1-19屆希望杯數(shù)學(xué)競賽初一整理完整可以出書

初中數(shù)學(xué)競賽資料希望杯初一試題PAGE第185頁共186頁目錄希望杯第一屆（1990年）初中一年級第一試試題 1希望杯第一屆（1990年）初中一年級第二試試題 6希望杯第二屆（1991年）初中一年級第一試試題 12希望杯第二屆（1991年）初中一年級第二試試題 17希望杯第三屆（1992年）初中一年級第一試試題 22希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試試題 26希望杯第四屆（1993年）初中一年級第一試試題 34希望杯第四屆（1993年）初中一年級第二試試題 41希望杯第五屆（1994年）初中一年級第一試試題 47希望杯第五屆（1994年）初中一年級第二試試題 52希望杯第六屆（1995年）初中一年級第一試試題 57希望杯第六屆（1995年）初中一年級第二試試題 62希望杯第七屆（1996年）初中一年級第一試試題 70希望杯第七屆（1996年）初中一年級第二試試題 75希望杯第八屆（1997年）初中一年級第一試試題 81希望杯第八屆（1997年）初中一年級第二試試題 87希望杯第九屆（1998年）初中一年級第一試試題 95希望杯第九屆（1998年）初中一年級第二試試題 102希望杯第十屆（1999年）初中一年級第二試試題 109希望杯第十屆（1999年）初中一年級第一試試題 116希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第一試試題 119希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第二試試題 124希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第一試試題 128希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第二試試題 131希望杯第十三屆（2002年）初中一年級第一試試題 135希望杯第十三屆（2001年）初中一年級第二試試題 138希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第一試試題 142希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第二試試題 145希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第一試試題 149希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第二試試題 153希望杯第十六屆（2005年）初中一年級第一試試題 156希望杯第十六屆（2005年）初中一年級第二試試題 160希望杯第十七屆（2006年）初中一年級第一試試題 164希望杯第十七屆（2006年）初中一年級第二試試題 168希望杯第十八屆（2007年）初中一年級第一試試題 172希望杯第十九屆（2008年）初中一年級第一試試題 176希望杯第十九屆（2008年）初中一年級第二試試題 180希望杯第一屆（1990年）初中一年級第一試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1．如果a，b都代表有理數(shù)，并且a＋b=0，那么 ()A．a(chǎn)，b都是0．B．a(chǎn)，b之一是0．C．a(chǎn)，b互為相反數(shù)．D．a(chǎn)，b互為倒數(shù)．2．下面的說法中正確的是 ()A．單項式與單項式的和是單項式．B．單項式與單項式的和是多項式．C．多項式與多項式的和是多項式．D．整式與整式的和是整式．3．下面說法中不正確的是 ()A.有最小的自然數(shù)．B．沒有最小的正有理數(shù)．C．沒有最大的負整數(shù)．D．沒有最大的非負數(shù)．4．如果a，b代表有理數(shù)，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ()A．a(chǎn)，b同號． B．a(chǎn)，b異號．C．a(chǎn)＞0． D．b＞0．5．大于－π并且不是自然數(shù)的整數(shù)有 ()A．2個． B．3個．C．4個． D．無數(shù)個．6．有四種說法：甲．正數(shù)的平方不一定大于它本身；乙．正數(shù)的立方不一定大于它本身；丙．負數(shù)的平方不一定大于它本身；?。摂?shù)的立方不一定大于它本身．這四種說法中，不正確的說法的個數(shù)是 ()A．0個． B．1個．C．2個． D．3個．7．a(chǎn)代表有理數(shù)，那么，a和－a的大小關(guān)系是 ()A．a(chǎn)大于－a．B．a(chǎn)小于－a．C．a(chǎn)大于－a或a小于－a．D．a(chǎn)不一定大于－a．8．在解方程的過程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊()A．乘以同一個數(shù)．B．乘以同一個整式．C．加上同一個代數(shù)式．D．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%，第三天又較第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結(jié)果是()A．一樣多． B．多了．C．少了． D．多少都可能．10．輪船往返于一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那么，當這條河的水流速度增大時，船往返一次所用的時間將()A．增多． B．減少．C．不變． D．增多、減少都有可能．二、填空題（每題1分，共10分）1.______．2．198919902－198919892=______．3.=________.4.關(guān)于x的方程的解是_________.5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.當x=-時,代數(shù)式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____．7．當a=－0.2，b=0.04時，代數(shù)式的值是______.8．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當鹽水變?yōu)楹}40%時，秤得鹽水的重是______克．9.制造一批零件,按計劃18天可以完成它的.如果工作4天后,工作效率提高了,那么完成這批零件的一半，一共需要______天．10．現(xiàn)在4點5分，再過______分鐘，分針和時針第一次重合．答案與提示一、選擇題1．C2．D3．C4．D5．C6．B7．D8．D9．C10．A提示：1．令a=2，b=－2，滿足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是單項式．兩個單項式x3，x2之和為x3+x2是多項式，排除A．兩個單項式x2，2x2之和為3x2是單項式，排除B．兩個多項式x3+x2與x3－x2之和為2x3是個單項式，排除C，因此選D．3．1是最小的自然數(shù)，A正確．可以找到正所以C“沒有最大的負整數(shù)”的說法不正確．寫出擴大自然數(shù)列，0，1，2，3，…，n，…，易知無最大非負數(shù)，D正確．所以不正確的說法應(yīng)選C．5．在數(shù)軸上容易看出：在－π右邊0的左邊（包括0在內(nèi)）的整數(shù)只有－3，－2，－1，0共4個．選C．6．由12=1，13=1可知甲、乙兩種說法是正確的．由(－1)3=－1，可知丁也是正確的說法．而負數(shù)的平方均為正數(shù)，即負數(shù)的平方一定大于它本身，所以“負數(shù)平方不一定大于它本身”的說法不正確．即丙不正確．在甲、乙、丙、丁四個說法中，只有丙1個說法不正確．所以選B．7．令a=0，馬上可以排除A、B、C，應(yīng)選D．8．對方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù)．所以排除A．我們考察方程x－2=0，易知其根為x=2．若該方程兩邊同乘以一個整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根為x=1及x=2，不與原方程同解，排除B．若在方程x－2=0兩邊加上同一個代數(shù)式去了原方程x=2的根．所以應(yīng)排除C．事實上方程兩邊同時加上一個常數(shù)，新方程與原方程同解，對D，這里所加常數(shù)為1，因此選D．9．設(shè)杯中原有水量為a，依題意可得，第二天杯中水量為a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量為(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C．10．