專題09 分式方程

專題式方程【維圖【識點知點：式基概：般地，如果AB示兩個整數(shù)，并且B中含有字母那么式子做分式A為子B為母。與式關(guān)條：要

表分式有意義分式無意義分式值為

分母≠0分母=分子為且母不為

分式值為正或大于0分式值為負或小于0分式值為分式值為1

分子分母同號分子分母異號分子分母值相等分子分母值互為相反數(shù)

①A>0,B>0A<0,B<0A=BA+B=0知點：式運（點基性（礎(chǔ)分式的子和分母同乘（或除以一個不等于的整式，分式的值不變。字母表示：

其中AB、C整式C。拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值變，即注意：在應用分式的基本性質(zhì)時，要注意個限制條件和隱含條件B。

分的分約的義根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母公式約去。最公的義分與分母沒有公因式的分式。分約步：1）提分子、分母公因式2）約去公因式3）觀察結(jié)果，是否是最簡分式整式。注：1.約分前后分式的值要相.2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子分母的公因.3.約分是對分子、分母的整體進的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式

分的分通的義據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾異母分式分化成與原來分相的同母式，叫分式的通分。最公母定：各分母所有因式的最高次冪的作分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

分通的鍵：確定最簡公分母確分的簡分的法1.因式分解2.系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小倍數(shù)；3.字母：各分母的所有字母的最次冪4.多項式：各分母所有多項式因的最高次冪5.積約與分相點分的則算分的方）分式的乘除法法則：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：分式除以分式：除的分子、分母顛倒位后，與被除式相乘。式子表示為）分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子注：1.分式乘方要把分子、分母分別方。2.分式乘方時，要首先確定乘方果的符號，負數(shù)的偶次方為正，負數(shù)的奇次方為負。）分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為）整式與分式加減：可以把整式當作一個整數(shù)，整式前面是負號，要加括號，看作是分母為的分式，再通分。分式混合運算的運算運算順序：

1.先把除法統(tǒng)一成乘法運算；?????

2.分子、分母中能分解因式的多式分解因式；3.確定分式的符號，然后約分；4.結(jié)果應是最簡分式.整指冪）??

任何不等于零于1）其中，為整數(shù)。

科記法有了負整數(shù)指數(shù)冪后，小于的數(shù)也可以用學記數(shù)法表示。即小于的正數(shù)可以科學記數(shù)法表示為a×10-n形.(110，n是正整數(shù)注：）≤︱︱＜）是正數(shù)n等于原數(shù)中左邊第一個不為0的數(shù)字前面所有的0的個。包小點前面的）知點分式程解式程基1）去分母兩同乘最簡公分母約去分母，化成整式方)

2）解整式方程去括號移項/合同類-數(shù)化為1)。3）檢驗把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母為0，x=a不是式方程的解若最簡公分母不為0，則x=a是式方程的解4）寫出答案增的念在分式方程化為整式方程的過程時整式方程的根使最簡公分為即根使整式方程成立，但分式方程中分母為0），那么個根叫做原分式方程的增根。分方解實問的驟根題意找等量關(guān)系設(shè)知數(shù)列方程解程，并驗根（對解分式方程尤為重要）寫案【查型考題一分式有義條【題路函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮）當函數(shù)表達式是整式，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分的分母不能）函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．典例四川遂寧市

中考真題）函數(shù)y＝

中，自變量x的值范圍是（）A＞﹣2

B≥﹣2

C．＞﹣2且x≠1

D．x≥2且≠1【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0分母不為0，列不等式組可求得自變量x的值范圍．

