機(jī)控2-數(shù)學(xué)模型.jsp

教學(xué)內(nèi)容6、系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正1、緒論3、系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析2、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4、系統(tǒng)的頻率特性分析5、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析0

研究與分析一個(gè)系統(tǒng)，首先要定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性。但是，如果想對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，或系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)故障，或者要進(jìn)一步改善系統(tǒng)的性能，那么，僅僅了解工作原理和特性是完全不夠的。我們還要定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系。這就需要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型－Why？從定性的認(rèn)識(shí)上升到定量的精確認(rèn)識(shí)1數(shù)學(xué)模型－What？

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)描述。是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在的關(guān)系。對(duì)于同一系統(tǒng)，可以建立多種形式的數(shù)學(xué)模型。微分方程傳遞函數(shù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)學(xué)模型的

描述微分方程傳遞函數(shù)頻率響應(yīng)時(shí)域復(fù)數(shù)域頻域差分方程脈沖傳遞函數(shù)2教學(xué)內(nèi)容第一講系統(tǒng)的微分方程3系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程一、控制系統(tǒng)建模問(wèn)題1、控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型：通過(guò)定量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，以揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式：時(shí)域：微分方程；差分方程頻域：傳遞函數(shù)；信號(hào)流圖復(fù)頻域（S平面）：Nyquist圖；Bode圖4表現(xiàn)形式：微分方程2、數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式及轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化形式：傳遞函數(shù)：狀態(tài)空間：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程5系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程線性系統(tǒng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能用線性微分方程描述線性系統(tǒng)特點(diǎn)：可以運(yùn)用疊加原理。即系統(tǒng)在有多個(gè)輸入量同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，可以逐個(gè)輸出，求出對(duì)應(yīng)的輸出，然后把各個(gè)輸出進(jìn)行疊加，即為系統(tǒng)的總輸出。微分方程的系數(shù)為常數(shù)微分方程的某一（些)系數(shù)隨時(shí)間的變化而變化線性時(shí)變系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)：3、系統(tǒng)分類(lèi)

6為解決非線性帶來(lái)的問(wèn)題通常采用局部線性化非線性系統(tǒng)：不可用疊加原理。用非線性方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)～，它不能使用疊加原理。非線性系統(tǒng)在實(shí)際生活中，物理系統(tǒng)往往都存在一些非線性因素，但在一定的范圍內(nèi)，可以經(jīng)過(guò)線性化處理，用線性模型來(lái)研究。對(duì)于有些非線性控制系統(tǒng)，往往產(chǎn)生一些跳躍諧振，極限環(huán)現(xiàn)象，不能對(duì)其進(jìn)行線性化處理，因此，就不能用線性理論來(lái)研究，對(duì)于非線性控制系統(tǒng)特性的一些研究方法，本書(shū)中第7章作了介紹。74、系統(tǒng)建模方法

分析法：根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來(lái)推導(dǎo)出數(shù)學(xué)表達(dá)式。例如：歐姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流體力學(xué)。實(shí)驗(yàn)法：通過(guò)數(shù)據(jù)整理，擬合出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和求解的精確要求，來(lái)確定出合理的物理模型。

任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程89列寫(xiě)微分方程的一般方法：建立物理模型（包括力學(xué)模型和電學(xué)模型等），確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量；按照信號(hào)的傳遞順序，建立各個(gè)元件或環(huán)節(jié)的微分方程；消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程；形式標(biāo)準(zhǔn)化（右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列）。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程910二、系統(tǒng)的微分方程微分方程：在時(shí)域中描述系統(tǒng)（或元件）動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。利用微分方程可求得其他形式的數(shù)學(xué)模型，因此是最基本的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程1011系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程牛頓第二定律：物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積1112系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感1213系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。rLCur(t)uc(t)i(t)依據(jù)：電學(xué)中的基爾霍夫定律

