中考數(shù)學一輪總復習21《圖形的變化》知識講解+鞏固練習（提高版）（含答案）

PAGE中考總復習：圖形的變換--知識講解（提高）【考綱要求】1.通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉，探索它們的基本性質；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；3.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性質及其相關性質.4.探索圖形之間的變換關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合）；5.利用軸對稱、平移、旋轉及其組合進行圖案設計；認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉在現(xiàn)實生活中的應用.【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、平移變換1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。疽c詮釋】（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質的依據(jù)．2．平移的基本性質：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相等．【要點詮釋】（1）要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征；（2）“對應點所連的線段平行且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點二、軸對稱變換1．軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應點，叫做對稱點.

軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2．軸對稱變換的性質

①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.

3．軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點．

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.

４．翻折變換：圖形翻折問題是近年來中考的一個熱點，其實質是軸對稱問題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸，互相重合的兩點（對稱點）連線必被折痕垂直平分.【要點詮釋】翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關于折痕成軸對稱，兩圖形全等，折疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.考點三、旋轉變換

1．旋轉概念：把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.

２．旋轉變換的性質

圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

３．旋轉作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉中心，確定旋轉角.

②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結方式順次連結各對應點.【要點詮釋】１．圖形變換與圖案設計的基本步驟

①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉、軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案.2．平移、旋轉和軸對稱之間的聯(lián)系

一個圖形沿兩條平行直線翻折（軸對稱）兩次相當于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當于一次旋轉，其旋轉角等于兩直線交角的2倍.【典型例題】類型一、平移變換1.如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．

（1）證明△A′AD′≌△CC′B；

（2）若∠ACB=30°，試問當點C′在線段AC上的什么位置時，四邊形ABC′D′是菱形，并請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；

（2）由已知可推出四邊形ABC′D′是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=AC，AB=AC，從而得到AB=BC′，所以四邊形ABC′D′是菱形．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．

∴∠D′A′C′=∠BCA．

∴△A′AD′≌△CC′B．

（2）解：當點C′是線段AC的中點時，四邊形ABC′D′是菱形．

理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴C′D′=CD=AB．

由（1）知AD′=C′B．

∴四邊形ABC′D′是平行四邊形．

在Rt△ABC中，點C′是線段AC的中點，

∴BC′=AC．

而∠ACB=30°，

∴AB=AC．

∴AB=BC′．

∴四邊形ABC′D′是菱形．【總結升華】本題考查了平移的性質特點以及全等的判定和菱形的判定，注意對這兩個判定定理的準確掌握，考查學生綜合運用數(shù)學的能力．2．操作與探究：

（1）對數(shù)軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應的點向右平移1個單位，得到點P的對應點P′．點A，B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段A′B′，其中點A，B的對應點分別為A′，B′．如圖1，若點A表示的數(shù)是-3，則點A′表示的數(shù)是________；若點B′表示的數(shù)是2，則點B表示的數(shù)是_____；已知線段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得到的對應點E′與點E重合，則點E表示的數(shù)是__________．

（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，對正方形ABCD及其內部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一個實數(shù)a，將得到的點先向右平移m個單位，再向上平移n個單位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其內部的點，其中點A，B的對應點分別為A′，B′．已知正方形ABCD內部的一個點F經(jīng)過上述操作后得到的對應點F′與點F重合，求點F的坐標．

【思路點撥】（1）根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計算即可求出點A′，設點B表示的數(shù)為a，根據(jù)題意列出方程求解即可得到點B表示的數(shù)，設點E表示的數(shù)為b，根據(jù)題意列出方程計算即可得解；

（2）先根據(jù)向上平移橫坐標不變，縱坐標加，向右平移橫坐標加，縱坐標不變求出平移規(guī)律，然后設點F的坐標為（x，y），根據(jù)平移規(guī)律列出方程組求解即可．【答案與解析】（1）點A′：-3×+1=-1+1=0，

設點B表示的數(shù)為a，則a+1=2，解得a=3，

設點E表示的數(shù)為b，則b+1=b，解得b=；

故答案為：0；3；.