【詳解】根據(jù)題意得：，得：x﹣2且x≠．選D．x變式1-1湖北黃石

中考真題）函數(shù)

x

的自變量x取值范圍是（）A

x

，且

B

x

C．

D．，

【答案】A【分析】根據(jù)分式與二次根式的性質(zhì)即可求解．【詳解】依題意可得≠0x-解

x

，且

故選A．變式1-2甘肅中考真題）使得式子

4

有意義的x的值圍（

）．x≥4B＞4C≤4D．x＜4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【詳解】解：使得式子

4

有意義，則4＞0解得：x＜4即x的值范圍是：x＜選D．考題二分式值0的條【題路分值為0的件是分子為0分母不為0是題的關(guān)鍵典例四川雅安市中真）若分式

1

的值為0則值為（

）A0B1C﹣1D．±1【答案】B【分析】根據(jù)分式值為條件，分子為母不為0列進行計算即可得.【詳解】∵分式

xx

的值為零，∴，得x=1故選B．x變式2-1貴州貴陽

中考真題）當x時，下列分式?jīng)]意義的是（）A

B

xx

C．

xx

D．

xx【答案】B【分析】由分式有意義的條件分母不能為零判斷即.

【詳解】

xx

當時,

分母為零

分式無意義故選B.變式2-2山東聊城

中考真題）如果分式

x

的值為，那么的為（）A1

B1C1或1D．或0【答案】B【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可以求出的．【詳解】根據(jù)題意，得且x+1解得．故選B．考題三分式求【題路熟掌分的質(zhì)解的鍵xyxy典例武漢模擬）若＝，則的是（）A5

B4C3D．【答案】A【分析】設(shè)x＝3，＝k，然后分別代入原式即可出答案．【詳解】解：∵

xy＝，∴設(shè)x＝3k，y＝2k，∴

3k＝＝＝5故選A3k變式3-1江蘇無錫

九年級零模）若取數(shù)，則使分式

xx

的值為整數(shù)的值（）A3個

B．4個

C．

D．【答案】B【分析先分式轉(zhuǎn)化為【詳解】

則原式的值是整數(shù)可化討論的整數(shù)值有幾個的問題．xxxx2

當

x或或，

x

是整數(shù)，即原式是整數(shù)．當

2

或時的不是整數(shù)，當?shù)扔?/p>

或滿足條件．故使分式故選B．

xx

的值為整數(shù)的值4個，是2和

變式3-2湖北孝感

）使分式

x

的值為整數(shù)的所有整數(shù)x的是（）A【答案】D

B0C1D．【分析】由整除的性質(zhì)知：

2

是

的約數(shù)可得答案．【詳解】解：因為

x

的值是整數(shù)，則

2x是的約數(shù)所以

x

，由因為x整數(shù)，所以：所以：它們的和為2．

xx0,x

，故選D．考題四探索分的本質(zhì)【題路熟掌分的質(zhì)解的鍵典例河北中考真題）若a不等于b，則下分式化簡正確的是（）A

ab

B

ab

C．

ab

22

ab

D．

1212

ab

ab【答案】D【分析】根據(jù)≠b可以判斷各個選項中的式子是否正確，從可以解答本題．【詳解】∵≠，∴

aabb

，選項A錯；aabb

，選項B錯；ab

22

ab

，選項誤；1212

ab

ab

，選項D正確；故選D．變式4-12020·河北邯鄲市模擬將式

yy

中的xy值同時擴大為原來的則分式的（

）A擴大倍

B擴大9倍

C．變

D．大【答案】B【分析】將原式中的x、y分用、3y代，化簡，再與原分式進行比較．

【詳解】解：∵把分式

yy

中的xy同時擴大為原來的倍27x2y92yx∴原式變?yōu)椋海剑?×，yxy∴這個分式的值擴大9倍故選：．變式4-2江蘇淮安市三模）若

1=，的為（）4A．5

B

15

C．3

D．

13【答案】A【解析】因為

=，4所以得a=5b，所以

＝b

故選A.變式4-3山東煙臺市期末）分式

可變形為（）A

1

B

1

C．

D．

1x【答案】D【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)逐項進行化簡即可，注意負號的作用．【詳解】

111=1)x故選項、BC錯誤，選項D正，故選：D．變式4-4河北模擬）eq\o\ac(△,)三的長度都擴為原來的倍則銳角A正弦函數(shù)值（）A不變

B縮小為原來的

C．大為原來的3倍D．不能確定【答案】A【解析】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】因eq\o\ac(△,)ABC三的長度都擴大為原來的3倍得的三角形與原三角相似，所以銳角A的小沒