1314系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程（兩邊求導(dǎo)）14實(shí)例分析1—濾波網(wǎng)絡(luò)微分方程試求出：輸出電壓u2和輸入電壓u1為變量的濾波網(wǎng)絡(luò)的微分方程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程15解：設(shè)回路電流為i1、i2。根據(jù)克?；舴螂妷憾捎校合ブ虚g變量：微分方程的列寫(xiě)必須考慮系統(tǒng)的負(fù)載效應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程16不考慮負(fù)載效應(yīng)，RC網(wǎng)絡(luò)方程獨(dú)立列寫(xiě)如下：消去中間變量：所得方程不能正確反映物理問(wèn)題，因而方程有誤。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程17實(shí)例分析2—電動(dòng)機(jī)控制方程試求出：輸入電壓ua和輸出轉(zhuǎn)角在干擾ML作用下的微分方程電磁力矩M與電樞電流成正比：輸入電壓與電樞電流之間的關(guān)系：其中ed為與電機(jī)速度成正比的反向感應(yīng)電壓：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程18電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程：消去中間變量ia

：令：則上式可化為：電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)微分方程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程19三、微分方程的增量化表示取電機(jī)任意平衡態(tài)，則微分方程變量各階導(dǎo)數(shù)為零：此即為輸入、輸出之間的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，因此有：ua0,ML0,ω0為所取平衡狀態(tài)下的具體數(shù)值。若某時(shí)刻輸入量發(fā)生變化，輸出量也會(huì)變化Δω，則，輸入量和輸出量可表示為：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程20代入微分方程，則有：平衡狀態(tài)下：則有：電動(dòng)機(jī)任意平衡狀態(tài)下的增量方程若電動(dòng)機(jī)在工作過(guò)程中負(fù)載力矩為常數(shù)，且略去增量符號(hào)，則有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程21非線性微分方程的線性化

控制系統(tǒng)中非線性問(wèn)題普遍存在，理論和分析方法又不成熟，怎么辦？

在一定條件下，將非線性問(wèn)題通過(guò)線性問(wèn)題求解方法來(lái)處理，可有效解決！系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程22實(shí)例分析3—液壓伺服機(jī)構(gòu)負(fù)載m的動(dòng)力學(xué)方程：流量連續(xù)性方程：系統(tǒng)分析：流量q、壓力p以及閥芯位移x是非線性關(guān)系：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程23小偏差線性化分析：1)在工作點(diǎn)（x0,y0)鄰域進(jìn)行小偏差線性化：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程242)假定偏差很小，略去偏差的高階項(xiàng)，并取增量關(guān)系：3)取坐標(biāo)原點(diǎn)為工作點(diǎn)，略去增量符號(hào)：代入動(dòng)力學(xué)方程：25小偏差線性化要點(diǎn)：明確系統(tǒng)工作點(diǎn)；變量偏離工作點(diǎn)位置應(yīng)足夠小；本質(zhì)非線性函數(shù)不能線性化；線性化后的方程是以增量為基礎(chǔ)的增量方程。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程26實(shí)例分析4—倒立擺控制模型試求出：以φ(t)為輸出、u(t)為輸入的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象：水平方向的動(dòng)力學(xué)方程為：以擺為研究對(duì)象：垂直于擺桿方向的動(dòng)力學(xué)方程為：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程27把方程展開(kāi)得：方程組為非線性。當(dāng)φ(t)較小時(shí)，?。郝匀サ母叽雾?xiàng)，得到如下線性方程組：聯(lián)立求解得：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的微分方程28四、本講小結(jié)了解系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式；了解微分方程的列寫(xiě)方法；了解微分方程的增量化表示方法；系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—小結(jié)1了解非線性微分方程做小偏差線性化的處理方法。作業(yè)：教材：2.1~2.529第二講拉氏變換30Laplace變換（簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換）

在求解線性微分方程時(shí)，用常規(guī)方法求解，其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。英國(guó)的電工工程師Laplace提出了一種函數(shù)變換法，可以使計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化。下面我們介紹Laplace變換的定義及有關(guān)定理。

