專(zhuān)題28 函數(shù)的伸縮變換問(wèn)題（解析版）

專(zhuān)題28函數(shù)的伸縮變換問(wèn)題一、單選題1．（2021·天津一中高三月考）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，再根據(jù)函數(shù)解析式以及單調(diào)性求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，最后解不等式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，選B.【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.2．（2021·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高三期中）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意首先得得到函數(shù)的具體表達(dá)式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表達(dá)式，在根據(jù)函數(shù)思維求出f（x）最小值解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以,因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，所以，所以，，又因?yàn)?，恒成立，故，解不等式可得?【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的解析求法，解本題關(guān)鍵就是要能合理的運(yùn)用已知條件將變量的范圍變化到已知表達(dá)式范圍中，然后根據(jù)函數(shù)的最值思維即可得出結(jié)論.3．（【百?gòu)?qiáng)校】2016屆山西省榆林市高三二模理科數(shù)學(xué)試卷（帶解析））定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，又，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，從而，選C.考點(diǎn)：分段函數(shù)性質(zhì)，不等式恒成立【名師點(diǎn)睛】分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值.4．（2021·湖北·高三月考）已知函數(shù)，其中，給出以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論：①②當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)棰郛?dāng)時(shí)方程恰有四個(gè)實(shí)根④當(dāng)時(shí)，若恒成立，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題可畫(huà)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，是把向右平移2個(gè)單位變成后，再把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，如圖：∵，故①正確；由題知函數(shù)在上函數(shù)值域?yàn)?，在上函?shù)值域?yàn)?，在上函?shù)值域?yàn)椋谏虾瘮?shù)值域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?，故②正確；當(dāng)時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象交于點(diǎn)，結(jié)合圖象，即，故④正確,故選：C5．（2021·浙江·寧波市北侖中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，若函數(shù)有9個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出和的圖像，函數(shù)有9個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于和圖像有9個(gè)交點(diǎn).即可得到關(guān)于的不等式，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則恒過(guò)定點(diǎn)，所以畫(huà)出，的圖像.由題意知，有9個(gè)零點(diǎn)，則，圖像有9個(gè)交點(diǎn).當(dāng)在上時(shí)，兩圖像有8個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)在上時(shí)，兩圖像有10個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.若，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就等價(jià)于交點(diǎn)的個(gè)數(shù).畫(huà)圖像時(shí)，先畫(huà)出的圖像，再將軸下方的圖像向上翻折即可.6．（2021·海南·一模）已知函數(shù).若，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)之和為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，，求出分段函數(shù)的解析式，得出函數(shù)的周期性為2，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)，即可求出零點(diǎn)之和.【詳解】因?yàn)?，，所以解得，，所以所以在上是周期為的函?shù)，在上的所有零點(diǎn)為，所以在上的所有零點(diǎn)為的零點(diǎn)且，所以且，解得（且），所以函數(shù)在上的零點(diǎn)之和為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，還涉及分段函數(shù)的解析式、周期性等，同時(shí)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和理解能力.7．（2021·四川·閬中中學(xué)一模（理））已知函數(shù)定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，首先求出函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，再根?jù)條件，判斷當(dāng)時(shí)，，并求解時(shí)的解析式，和時(shí)對(duì)應(yīng)的兩根中較小根，即可得到的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可求得，且在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，根據(jù)，可知當(dāng)，，當(dāng)，，且在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，令，解得或，所以對(duì)任意，都恒成立，的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題以分段函數(shù)的形式考查了函數(shù)的值域，函數(shù)解析式的求解，以及利用恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，屬于較難題目，解決該題的關(guān)鍵是利用條件可分析函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合比較好分析.8．（2021·山西·大同一中高二月考（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由已知可分析出函數(shù)是偶函數(shù)，則其零點(diǎn)必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故在上所有的零點(diǎn)的和為，則函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和，求出上所有零點(diǎn)，可得答案．【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，．又函數(shù)，，函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的．函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和為，函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和．由時(shí)，，即函數(shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的值域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故在上恒成立，在上無(wú)零點(diǎn)，同理在上無(wú)零點(diǎn)，依此類(lèi)推，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，綜上函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為8故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中在尋找上零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，難度較大，故可以用歸納猜想的方法進(jìn)行處理．9．（2021·湖北·恩施土家族苗族自治州清江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f(x)-kx=k有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k范圍為（）A．[4,5) B．(4,5] C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)解析式，方程化為，方程解轉(zhuǎn)化為函數(shù)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖像，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，而，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如下圖所示，代入，解得，代入，解得，實(shí)數(shù)取值范圍為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的解析式以及圖像，并利用數(shù)形結(jié)合思想求方程的解，屬于較難題.10．（2021·上海市七寶中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）定義在區(qū)間上的函數(shù)滿(mǎn)足：①；②當(dāng)時(shí)，，則集合中的最小元素是A．13 B．21 C．45 D．51【答案】C【分析】由題意可知函數(shù)為分段函數(shù)，根據(jù)時(shí)，，可求出其在，，上的解析式，即可知道其在上的解析式為，，即可求出，由，即可知道的解得最小值點(diǎn)在區(qū)間，即，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，所以，又因?yàn)?所以，.同理可得當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，所?因?yàn)?所以的解的最小值點(diǎn)在區(qū)間，即..故選C.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值函數(shù)，屬于難題.絕對(duì)值函數(shù)的根本就是分段函數(shù)，而要解決分段函數(shù)，只需分段找到解析式再求解即可，解決本題的關(guān)鍵在于畫(huà)出函數(shù)前幾段的圖像，根據(jù)圖像找到其規(guī)律.11．