時,,當(dāng)()時,.所以和的交點極坐標(biāo)為:,.所以.故的面積為.【答案點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,利用極坐標(biāo)求三角形面積,屬于中檔題.21、(1)或;(2)證明見解析【答案解析】
(1)將化簡,分類討論即可;(2)由(1)得,,展開后再利用基本不等式即可.【題目詳解】(1)當(dāng)時,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根據(jù),當(dāng)且僅當(dāng)時,等式成立.【答案點睛】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題,考查學(xué)生基本的計
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