1、Laplace變換的定義若一個(gè)時(shí)間函數(shù)

f（t），稱(chēng)為原函數(shù)，經(jīng)過(guò)下式計(jì)算轉(zhuǎn)換為象函數(shù)F(s)：記為稱(chēng)F(s)為f(t)的Laplace變換（簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換）。其中算子s=σ+

jω為復(fù)數(shù)。31

若已知F(s)，求原函數(shù)f(t)，則稱(chēng)為L(zhǎng)aplace反（逆）變換（簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏反（逆）變換），即記為

顯然，若F(s)是f(t)的拉氏變換，則f(t)就是F(s)的拉氏反變換。從數(shù)學(xué)角度考慮，一個(gè)時(shí)域函數(shù)f(t)能夠進(jìn)行拉氏變換的條件為：

(1)當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0；32(2)f(t)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，且能找到適當(dāng)?shù)膕，使成立。

在控制系統(tǒng)中的時(shí)域函數(shù)一般均滿(mǎn)足以上兩個(gè)條件，故均可進(jìn)行拉氏變換。2、幾個(gè)常用函數(shù)的拉氏變換（1）階躍函數(shù)則故33（2）指數(shù)函數(shù)故

（3）正弦函數(shù)故

（4）余弦函數(shù)故34同理可得：（5）t的冪函數(shù)35(6)單位脈沖函數(shù)(t)由洛必達(dá)法則：所以：0t

f(t)

單位脈沖函數(shù)

1

3637（1）疊加定理3、拉氏變換的主要運(yùn)算定理若則（2）比例定理若則38（3）微分定理若則其中相當(dāng)于初始條件。于是若為零初始條件，即則39（4）積分定理若則其中在t=0處的值。同理有若則40

（5）位移定理若則

（6）延遲定理若則

（7）初值定理（8）終值定理414、求拉氏反變換的部分分式展開(kāi)法若且若的拉氏反變換容易求出,則設(shè)式中和分別是的極點(diǎn)和零點(diǎn)。下面討論三種情況。42（1）極點(diǎn)各不相同，F(xiàn)(s)可化為如下形式:則。式中，是常值,為極點(diǎn)處的留數(shù)。其值可用下式求出，即注意到43例1、已知解：因?yàn)樗郧?4（2）F(s)具有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1和p2，F(xiàn)(s)可化為如下形式:（3）

F(s)具有r重極點(diǎn)p1，F(xiàn)(s)可化為如下形式:

可用待定系數(shù)法求出c1，c2，…，cn等，然后求出各分式的拉氏反變換，取其代數(shù)和即可。于是有:4546教學(xué)內(nèi)容第三講系統(tǒng)的傳遞函數(shù)47一、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的Laplace變換與輸入量的Laplace變換之比。主要目標(biāo)：微分方程與復(fù)數(shù)域內(nèi)代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化；表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響；系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)48線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式設(shè)輸入xi(t)，輸出為xo(t)，則一般形式表示如下：取如下零初始條件：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)49對(duì)微分形式進(jìn)行Laplace變換，則有：根據(jù)傳遞函數(shù)定義，則有G(s)：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)50傳遞函數(shù)特點(diǎn)：分母反映系統(tǒng)內(nèi)部固有特性，分子反映系統(tǒng)與外界聯(lián)系；輸入確定，輸出由傳遞函數(shù)決定；所有系數(shù)為實(shí)數(shù)，分母階次不小于分子階次；傳遞函數(shù)有無(wú)量綱取決于輸入和輸出量的量綱；不同物理系統(tǒng)可有相同的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)51傳遞函數(shù)的模型：分子/分母多項(xiàng)式模型：零極點(diǎn)增益模型：

模型零、極點(diǎn)決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，其中極點(diǎn)決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)52N(s)=0稱(chēng)為系統(tǒng)的特征方程，其根稱(chēng)為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。零、極點(diǎn)分布圖將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“×”表示。53令s=0，則：說(shuō)明：G(0)為系統(tǒng)放大系數(shù)；G(0)由微分方程常數(shù)項(xiàng)決定；微分方程零、極點(diǎn)及放大系數(shù)決定著系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對(duì)系統(tǒng)的研究可變成對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)的研究。54二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