（2021·安徽蚌埠·高一期中）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖像，將的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決，畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像確定的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.令，易知，所以，將函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，與直線有個(gè)交點(diǎn)來(lái)求解.畫(huà)出的圖像如下圖所示，由圖可知，而，故.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12．（2021·北京市十一學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)=，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．（－，1） B．（－，1]C．（0，1） D．[0，+）【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)，畫(huà)出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)和的圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，來(lái)求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，，故.以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，.由此畫(huà)出函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知的取值范圍是時(shí)，和的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).即方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)解析式的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.13．（2021·江西宜春·高考模擬（文））已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題首先可以對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行分析，根據(jù)時(shí)函數(shù)的解析式推導(dǎo)出、、等區(qū)間的函數(shù)解析式并確定每一段區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的值域，然后將函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有解，通過(guò)求解以及偶函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】函數(shù)有零點(diǎn)即有解，即，由題意可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的取值范圍為，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的取值范圍為，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的取值范圍為，所以當(dāng)時(shí)，有兩解，即當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，也有兩解，所以函數(shù)共有四個(gè)零點(diǎn)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查分段函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及偶函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查通過(guò)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的值域的求解，體現(xiàn)了綜合性，是難題．二、多選題14．（2021·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高二月考）對(duì)于函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．任取，都有恒成立B．C．對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】作出的大致圖象，然后逐項(xiàng)分析：A．根據(jù)在處的取值進(jìn)行分析；B．根據(jù)取值特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算并判斷；C．根據(jù)圖象對(duì)應(yīng)的最值點(diǎn)進(jìn)行分析；D．結(jié)合圖象并根據(jù)的取值進(jìn)行判斷.【詳解】作出的大致圖象如下圖所示：A．取，所以，所以，故錯(cuò)誤；B．因?yàn)?，所以，故正確；C．顯然不符合條件，由圖象可知：的最大值點(diǎn)為，，所以若不等式恒成立，只需，即，又因?yàn)?，所以在上遞減，所以，所以，故正確；D．令，當(dāng)時(shí)，，，又，所以，所以，所以在上有零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，且時(shí)，，所以，所以在上有零點(diǎn)，所以至少有三個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分段函數(shù)的分析以及作出函數(shù)圖象，通過(guò)圖象可分析出的最值以及的取值特點(diǎn)，從而可計(jì)算出函數(shù)值的和以及解決不等式恒成立、零點(diǎn)問(wèn)題.15．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下面結(jié)論正確的是（）A．任取，都有恒成立B．對(duì)于一切，都有C．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D．對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ABC【分析】先在坐標(biāo)軸中畫(huà)出的圖象,根據(jù)圖象可判斷A選項(xiàng),結(jié)合解析式可判斷B選項(xiàng),再畫(huà)出與的圖象,數(shù)形結(jié)合可判斷C,D選項(xiàng).【詳解】在坐標(biāo)軸上作出函數(shù)的圖象如下圖所示:由圖象可知的最大值為1,最小值為,故選項(xiàng)A正確;由題可知,所以即,故選項(xiàng)B正確;作出的圖象，因?yàn)?，由圖象可知與有3個(gè)交點(diǎn),故選項(xiàng)C正確;結(jié)合圖象可知,若對(duì)任意,不等式恒成立,即時(shí),不等式恒成立,又,所以,即在時(shí)恒成立,設(shè),則,故時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以時(shí),,又,所以,即,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的周期性及數(shù)形結(jié)合法在處理函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用,有一定難度.16．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)其中，下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的為（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域C．當(dāng)且時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立【答案】AC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，直接代入計(jì)算即可；對(duì)于B選項(xiàng)，由題得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得當(dāng)時(shí)，，故的值域；對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)得當(dāng)且時(shí)，進(jìn)而得解析式；對(duì)于D選項(xiàng)，取特殊值即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于當(dāng)，函數(shù)的值域?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，由于，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)得當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)且時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，，不滿(mǎn)足式，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析能力與運(yùn)算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)，函數(shù)的值域?yàn)?，進(jìn)而利用函數(shù)平移與伸縮變換即可求解.17．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值是（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由分段函數(shù)解析式判斷函數(shù)性質(zhì)并畫(huà)出函數(shù)圖象，討論參數(shù)判斷不同a對(duì)應(yīng)值域的的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象判斷解的情況，即可確定有個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍.【詳解】在上單調(diào)遞增且值域?yàn)?；在上單調(diào)遞減且值域?yàn)椋辉谏蠁握{(diào)遞增且值域?yàn)?；故的圖象如下：由題設(shè)，有個(gè)零點(diǎn)，即有7個(gè)不同解，當(dāng)時(shí)有，即，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有，即，∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有或或，∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有7個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有或或，∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有6個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有或，∴有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有5個(gè)零點(diǎn)；綜上，要使有7個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，()故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由解析式確定分段函數(shù)的性質(zhì)并畫(huà)出草圖，進(jìn)而討論參數(shù)確定對(duì)應(yīng)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖象判斷零點(diǎn)情況.18．