國培初中講稿

PAGE17在信息技術(shù)支持下的數(shù)學教學設(shè)計與實施王鵬遠2013年10月北大國培項目講稿一個亟待解決的問題—從《數(shù)學課程標準（２０１１年版）》談起你可以在地鐵、公交車和大街上隨處可見人們手里擺弄手機或平板電腦，人們可以利用它們通話、發(fā)短信、玩游戲、上網(wǎng)看新聞，等等?？梢姡斍靶畔⒓夹g(shù)已經(jīng)深入到我們的日常生活中了。今年斯諾登爆出的棱鏡項目震動了世界，人們突然意識到信息技術(shù)還直接影響到公民的隱私和國家的安全。信息技術(shù)如此重要，在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，無視信息技術(shù)的影響，必然落后于時代前進的腳步！但你可曾想到信息技術(shù)對數(shù)學學習和數(shù)學教育的深刻影響了嗎？信息技術(shù)對于數(shù)學學習真的很重要嗎，信息技術(shù)能否讓數(shù)學學習變得更加有趣和高效？看來對于許多人來說，借助計算機學數(shù)學現(xiàn)在還是一件不可思議的事，盡管我們生活在21世紀，但還繼續(xù)按照20世紀的傳統(tǒng)方式學習數(shù)學。最近在網(wǎng)絡(luò)上流傳著一個TED的題為“用計算機重塑數(shù)學教育”的演講視頻，演講者為ConradWolfram。（“TED”由“科技”、“娛樂”以及“設(shè)計”三個英文單詞首字母組成，是美國的一家私有非盈利機構(gòu)，該機構(gòu)以組織的TED大會著稱。大會邀請世界上的思想領(lǐng)袖與實干家來分享他們最熱衷從事的事業(yè)，展現(xiàn)著涉及幾乎各個領(lǐng)域的各種見解，參加者們稱它為“超級大腦SPA”。因此，TED的演講內(nèi)容是很有參考價值的。）演講者認為，現(xiàn)在的數(shù)學比人類歷史上以往任何時候都更加重要，但是，目前的數(shù)學教育基本上沒有人感到滿意。學生覺得學習沒有興趣，困難重重，且所學的知識與實際無關(guān)；而那些運用數(shù)學的人們又覺得他們所學的知識遠遠不夠；教師們也為此感到很沮喪。這就是當今數(shù)學教育的現(xiàn)實?？梢哉f數(shù)學教育正面臨危機。一方面，我們的世界比以前更加趨于數(shù)學化。另一方面，我們逐漸喪失對數(shù)學教育的興趣。面對數(shù)學教育的危機，ConradWolfram認為需要進行一場以計算機作為數(shù)學教育工具的改革。他認為我們正由“知識經(jīng)濟時代”邁入“計算機知識經(jīng)濟時代”。當今現(xiàn)實世界的數(shù)學離不開計算機，事實上，當前各行各業(yè)都可以運用數(shù)學進行模擬，數(shù)學的運用非常廣泛。高端的數(shù)學知識對于每個人運用現(xiàn)代知識來說都不可或缺，而計算機現(xiàn)在又是如此普及，恰當使用計算機應(yīng)該是使數(shù)學教育變得有效的一劑良方。他還認為這是一項刻不容緩的改革。首先這樣做的國家一定會鶴立雞群。其實，我們從2001年啟動的基礎(chǔ)數(shù)學教育改革注意到了信息技術(shù)的作用。從２００１年啟動基礎(chǔ)教育的數(shù)學課程改革至今已經(jīng)有12個年頭了。信息技術(shù)用于數(shù)學課程一直是新一輪課改的一個基本理念，課程標準（2011年版）又重申了這一點：信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及教學方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效。