設(shè)兩碼頭之間距離為s，船在靜水中速度為a，水速為v0，則往返一次所用時間為設(shè)河水速度增大后為v，(v＞v0)則往返一次所用時間為由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用時間將增多，選A．二、填空題提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：當a=－0.2，b=0.04時，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60×30%（千克）設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40%的水重x克，即0.001x千克，此時，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4時整，時針與分針針夾角為120°即希望杯第一屆（1990年）初中一年級第二試試題一、選擇題（每題1分，共5分）1．某工廠去年的生產(chǎn)總值比前年增長a%，則前年比去年少的百分數(shù)是 ()A．a(chǎn)%． B．(1+a)%．C. D.2．甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍墨水，從甲杯倒出a毫升到乙杯里,0＜a＜m，攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時 ()A．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少．B．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多．C．甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同．D．甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定．3.已知數(shù)x=100,則()A．x是完全平方數(shù)．B．(x－50)是完全平方數(shù)．C．(x－25)是完全平方數(shù)．D．(x+50)是完全平方數(shù)．4．觀察圖1中的數(shù)軸：用字母a，b，c依次表示點A，B，C對應(yīng)的數(shù),則的大小關(guān)系是()A.;B.<<;C.<<;D.<<.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一組整數(shù)解，這個方程的不同的整數(shù)解共有()A．2組． B．6組．C．12組． D．16組．二、填空題（每題1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．對于任意有理數(shù)x，y，定義一種運算*，規(guī)定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知數(shù)，等式右邊是通常的加、減、乘運算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），則m的數(shù)值是______．3．新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個門，但不知道每把鑰匙是開哪一個門的鑰匙，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉著的20個房間，他最多要試開______次．4．當m=______時，二元二次六項式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解為兩個關(guān)于x，y的二元一次三項式的乘積．5．三個連續(xù)自然數(shù)的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某個自然數(shù)的平方．三、解答題（寫出推理、運算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共15分）1．兩輛汽車從同一地點同時出發(fā)，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶汽油，途中不能用別的油，每桶油可使一輛車前進60公里，兩車都必須返回出發(fā)地點，但是可以不同時返回，兩車相互可借用對方的油．為了使其中一輛車盡可能地遠離出發(fā)地點，另一輛車應(yīng)當在離出發(fā)地點多少公里的地方返回？離出發(fā)地點最遠的那輛車一共行駛了多少公里？2．如圖2，紙上畫了四個大小一樣的圓，圓心分別是A，B，C，D，直線m通過A，B，直線n通過C，D，用S表示一個圓的面積，如果四個圓在紙上蓋住的總面積是5(S－1)，直線m，n之間被圓蓋住的面積是8，陰影部分的面積S1，S2，S3滿足關(guān)系式S3=S1=S2,求S．3.求方程的正整數(shù)解.答案與提示一、選擇題1．D2．C3．C4．C5．D提示：1．設(shè)前年的生產(chǎn)總值是m，則去年的生產(chǎn)總值是前年比去年少這個產(chǎn)值差占去年的應(yīng)選D．2．從甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：再從乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是 ①乙杯中減少的藍墨水的數(shù)量是 ②∵①=②∴選C．∴x－25=(10n+2+5)2可知應(yīng)當選C．4．由所給出的數(shù)軸表示（如圖3）：可以看出∴①＜②＜③，∴選C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以變形為(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整數(shù)，∴2x+3y，x+y也是整數(shù)．由下面的表可以知道共有16個二元一次方程組，每組的解都是整數(shù)，所以有16組整數(shù)組，應(yīng)選D．二、填空題提示：1．原方程可以變形為|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由題設(shè)的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改為x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴題設(shè)的等式即x*y=5x-xy．在這個等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打開所有關(guān)閉著的20個房間，∴最多要試開4．利用“十字相乘法”分解二次三項式的知識，可以判定給出的二元二次六項式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中劃波浪線的三項應(yīng)當這樣分解：3x -52x +3現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作然后根據(jù)-4y2，17y這兩項式，即可斷定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六項式，所以m=5．5．設(shè)三個連續(xù)自然數(shù)是a-1，a，a+1，則它們的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，顯然，這個和被3除時必得余數(shù)2．另一方面，自然數(shù)被3除時，余數(shù)只能是0或1或2，于是它們可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然數(shù)）中的一個，但是它們的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除時，余數(shù)要么是0，要么是1，不能是2，所以三個連續(xù)自然數(shù)平方和不是某個自然數(shù)的平方．三、解答題1．設(shè)兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時即回返，留下返程需的x桶汽油，將多余的(24-2x)桶汽油給乙．讓乙繼續(xù)前行，這時，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依題意，應(yīng)當有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙繼續(xù)前行的路程是這個結(jié)果中的代數(shù)式30(48-4x)表明，當x的值愈小時，代數(shù)式的值愈大，因為x≥8，所以當x=8時，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙車行駛的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由題設(shè)可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，當1＜x≤y≤z時，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四組．