高階控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以化為零階、一階、二階等典型環(huán)節(jié)的組合。典型環(huán)節(jié)1—比例環(huán)節(jié)定義：輸出量與輸入量成正比，輸出既不失真也不延遲地反映輸入的環(huán)節(jié)。動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：輸出與輸入成正比，無(wú)失真和時(shí)間延遲案例：電子放大器，齒輪，電阻，感應(yīng)式變送器等。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)55典型環(huán)節(jié)2—慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）定義：動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)。動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：對(duì)突變的輸入及其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。案例：多數(shù)熱力學(xué)系統(tǒng)，如熱電偶。慣性環(huán)節(jié)由系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件和耗能元件引起的。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)56定義：輸出正比于微分的環(huán)節(jié)為微分環(huán)節(jié)。動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：輸出反映輸入的微分。典型環(huán)節(jié)3—微分環(huán)節(jié)

微分特性總是與慣性并存，理想的微分環(huán)節(jié)只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)或物理上的近似。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)57微分環(huán)節(jié)的控制作用：1)使輸出提前顯然,獲得同樣的輸出，t1<t2，即使輸出提前了。微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，它反應(yīng)輸入的變化趨勢(shì)即等于對(duì)系統(tǒng)有關(guān)輸入變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。因而有可能對(duì)系統(tǒng)提前施加校正作用，提高系統(tǒng)的靈敏度。微分環(huán)節(jié)常用來(lái)改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)582)增加了系統(tǒng)阻尼增加微分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)593)強(qiáng)化噪聲的作用

對(duì)輸入能預(yù)測(cè)，因此對(duì)噪聲也能預(yù)測(cè)，所以對(duì)噪聲靈敏度提高，增大了因干擾引起的誤差。典型環(huán)節(jié)4—積分環(huán)節(jié)定義：輸出正比于輸入對(duì)時(shí)間的積分的環(huán)節(jié)為積分環(huán)節(jié)。動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：輸出量為輸入量對(duì)時(shí)間的積累；輸入消失，輸出具有記憶功能。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)60當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)輸出為：經(jīng)Laplace逆變換后，系統(tǒng)的輸出為：

Xo(s)Xi(s)1/TsXi(t)tXo(t)Xo(t)Xi(t)0T其特點(diǎn)是輸出量為輸入量對(duì)時(shí)間的累積，輸出幅值呈線性增長(zhǎng)，凡具有儲(chǔ)能元件或積累特點(diǎn)的元件，都具有積分環(huán)節(jié)的特性。積分環(huán)節(jié)常用來(lái)改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對(duì)于階躍輸入，輸出要在t=T時(shí)，才等于輸入，故有滯后作用。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的積累后，當(dāng)輸入為0時(shí)，輸出不再增加，保持該值不變，具有記憶功能。61典型環(huán)節(jié)5—振蕩環(huán)節(jié)（二階振蕩環(huán)節(jié)）傳遞函數(shù)：

振蕩環(huán)節(jié)含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)耗能元件，儲(chǔ)能元件之間的能量交換引起振蕩?；颍赫f(shuō)明：為無(wú)阻尼固有頻率；T為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，；

為阻尼比，。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)62二階環(huán)節(jié)階躍輸入的討論：

時(shí)，輸出為一振蕩過(guò)程，該環(huán)節(jié)為振蕩環(huán)節(jié)。

時(shí)，輸出指數(shù)上升曲線，而不振動(dòng)，最后達(dá)到常值輸出；該環(huán)節(jié)為兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的組合。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)63振蕩環(huán)節(jié)示例：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的J-c-k系統(tǒng),在力矩M作用下扭轉(zhuǎn)。以轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角θ為輸出的力學(xué)分析如下：動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：參數(shù)說(shuō)明：為振蕩環(huán)節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)64典型環(huán)節(jié)6—延時(shí)環(huán)節(jié)（遲延環(huán)節(jié)）定義：輸出滯后時(shí)間τ，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：輸出等于輸入，只是在時(shí)間上延時(shí)了一段時(shí)間間隔τ。動(dòng)力學(xué)方程：τ