2222改變，所以銳角A的弦函數(shù)值也不變．故選A考題五分式的算典例山東威海市

中考真題）分式

aa21

化簡后的結(jié)果為（）A

aa

B

C．

D．

a2a2【答案】B【分析】根據(jù)異分母分式相加減的運算法則計算即可．異分母分式相加減，先通分，再根據(jù)同母分式相加減的法則計算．【詳解】解：21aaa故選：．變式5-1天津中考真題）計算

1(x2(

的結(jié)果是（）A

1

B

1(x2

C．D．

【答案】A【分析】本題可先通分，繼而進行因式約分求解本題．【詳解】1x(x(x(

，

因為

x

，故

1=(x2

．故選：A．【點睛】本題考查分式的加減運算，主要運算技巧包括通分，約分，同時常用平方差、完全平公式作為解題工具．變式5-2湖北隨州中真題）

2xx

的計算結(jié)果為（）A

xx

B

2x

C．

xx

D．

2xx2)【答案】B【分析】先把分母因式分解，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分化簡得到結(jié)果．【詳解】x

2

2=

21(x2)(x(x=

·x=

2x

．故選：．變式5-32020·四攀枝花市

中考真題）中國抗疫取得了巨大成就，堪稱奇跡，為世界各國防控疫情提供了重要借鑒和支持，讓中國人民倍感自豪年1月12日世界衛(wèi)生組織正式將2019新型狀病毒名為

．該病毒的直徑在.00000008米-.000000012米，將0000000012用學計數(shù)法表示為a10

的形式，則為A

B

C．D．【答案】A【分析絕值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示一般形式為，較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的數(shù)所決定．【詳解】解：用學計數(shù)法表示為1.2×-8，∴n=-8，

故選A.變式5-4山濱州市

中考真題）冠狀病毒的直徑約為～納，米＝1.0米，若用科學記數(shù)法表示110納，正確的結(jié)果是（）A米

B1.1米

C．米

D．1.1米【答案】C【分析絕值小于正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示一形為a×10與大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．【詳解】解：110納=110×10

米1.1×10

-7

米．故選：．考題六解分式程【題路熟掌握解分式方程的步是解決此類問題的關(guān)鍵典例黑龍江哈爾濱市中真題）方程

1xx

的解是（）A

x

B

x

C．

D．x【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，本題考察分式方程及其解法，根據(jù)方程解的意義，運用去分母，移項方法，進行求解．【詳解】解：方程可化簡為22x經(jīng)檢驗故選D

是原方程的解變式6-1四川甘孜藏族自治州

中考真題）分式方程

x

的解為（）A

B

C．

x

D．

【答案】D【分析】根據(jù)解分式方程的步驟解答即可．

【詳解】解：方程變形得

x

方程的兩邊同乘x-1）得3=x-1.解得x=4.經(jīng)檢驗，是方程的解．故選：D．變式6-2四川南充中真題）若

1x

，則x的是（）A4

B

14

C．

14

D．【答案】C【分析】根據(jù)解分式方程即可求得x的．【詳解】解：

1

，去分母得

，∴x

14

，經(jīng)檢驗，

14

是原方程的解故選：．考題七分式方的【題路熟掌握解分式方程的一步驟及注意事項是解題的關(guān)注在任何時候都要考慮母不為典例肅蘭州中真題于的分式方程

x

的解為負數(shù)的值范圍是

()A

B

C．且a

D．a(chǎn)且a【答案】D【分析分式方程去分母轉(zhuǎn)化為式方程表示出整式方程的解根據(jù)分式方程解為負數(shù)列出關(guān)a不等式，求出不等式的解集即可確定出a的圍．【詳解】分式方程去分母得：

x，x

，因為分式方程解為負數(shù)，所以

，且

，解得：

且

2

，故選D．變式7-1重慶中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組

的解集為x且關(guān)于

的分式方程

yay2

有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)和為（）A-1

B-2C．D0【答案】B【分析】首先由不等式組的解集為≥5，＜3然后由分式方程有非負整數(shù)解，得a-2a≠2的數(shù)，即可得解【詳解】由題意，得2x