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15組解．希望杯第二屆（1991年）初中一年級第一試試題一、選擇題（每題1分，共15分）1．數(shù)1是 ()A．最小整數(shù)． B．最小正數(shù)．C．最小自然數(shù)． D．最小有理數(shù)．2．若a＞b，則 ()A.; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|． D．a(chǎn)2＞b2．3．a(chǎn)為有理數(shù)，則一定成立的關(guān)系式是 ()A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7．4．圖中表示陰影部分面積的代數(shù)式是()A．a(chǎn)d+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．a(chǎn)d+c(b-d)．D．a(chǎn)b-cd．5．以下的運算的結(jié)果中，最大的一個數(shù)是()A．(-13579)+0.2468;B.(-13579)+;C.(-13579)×;D.(-13579)÷6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ()A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692．7.如果四個數(shù)的和的是8,其中三個數(shù)分別是-6,11,12,則笫四個數(shù)是()A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分數(shù)中,大于-且小于-的是()A.-;B.-;C.-;D.-.9.方程甲:(x-4)=3x與方程乙:x-4=4x同解,其根據(jù)是()A.甲方程的兩邊都加上了同一個整式x．B.甲方程的兩邊都乘以x;C.甲方程的兩邊都乘以;D.甲方程的兩邊都乘以.10．如圖:，數(shù)軸上標出了有理數(shù)a，b，c的位置,其中O是原點,則的大小關(guān)系是()A.;B.>>;C.>>;D.>>.11.方程的根是()A．27． B．28． C．29． D．30．12.當x=,y=-2時,代數(shù)式的值是()A．-6． B．-2． C．2． D．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個數(shù)中，最大的數(shù)與絕對值最大的那個數(shù)的乘積是()A．225． B．0.15．C．0.0001． D．1．14.不等式的解集是()A．x＜16． B．x＞16．C．x＜1． D.x>-.15．濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是 ()A.;B.;C.;D..二、填空題（每題1分，共15分）計算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______．計算：-32÷6×=_______.計算：=__________.求值：(-1991)-|3-|-31||=______．計算:=_________.6．n為正整數(shù)，1990n-1991的末四位數(shù)字由千位、百位、十位、個位、依次排列組成的四位數(shù)是8009．則n的最小值等于______．7.計算：=_______.8.計算：[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,,中,最大的那個數(shù)是________.10．不超過(-1.7)2的最大整數(shù)是______．11.解方程12.求值:=_________.13．一個質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7，則這個質(zhì)數(shù)是______．14.一個數(shù)的相反數(shù)的負倒數(shù)是,則這個數(shù)是_______.15．如圖11，a，b，c，d，e，f均為有理數(shù)．圖中各行，各列、兩條對角線上三個數(shù)之和都相等,則=____.答案與提示一、選擇題1．C2．B3．B4．C5．C6．B7．B8．B9．C10．B11．D12．A13．B14．A15．D提示：1．整數(shù)無最小數(shù)，排除A；正數(shù)無最小數(shù)，排除B；有理數(shù)無最小數(shù)，排除D．1是最小自然數(shù)．選C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事實上，a＞b必有-a＜-b．選B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事實上因為7＞0，必有7+a＞0+a=a．選B．4．把圖形補成一個大矩形，則陰影部分面積等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．選C．5．運算結(jié)果對負數(shù)來說絕對值越小其值越大。6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416=6.2832．選B．為32．第四個數(shù)數(shù)=32-(-6+11+12)=15．選B．新方程x-4=4x與原方程同解．選C．13．-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數(shù)是-0.01，絕對值最大的數(shù)是-15，(-0.01)×(-15)=0.15．15．設(shè)混合溶液濃度為x，則m×p%+n×q%=(m+n)x．二、填空題1．(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1．4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019．6．1990n的末四位數(shù)字應(yīng)為1991+8009的末四位數(shù)字．即為0000，即1990n末位至少要4個0，所以n的最小值為4．(-1993)]=-1991．10．(-1.7)2=2.89，不超過2.89的最大整數(shù)為2．，去分母得：4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12．8x-4-10x-1=6x+3-12．8x-10x-6x=3-12+4+1．13．十位數(shù)比個位數(shù)大7的兩位數(shù)有70，81，92，個位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18，29，其中只有29是質(zhì)數(shù)．b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列兩條對角線上三個數(shù)之和等于9．易求得a=4，e=1，c=5，f=0．希望杯第二屆（1991年）初中一年級第二試試題選擇題（每題1分，共10分）1．設(shè)a，b為正整數(shù)（a＞b）．p是a，b的最大公約數(shù)，q是a，b的最小公倍數(shù)．則p，q，a，b的大小關(guān)系是 ()A．p≥q≥a＞b． B．q≥a＞b≥p．C．q≥p≥a＞b． D．p≥a＞b≥q．2．一個分數(shù)的分子與分母都是正整數(shù)，且分子比分母小1,若分子和分母都減去1,則所得分數(shù)為小于的正數(shù),則滿足上述條件的分數(shù)共有()A．5個． B．6個． C．7個． D．8個．3.下列四個等式:=0,ab=0,a2=0,a2+b2=0中，可以斷定a必等于0的式子共有 ()A．3個． B．2個． C．1個． D．0個．4．a(chǎn)為有理數(shù)．下列說法中正確的是()A．(a+1)2的值是正數(shù)．B．a(chǎn)2+1的值是正數(shù)．C．-(a+1)2的值是負數(shù)．D．-a2+1的值小于1．5.如果1<x<2,則代數(shù)式的值是()A．-1． B．1． C．2． D．3．6．a(chǎn)，b，c均為有理數(shù)．在下列甲：若a＞b，則ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，則a＞b．兩個結(jié)論中， ()A．甲、乙都真． B．甲真，乙不真．C．甲不真，乙真． D．甲、乙都不真．7．有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化簡結(jié)果為 ()A．2a+3b-c． B．3b-c．C．b+c． D．c-b．8．①若a=0，b≠0，方程ax=b無解．②若a=0，b≠0，不等式ax＞b無解．③若a≠0,則方程ax=b有唯一解x=;④若a≠0,則不等式ax>b的解為x>.