為時(shí)間常數(shù)一定要注意慣性環(huán)節(jié)和延時(shí)環(huán)節(jié)的區(qū)別。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)65關(guān)于控制環(huán)節(jié)問(wèn)題的討論：控制環(huán)節(jié)以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，按運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)劃分。區(qū)別系統(tǒng)結(jié)構(gòu)之物理框圖和分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù)框圖。物理元件之傳遞函數(shù)因在系統(tǒng)中作用而異。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)66系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例1通過(guò)改變桿的長(zhǎng)度L，可以調(diào)節(jié)衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)速度ω

，且ω與桿的長(zhǎng)度L的增量ΔL之間的傳遞函數(shù)為：實(shí)例分析1—衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)速度調(diào)節(jié)控制分析從傳遞函數(shù)可知，此旋轉(zhuǎn)速度調(diào)節(jié)系統(tǒng)是由比例環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)組成的。如桿的長(zhǎng)度變化規(guī)律為：△L(s)=1/s，則可通過(guò)對(duì)ω(s)進(jìn)行拉氏反變換計(jì)算衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)速度ω(t)。從而實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)速度的控制。67系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、本講小結(jié)掌握傳遞函數(shù)模型及其特性；掌握零極點(diǎn)模型及其對(duì)系統(tǒng)研究的重要意義；掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；作業(yè)：教材：2.3，2.1268教學(xué)內(nèi)容第四講傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化69控制系統(tǒng)的方框圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。一個(gè)系統(tǒng)可由若干環(huán)節(jié)按一定的關(guān)系組成，將這些環(huán)節(jié)以方框表示，其間用相應(yīng)的變量及信號(hào)流向聯(lián)系起來(lái)，就構(gòu)成系統(tǒng)的方框圖。

系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過(guò)程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同教學(xué)內(nèi)容70一、傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化定義：系統(tǒng)各環(huán)節(jié)特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。1)方框圖：組成要素：函數(shù)方框相加點(diǎn)信號(hào)流向分支點(diǎn)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化71方框圖要素的一般化表達(dá)：Xi(s)Xo(s)G(s)函數(shù)方框圖-X1(s)X2(s)X1(s)-X2(s)++X2(s)X1(s)X1(s)+X2(s)-X1(s)X2(s)X3(s)X1(s)-X2(s)+X3(s)1）相加點(diǎn)（比較點(diǎn)，綜合點(diǎn)）：兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)加減比較的元件。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化進(jìn)行相加減的量必須具有相同的量綱相加點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。722）分支點(diǎn)（引出點(diǎn)，測(cè)量點(diǎn)）：信號(hào)測(cè)量或引出的位置（同一位置引出的信號(hào)大小及性質(zhì)完全相同)。X(s)P(s)P(s)Y(s)G1(s)G2(s)方框圖建立基本步驟：a)建立微分方程；b)Laplace變換，并根據(jù)因果關(guān)系繪制方框圖；c)依據(jù)信號(hào)傳遞方框圖(以流水線方式)進(jìn)行連線；系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化同一位置引出的信號(hào)大小及性質(zhì)完全相同73系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：對(duì)微分方程組做Laplace變換：Laplace變換以零初始條件為基礎(chǔ)。74系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化按因果關(guān)系畫(huà)出各式對(duì)應(yīng)的方框圖：××

方框圖的輸出只能有一個(gè)，而輸入可通過(guò)相加點(diǎn)有多個(gè)。75系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化