要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去。2011版提出信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及教學方式產(chǎn)生了很大的影響。由于信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，信息技術(shù)已不限于計算器和計算機，例如當前網(wǎng)絡(luò)和手持技術(shù)對教育的影響也是不可低估的。同時這種影響還包括數(shù)學教育的價值、目標以及教學方式，也不僅限于數(shù)學學習內(nèi)容和學習方式，這是以前沒有提到的。另外，特別值得注意的是突出應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，注重實效。這是針對當前一些地方濫用信息技術(shù)的偏向而說的。運用信息技術(shù)不僅要改變學生的學習方式，而是有效地改變教與學的方式。這樣的表述比以前更全面了。從2001年至今，國家為教育信息化投入了大量的資金，對教師進行了信息技術(shù)培訓(xùn)，信息技術(shù)與學科課程整合的提出也已經(jīng)10多年了。但是，除了學校的硬件設(shè)施有了明顯的改善和教師的教育技術(shù)技能有了明顯的提高之外，對數(shù)學學科教學本身的影響并不大。有時技術(shù)甚至在幫倒忙。信息技術(shù)與數(shù)學學科整合陷入了尷尬。從目前的教學實際看，盡管許多學校的硬件設(shè)施先進，但有兩個方面的問題亟待解決：一是人們對于信息技術(shù)對數(shù)學教育的影響認識不足，但該用技術(shù)時不用，沒有發(fā)揮技術(shù)的積極作用；二是技術(shù)使用不合理，濫用信息技術(shù)，效果反而不如傳統(tǒng)的教學方式好。這兩個偏向都直接影響數(shù)學的教學質(zhì)量，因此在信息技術(shù)的支持下的數(shù)學教學設(shè)計和實施成為推進當前數(shù)學教學改革亟待解決且有一定普遍性的課題。PPT—對當前課堂教學中使用信息技術(shù)最多方式的質(zhì)疑信息技術(shù)應(yīng)用要做到合理，有兩點必須注意：一是要明確信息技術(shù)的使用是手段，是為數(shù)學教學服務(wù)的，要從數(shù)學教學的需求出發(fā)考慮使用信息技術(shù)，例如應(yīng)能更好地解決教學中的難點，有利于學生理解和深入的數(shù)學思考；二是充分了解信息技術(shù)的功能，正確把握它用于特定教學中的長處與短處，熟悉它在數(shù)學課堂教學環(huán)境中運用的特點。當前在數(shù)學課堂教學中，ppt是使用信息技術(shù)最多的方式。這種使用方式是否合理恰當值得研究。看下面的例子，這是初中“線段大小的比較”的一節(jié)使用ppt的實錄。第1頁第2頁第3頁第4頁第5頁第6頁第7頁第8頁第9頁第10頁第11頁從以上內(nèi)容看，教師為了這節(jié)課制作幻燈片的確花費了不少時間，但細想一下技術(shù)使用得是否恰當？究竟發(fā)揮了信息技術(shù)的什么優(yōu)勢？有利于克服教學難點了嗎？有利于促進學生思考了嗎？教師花費在這上面的時間是否值得？從第一頁到第三頁無非是提高了呈現(xiàn)的速度，意義不大。第4頁到第5頁，兩個同學比身高屬于常識都能說明的問題，沒有必要借助“技術(shù)”加以說明。第6頁比較兩只鉛筆的長，直接拿來兩只鉛筆比比就行了，也沒有必要鏈接動畫課件模擬“度量法”與“疊合法”，這里同樣是小題大做。