湖南湖北四校2020屆高三學(xué)情調(diào)研聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題卷(含解析)

-.z.絕密*啟用前【考試時間：2020年4月24日下午15∶00～17∶00】湖南湖北四校2020屆高三學(xué)情調(diào)研聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題卷本試卷共5頁，總分值150分，考試用時120分鐘?？忌⒁猓?．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。2．答復(fù)選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答復(fù)非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試完畢后，將本試卷和答題卡一并交回。?？荚図樌?一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1．集合，，則A． B． C． D．2．，互為共軛復(fù)數(shù)，且則=A．QUOTE B．1 C． D．QUOTE3．如下圖，三國時代數(shù)學(xué)家在"周脾算經(jīng)"中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形〔陰影〕，設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，假設(shè)向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米?！泊笮『雎圆挥?jì)，取〕，則落在小正方形〔陰影〕內(nèi)的米粒數(shù)大約為A．20B．27 C．54 D．644．如圖，在QUOTE中，點(diǎn)QUOTE在線段QUOTE上，且QUOTE，假設(shè)QUOTE，則QUOTEA． B． C． D．25．定義在R上的函數(shù)(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記則的大小關(guān)系為A． B． C． D．6．如下圖是*多面體的三視圖，左上為正視圖，右上為側(cè)視圖，左下為俯視圖，且圖中小方格單位長度為1，則該多面體的側(cè)面最大面積為A. B. C. D.27．雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,又點(diǎn).假設(shè)雙曲線C左支上的任意一點(diǎn)M均滿足,則雙曲線C的離心率的取值范圍為

A.

B.

C.

D.

8．在關(guān)于的不等式組，〔其中〕所表示的平面區(qū)域內(nèi)，存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．的內(nèi)角所對的邊分別為，且，則的最大值為A. B. C. D.10．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值1，則w的取值范圍是A. B. C. D.11．拋物線和直線是拋物口回線C的焦點(diǎn)，P是直線上一點(diǎn)過點(diǎn)P作拋物線C的一條切線與y軸交于點(diǎn)Q，則外接圓面積的最小值為