則()A．①、②、③、④都正確． B．①、③正確，②、④不正確．C．①、③不正確，②、④正確． D．①、②、③、④都不正確．9.若abc=1,則的值是()A．1． B．0． C．-1． D．-2．10．有一份選擇題試卷共六道小題．其得分標準是：一道小題答對得8分，答錯得0分，不答得2分．某同學(xué)共得了20分，則他()A．至多答對一道小題．B．至少答對三道小題．C．至少有三道小題沒答．D．答錯兩道小題．二、填空題（每題1分，共10分）絕對值大于13并且小于15.9的所有整數(shù)的乘積等于______．單項式與是同類項,則m=________.化簡:=_________.現(xiàn)在弟弟的年齡是哥哥年齡的,而9年前弟弟的年齡只是哥哥的,則哥哥現(xiàn)在的年趟齡是.某同學(xué)上學(xué)時步行，放學(xué)回家乘車往返全程共用了1.5小時，若他上學(xué)、下學(xué)都乘車．則只需0.5小時．若他上學(xué)、下學(xué)都步行，則往返全程要用______小時．四個連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和是,則這四個正整數(shù)兩兩乘積之和等于______．7．1.23452+0.76552+2.469×0.7655=______．8.在計算一個正整數(shù)乘以的運算時,某同學(xué)誤將錯寫為3.57,結(jié)果與正確答案相差14,則正確的乘積是_______.9．某班學(xué)生人數(shù)不超過50人．元旦上午全班學(xué)生的去參加歌詠比賽,全班學(xué)生的去玩乒乓球,而其余學(xué)生都去看電影,則看電影的學(xué)生有________人.10．游泳者在河中逆流而上．于橋A下面將水壺遺失被水沖走．繼續(xù)前游20分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水壺．在橋A下游距橋A2公里的橋B下面追到了水壺．那么該河水流的速度是每小時______公里．三、解答題（每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計算過程，語言力求簡明，字跡與繪圖力求清晰、工整）1.有一百名小運動員所穿運動服的號碼恰是從1到100這一百個自然數(shù)，問從這100名運動員中至少要選出多少人，才能使在被選出的人中必有兩人，他們運動服的號碼數(shù)相差9？請說明你的理由．2．少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數(shù)x1，只顯示不運算，接著再輸入整數(shù)x2后則顯示|x1-x2|的結(jié)果，此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進行求差取絕對值的運算，現(xiàn)小明將從1到1991這一千九百九十一個整數(shù)隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為p．試求出p的最大值，并說明理由．答案與提示一、選擇題1．B2．A3．A4．B5．B6．C7．C8．B9．A10．D提示：1．兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)一定不小于兩數(shù)中較大者．兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)一定不大于兩數(shù)中較小者．所以q≥a＞b≥p．選B．，也有a必為0．所以a必為0的式子共有3個．選A．4．a(chǎn)=-1時(a+1)2=0，A不真；a=-1時-(a+1)2=0，C也不真；a=0時-a2+1=1，D不真；只有對任意有理數(shù)a，a2+1＞0成立．選B．5．當1＜x＜2時，x＞0，x-1＞0，x-2＜0．∴|x|=x，|x-1|=x-1，|x-2|=2-x．=-1-(-1)+1=1．選B．6．若c=0，甲不正確．對于乙，若ac2＞bc2，可推出c≠0，∴c2＞0，進而推出a＞b，乙正確．選C．c-b>0，|b-c|=c-b．∴|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c．選C．8．若a=0，b=-1，0x＞-1，可見②無解不9．a(chǎn)bc=1，則a，b，c均不為0．選A．10．設(shè)選對x題，不選的有z題，選錯的有y題．依題意有x+y+z=6，8x+2z=20(x≥0，y≥0，z≥0，且都為整數(shù)）．解之得x=2，y=2，z=2，選D．二、填空題提示：1．絕對值大于13而小于15.9的所有整數(shù)是-15，-14，14，15，其乘積為(-14)(-15)(14)(15)=44100．3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1．則分母199019912-19901989×19901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1)．5．設(shè)步行速度為x，乘車速度為y，學(xué)校到家路程為s，則6．設(shè)所求的四個連續(xù)整數(shù)分別為a，a+1，∴a=2不合題設(shè)條件．和為3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119．7．令x=1.2345，y=0.7655，則2xy=2.469×0.7655，1.23452+0.76552+2.469×0.7655=(x+y)2=(1.2345+0.7655)2=22=49．顯然全班人數(shù)被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人數(shù)小于50，可見全班總計36人，看電影的同學(xué)為36-8-9=19．10．設(shè)該河水速每小時x公里．游泳者每小時解得x=3．即該河水速每小時3公里．三、解答題1．若選出54個人，他們的號碼是1，2，…，8，9，19，20，…，26，27，37，38…，44，45，55，56，…，62，63，73，74，…，80，81，91，92…，98，99．的時候，任兩個人號碼數(shù)之差均不等于9．可見，所選的人數(shù)必≥55才有可能．我們證明，至少要選出55人時一定存在兩個運動員號碼之差恰是9．被選出的55人有55個不同號碼數(shù)，由于55=6×9+1，所以其中必有7個號碼數(shù)被9除余數(shù)是相同的．但由1—100這一百個自然數(shù)中，被9除余數(shù)相同的數(shù)最多為12個數(shù)．因此7個數(shù)中一定有兩個是“大小相鄰”的，它們的差等于9．所以至少要選出55名小運動員，才能使其中必有兩人運動服的號碼數(shù)相差9．2．由于輸入的數(shù)都是非負數(shù)．當x1≥0，x2≥0時，|x1-x2|不超過x1，x2中最大的數(shù)．對x1≥0，x2≥0，x3≥0，則||x1-x2|-x3|不超過x1，x2，x3中最大的數(shù)．小明輸入這1991個數(shù)設(shè)次序是x1，x2，…，x1991，相當于計算：||…||x1-x2|-x3|……-x1990|-x1991|=P．因此P的值≤1991．另外從運算奇偶性分析，x1，x2為整數(shù)．|x1-x2|與x1+x2奇偶性相同．因此P與x1+x2+…+x1991的奇偶性相同．但x1+x2+…+x1991=1+2+…1991=偶數(shù)．于是斷定P≤1990．我們證明P可以取到1990．對1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，對k=0，1，2，…均成立．因此，1-1988可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為0．而后||1989-1990|-1991|=1990．所以P的最大值為1990．希望杯第三屆（1992年）初中一年級第一試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1.有理數(shù)-一定不是()A．正整數(shù)． B．負整數(shù)．C．負分數(shù)． D．0．2．下面給出的四對單項式中，是同類項的一對是 ()A.x2y與-3x2z;B.3.22m2n3與n3m2;C.0.2a2b與0.2ab2;D.11abc與ab.3．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ()A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3．4．兩個10次多項式的和是 ()A．20次多項式．B．10次多項式．C．100次多項式．D．不高于10次的多項式．5．若a+1＜0，則在下列每組四個數(shù)中，按從小到大的順序排列的一組是 ()A．a(chǎn)，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a．6．