第7頁比較兩條線段的大小，也沒有必要利用動畫課件模擬幾種不同情況。第8、9頁的兩個例題，還是現(xiàn)場邊講、邊板書的效果好。第10題用動畫體現(xiàn)“兩點之間，線段最短”，不僅沒有必要還容易造成錯覺，認為活動室比教學樓位置要高。第11頁，如果沒有側(cè)面展開說不清楚問題，但如果呈現(xiàn)側(cè)面展開又超出了本節(jié)課的要求。通過以上分析，我們認為這樣的ppt課件沒有發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢，對改進數(shù)學教學提高教學質(zhì)量意義不大，反而耗費了教師大量的時間和精力，得不償失。然而這類ppt課件使用方式在現(xiàn)在的數(shù)學教學中確是大量的。這有理由引起人們的質(zhì)疑：被大力推廣的ppt模式是數(shù)學教學最急需的現(xiàn)代信息技術(shù)嗎？當前的數(shù)學教學最需要什么？能否讓數(shù)學變得有趣一些？例1、線段大小的比較下面是課件“線段大小的比較”課件的第二頁。對照左面的圖問：“線段ＡＭ與ＢＭ比較，哪條線段更長一些？”學生一般會認為ＡＭ比ＢＭ要長。選擇屏幕上的“顯示對象按鈕”，則呈現(xiàn)出右圖，而從右圖明顯看到這兩條線段相等。學生看到這個課件會感到很有趣，認識到有時眼睛會使人產(chǎn)生錯覺，感到依靠直觀研究圖形性質(zhì)的手段的不足。我們還可以發(fā)問：依靠測量的手段行不行呢？有時可以，但測量的結(jié)果有誤差怎么辦？除了疊合和測量之數(shù)學上有什么辦法呢？這就為下面的推理論證做了鋪墊。例2、自行車中的數(shù)學這是我在一所學校課外活動講座講演稿的部分自行車作為日常生活中的代步工具，太平常了。這中間有什么數(shù)學呢？看下面的課件，這里有幾個圓？自行車的運動有什么特點？車輪邊緣上有一盞燈，夜晚當自行車騎行在馬路上，這盞燈畫出一條什么曲線？為什么自行車的車輪是圓形的？有沒有車輪不是圓形的自行車？為什么日常生活中許多加蓋的盛具，如鍋、杯、壺、缸、桶之類，都是圓口圓蓋的形狀？這除了容易加工制造以外，主要還是應(yīng)用圓是等寬曲線的特性。圓形的蓋子，只要它不變形，從任何方向都不會掉進盛具里去的。說到這里，你可能又要問：難道自行車的車輪非是圓形的嗎？請看右面這輛新奇的自行車，它的車輪就不是圓形的。這樣車輪的曲線具有和圓一樣的性質(zhì)：即等寬性質(zhì)。再看萊洛三角形的等寬性質(zhì)。（演示課件）少年數(shù)學實驗一書中有對等寬曲線的敘述，以及怎樣在計算機上畫出等寬曲線。鉆頭鉆下去一般的鉆孔是圓形的，那有沒有這樣的鉆頭，鉆下去得到基本上是方孔的鉆呢？（演示課件：等寬曲線與方孔鉆）你看，通過自行車可以引出這么多的數(shù)學問題！你還可以繼續(xù)提問題。問題是數(shù)學的心臟，是創(chuàng)新的前提，提不出問題就沒有創(chuàng)新。例3、軸對稱的教學下面是我前些年在北大附中初中選修課的一個教學案例片段世上能給人以完美享受,能激發(fā)起人興趣有許多事物,其原因在于它們耐人尋味,值得回味，或有聽頭,或有看頭,或有想頭.而數(shù)學就屬于這一類。下面這張照片挺美吧,這里有什么想頭呢？數(shù)學難道還與繪畫攝影有關(guān)系嗎？聰明的同學很快能從這幅畫面聯(lián)想到幾何學中的對稱,對稱給我們帶來了美！你可能還見過臺球比賽吧，那么猜猜看下面的臺球擊出后將落入哪個框?在選修課上你可以通過鼠標選擇擊球按鈕觀察擊球的動畫過程驗證你的猜想。如果要想讓臺球撞擊臺球桌的兩邊后落入中間下面的框,又該怎樣設(shè)計擊球的方向?設(shè)計好了再通過計算機上的實驗驗證你的設(shè)計,這不是很好玩嗎?