浙教版八年級(jí)三角形中幾種模型

一、手拉手模型：手的判別：判斷左右，將等腰三角形頂角頂點(diǎn)朝上，左邊為左手頂點(diǎn)，右邊為右手頂點(diǎn)。手拉手的定義兩個(gè)頂角相等且有共頂點(diǎn)的等腰三角形形成的圖形。 （左手拉左手，右手拉右手）手拉手基本結(jié)論①△ABC≌△AB'C'(SAS)②∠BAB'=∠BOB'AOBOC'二、例題1、在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△

ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：（（1）△ABE≌△DBCD（2）AE=DC（3）（4）AEDC的夾角為△AGB≌△DFB60。（5）△EGB≌△CFBHFG（6）BHAHC（7）GF∥AC

A B C變式練習(xí)1、如果兩個(gè)等邊三角形△ ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC D（3）AE與DC的夾角為60。 C（4）AEDC的交點(diǎn)設(shè)為H,BHAHCEA B變式練習(xí)2：如果兩個(gè)等邊三角形△ ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：（1）△ABE≌△DBCD（2）AE=DC（3）AEDC60。（4）AEDC的交點(diǎn)設(shè)為H,BHAHCBAH EC變式訓(xùn)練3：兩個(gè)等腰三角形 ABD與BCE，其中連接AE與CD. D問（1）△ABEDBC是否成立（2）AE是否與CD相等（3）AE與CD之間的夾角為多少度 EH（4）HB是否平分∠AHCABC2ABCDDEFGAGCEH問：（1）△ADGCDE是否成立（2）AG是否與CE相等 B C（3）AGCE之間的夾角為多少度（4）HDAHEH GFA DE例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形 ADC與EDG，連接AG,CE,二者相交于H.問（1）△ADGCDE是否成立C（2）AG是否與CE相等（3）AGCE之間的夾角為多少度（4）HD是否平分∠AHEH GA DE二、半角模型11、條件： 2

且 1800.2、思路：①截長(zhǎng)補(bǔ)短②旋轉(zhuǎn)1、在正方形ABCD中，若MN分別在邊BCCD上移動(dòng)，且滿足MN=BM+DN，.∠MAN=45②.CCMN2AB③.AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM.45例2拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=

MNCBDC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，.MNBMDN..AB=AH.3.在四邊形ABCDB+1

180

，若E、F分別在邊BC、CD上，且滿足 EF=BE+DF.求證：

EAF

BAD.2練習(xí)鞏固1：（1）1ABCDE、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，試判斷EF三

BE、DF與條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果： ；（2）如圖2(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCDADBD＝180EF分別是邊CD上的

BC、1點(diǎn)，且∠EAF= ∠則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；2（3）在（2）問中，若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別 E、F運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（ 1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明 ..練習(xí)鞏固2：已知：正方形ABCD中， MAN 45o，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，有BM DN MN．當(dāng)MAN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，如圖21中的結(jié)論還是否成立如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)MANA旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BMDNMN之間有怎樣的等量關(guān)系請(qǐng)寫出你的猜想，并證明．L（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M，NAB，ACDM明；

DN時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎寫出你的猜想并加以證DADAADNNBCBCMBCM MN練習(xí)鞏固3：在等邊ABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDNBDC120，DADAADNNBCBCMBCM MN練習(xí)鞏固3：在等邊ABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDNBDC120，BDCD，探究：當(dāng)點(diǎn)M，N分別愛直線AB，AC上移動(dòng)時(shí)，BM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系及60，AMN的周長(zhǎng)Q與等邊 ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．NAAANMNMBCBCBCMDD圖②D圖③（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)QM，NAB，AC上，且DMDN時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式 ；此時(shí)MAN練習(xí)鞏固4：如圖，已知在正方形 ABCD中， =45°，連接BD與AM，AN分別交于E、F兩點(diǎn)求證：（1）MN=MB+DN；（2）AMN的距離等于正方形的邊長(zhǎng)；VCMN（3）

S 的周長(zhǎng)等于正方形 ABCD邊長(zhǎng)的2倍；（4）

ABCDW

2AB；（5）

VCMN

MN=20°，求 ；（6）

MABMAB 0

AMNp45o ，求 ；AMN（7）EF2 ；（8）VAENVAFM是等腰三角形；S（9

VAEF 1。SVAMN 2三、三垂直模型（一線三等角）（K型）1、常見的一線三垂直的模型。例1：如圖，正方形 ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)G．求證：AE=BF．變式訓(xùn)練：等腰RtABCAC=AB，BAC＝90DACAFBDE，BCF，DF，求證：∠1=∠2。2：.PABCDAB()PDPDP90PEPEBCFBEDF。ADP=EPBCBE的度數(shù)；3ABC，其中AB=ACBAC=90B、CA點(diǎn)直線L的垂線，垂足分別為MN．（1）你能找到一對(duì)三角形的全等嗎并說明．（2）BM，CN，MN之間有何關(guān)系若將直線l旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其他條件不變，那么上題的結(jié)論是否依舊成立？四、角平分線模型1、邊垂直 M如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作 APA⊥OM于點(diǎn)PB⊥ON于點(diǎn)B。 P結(jié)論：PB=PA OB N例1：（1）如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AD平CAB，BC=6，BD=4，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 分∠（2）如圖②，∠1=∠2，+∠3=∠4。APBAC。AACB2 341C D B P2圖12：如圖，△ABCACD的平分線CPABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP= 。PABC D例3：．如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。ADCB2、翻折全等（對(duì)稱）PMONAOMONOB=OAPB。結(jié)論：△OPB≌△OPA。MAPOB N例1：（1）如圖①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較 PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由；（2）ADABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PBAC-AB的大小，并說明理由。AA2ABCACB的P P C 平B C D B D圖1 圖2

分線，AC=16，AD=8。求線 段BC的長(zhǎng)。AB CD3ABCA=100°，∠A=40°，BDABCBDE，DE=AD。求證：BC=AB+CE。AEDB C4ABCAB=ACA=108BDABCBC=AB+CD。ADCB3、角平分線+垂線→等腰（三線合一）PMO的平分線上一點(diǎn)，APOPPAPB。AOB是等腰三角形。MAPOB N例1：如圖，已知等腰直角三角形 ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E。求證：BD=2CE。AD EB C2ABCBEBED2=1+C。AE 1 2DBC3：（1）BDCEABC的外角平分，過點(diǎn)ABD、AECEDE，連接DE。求證：(1)AB+AC+BC=MN（2）如圖②，BDCEABCMNABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)寫出你的猜想，并進(jìn)行證明。（3）如圖③，BDABC的內(nèi)角平分，CEABC量關(guān)系請(qǐng)寫出你的猜想，并進(jìn)行證明。

成立請(qǐng)說明理由，若不成立，MNABC三邊又有怎樣的數(shù)4、角平分線+平行線→等腰（底角相等）如圖，P是∠MO的平