，即

≥5x

，即x＞∴

5，yay2

，解得

有非負整數(shù)解，即

y

∴a-2且a∴

且a2∴符合條件的所有整數(shù)數(shù)有：，-1,0,1變式7-2四成都中真題已知是分式方程

xx

的解那么實數(shù)k的值

）A3B4C5D．【答案】B【分析】將

x

代入原方程，即可求出

值．【詳解】解：將x代入程k2解得：．

xx

中，得故選：．變式7-3四川遂寧

中考真題）關(guān)于的式方程

﹣x

＝1有根，則m的（）Am2B．＝Cm3D．m﹣3【答案】D

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出的即可．【詳解】解：去分母得：+3﹣，由分式方程有增根，得到x﹣＝0即＝2，把x＝2代入整式方程得+30，解得：＝3故選：D．考題八列分式程【題路找中量系典例湖南長沙市中真）隨著5G絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場對產(chǎn)的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)0萬產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬產(chǎn)品所需的時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬產(chǎn)品所需時間相同新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬，依據(jù)題意得（）A

x

B

x30

C．

x

D．

x30【答案】B【分析】設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬產(chǎn)品，則更新技術(shù)后每天生產(chǎn)x+30）萬件產(chǎn)，根據(jù)工作時=工作總量÷工作效率，再結(jié)合現(xiàn)在生產(chǎn)萬件產(chǎn)品需時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)萬產(chǎn)品所需時間相同，即可得出關(guān)于x的式程．【詳解】解：設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬產(chǎn)品，則更技術(shù)后每天生產(chǎn)x+30）萬件產(chǎn)品，依題意，得：x30

．故選B變式8-1遼本溪中真題著快遞業(yè)務的增加快公司為遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件高到4200件平均每人每周比原來多投遞80，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件件，根據(jù)題可列方程為（）AC．

xx

B．D．

xx80【答案】D【分析】設(shè)原來平均每人每周投遞快件件則現(xiàn)在平均每人每周投遞快件+80件，根據(jù)人=投遞快遞總數(shù)量÷人均投遞數(shù)量，結(jié)合快遞公司的快遞員人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的式方程此題得解．【詳解】解：設(shè)原來平均每人每周投遞快件則現(xiàn)在平均每人每周遞快件）件，根據(jù)快遞公司

的快遞員人數(shù)不變列出方程，得：故選：D．

x

，變式8-22020·遼朝陽市

中考真題）某體育用品商店出售毽球，有批發(fā)和零售兩種售賣方式，小明打算為班級購買鍵球如果給每個人一個毽球就只能按零售價付款共80元如小明多購買毽球，就可以享受批發(fā)價，總價是元．已知按零售價購買個球與按批發(fā)價購買個球付款相同，則小明班級共有多少名學生？設(shè)班級共有名生，依據(jù)題列方程得（）A

50

x

B．

xC．

40xx

D．

5040xx【答案】B【分析據(jù)按零售價購買個球與按批發(fā)價購買50個球付款相同”建等量關(guān)系別找到零售價與批發(fā)價即可列出方程．【詳解】設(shè)班級共有名生，依據(jù)題意列方程得，

x故選：．考題九利用分方解實問典例2020·貴州黔西南布依族苗族自治州

中考真題“節(jié)環(huán)保，綠色出意識的增強，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C．某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8元．今年該型自行車每輛售價預計比去年降低元．若該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售額將比去年減少，求：（1）型行車去年每輛售價多少元（2）該車行今年計劃新進一批A型和新款B型共輛，且B型的進貨數(shù)量不超過A型數(shù)量的兩倍．已知，A型和B車的進貨價格分別為元1800，計劃B型銷售價格為2400元，應如何組織進貨才能使這批自行車銷售獲利最多．【答案】(1)元）A型車輛B型輛【分析】（1設(shè)年A型每輛售價x元則年價每輛（﹣元由賣出的數(shù)量相同出方程求解即可；（2）設(shè)今年新進A車a輛則B型（60﹣）輛，獲利y元由條件表示出y與a間的關(guān)系式，由的取值范圍就可以求出y的大值．