告訴你,其實這里也需要用到對稱的知識。再考你一個簡單的數(shù)學題目吧:已知三角形ABC,能否找到它的內(nèi)接三角形（這個三角形的頂點分別在三角形ABC的三邊上）使它的周長最短？你不妨與你的家長一起討論討論，他們上學的時候都學過平面幾何,或許能幫上你的忙。給你一個重要的提示：這里還需要對稱的知識！你看,一個攝影,一個臺球，一個求最小值的實際問題，看起來彼此之間似乎沒有什么關(guān)系,但背后卻都與數(shù)學中的對稱有不解之緣!那么什么是對稱？對稱圖形有什么性質(zhì)？如何在計算機上做出對稱的動畫效果？……，這就叫做問題有想頭！通過上面我們之間的交流，你是否密切了一些與數(shù)學的感情呢了？原來數(shù)學并不總是枯燥,總是一臉嚴肅，數(shù)學真是有趣，真是有用！有些人可以不喜歡數(shù)學，但是任何人的生活都離不開數(shù)學。例4、多邊形對角線的條數(shù)。不少學生覺得幾何難學，其實如果處理得當，幾何是很有趣的?？梢韵葟目此坪唵蔚膯栴}入手：一個多邊形有幾條對角線？讓學生畫圖觀察，例如從四邊形入手，數(shù)數(shù)對角線有幾條，然后考慮五邊形、六邊形等等，進而思考多邊形對角線的條數(shù)與多邊形有什么關(guān)系。有了計算機可以演示多邊形邊數(shù)增大的情況，學生驚訝地看著下面的圖這時對角線條數(shù)太多以至于數(shù)不清楚了，怎么辦？這就需要思考：對角線是怎么生成的？通過多邊形的頂點可以連多少條直線？如果把每一個頂點設(shè)想成一個人，每兩點之間的連線看成他們之間的一次握手，能否通過計算握手的次數(shù)促成問題的解決？……。這樣學生自然體驗到了推理論證的作用?？戳松厦娴睦?，你可能會問以上例子更多試用在課外興趣小組的，解題教學也能引起學生的興趣嗎？能否減輕教師的勞動強度、提高教學效率，改善教學效果？讓我們從下面的幾個實例談起例5在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE交于點F，且AF=BC，求∠BAC.例6、已知四邊形ABCD，AB=CD，E、F分別是BC和AD的中點，直線EF與BA和CD分別相交于G、H，試問∠BGE和∠CHE有怎樣的關(guān)系？例7、現(xiàn)場畫正五邊形、正12邊形（圖略）再看兩個例子例8、計算：，，，…，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？（現(xiàn)場演示）例9、計算：，，…，你能作出怎從以上兩個例子可以看出當下，數(shù)學教學最需要的是能快速處理圖形并滿足幾何教學諸如測量、動畫、圖形標注、證明等需求的數(shù)學教育技術(shù)。這兩個題目都需要通過一系列的計算，通過歸納作出猜想。借助筆算太慢，計算器不能完成分數(shù)的計算，利用ppt和幾何畫板同樣不能滿足上述要求，但借助超級畫板可以輕松完成上述一系列計算。（見上面兩個圖）可見，當下數(shù)學教學最需要的這類滿足對數(shù)的（包括符號）運算和對圖形（包括函數(shù)圖象）快速處理的技術(shù)，即數(shù)學教育技術(shù)。借助信息技術(shù)不但提供了數(shù)學教學和學習急需的工具，還提供了大量的現(xiàn)成的課件構(gòu)成的課件庫。例如：表現(xiàn)對稱的萬花筒和中心對稱和中心對稱圖形。以上的案例說明，有了智能性的工具，又有了現(xiàn)成的課件庫，可以極大減輕了教師的重復(fù)性勞動，同時為教師改進教學和學生的學習提供了有效的技術(shù)支持。