A． B． C． D．12．有四根長都為2的直鐵條，假設(shè)再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個對棱相等的三棱錐形的鐵架〔不考慮焊接處的長度損失〕，則此三棱錐體積的取值范圍是A. B. C. D.二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－160，則a＝________．14．觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面積〔F〕頂點(diǎn)數(shù)〔V〕棱數(shù)〔E〕三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜測一般凸多面體中所滿足的等式是________.15．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，假設(shè)對于任意的，總存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.16．的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.，且，有以下結(jié)論：①；②；③，時，面積為；④當(dāng)時，為鈍角三角形.其中正確的選項(xiàng)是________________〔填寫所有正確結(jié)論的編號〕三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：60分。17．?dāng)?shù)列滿足：.〔1〕證明：是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)，求實(shí)數(shù)a為何值時恒成立18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝eq\f(1,2).E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)．將△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的大小是60°.連接C′B，C′A，如圖：〔1〕求證：平面C′FA⊥平面ABC′；〔2〕求平面AFC′與平面BEC′所成二面角的大小．19．20．如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于橢圓的右焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn).橢圓的離心率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點(diǎn)，連接并延長其交于點(diǎn)，為上一動點(diǎn)，且在之間移動.〔1〕當(dāng)取最小值時，求和的方程；〔2〕假設(shè)的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，當(dāng)面積取最大值時，求面積最大值以及此時直線的方程．21．函數(shù)，其中a為常數(shù)．〔1〕假設(shè)直線是曲線的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；〔2〕當(dāng)時，假設(shè)函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)．求實(shí)數(shù)b的取值范圍．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為〔t為參數(shù)〕，曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，*軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.〔1〕假設(shè)直線l與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在上，求的取值范圍；〔2〕假設(shè)直線l與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為，求的值.23.[選修4–5：不等式選講]函數(shù),．〔1〕當(dāng)時，求不等式的解集；〔2〕假設(shè)，都有恒成立，求m的取值范圍．-.z.絕密*啟用前【考試時間：2020年4月24日下午15∶00～17∶00】湖南湖北四校2020屆高三學(xué)情調(diào)研聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題參考答案及解析一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。題號123456789101112選項(xiàng)BCBADCBDCBAD1、B.【解析】由題意得，，，∴，應(yīng)選B.2、C【解析】設(shè)，代入得，所以，解得，所以.3、B解析：設(shè)大正方體的邊長為*,則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為N，則，解得：.4、A【解析】QUOTEQUOTEQUOTE，所以QUOTE，從而求得QUOTE.5、D解析：∵函數(shù)f(*)是偶函數(shù)，∴在R上恒成立，∴，∴當(dāng)時，易得為增函數(shù)，∴，∵，∴6、C由三視圖可知多面體是棱長為2的正方體中的三棱錐，故，，，，，∴，，，∴該多面體的側(cè)面最大面積為．應(yīng)選C．7、B解析：雙曲線C左支上的任意一點(diǎn)M均滿足，即，又∴或∴或8、D【解析】由條件可得可行域，如下圖，由,得.因?yàn)橹本€與直線垂直，所以只需圓心到A的距離小于等于1滿足題意即可，即，解得，當(dāng)時恒存在點(diǎn)滿足題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍9 、C【解析】∴由正弦定理，得，，∴整理，得，同除以得，由此可得是三角形內(nèi)角，且與同號，都是銳角，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值為．10、B解析：∵，.令可得，∵在區(qū)間上恰好取得一次最大值，∴解得.令,解得：，∵在區(qū)間上是增函數(shù)，∴,解得.綜上,.應(yīng)選：B.11、答案：A解析：將直線與拋物線C聯(lián)立，得，即直線與拋物線C相切，且切點(diǎn)為.又P是直線上點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時，.又，此時為直角三角形，且外接圓的半徑為1，故圓的面積為.當(dāng)點(diǎn)P不為切點(diǎn)時，設(shè)點(diǎn)，切線斜率為k，則切線方程為，即.將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，其中，則.此時切線方程化簡得，則點(diǎn)，可得.又，所以為直角三角形.設(shè)的外接圓的半徑為r，的中點(diǎn)為，且點(diǎn)M為外接圓的圓心，則，所以外接圓的面積為，當(dāng)時，面積取到最小值為，綜上，外接圓面積的最小值為.12、D解析：設(shè)焊接的三棱錐形鐵架如下圖，取的中點(diǎn)D,連接.由題設(shè)條件易知平面,且，則的面積為,三棱錐的體積，，令,則.令,則.令得，且時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，則V的最大值為,故此三棱錐體積的取值范圍是.二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．2【解析】二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a*－\f(1,*)))eq\s\up12(6)的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(a*)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,*)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)·a6－r·(－1)r·*6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a*－\f(1,*)))eq\s\up12(6)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是Ceq\o\al(3,6)·a6－3·(－1)3＝－160，故a＝2.14、解析：凸多面體的面數(shù)為F.頂點(diǎn)數(shù)為V和棱數(shù)為E，①正方體：F=6，V=8，E=12，得F+V?E=8+6?12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V?E=5+6?9=2；③三棱錐：F=4，V=4，E=6，得F+V?E=4+4?6=2.根據(jù)以上幾個例子，猜測：凸多面體的面數(shù)F.頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E滿足如下關(guān)系：再通過舉四棱錐、六棱柱、…等等，發(fā)現(xiàn)上述公式都成立。因此歸納出一般結(jié)論：故答案為：15、解析：，∴對于任意的，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。為在上的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)且最小值為，∴對于任意的，而總存在，使得，.，∴①時，，不合題意，②時，，此時，不合題意，③時，，，.16、①②④解析：，∴，故可設(shè)，，，.，∴，則，當(dāng)時，，故為鈍角三角形.面，又，∴.，∴，即，∴.當(dāng)，時，的面積為，故四個結(jié)論中，只有③不正確.填①②④。三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17、〔1〕∵，∴∴．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．∴，∴．〔2〕∵．∴∴．由條件可知恒成立即可滿足條件，設(shè)，當(dāng)時，恒成立,當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立．當(dāng)時，對稱軸，在為單調(diào)遞減函數(shù)．，∴，∴時恒成立．綜上知：時，恒成立．18．【解析】(Ⅰ)解法一：∵F是AC的中點(diǎn)，∴AF＝C′F.設(shè)AC′的中點(diǎn)為G，連接FG.設(shè)BC′的中點(diǎn)為H，連接GH，EH.易證：C′E⊥EF，BE⊥EF，∴∠BEC′即為二面角C′－EF－B的平面角．∴∠BEC′＝60°，而E為BC的中點(diǎn)．易知BE＝EC′，∴△BEC′為等邊三角形，∴EH⊥BC′.①∵EF⊥C′E，EF⊥BE，C′E∩BE＝E，∴EF⊥平面BEC′.而EF∥AB，∴AB⊥平面BEC′，∴AB⊥EH，即EH⊥AB.②由①②，BC′∩AB＝B，∴EH⊥平面ABC′.∵G，H分別為AC′，BC′的中點(diǎn)．∴GH綊eq\f(1,2)AB綊FE，∴四邊形EHGF為平行四邊形．FG∥EH，F(xiàn)G⊥平面ABC′，又FG平面AFC′.∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分解法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2.則A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(xiàn)(0，2，1)，E(0，2，0)，C′(eq\r(3)，1，0)．設(shè)平面ABC′的法向量為a＝(*1，y1，z1)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，0，2)，eq\o(BC′,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z1＝0，,\r(3)*1＋y1＝0，))令*1＝1，則a＝(1，－eq\r(3)，0)，設(shè)平面AFC′的法向量為b＝(*2，y2，z2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y2－z2＝0，,\r(3)*2＋y2－2z2＝0，))令*2＝eq\r(3)，則b＝(eq\r(3)，1，2)．∵a·b＝0，∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分(Ⅱ)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2.則A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(xiàn)(0，2，1)，E(0，2，0)，C′(eq\r(3)，1，0)．顯然平面BEC′的法向量m＝(0，0，1)，8分設(shè)平面AFC′的法向量為n＝(*，y，z)，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，－2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y－z＝0，,\r(3)*＋y－2z＝0，))∴n＝(eq\r(3)，1，2).9分cos〈m,n〉＝eq\f(m·n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n)))＝eq\f(\r(2),2)，10分由圖形觀察可知，平