a(chǎn)=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，則 ()A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a(chǎn)＞b＞c． D．b＞c＞a．7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中結(jié)果是正數(shù)的是 ()A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)．8．從2a+5b減去4a-4b的一半，應(yīng)當?shù)玫?)A．4a-b． B．b-a．C．a(chǎn)-9b． D．7b．9．a(chǎn)，b，c，m都是有理數(shù)，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b與c ()A．互為相反數(shù)． B．互為倒數(shù)．C．互為負倒數(shù)． D．相等．10．張梅寫出了五個有理數(shù)，前三個有理數(shù)的平均值為15，后兩個有理數(shù)的平均值是10，那么張梅寫出的五個有理數(shù)的平均值是 ()A.5;B.8;C.12;D.13.二、填空題（每題1分，共10分）2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______．=_________________.3.=_________________.4.若P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，則代入到代數(shù)式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化簡后，是______．5.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)1990]}=_______________.6.六個單項式15a2,xy,a2b3,0.11m3,-abc,-的數(shù)字系數(shù)之和等于_____________.7．小華寫出四個有理數(shù)，其中每三數(shù)之和分別為2，17，-1，-3，那么小華寫出的四個有理數(shù)的乘積等于______．8．一種小麥磨成面粉后，重量要減少15%，為了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麥．9.滿足的x值中,絕對值不超過11的那些整數(shù)之和等于______．10．在下圖所示的每個小方格中都填入一個整數(shù)：并且任意三個相鄰格子中所填數(shù)之和都等于5,則=__________.答案與提示一、選擇題1．D2．B3．C4．D5．A6．B7．A8．D9．A10．D提示：故選D．2．依同類項的定義，選B．3．(x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1，選C．4．多項式x10+x與-x10+x2之和為x2+x是個次數(shù)低于10次的多項式，因此排除了A、B、C，選D．5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序應(yīng)是a＜-1＜1＜-a，選A．6．易見a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，選B．7．因為a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0．a(chǎn)b+a＜0，ab-b＜0．所以應(yīng)有(a-b)(ab+a)＞0成立，選A．=2a+5b-2a+2b=7b，選D．9．因為a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互為相反數(shù)，選A．10．前三個數(shù)之和=15×3，后兩個數(shù)之和=10×2．所以五個有理數(shù)的平均數(shù)為二、填空題提示：1．前12個數(shù)，每四個一組，每組之和都是0．所以總和為14+15=29．4．因為P-[Q-2P-(-P-Q)]=P-Q+2P+(-P-Q)=P-Q+2P-P-Q=2P-2Q=2(P-Q)以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)]=2(6ab)=12ab．6．六個單項式的系數(shù)依次為：，7．小華寫四個有理數(shù)之和為：分別減去每三數(shù)之和后可得這四個有理數(shù)依次為3，-12，6，8．所以，這四個有理數(shù)的乘積=3×(-12)×6×8=-1728．8．設(shè)需要x公斤小麥，根據(jù)題意，得解方程，得x=5000．答：需要5000公斤小麥．去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)，去括號，得6+3x≥4x-2，移項，得3x-4x≥-2-6合并同類項-x≥-8，于是x≤8．其中絕對值不超過11的整數(shù)之和為(-9)+(-10)+(-11)=-30．10．容易斷定與x相鄰的兩個數(shù)分別為9與2，即因為9+x+2=5，則x=-6，依任意三個相鄰格子中所填數(shù)之和都等于5，分別確定出每個格子中所填之數(shù)如下：斷定y=-6，z=9．所以希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試試題一、選擇題（每題1分，共10分）1．若8.0473=521.077119823，則0.80473等于 ()A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.00521077119823．2．若一個數(shù)的立方小于這個數(shù)的相反數(shù)，那么這個數(shù)是 ()A．正數(shù)． B．負數(shù)．C．奇數(shù)． D．偶數(shù)．3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，則下列關(guān)系式中正確的是 ()A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a(chǎn)＞b＞-a＞-b．4．在1992個自然數(shù)：1，2，3，…，1991，1992的每一個數(shù)前面任意添上“+”號或“-”號，則其代數(shù)和一定是 ()A．奇數(shù)． B．偶數(shù)．C．負整數(shù)． D．非負整數(shù)．5．某同學(xué)求出1991個有理數(shù)的平均數(shù)后，粗心地把這個平均數(shù)和原來的1991個有理數(shù)混在一起，成為1992個有理數(shù)，而忘掉哪個是平均數(shù)了．如果這1992個有理數(shù)的平均數(shù)恰為1992．則原來的1991個有理數(shù)的平均數(shù)是 ()A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5．6．四個互不相等的正數(shù)a，b，c，d中，a最大,d最小,且,則a+d與b+c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)+d＜b+c． B．a(chǎn)+d＞b+c．C．a(chǎn)+d=b+c． D．不確定的．7.已知p為偶數(shù),q為奇數(shù),方程組的解是整數(shù),那么()A.x是奇數(shù)，y是偶數(shù)．B．x是偶數(shù)，y是奇數(shù)．C．x是偶數(shù)，y是偶數(shù)．D．x是奇數(shù)，y是奇數(shù)．8．若x-y=2，x2+y2=4，則x1992+y1992的值是 ()A．4． B．19922．C．21992． D．41992．9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的數(shù)，并且3x-2y=1，那么代數(shù)式10x+y可以取到()不同的值．A．1個． B．2個．C．3個． D．多于3個的．10．某中學(xué)科技樓窗戶設(shè)計如圖15所示．如果每個符號（窗戶形狀）代表一個阿拉伯數(shù)碼，每橫行三個符號自左至右看成一個三位數(shù)．這四層組成四個三位數(shù)，它們是837，571，206，439．則按照圖15中所示的規(guī)律寫出1992應(yīng)是圖16中的()二、填空題（每題1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六個有理數(shù),關(guān)且則=_____.2．若三個連續(xù)偶數(shù)的和等于1992．則這三個偶數(shù)中最大的一個與最小的一個的平方差等于______．3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，則(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．