用于“圖形和幾何”的教學案例關(guān)于推理證明能力的培養(yǎng)關(guān)于推理能力，課標2011版有如下的表述：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫徹整個的數(shù)學活動中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。”對于推理能力的培養(yǎng)要有一個全盤的規(guī)劃，特別要注意學生從小學升入初中階段圖形與幾何的教學設(shè)計。在小學（即第一、二學段），學生對于圖形的認識基本上是基于感性的，研究方法則依賴于觀察和動手實驗，進入初中（第三學段）對圖形的研究上升到一個新的階段，明顯地增加了抽象和推理，再不能滿足于“看一看”、“量一量”、“折一折”和“拼圖”了。在這個階段有許多事情要做，例如讓學生認識到實驗和直觀的不足以至于認可推理論證的必要性，循序漸進地進行推理論證能力的培養(yǎng)。信息技術(shù)在七年級“圖形與幾何”的入門教學中是可以發(fā)揮一些作用的。關(guān)于合情推理與演繹推理推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)展結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。七年級的教學中要有意識地關(guān)注演繹推理能力的培養(yǎng)，但在實際教學中，一些教師對此關(guān)注的不夠，沒有將兩者結(jié)合起來及時引入演繹推理。例如在三角形內(nèi)角和定理的教學中，一些課堂還用較多的時間重復(fù)小學已經(jīng)用過的測量、剪拼的方法去發(fā)現(xiàn)學生早已了解的三角形內(nèi)角和的事實；有的教師在講過三角形內(nèi)角和定理之后，還用較多的時間讓學生通過測量發(fā)現(xiàn)四邊形、五邊形的內(nèi)角和，進一步歸納出多邊形內(nèi)角和公式。其實，歸納出的結(jié)果只能作為猜想。教學中應(yīng)該適時指出演繹推理的價值。下面的課件可以說明演繹推理的作用。新修訂的教材更加注重體現(xiàn)數(shù)學思想的作用，這里以數(shù)學推理最為突出。例如八年級三角形以章的前言中有如下的一段話：“在小學我們通過測量得知三角形的內(nèi)角和等180，但測量常常有誤差，三角形有無數(shù)多個，要說明任意一個三角形都符合這一規(guī)律，就不能只靠測量，而必須通過證明?！痹谌热切我徽碌那把灾袑懙溃骸吧弦徽挛覀兺ㄟ^推理論證得到了三角形內(nèi)角和定理等重要結(jié)論。本章中，推理論證將發(fā)揮更大的作用?！比绾螌?shù)學推理的思想滲透到教學中值得我們深入研究，例如如何讓學生感到推理的必要性，合情推理與演繹推理如何有機地配合。讓我們以三角形內(nèi)角和定理這個熟知定理的教學為例對此進行說明。為什么需要證明？課本說“在小學我們通過測量得知三角形的內(nèi)角和等180”，但測量常常有誤差，所以需要證明。其實，這樣說還不足以讓學生充分信服證明的必要，也沒有把合情推理與演繹推理的關(guān)系說清楚。實際上，在小學我們還通過拼圖的手段探究過三角形內(nèi)角和等于180，拼圖也就是實驗，在小學學生通過實驗觀察已經(jīng)對這一規(guī)律深信不疑。現(xiàn)在要改變學生的思維定勢，就需要設(shè)計恰當?shù)膯栴}，以理服人。我們進行了如下的設(shè)計“通過度量或剪拼的方法可以幫助我們發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于180這一事實，但無論測量還是剪拼，我們都是對某一個具體的三角形進行實驗，而不能對所有的三角形一一進行實驗，因此嚴格說來這個一般性的結(jié)論還只能說停留在猜想的階段。