高等數(shù)學(xué)1-2數(shù)列極限含weierstrass定理以及單調(diào)遞增課件

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)數(shù)列的極限1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”

——?jiǎng)⒒?、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”

引例割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找粩?shù)列的概念如果按照某一法則,對(duì)每一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)則得到一個(gè)序列這一序列稱為數(shù)列,記為第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng).數(shù)列舉例:注：數(shù)列可以看作自變量為正整數(shù)

的函數(shù):數(shù)列的概念如果按照某一法則,對(duì)每一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)則得到一個(gè)序列這一序列稱為數(shù)列,記為第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng).x1x5x4x3x2xn數(shù)列的幾何意義次位于數(shù)軸上的坐標(biāo)

數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它依次數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。（作為函數(shù)，畫(huà)出的圖形）數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)的觀察:當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。例如數(shù)列極限的通俗定義問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)它？當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，如果數(shù)列的一般項(xiàng)無(wú)限接近于常數(shù)則稱常數(shù)是數(shù)列的極限或者稱記為趨勢(shì)不定收斂于數(shù)列“當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于”是什么意思？只要，就如上例給定給定任意給定給定由只要時(shí)，有有只要時(shí)，只要時(shí)，有有由數(shù)列極限的精確定義如果存在常數(shù)對(duì)于任意給定總存在正整數(shù)使得當(dāng)

時(shí)總有成立則稱常數(shù)是數(shù)列的極限或者稱數(shù)列收斂于記為極限定義的簡(jiǎn)記形式設(shè)為一數(shù)列或當(dāng)

時(shí)的正數(shù)例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散例1證明證明二.收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.1收斂數(shù)列必有界證當(dāng)時(shí)，有取所以，收斂數(shù)列必有界.

證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有定理2.2

收斂數(shù)列的極限唯一使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾,因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式則證定理2.3有理運(yùn)算法則例2求解由于根據(jù)有理運(yùn)算法則得例3

求解因?yàn)楦鶕?jù)有理運(yùn)算法則得例4

求解因?yàn)樗匀?收斂準(zhǔn)則定理2.5單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)增，上有界數(shù)列必有極限單調(diào)減，下有界數(shù)列必有極限證明：不仿設(shè)數(shù)列為單調(diào)增加且有上界，根據(jù)確（1）（2）界存在定理，由構(gòu)成的數(shù)集必有上確界?,滿足：因而于是*********************證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,

使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************定理2.6

收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.******************************************數(shù)列的子數(shù)列（子列）由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!則原數(shù)列一定發(fā)散.36單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明單調(diào)減，下有界例5(1)

證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明單調(diào)增，有上界例5(2)

證明則定理2.7（夾逼定理）如果證例6

證明證例7

計(jì)算解定理

2.8(Weierstrass定理)有界數(shù)列必有收斂子列.為一有界數(shù)列,則必存在使得證:

設(shè)根據(jù)單調(diào)有界原則，為了證明定理的結(jié)論，只要在任何情況下都能從邏輯上看，則都有或?yàn)橛邢藜?；為無(wú)限集。僅有兩種情況：在該數(shù)列中找到一個(gè)單調(diào)的子列就行了。設(shè)，或?yàn)橛邢藜瑒t(1)若同理使的定義，大于如此繼續(xù)下去，所以根據(jù)中所有的數(shù).因?yàn)榈玫礁鶕?jù)故為一個(gè)無(wú)限子集，設(shè)該無(wú)限子集中的元素按嚴(yán)格單調(diào)遞增的順序排列為(3)若綜上可知在任何情況下定理都是成立的。是一個(gè)收斂子列。的嚴(yán)格單調(diào)遞增子數(shù)列，所以的定義，則有是定理2.9（Cauchy收斂原理）數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性”.設(shè)則時(shí),有使當(dāng)因此“充分性”證明從略.有柯西

例設(shè)證明數(shù)列證:

要證收斂，只要證明它滿足Cauchy條件。由于柯西收斂。46所以，故原數(shù)列滿足Cauchy柯西只要取則及恒有條件，所以收斂。

例設(shè)證明數(shù)列證：要證發(fā)散，只要證明它不滿足Cauchy條件，使也就是說(shuō)，只要證明就行了，對(duì)于取發(fā)散。47由于故不滿足Cauchy條件，發(fā)散.內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”

定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性