（2）根據(jù)題意得，，解得，

設點F的坐標為（x，y），

∵對應點F′與點F重合，

∴x+=x，y+2=y，解得x=1，y=4，所以，點F的坐標為（1，4）．【總結升華】耐心細致的讀懂題目信息是解答本題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，若將邊長為的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個等腰直角三角形沿移動，若重疊部分的面積是，則移動的距離等于.【答案】根據(jù)題意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′，

∴∠A′PC=∠B=90°，

∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°，

∴△A′PC是等腰直角三角形，

∵△A′PC的面積是1cm2，

∴S△A′PC=A′P?PC=1（cm2），

∴A′P=PC=cm，

∴A′C=2cm，

由于原等腰直角三角形的斜邊是2cm，

所以平移的距離是：2-2（cm）．類型二、軸對稱變換3．（2016?貴陽模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是射線CB上的一個動點，把△DCE沿DE折疊，點C的對應點為C′．（1）若點C′剛好落在對角線BD上時，BC′=；（2）若點C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時，求CE的長；（3）若點C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求CE的長．【思路點撥】（1）根據(jù)點B，C′，D在同一直線上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分線的性質得出CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，進而利用勾股定理得出答案；（3）利用①當點C′在矩形內部時，②當點C′在矩形外部時，分別求出即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，∵點B，C′，D在同一直線上，∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案為：4；（2）如圖2，連接CC′，∵點C′在AB的垂直平分線上，∴點C′在DC的垂直平分線上，∴CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，設CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：x=2，即CE的長為2；（3）作AD的垂直平分線，交AD于點M，交BC于點N，分兩種情況討論：①當點C′在矩形內部時，如圖3，∵點C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6﹣2，設EC=y，則C′E=y，NE=4﹣y，故NC′2+NE2=C′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=9﹣3，即CE=9﹣3；②當點C′在矩形外部時，如圖4，∵點C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6+2，設EC=z，則C′E=a，NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′E2，即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，綜上所述：CE的長為9±3．【總結升華】此題主要考查了矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理等知識；利用數(shù)形結合以及分類討論得出是解題關鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點，將C點折至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ．

（1）求MP的長；

（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于.【答案】（1）解：連接BP、PC，由折法知點P是點C關于折痕BQ的對稱點．

∴BQ垂直平分PC，BC=BP．

又∵M、N分別為AD、BC邊上的中點，且四邊形ABCD是正方形，

∴BP=PC．

∴BC=BP=PC．

∴△PBC是等邊三角形．

∵PN⊥BC于N，BN=NC=BC=，∠BPN=×∠BPC=30°，

∴PN=，MP=MN-PN=．

（2）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．

在Rt△BCQ中，QC=BC?tan30°=1×=，

∴PQ=．

∴以PQ為邊的正方形的面積為．4.已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點E在AD上，且厘米，點P是AB邊上一動點，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過點P作交所在的直線于點Q，連結QE（如圖（2）所示）；（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”號）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：①當點P在A點時，與交于點點的坐標是（，）；②當厘米時，與交于點，點的坐標是（，）；③當厘米時，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點的坐標；（3）點P在在運動過程中，與形成一系列的交點，…觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式.（A）BCDEN（A）BCDENO612182461218ABCDPEMNBC（P） （1） （2） （3）【思路點撥】（1）根據(jù)折疊的特點可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）過點E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．設Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．利用Rt△Q3EG中的勾股定理可知x=9，Q3P=15．即Q3（12，15）．

（3）根據(jù)上述的點的軌跡可猜測這些點形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數(shù)法可解得函數(shù)關系式：y=x2+3（0≤x≤26）．

【答案與解析】（1）由折疊的特點可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）①（0，3）；②（6，6）．