況且測量往往有可能產(chǎn)生誤差，得到的結(jié)果不一定恰好等于180；而通過剪拼觀察得到的結(jié)果看起來似乎是一個平角，但我們的觀察不一定準確到分毫不差，較起真來，這樣得到的結(jié)論難以讓人充分信服。因此還需要通過邏輯的辦法進行證明，即由我們已知確信無疑的數(shù)學事實，借助推理的手段推導(dǎo)出過實驗猜想的結(jié)論的真實性?！笨聪旅娴膶嶒灒ㄓ覉D所示），“把∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個角合起來形成一個平角，……”這里“三個角合起來形成一個平角”是觀察的結(jié)果，可是∠B和∠C的另外一條邊是否真的在一條直線上呢？這是問題的關(guān)鍵，需要證明。我們可以以在平行線一章已經(jīng)學過的定理和基本數(shù)學事實為依據(jù)對此進行證明：以A為頂點AB為一邊作∠DAB等于∠B，以A為頂點AC為一邊作∠CAE等于∠C，（這就相當于把∠B和∠C分別拼在∠A的左右）則AD∥BC，AE∥BC。（內(nèi)錯角相等的兩條直線平行），有定理保證又因為過直線外一點只能引一條直線與已知直線平行，所以直線AD與AE重合（∠B和∠C的另外一條邊是否真的在一條直線上，基本數(shù)學事實保證）所以∠DAE為平角，（定義保證）因此∠DAB+∠BAC+∠CAE=180，即在△ABC中，∠B+∠A+∠C=180（等量代替保證）這樣一來，我們的說理的鏈條，環(huán)環(huán)相扣，言必有據(jù)，滴水不漏，使得人不得不信服，展現(xiàn)了邏輯推理的力量。例6、已知四邊形ABCD，AB=CD，E、F分別是BC和AD的中點，直線EF與BA和CD分別相交于G、H，試問∠BGE和∠CHE有怎樣的關(guān)系？這個圖形通過鼠標拖動，盡管圖形發(fā)生變化，但題目的已知條件保持不變。在拖動中還能觀察猜想出∠BGE和∠CHE有相等的關(guān)系。通過軟件的測量功能可以驗證這個猜想是正確的（現(xiàn)場演示）。剩下的就是給出嚴格的證明了。借助軟件的機器證明功能也可以幫助我們分析，并給出證明過程。（現(xiàn)場演示）關(guān)于幾何直觀幾何直觀就是依托利用圖形進行數(shù)學思考和想象。在圖形與幾何的教學中，一個值得注意的問題是幾何直觀能力的培養(yǎng)，推理能力與對圖形的洞察力結(jié)合在一起才能有效地解決問題。許多問題在證明之前依靠的是對圖形敏銳的觀察，先是通過觀察看出結(jié)果，繼而提出猜想并加以論證。因此對于初中學生要從正確的畫圖，識別圖形做起，從簡單圖形到復(fù)雜圖形，逐步培養(yǎng)他們觀察出隱藏在圖形中相等的線段和角、全等的三角形、平行與垂直關(guān)系等等。在復(fù)雜的圖形中能夠摘出需要關(guān)注的部分，又善于把簡單的圖形符合成復(fù)雜的圖形；善于用動態(tài)的眼光分析圖形，找出特殊與一般的關(guān)系。在教學中要充分利用直觀的教學手段。以下看兩個例子。例在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE交于點F，且AF=BC，求∠BAC.這里首先需要畫一個盡量準確的圖形，一開始在黑板上或紙上可能畫出下面的左圖。這里AF=BC的條件看來不容易滿足。而在計算機上可以利用動態(tài)測量功能通過鼠標方便地對圖形進行調(diào)整，得到右圖（現(xiàn)場演示）借助較為準確的圖形可以猜測要求的角大概是45度，不太可能是30度或60度?，F(xiàn)在要求學生進一步觀察隱藏在圖形中的性質(zhì)，在圖中盡可能把已知條件和觀察到的相等的角、線段、全等三角形標識出來。