（2021·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．關(guān)于x的方程有個(gè)不同的解B．若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為C．對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為1【答案】BC【分析】由題作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；依次類(lèi)推，作出函數(shù)的圖像：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，與不符合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即與有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，直線的斜率應(yīng)該在直線m，n之間，又，，，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，由圖知函數(shù)的每一個(gè)上頂點(diǎn)都在曲線上，故恒成立，故C正確；對(duì)于D，取，，此時(shí)函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、雙空題19．（2021·福建安溪·高二期末）已知函數(shù)，則________，若方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】8【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，直接代入即可；（2）求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式和圖像，利用與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷即可【詳解】解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，作出函數(shù)的圖像如圖所示，設(shè)直線，當(dāng)分別過(guò)時(shí)，則，得，，得，由圖像可知要使方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則在之間的區(qū)域，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：8，【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解此題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題20．（2021·江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）設(shè)函數(shù)，.①的值為_(kāi)______；②若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】1【分析】①根據(jù)分段函數(shù)的解析式，求得的值.②求得的部分解析式，由此畫(huà)出和兩個(gè)函數(shù)圖象，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，確定的取值范圍.【詳解】①.②當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.畫(huà)出和兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示，由，由.由圖可知，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，也即函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是故答案為：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)求函數(shù)值，考查分段函數(shù)解析式的求法，考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.四、填空題21．（2021·寧夏·青銅峽市第一中學(xué)高二月考（理））設(shè)，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】不防令，由題意的圖象是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的，可得．助于的圖象可以得到，之間的關(guān)系，最終將表示成的函數(shù)，再借助于換元法最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．【詳解】解：∵時(shí)，，∴在與上的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，作出圖象如下：不防令，可得，，∴．∴，，，∴，，令，則原式化為：，，其對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，故在遞增，∴，∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象研究函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，以及構(gòu)造函數(shù)求值域的方法，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想以及運(yùn)算能力的考查．22．（2021·四川資陽(yáng)·高三期末（文））已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線為，若，則與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】2或3.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，其與時(shí)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則將直線的方程代入到中，得，由得，，當(dāng)時(shí)，，在定義域內(nèi)，此時(shí)在時(shí)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，綜合有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，不在定義域內(nèi)，此時(shí)在時(shí)，直線與有一個(gè)交點(diǎn)，綜合只有兩個(gè)交點(diǎn)；結(jié)合上述兩種情況，與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2或3.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題，本題考查學(xué)生將交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)，將直線直線代入到中，得到一元二次方程，利用求根公式將根表示出來(lái)，再由范圍對(duì)根滿(mǎn)足題意的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論即可求解.23．（2021·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】先求得當(dāng)時(shí)，的解析表達(dá)式，研究其單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，得到.求得，，得到，利用三角換元思想，求得取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以?dāng)時(shí)，，在[3,4]上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí),∴在上,上,所以在上單調(diào)減，上單調(diào)遞增，,因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，可知.由得，，所以，因?yàn)?，所以設(shè)，，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性，取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是求得后，注意到，的平方和恒為1，想到利用三角換元思想求解，特別要注意，根據(jù)>≥0,縮小角的范圍.24．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是_________.①；②函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮竣邸痉治觥扛鶕?jù)解析式直接計(jì)算即可判斷①，由解析式畫(huà)出函數(shù)在上的圖象可判斷②，③，計(jì)算，結(jié)合圖象即可求值域，判斷④.【詳解】因?yàn)?，所以，，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以畫(huà)出函數(shù)的圖象如下所示，由圖可得函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故③正確；，，故函數(shù)的值域?yàn)?，故④錯(cuò)誤；故答案為：③【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，值域，單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.25．（2021·北京市第五中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足f（x+1）＝2f（x），且當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝2x2﹣2x.若對(duì)任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，則m的取值范圍是_____.【答案】（﹣∞，]；【分析】因?yàn)?，可得，分段求解析式，結(jié)合圖象可得結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋?，，時(shí)，，，，時(shí)，，，，；當(dāng)，時(shí)，由解得或，若對(duì)任意，，都有，則．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬中檔題．26．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】由分段函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求得在的最小值，根據(jù)求出，的最小值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)已知，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，在處取到最小值，當(dāng)時(shí)，在處取到最小值，所以在時(shí)在處取到最小值,又因?yàn)?，可知?dāng)時(shí)，在時(shí)取到最小值，且，則.為使當(dāng)時(shí)，恒成立，需，當(dāng)時(shí)，可整理為，解得；當(dāng)時(shí)，可整理為，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，屬于難題.27．（2021·四川省南充市白塔中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)