4．三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，a+b,a的形式,又可表示為0,,b,的形式,則a1992+b1993=________.5．海灘上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數(shù)的,又扔掉4個到大海中去,第二天吃掉的核桃數(shù)再加上3個就是第一天所剩核桃數(shù)的,那么這堆核桃至少剩下____個.6．已知不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰是1，2，3．那么a的取值范圍是______．7．a(chǎn)，b，c是三個不同的自然數(shù)，兩兩互質(zhì)．已知它們?nèi)我鈨蓚€之和都能被第三個整除．則a3+b3+c3=______．8．若a=1990，b=1991，c=1992，則a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這個10個自然數(shù)填到圖17中10個格子里，每個格子中只填一個數(shù)，使得田字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于p．則p的最大值是______．10．購買五種教學(xué)用具A1，A2，A3，A4，A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表：那么，購買每種教具各一件共需______元．三、解答題（每題5分，共10分）1．將分別寫有數(shù)碼1，2，3，4，5，6，7，8，9的九張正方形卡片排成一排，發(fā)現(xiàn)恰是一個能被11整除的最大的九位數(shù)．請你寫出這九張卡片的排列順序，并簡述推理過程．2．一個自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數(shù)”．(1)請你舉例說明：“希望數(shù)”一定存在．(2)請你證明：如果a，b都是“希望數(shù)”，則ab一定是729的倍數(shù)．答案與提示一、選擇題1．A2．B3．A4．B5．C6．B7．B8．C9．C10．D提示：所以將8.0473=512.077119823的小數(shù)點向前移三位得0.512077119823，即為0.80473的值，選A．2．設(shè)該數(shù)為a，由題意-a為a的相反數(shù)，且有a3＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因為a2+1＞0，所以a＜0,即該數(shù)一定是負數(shù)，選B．3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在數(shù)軸上直觀表示出來，b到原點的距離大于a到原點的距離，如圖18所示．所以-b＞a＞-a＞b，選A．4．由于兩個整數(shù)a，b前面任意添加“+”號或“-”號，其代數(shù)和的奇偶性不變．這個性質(zhì)對n個整數(shù)也是正確的．因此，1，2，3…，1991，1992，的每一個數(shù)前面任意添上“+”號或“-”號，其代數(shù)和的奇偶性與(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶數(shù)，所以選B．5．原來1991個數(shù)的平均數(shù)為m，則這個1991個數(shù)總和為m×1991．當m混入以后，那1992個數(shù)之和為m×1991+m,其平均數(shù)是1992，∴m=1992，選C．6．在四個互不相等的正數(shù)a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．所以a+b＞b+c，成立，選B．7．由方程組以及p為偶數(shù)，q為奇數(shù)，其解x，y又是整數(shù)．由①可知x為偶數(shù)，由②可知y是奇數(shù)，選B．8．由x-y=2 ①平方得x2-2xy+y2=4 ②又已知x2+y2=4 ③所以x，y中至少有一個為0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一個為0，另一個為2或-2．無論哪種情況，都有x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992，選C．9．設(shè)10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得由于x，y取0—9的整數(shù)，10x+y=a的a值取非負整數(shù)．由(*)式知，要a為非負整數(shù)，23x必為奇數(shù)，從而x必取奇數(shù)1，3，5，7，9．三個奇數(shù)值，y相應(yīng)地取1，4，7這三個值．這時，a=10x+y可以取到三個不同的值11，34和57，選C．二、填空題提示：與666，所以最大的一個偶數(shù)與最小的一個偶數(shù)的平方差等于6662-6622=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分組、湊項表示為含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，為此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=1992．4．由于三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，下，只能是b=1．于是a=-1．所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．5．設(shè)這堆核桃共x個．依題意我們以m表示這堆核桃所剩的數(shù)目（正整數(shù)），即目標是求m的最小正整數(shù)值．可知，必須20|x即x=20，40，60，80，……m為正整數(shù)，可見這堆核桃至少剩下6個．由于x取整數(shù)解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．可被第三個整除，應(yīng)有b|a+c．∴b≥2，但b|2，只能是b=2．于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．8．因為a=1990，b=1991，c=1992，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入這10個格子中，按田字格4個數(shù)之和均等于p，其總和為3p，其中居中2個格子所填之數(shù)設(shè)為x與y，則x、y均被加了兩次，所以這3個田字形所填數(shù)的總和為2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y于是得3p=65+x+y．要p最大，必須x，y最大，由于x+y≤10+11=21．所以3p=65+x+y≤65+21=86．所以p取最大整數(shù)值應(yīng)為28．事實上，如圖19所示可以填入這10個數(shù)使得p=28成立．所以p的最大值是28．10．設(shè)A1，A2，A3，A4，A5的單價分別為x1，x2，x3，x4，x5元．則依題意列得關(guān)系式如下：③×2-④式得x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000．所以購買每種教具各一件共需1000元．三、解答題1．解①（邏輯推理解）我們知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位數(shù)是987654321．但這個數(shù)不是11倍的數(shù)，所以應(yīng)適當調(diào)整，尋求能被11整除的最大的由這九個數(shù)碼組成的九位數(shù)．設(shè)奇位數(shù)字之和為x，偶位數(shù)字之和為y．則x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判別法知x-y=0，11，22，33或44．但x+y與x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇數(shù)，所以x-y也只能取奇數(shù)值11或33．于是有但所排九位數(shù)偶位數(shù)字和最小為1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合題意，應(yīng)該排除，由此只能取x=28，y=17．987654321的奇位數(shù)字和為25，偶位數(shù)字和為20，所以必須調(diào)整數(shù)字，使奇位和增3，偶位和減3才行。為此調(diào)整最后四位數(shù)碼，排成987652413即為所求．解②（觀察計算法）987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位數(shù)．