然后在適當時機教師出示下面的圖形。在得到△BCE≌△AEF之后，離開要求的∠BAC只有一步之遙了，只需要證明△ABE是直角等腰三角形就行了，而由全等容易得到AE=BE。這樣此題的解題思路明確了，剩下的是用綜合法寫出證明。然而，到此問題并沒有完全解決，實際上符合題目條件的圖形還可能是另外一種情況，這是學生容易忽略的。在計算機上拖動鼠標可以得到右上面的圖形。例正方形ABCD的邊長為1，中心為E，以E為頂點再作邊長為1的正方形EFGH，探求這兩個正方形重疊部分的面積與原正方形面積的關(guān)系。這個結(jié)果可以推廣到正六邊形嗎？可以推廣到正三角形嗎？在黑板上或紙上只能畫出靜止的圖形，而通過在計算機上畫出的動圖可以直觀地看出結(jié)果，通過鼠標拖動從特殊到一般，得到更一般的情況或給出反例。（現(xiàn)場演示）。上面幾個圖是在超級畫板畫圖的幾個界面：左圖中的點F、中圖中的點H、右圖中的點E都可以通過鼠標拖動，由此可以啟迪證明或舉出反例的思路。這些直觀的教學手段對于圖形與幾何的教學是行之有效的，但是現(xiàn)在并沒有引起應(yīng)有的重視。用于函數(shù)教學舉例講三個問題1、變量與函數(shù)概念的教學——關(guān)于形象與抽象函數(shù)的概念看不見模不著，抽象的函數(shù)概念對于初中相當多的同學是難于理解的。函數(shù)概念最本質(zhì)的是什么？是表達式，還是圖像？都不是，最本質(zhì)的是“變化與對應(yīng)”。但課本與課堂上傳遞給學生的信息卻是靜止的，是間接的語言或文字的表述。由于學生不能直接看到“變化與對應(yīng)”，因此往往把函數(shù)的表示與函數(shù)概念混在一起。這說明我們的教學缺少形象直觀以及在此基礎(chǔ)上的便于學生接受的概念抽象。借助信息技術(shù)可以改變這一狀況。看下面的例子：汽車的行駛、固定周長矩形的面積例：汽車以每小時60千米的速度勻速行駛，行駛路程為s千米，行駛時間為t小時，考察s與t的關(guān)系。這是課本的例題。課本要求學生列表、列表達式體會這中間的變量與函數(shù)。但列表只能得到少許幾個行駛時間與行駛路程之間的對應(yīng)關(guān)系，至于通過表達式體會變量與對應(yīng)更是間接的。借助于動態(tài)的課件，可以更直接看到變量是通過取不同的數(shù)值體現(xiàn)的，而函數(shù)概念的本質(zhì)——變化與對應(yīng)直接呈現(xiàn)在學生眼前。（現(xiàn)場演示）這是第一屏，通過鼠標拖動點A或選擇“動畫”按鈕，都可以看到紅色的小車的運動。打開顯示按鈕，則呈現(xiàn)第二屏（下圖所示）的界面。在這里可以直接看到運動的“小車”在每一個確定的時刻都對應(yīng)唯一確定的路程。例用１０米長的繩子圍成一個長方形，改變長方形的邊長，觀察長方形面積怎樣變化？下面的課件中，長方形的邊長可以通過鼠標調(diào)整，學生則可以直接看到邊長引起的長方形面積的變化（左圖）。根據(jù)教學需要還可以方便地轉(zhuǎn)換到下一個界面（右圖）2、函數(shù)圖像的教學——關(guān)于電腦與人腦當前函數(shù)圖像的教學一般是不用信息技術(shù)，采用列表、描點、連線的方法。在二次函數(shù)圖像的教學中我們一再強調(diào)用“光滑”的曲線連接。另外一種教學方式就是直接用電腦繪制函數(shù)圖像。這就產(chǎn)生了一個問題：在函數(shù)圖像的教學中采用哪種方式好？用電腦直接呈現(xiàn)函數(shù)圖像，倒是快捷，但學生看不到函數(shù)圖像的生成過程，知識是計算機強加給他們的。