③畫圖，如圖所示．

過點E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．

∴GP=6，EG=12．

設Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．

在Rt△Q3EG中，∵EQ32=EG2+Q3G2

∴x=9．

∴Q3P=15．

∴Q3（12，15）（3）這些點形成的圖象是一段拋物線．

函數(shù)關系式：y=x2+3（0≤x≤26）．【總結升華】本題是一道幾何與函數(shù)綜合題，它以“問題情境--建立模型--解釋、應用與拓展”的模式，通過動點P在AB上的移動構造探究性問題，讓學生在“操作、觀察、猜想、建模、驗證”活動過程中，提高動手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維．類型三、旋轉變換5.（2016?本溪）已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點P是射線CB上一點（點P不與點B、C重合），線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點M.（1）如圖①，當AC=BC，點P在線段CB上時，線段PB、CM的數(shù)量關系是；（2）如圖②，當AC=BC，點P在線段CB的延長線時，（1）中的結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）如圖③，若，點P在線段CB的延長線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．【思路點撥】（1）作出△ABC繞點A順時針旋轉90°，利用旋轉的性質，和等腰三角形的性質再用中位線即可；（2）作出△ABC繞點A順時針旋轉90°，利用旋轉的性質，和等腰三角形的性質，再用中位線即可；（3）同（1）（2）的方法作出輔助線，利用平行線中的基本圖形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面積公式即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，故答案為：BP=2CM；（2）BP=2CM仍然成立，理由：如圖2，將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，（3）如圖3，設BC=2x，則AC=5x，將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'延長BC交C'Q于N，∴四邊形ACNC'是正方形，∴C'N=CN=AC=5x，∴BN=CN+BC=7x∵CM∥QN，∴∵CM=2，∴∴QN=7，∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7，∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，根據(jù)勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132∴x=1或x=﹣（舍），∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25．【總結升華】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性質，旋轉的性質，中位線的性質，解本題的關鍵是作出輔助線，也是本題的難點．6.如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞點B1按順時針方向旋轉120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉后．她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉，求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉，頂點O經(jīng)過的路程是_______________?請你解答上述兩個問題．【思路點撥】求出正方形OABC翻轉時點O的軌跡弧長,再求面積即可.要理解的是第4次旋轉，頂點O沒有移動.【答案與解析】解：問題①：如圖，正方形紙片經(jīng)過3次旋轉，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧，所以頂點O在此運動過程中經(jīng)過的路程為.頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線圍成圖形的面積為.正方形紙片經(jīng)過5次旋轉，頂點O運動經(jīng)過的路程為：.問題②：∵正方形紙片每經(jīng)過4次旋轉，頂點O運動經(jīng)過的路程均為：.又，而是正方形紙片第4+1次旋轉，頂點O運動經(jīng)過的路程.∴正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過81次旋轉，頂點O經(jīng)過的路程是.【總結升華】本題涉及到分類歸納，圖形的翻轉，扇形弧長和面積.舉一反三：【變式】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°．正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止?jié)L動．(1)請在所給的圖中，用尺規(guī)畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；(2)求正方形在整個翻滾過程中點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．【答案】(1)點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖如圖：(2)弧AA1與AD，A1D圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；弧A1A2與A1D，DN，A2N圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為）＋正方形的面積（邊長為1）=；弧A2A3與A2N，NA3圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；其他三塊小面積分別與以上三塊相同.∴點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：.中考總復習：圖形的變換--鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1．有下列四個說法，其中正確說法的個數(shù)是（）

①圖形旋轉時，位置保持不變的點只有旋轉中心；

②圖形旋轉時，圖形上的每一個點都繞著旋轉中心旋轉了相同的角度；

③圖形旋轉時，對應點與旋轉中心的距離相等；

④圖形旋轉時，對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化．A.1個B.2個C.3個D.4個2.在旋轉過程中，確定一個三角形旋轉的位置所需的條件是（）.①三角形原來的位置；②旋轉中心；③三角形的形狀；④旋轉角．A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④3.（2017?大連模擬）如圖，折疊直角三角形ABC紙片，使兩銳角頂點A、C重合，設折痕為DE.若AB=4，BC=3，則BD的值是（）A． B．1 C． D．4.如圖是一個旋轉對稱圖形，要使它旋轉后與自身重合，至少應將它繞中心逆時針方向旋轉的度數(shù)為（）.

A、30°B、60°C、120°D、180°5.如圖,把矩形紙條沿同時折疊，兩點恰好落在邊的點處，若，，，則矩形的邊長為（）.A.20B.22C.24D.30第4題第5題6．如圖,正方形硬紙片ABCD的邊長是4，點E、F分別是AB、BC的中點，若沿左圖中的虛線剪開，拼成如下圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（）.A．2B．4C．8D．10二、填空題7.（2017·鄭州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5，AC=3，點D是BC上一動點，連結AD，將△ADC沿AD折疊，點C落在點，連結C’D交AB于點E，連結BC’.當△BC’D是直角三角形時，DE的長為．8.在RtABC中，∠A<∠B，CM是斜邊AB上的中線，將ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處，如果CD恰好與AB垂直，那么∠A等于度.第7題第8題9.在中，為邊上的點，連結（如圖所示）．如果將沿直線翻折后，點恰好落在邊的中點處，那么點到的距離是．10.如圖，在ABC中，MN//AC，直線MN將ABC分割成面積相等的兩部分，將BMN沿直線MN翻折，點B恰好落在點E處，聯(lián)結AE，若AE//CN，則AE:NC=.第9題第10題11.（2016?閘北區(qū)一模）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿著過點A的折痕翻折，使點B落在AD邊上的點F，折痕交BC于點E，將折疊后的紙片再次沿著另一條過點A的折痕翻折，點E恰好與點D重合，此時折痕交DC于點G，則CG：GD的值為．12.如圖,在計算機屏幕上有一個矩形畫刷ABCD，它的邊AB＝l，．把ABCD以點B為中心按順時針方向旋轉60°，則被這個畫刷著色的面積為________.