但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少數(shù)字2，多數(shù)字6．于是我們由987654316開始，每次減去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數(shù)字組成的九位數(shù)為止．其過程是987654316→987654305→987654294→987654283→987654272→987654261→987654250→987654239→987654228→987654217→987654206→987654195→987654184→……→987652435→987652424→987652413．這其間要減去173次11，最后得出一個恰由九個數(shù)碼組成的九位數(shù)987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個方法雖然操作173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學(xué)生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考．2．(1)答：由于428571=3×142857，所以428571是一個“希望數(shù)”．說明：一個自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數(shù)”．這實際上給出了“希望數(shù)”的定義?？疾靺①悓W(xué)生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在．在一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)中找不到“希望數(shù)”．而在四位數(shù)中很容易找到實例．如：3105=3×1035，所以3105是個“希望數(shù)”；或：7425=3×2475，所以7425是個“希望數(shù)”；或：857142=3×285714，所以857142是個“希望數(shù)”；以下我們再列舉幾個同學(xué)們舉的例子供參考，如：37124568=3×1237485643721586=3×14573862692307=3×230769461538=3×153846705213=3×2350718579142=3×2859714594712368=3×19823745637421568=3×12473856341172=3×113724．可見37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望數(shù)，事實上用3105是希望數(shù)，可知31053105也是“希望數(shù)”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“希望數(shù)”．因此，“希望數(shù)”有無窮多個．(2)由a為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和．由a=3p和a為3的倍數(shù)．因此a被9整除．于是a是27的倍數(shù)．這樣就證明了，“希望數(shù)”一定能被27整除．現(xiàn)已知a，b都是“希望數(shù)”，所以a，b都是27的倍數(shù)．即a=27n1，b=27n2（n1，n2為正整數(shù)）．所以ab=(27n1)(27n2)=(27×27)(n1×n2)=729n1n2．所以ab一定是729的倍數(shù)．希望杯第四屆（1993年）初中一年級第一試試題一、選擇題:（每題1分，共15分）1．若a是有理數(shù),則一定不是()A．正整數(shù)． B．負整數(shù)．C．負分數(shù)． D．零．2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于()A．-1995． B．1991．C．1995． D．1993．3．若a＜b，則(a-b)|a-b|等于 ()A．(a-b)2． B．b2-a2．C．a(chǎn)2-b2． D．-(a-b)2．4.若n是正整數(shù),并且有理數(shù)a,b滿足a+=0,則必有()A.an+=0;B.a2n+=0;C.a2n+=0;D.a2n+1+=0.5.如果有理數(shù)a,b滿足=0,則下列說法中不正確的一個是()a與b的和是0．B．a(chǎn)與b的差是正數(shù)．C．a(chǎn)與b的積是負數(shù)．D．a(chǎn)除以b，得到的商是-1．6.甲的6張卡片上分別寫有-4,-1,-2.5,-0.01,-3,-15,乙的6張卡片上分別寫有-5,-1,0.1,-0.001,-8,-12,則乙的卡片上的最小數(shù)a與甲的卡片上的最大數(shù)b的比的值等于()A．1250． B．0．C．0.1． D．800．7．a(chǎn)是有理數(shù)，則在下列說法中正確的一個是 ()A．-a是負數(shù)． B．a(chǎn)2是正數(shù)．C．-|a2|是負數(shù)． D．(a-1993)2+0.001是正數(shù)．8.-的值等于()A.-3;B.-;C.-1;.D.-.9．在下列條件中，能使ab＜b成立的是()A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0．10.若a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是 ()A．a(chǎn)＞b＞c． B．a(chǎn)＞c＞b．C．b＞c＞a． D．c＞b＞a．11．有理數(shù)a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，則 ()A.;B.-a<-b;C.丨a丨>丨b丨;D.a2>b4.12．M表示a與b的和的平方，N表示a與b的平方的和，則當a=7，b=-5時，M-N的值為()A．-28． B．70．C．42． D．0．13.有理數(shù),8恰是下列三個方程的根:,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),,則的值為()A.-;B.-;C.;D..14．圖22是中國古代著名的“楊輝三角形”的示意圖．圖中填入的所有數(shù)的總和等于()A．126． B．127．C．128． D．129．15．在自然數(shù)：1，2，3，4，5，…中，前15個質(zhì)數(shù)之和的負倒數(shù)等于()A.-;B.-;C.-;D.-.二、填空題（每題1分，共15分）1．若a＞0，在-a與a之間恰有1993個整數(shù)，則a的取值范圍是______．2．如果相鄰的兩個正整數(shù)的平方差等于999，則這兩個正整數(shù)的積等于______．3.=_________.4．一輛公共汽車由起點站到終點站（這兩站在內(nèi)）共途經(jīng)8個車站。已知前6個車站共上車100人，除終點站外前面各站共下車80人，則從前6站上車而在終點站下車的乘客共有______．5．(32-22)2+(42-32)2+(52-42)2+(62-52)2=______．6．在多項式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n為正整數(shù)）中，恰有兩項是同類項，則m·n=______．7．若a，b，c，d為整數(shù)，(a2+b2)(c2+d2)=1993，則a2+b2+c2+d2=______．8.方程的根是x=____________.9.(-1)÷=______.10．甲、乙兩個火車站相距189公里，一列快車和一列慢車分別從甲、乙兩個車站同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過1.5小時，兩車相遇，又相距21公里，若快車比慢車每小時多行12公里，則慢車每小時行______公里．11．在等式y(tǒng)=kx+b中，當x=0時，y=2；當x=3時,y=3,則=______.12.滿足不等式的所有非負整數(shù)的乘積等于_______.13.有理數(shù)a,b,c,d使=-1,則的最大值是_______.14．△ABC是等邊三角形，表示其邊長的代數(shù)式均已在圖23中標出,則=_________.15．有人問一位老師：他教的班有多少學(xué)生．老師說：“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂，七分之一的學(xué)生在念外語，還剩不足六位學(xué)生正在操場踢足球．”則這個“特長班”共有學(xué)生______人．答案與提示一、選擇題1．D2．C3．D4．D5．B6．A7．D8．B9．C10．A11．C12．A13．B14．B15．A提示：若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B．=1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995，選C．3．因a＜b所以a-b＜0，此時|a-b|=b-a．