最大最大【詳解】解）去A型每輛售價x元則今年售價每輛為﹣200）元，題意，得8000080000(110%)x200

，解得：x=2000．經(jīng)檢驗，是方程的根．答：去年A型車每輛售價為2000元（2）設(shè)今年新進A型輛則車（﹣），獲利y元由題意，得y=a+（60﹣y=﹣．∵B車的進貨數(shù)量不超過A型數(shù)量的兩倍，∴60a，∴≥20．∵﹣300a+36000．∴k=＜，∴y隨a的大而減小．∴a=20，y

元∴B車的數(shù)量為﹣輛．∴當新進A車，型40輛，這批車獲利最大．變式9-12020·廣中考真題）某社區(qū)擬建A兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟”，每個A類攤位的占地面積比每個類位占地面積多平米建A類攤位每平方米的費用為40元建攤位每平方米的費用為30元，用60平米建類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B攤位個數(shù)的

．（1）求每個，B類位占地面積各為多少方米？（2）該社擬建，兩類攤位共個且B攤位的數(shù)量不少于A攤位數(shù)量的倍求建造這個位的最大費用．【答案）方米方米（）10520元【分析）A攤位占地面積平米，則B類占地面積類的倍數(shù)關(guān)系列式即可；

平方米，根據(jù)同等面積建立A類和B（2設(shè)建類攤位個則

(90)

個，設(shè)費用為

，由（1）得A類B類位的建設(shè)費用，列出

總費用的表達式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行討論即可．【詳解】解）每類攤位占地面積平米，則類地面積3由題意得x5

平方米解得

x

，∴

，經(jīng)檢驗

為分式方程的解∴每個A類攤位占地面積方米，B類地面積3平米（2）設(shè)建類攤位

個，則B類

)

個，費用為

∵∴

3(90)022.540)110

，∵，∴z隨a的增大而增大，又∵為數(shù)，∴當

22

時z有大值，此時10520∴建造個位的最大費用為10520元變式9-2浙中考真題）某企業(yè)承接了27000件品的生產(chǎn)任務，計劃安排甲、乙兩個車間的共5名工人，合作生產(chǎn)完成．已知甲、乙兩個車間利用現(xiàn)有設(shè)備，工人的工作效率為：甲車間每人每天生產(chǎn)25件乙車間每人每天生產(chǎn)30件（1）求甲、乙兩個車間各有多少名工參與生?（2）為了提前完成生產(chǎn)任務，該企業(yè)計了兩種方案：方案一甲車間租用先進生產(chǎn)設(shè)，工人的工作效率可提高20%，乙車間維持不變．方案二乙車間再臨時招聘若干工人（工作效率與原工人相同車間維持不變．設(shè)計的這兩種方案，企業(yè)完成生產(chǎn)任務的時間相同．①求乙車間需臨時招聘的工人數(shù)；②若甲車間租用設(shè)備的租金每天900元租用期間另需一次性支付運輸?shù)荣M用元乙車間需支付臨時招聘的工人每人每天200元．問：從新增加的費用考慮，應選擇哪種方案能更節(jié)省開？請說明理由．

【答案）車間有名工人參與生產(chǎn)，乙車間各有名人參與生產(chǎn)）乙車間需臨時招聘5名工人；②選擇方案一能更節(jié)省開支．【分析】（1）設(shè)甲、乙兩車間各有xy人根據(jù)甲、乙兩車間共有5和甲、乙兩車間20天生產(chǎn)零件總數(shù)之和為個列方程組，解方程組即可解決問題；（2）①設(shè)方案二中乙車間需臨時招聘