三、解答題13.如圖（1）所示，一張三角形紙片，.沿斜邊AB的中線CD把這線紙片剪成和兩個三角形如圖（2）所示.將紙片沿直線（AB）方向平移（點始終在同一條直線上），當點與點B重合時，停止平移，在平移的過程中，與交于點E，與分別交于點F，P.（1）當平移到如圖（3）所示的位置時，猜想圖中與的數(shù)量關系，并證明你的猜想.（2）設平移距離為，與重疊部分的面積為，請寫出與的函數(shù)關系式，以及自變量的取值范圍；（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的，使得重疊部分面積等于原紙片面積的？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.14.（2015?河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當α=0°時，=；②當α=180°時，=．（2）拓展探究試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）問題解決當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長．15.如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線＝－＋交折線OAB于點E．

（1）記△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關系式；

（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.

16．已知拋物線經(jīng)過點A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，與x軸正半軸交于點D．

(1)求此拋物線的解析式及點D的坐標；

(2)在x軸上求一點E，使得△BCE是以BC為底邊的等腰三角形；

(3)在(2)的條件下，過線段ED上動點P作直線PF//BC，與BE、CE分別交于點F、G，將△EFG沿FG翻折得到△E′FG．設P(x，0)，△E′FG與四邊形FGCB重疊部分的面積為S，求S與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍．

【答案與解析】一．選擇題1．【答案】C．2．【答案】A.3．【答案】A.【解析】連接DC，AD=DC，設DB=x，則AD=DC=4-x，由勾股定理可得，解得.4．【答案】B.【解析】正六邊形被平分成六部分，因而每部分被分成的圓心角是60°，因而旋轉60度的整數(shù)倍，就可以與自身重合．則α最小值為60度．故選B．5．【答案】C.【解析】Rt△PHF中，有FH=10，則矩形ABCD的邊BC長為PF+FH+HC=8+10+6=24，故選C．6．【答案】B.二．填空題7．【答案】或.【解析】當點E與點C’重合時，BC=4，由翻折性質：AE=AC=3，DC=DE，則EB=2.設CD=ED=x，則BD=4-x，，解得，則；當∠EDB=90°，由翻折性質：AC=AC’，∠C=∠C’=90°=∠CDC’，∴四邊形ACDC’是正方形，∴CD=AC=3，DB=1，由AC∥DE，△BDE∽△BCA，∴，解得DE=，點D在CB上運動，∠DBC’＜90°，故∠DBC’不可能為直角.8．【答案】30°.9．【答案】2.10．【答案】:1.【解析】利用翻折變換的性質得出BE⊥MN，BE⊥AC，進而利用相似三角形的判定與性質得出對應邊之間的比值與高之間關系，即可得出答案．11.【答案】．【解析】如圖所示：連接GE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=ADC=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，由折疊的性質得：∠DAE=∠BAE=45°，∠DAG=∠EAG=22.5°，AG⊥DE，∴GD=GE，∴∠GDE=∠GED=∠DAG=22.5°，∴∠CGE=∠GDE+∠GED=45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴GD=GE=CG，∴CG：GD=．故答案為：．12．【答案】.【解析】首先理解題干條件可知這個畫刷所著色的面積=2S△ABD+S扇形，扇形的圓心角為60°，半徑為2，求出扇形面積和三角形的面積即可．三.綜合題13．【解析】(1)D1E=D2F．

∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2．

又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，

∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A

∴AD2=D2F．同理：BD1=D1E．

又∵AD1=BD2，∴AD2=BD1．∴D1E=D2F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，

∴由勾股定理，得AB=10．即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5

又∵D2D1=x，∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x．∴C2F=C1E=x

在△BC2D2中，C2到BD2的距離就是△ABC的AB邊上的高，為．

設△BED1的BD1邊上的高為h，由探究，得△BC2D2∽△BED1，

∴．∴h=．S△BED1=×BD1×h=（5-x）2

又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠FPC2=90°．

又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．

∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=x2

而y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P=S△ABC-（5-x）2-x2

∴y=-x2+x（0≤x≤5）．

（3）存在．

當y=S△ABC時，即-x2+x=6，

整理得3x2-20x+25=0．解得，x1=，x2=5．

即當x=或x=5時，重疊部分的面積等于原△ABC面積的．14．【解析】解：（1）①當α=0°時，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴，∴．②如圖1，，當α=180°時，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案為：．（2）如圖2，，當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如圖3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴．②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE==2，∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，由（2），可得，∴BD==．綜上所述，BD的長為4或．15．【解析】（1）∵四邊形