所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，選D．的是B．7．當a=0，顯然A，B，C，均不正確，應(yīng)排除，所以選D．事確上，對任意有理數(shù)a，都有(a-1993)2≥0，所以(a-1993)2+0.001＞0是正數(shù)．9．b=1＞0，a=2＞0，ab=2×1=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab＞0＞b，排除B；a=0，b＜0，ab=0＞b排除D，因此選擇C．10．容易看出a，b，c均為負數(shù)，我們看|a|，11．由(a-b)3＜0，得出a-b＜0．即a＜b．∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，選C．12．M=(a+b)2，N=a+b2．M-N=(a+b)2-(a+b2)=a2+2ab+b2-a-b2=a2+2ab-a．14．第1行只有1=20，第2行1+1=2=21，第3行1+2+1=4=22，第4行1+3+3+1=8=23，第5行1+4+6+4+1=16=24，第6行1+5+10+10+5+1=32=25第7行1+6+15+20+15+6+1=64=26．圖中填入所有數(shù)之和為1+2+4+8+16+32+64=127，選B．二、填空題提示：1．在-a與a之間的整數(shù)為2n+1個．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997．2．相鄰的兩個正整數(shù)設(shè)為n與n+1，則由(n+1)2-n2=2n+1=999得n=499，n+1=500．相鄰的兩個正整數(shù)的積為499×500=249500．4．設(shè)第1站到第7站上車的乘客依次為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7．第2站到第8站下車的乘客依次為b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8顯然應(yīng)有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8．已知a1+a2+a3+a4+a5+a6=100，b2+b3+b4+b5+b6+b7=80．表明從前6站上車而在終點站下車的乘客共20人．5．原式=52+72+92+112=276．6．若1993umvn與u3mv2n為同類項．只能m=0且n=0．與已知條件不合，所以只能3xmyn與-4xn-1y2m-4為同類項．于是得m=n-1，n=2m-4．解得m=5，n=6，所以mn=30．7．由于1993是質(zhì)數(shù)，a2+b2，c2+d2是1993的約數(shù)，只能a2+b2=1，c2+d2=1993，或a2+b2=1993，c2+d2=1，所以a2+b2+c2+d2=1+1993=1994．所有非負整數(shù)解的積=0．14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形邊長為14+6=20．由3y+2=20，解得y=6，所以15．設(shè)這個班共有學(xué)生x人．在操場踢足球的學(xué)生共a人，依條件，x，a都是自然數(shù)，且1≤a＜6．根據(jù)題意列方程如下：合并同類項，移項得因為a，x均為自然數(shù)，(3，28)=1所以3|a．但a只能取1，2，3，4，5這五個數(shù)，所以a=3．因此x=28．答：這個班共有28名學(xué)生．希望杯第四屆（1993年）初中一年級第二試試題選擇題:（每題1分，共10分）1.的值是()A．-11110． B．-11101．C．-11090．D．-11909．圖242．一滴墨水灑在一個數(shù)軸上，根據(jù)圖24中標出的數(shù)值，可以判定墨跡蓋住的整數(shù)個數(shù)是()A．285． B．286．C．287． D．288．3．a(chǎn)，b都是有理數(shù)，代數(shù)式a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值為正的共有()A．3個． B．4個．C．5個． D．6個．4．a(chǎn)，b，c在數(shù)軸上的位置如圖25所示,則下列代數(shù)式中其值為正的一個是 ()A.;B.;C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).5．1993+9319的末位數(shù)字是 ()A．2． B．4．C．6． D．8．6．今天是4月18日，是星期日，從今天算起第19933天之后的那一天是 ()A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一．7．n為正整數(shù)，302被n(n+1)除所得商數(shù)q及余數(shù)r都是正值．則r的最大值與最小值的和是 ()A．148． B．247．C．93． D．122．8．絕對值小于100的所有被3除余1的整數(shù)之和等于 ()A．0． B．-32．C．33． D．-33．9．x是正數(shù)，<x>表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)，如<5.1>=3．即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2，3，5共3個．那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是()A．12． B．11．C．10． D．9．10．如圖26是一個長為a，寬為b的矩形．兩個陰影圖形都是一對長為c的底邊在矩形對邊上的平行四邊形．則矩形中未涂陰影部分的面積為()A.ab-(a+b)c．B．a(chǎn)b-(a-b)c．C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．二、填空題（每題1分，共10分）1．在1993.4與它的負倒數(shù)之間共有a個整數(shù)．在1993.4與它的相反數(shù)之間共有b個整數(shù),在-與它的絕對值之間共有c個整數(shù),則a+b+c=_________.2．設(shè)a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，則(b÷a)÷(c÷d)=______．3．兩個同樣的大小的正方體形狀的積木．每個正方形上相對的兩個面上寫的數(shù)之和都v等于-1，現(xiàn)將兩個正方體并列放置．看得見的五個面上的數(shù)字如圖27所示，則看不見的七個面上的數(shù)的和等于______．4．計算:=__________.5.是一個五位自然數(shù),其中a,b,c,d，e為阿拉伯數(shù)碼，且a＜b＜c＜d，則|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．6．連續(xù)的1993個自然數(shù)之和恰是一個完全平方數(shù)．則這1993個連續(xù)自然數(shù)中最大的那個數(shù)的最小值是______．7．某次競賽滿分為100分，有六個學(xué)生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他們六個人的平均分為91分，第六名的得分是65分．則第三名的得分至少是______分．8.計算:=________.9．若a，b，c，d為非負整數(shù)．且(a2+b2)(c2+d2)=1993．則a+b+c+d=______．10．有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)去林中采蘑菇．平均每個采得蘑菇的個數(shù)約是一個十位數(shù)字為3的兩位數(shù),又知甲采的數(shù)量是乙的,乙采的數(shù)量是丙的倍,丁比甲多采了3個蘑菇,則丁采蘑菇______個.三、解答題（在試卷背面寫出推理、運算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共10分）如圖28，十三個邊長為正整數(shù)的正方形紙片恰好拼成一個大矩形（其中有三個小正方形的邊長已標出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．2．你能找到三個整數(shù)a，b，c，使得關(guān)系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立嗎？如果能找到，請舉一例，如果找不到，請說明理由．答案與提示一、選擇題1．C2．C3．A4．A5．C6．B7．A8．D9．B10．C提示：=10-100-1000-10000=-11090．選C．2．在-109.2與-11.9之間最小整數(shù)是-109，最大整數(shù)是-12．共計包含(-12)-(-109)+1=98個整數(shù)．在10.5與199.5之間包含最小整數(shù)是11，最大整數(shù)是199．共計