按照信號(hào)在系統(tǒng)中傳遞順序，將輸入量置于左端、輸出量置于右端：構(gòu)建系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖：762)傳遞函數(shù)方框圖的等效變換：等效變換：在輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變的基礎(chǔ)上，對(duì)方框圖實(shí)施簡(jiǎn)化的方法。等效變化規(guī)則：內(nèi)容要點(diǎn)：串聯(lián)環(huán)節(jié)等效規(guī)則并聯(lián)環(huán)節(jié)等效規(guī)則反饋連接等效規(guī)則節(jié)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則：分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則分類(lèi)相互移動(dòng)規(guī)則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化77等效變換規(guī)則：串聯(lián)環(huán)節(jié)等效規(guī)則G1(s)G2(s)Xo(s)Xi(s)G1(s)G2(s)Xo(s)Xi(s)串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。并聯(lián)環(huán)節(jié)等效規(guī)則G1(s)G2(s)Xi(s)Xo(s)Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化78特點(diǎn)：各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)是相同的，總輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。等效傳遞函數(shù)為各支路傳遞函數(shù)的代數(shù)和。反饋聯(lián)接等效原則Xi(s)Xo(s)E(s)B(s)G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)閉環(huán)系統(tǒng)方框圖的最基本形式，所有復(fù)雜系統(tǒng)都可以如此轉(zhuǎn)化。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化79系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化G(s)稱(chēng)為前向通道傳遞函數(shù),它是輸出Xo(s)與偏差E(s)之比,即：H(s)稱(chēng)為反饋回路傳遞函數(shù),即：

前向通道傳遞函數(shù)與反饋回路傳遞函數(shù)的乘積定義為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),它也是反饋信號(hào)B(s)與偏差信號(hào)E(s)之比,即：反饋聯(lián)接相關(guān)概念及函數(shù)關(guān)系：80系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化

直觀上講開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)就是封閉回路在相加點(diǎn)斷開(kāi)以后，以E(s)作為輸入，經(jīng)G(s)

、H(s)而產(chǎn)生B(s)，由此而得到的輸出B(s)與輸入E(s)的比值。

由于B(s)與E(s)在相加點(diǎn)的量綱相同，因此開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)量綱，且H(s)的量綱是G(s)的量綱的倒數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)

：輸出信號(hào)Xo(s)與輸入信號(hào)Xi(s)之比。81系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化由反饋聯(lián)接圖可得到如下關(guān)系式：整理可得閉環(huán)傳遞函數(shù)關(guān)系為：如果H(s)=1，則反饋為單位反饋：82節(jié)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則：分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則分支點(diǎn)前移：G

(s)X

1

(s)X2

(s)X

3

(s)G

(s)X

1

(s)X2

(s)X

3

(s)G

(s)分支點(diǎn)后移：G

(s)X

1

(s)X2

(s)X

3

(s)G

(s)X

1

(s)X2

(s)X

3

(s)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化83相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則相加點(diǎn)后移：G

(s)X1(s)X2(s)X3(s)G

(s)X1(s)X2(s)X3(s)G

(s)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化相加點(diǎn)前移：G

(s)X1(s)X3(s)X2(s)X1(s)X2(s)X3(s)G

(s)84分類(lèi)相互互移動(dòng)規(guī)則X1(s)X2(s)X3(s)X4(s)X1(s)X2(s)X3(s)X4(s)X1(s)X2(s)X3(s)X1(s)X2(s)X3(s)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化85方框圖綜合等效變換示例1：G1G2G3H1H2+++--+X

i(s)X

o(s)AB將A點(diǎn)移至B點(diǎn)H2G1G2G3H1/G3+++--+X

i(s)X

o(s)AB系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化86將G2、G3及H2點(diǎn)等按串聯(lián)和反饋規(guī)則變換G1H1/G3++-+X

i(s)X

o(s)ABH1/G3++-+X

i(s)X

o(s)AB系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化87+-X

i(s)X

o(s)B依據(jù)單位反饋聯(lián)接等效變換規(guī)則X

i(s)X

o(s)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化88簡(jiǎn)化公式求?。篏1G2G3H1H2+++--+X

i(s)X

o(s)AB二者比較得如下公式:系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化89簡(jiǎn)化公式應(yīng)用的前提條件：1)整個(gè)方框圖只有一條前向通道；2)各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。

若不滿(mǎn)足以上兩個(gè)前提條件，應(yīng)先按等效規(guī)則和移動(dòng)規(guī)則進(jìn)行簡(jiǎn)化。利用簡(jiǎn)化公式上述原則直接求取可得:系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化9