在初學函數(shù)圖像時，我們認為用電腦直接呈現(xiàn)函數(shù)圖像的做法是不可取的，電腦畫圖不能取代學生動手畫圖。（看下面一個利用圖形計算器的案例）用列表、描點、連線的方式手工畫圖，倒是讓學生經(jīng)歷了畫函數(shù)圖像的過程，但學生會問：為什么函數(shù)圖像總是“光滑”的？反比例函數(shù)圖像怎么中間“斷開”呢？當然，我們可以解釋如果描的點多一些，點更密集一些，就能看到二次函數(shù)的圖像是光滑的了，克憑借手工畫圖點又不可能取很多。光憑口頭說明，效果有限，所以我們認為應(yīng)該把兩者結(jié)合起來，先按傳統(tǒng)的方式畫函數(shù)圖像，這時描點的只可能是幾個，然后在超級畫板上利用“點畫圖”軌跡跟蹤或通過比例尺增加描點個數(shù)的方式（例如從幾個增到２００個）呈現(xiàn)函數(shù)圖像。（現(xiàn)場演示，此處略掉）這樣一方面通過手工畫圖，讓學生體驗函數(shù)圖像生成的過程，另一方面又通過電腦的“特技”克服了手工畫圖的局限，更好地展現(xiàn)了知識的形成過程。順便指出，不僅函數(shù)圖像的教學要處理好人腦和電腦的關(guān)系，在所有的數(shù)學教學中，這都是一個值得關(guān)注的問題。用電腦不是代替人腦，而是促進人腦更深入的思考。3、函數(shù)單調(diào)性的教學——關(guān)于直觀與邏輯函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，但受教學手段的限制，當前的教學存在嚴重的缺陷。例如，在講解函數(shù)的單調(diào)性時，一般采取的方法是先在黑板上畫出一個函數(shù)圖像（例如），在對照圖像指出：當時，的圖像在y軸右側(cè)，向右上方無限伸展；在y軸左側(cè)，向左上方無限伸展；因此，當x>0時，y隨著自變量x的增大而增大，當x<0時，y隨著自變量x的增大而減小。然后教師總結(jié)：一般地，函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)存在下面的關(guān)系圖像特征函數(shù)的增減性由左向右呈上升狀態(tài)y隨著x的增大而增大由左向右呈下降狀態(tài)y隨著x的增大而減小以上的教學講沒講道理呢？大概沒有誰會說這樣的教學是不講道理的?？缮钜幌?，我們僅畫出了圖像的有限的一部分，怎么能斷定他是向右（左）上方無限伸展的呢？圖像的走向怎么與函數(shù)的增減性聯(lián)系在一起的？從靜態(tài)的圖像中并沒有看到誰變化了，“數(shù)形結(jié)合”并不明顯！所以許多學生只是記憶教師總結(jié)的結(jié)論。怎么更好地體現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢？怎么體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”？借助超級畫板很容易實現(xiàn)這一點（看現(xiàn)場演示）。下面是二次函數(shù)單調(diào)性課件的一個界面用鼠標選擇點x拖動，可以看到點p和點y隨之運動，同時標識x與y的數(shù)值也隨之變化。于是變量y隨自變量x的變化、“數(shù)形結(jié)合”生動直觀地展現(xiàn)在學生眼前了。還可以通過變量尺改變參數(shù)a的值，可見一個動圖課件傳遞的信息遠勝過不少語言的表述。但是，為說明“當x>0時，y隨著自變量x的增大而增大”，上述直觀的呈現(xiàn)還不夠，原因是我們畢竟還只看到有限范圍的圖像，所以還需要補充嚴謹?shù)倪壿嬜C明。為此，取自變量取大于0的任意兩個值、，設(shè)，這樣當自變量先取，后取，顯然自變量由小變大