1996年全國高考數(shù)學(xué)試題

一九九六年全國高考數(shù)學(xué)試題理科試題一．選擇題：本題共15個小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知全集I=N，集合（C），。則（A）（B）（C）（D）（2）當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是（A）(A)y(B)y(C)y(D)yo1xo1xo1xo1x（3）若，則x的取值范圍是（D）（A）（B）（C）（D）（4）復(fù)數(shù)等于（B）（A）（B）（C）（D）（5）如果直線、與平面、、滿足：（A）和，那么必有（A）（C）且（B）（D）且且且（6）當(dāng)時，函數(shù)的（D）（A）最大值是1，最小值是-1（B）最大值是1，最小值是（C）最大值是2，最小值是-2（D）最大值是2，最小值是-1（7）橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是（B）（A）（-3，5），（-3，-3）（B）（3，3），（3，-5）（C）（1，1），（-7，1）（D）（7，-1），（-1，-1）（8）若，則等于（A）（A）（B）（C）（D）（9）將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為（D）（A）（B）（C）（D）（10）等比數(shù)列（B）的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若，則等于（A）（B）（C）2（D）-2（11）橢圓的極坐標(biāo)方程為（C），則它在短軸上的兩個頂點(diǎn)的極坐標(biāo)是（A）（3，0），（1，）（B）（），（）（C）（2，），（2，）（D）（），（）（12）等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（C）（A）130（B）170（C）210（D）260（13）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過（，0），（0，）兩點(diǎn)。已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（A）（A）2（B）（C）（D）（14）母線長為1的圓錐的體積最大時，其側(cè)面展開圖圓心角等于（D）（A）（B）（C）（D）（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，則等于（B）（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5二．填空題：本大題共4小題;每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。（16）已知圓答：2與拋物線的準(zhǔn)線相切。則p=__________（17）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個點(diǎn)，以其中3個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有_______個（用數(shù)字作答）答：32(18)的值是_______DCAFBE答：（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成600的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______答：三．解答題：本大題共5小題;共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。（20）（本小題滿分11分）解不等式解：（Ⅰ）當(dāng)時，原不等式等價(jià)于不等式組：因?yàn)樗裕á颍┊?dāng)時，原不等式等價(jià)于不等式組：由（1）得，由（2）得，綜上，當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為（21）（本小題滿分12分）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足：A+C=2B，求的值。解：由題設(shè)條件知：B=600，A+C=1200利用和差化積及積化和差公式，上式可化為將代入上式并整理得從而得（22）（本小題滿分12分）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1ACBEA1C1B1（Ⅰ）求證：BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角（銳角）的度數(shù)。注意：在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）。（Ⅰ）證明：在截面A1EC內(nèi)，過E作EG⊥A1C，G是垂足。AFCBGEA1DC1B1①∵面A1EC⊥側(cè)面AC1，∴EG⊥側(cè)面AC1;取AC中點(diǎn)F，連結(jié)BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，②∵面ABC⊥側(cè)面AC1，∴BF⊥側(cè)面AC1;得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側(cè)面AC1于FG。③∵BE∥側(cè)面AC1，∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，④∵BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵AF=FC，∴FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。（Ⅱ）解：分別延長CE、C1B1交于點(diǎn)D，連結(jié)A1D∵EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，∴DB1=DC1=B1C1=A1B1，∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600，∠DA1B1=∠A1DB1=（1800-∠DB1A1）=300，∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900，即DA1⊥A1C1。∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA1⊥A1C所以∠CA1C1是所求二面角的平面角?！逤C1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=900，∴∠CA1C1=450，即所求二面角為450。（23）（本小題滿分10分）某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？（=，=）解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。依題意得不等式化簡得答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。（24）（本小題滿分12分）已知是過點(diǎn)P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點(diǎn)，分別為A1、B1和A2、B2。（Ⅰ）求的斜率k1的取值范圍;（Ⅱ）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因?yàn)檫^點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個交點(diǎn)，故方程組（1）有兩個不同的解。在方程組（1）中消去y，整理得（2）若，則方程組（1）只有一個解，即與雙曲線只有一個交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾。故，即。方程（2）的判別式為設(shè)的斜率為k2,因?yàn)檫^點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個交點(diǎn)，故方程組（3）有兩個不同的解。在方程組（3）中消去y，整理得（4）同理有，又因?yàn)椋杂杏谑?，與雙曲線各有兩個交點(diǎn)，等價(jià)于（Ⅱ）設(shè)A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.將（5）、（6）代入上式得解得取時，取時，（25）（本小題滿分12分）已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)當(dāng)（Ⅰ）證明：時，（Ⅱ）證明：當(dāng)（Ⅲ）設(shè)當(dāng)時，時，的最大值為2，求.（Ⅰ）證明：由條件當(dāng)取x=0得時，，即，（Ⅱ）證法一：當(dāng)時，在[-1，1]上是增函數(shù)，由此得當(dāng)時，在[-1，1]上是減函數(shù)，由此得當(dāng)時，綜上得證法二：由可得當(dāng)時，有根據(jù)含絕對值的不等式的性質(zhì)，得即（Ⅲ）因?yàn)闀r，在[-1，1]上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時取最大值2，即因?yàn)楫?dāng)時，，即根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為的圖象的對稱軸，由此得由（1）得所以文科試題一．選擇題：本題共15個小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.則（C）（A）（B）（C）（D）（2）當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是（A）(A)y(B)y(C)y(D)yo1xo1xo1xo1x（3）若，則x的取值范圍是（D）（A）（B）（C）（D）（4）復(fù)數(shù)（A）等于（B）（B）（C）（D）（5）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（C）（A）720種（B）360種（C）240種（D）120種（6）已知是第三象限角且，則（A）（B）（C）（D）（D）（7）如果直線、與平面、、滿足：（A）和，那么必有（A）（C）且（B）（D）且且且（8）當(dāng)時，函數(shù)的（D）（A）最大值是1，最小值是-1（B）最大值是1，最小值是（C）最大值是2，最小值是-2（D）最大值是2，最小值是-1（9）中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，離心率為的橢圓方程是（A）（C）（B）（D）（A）（10）圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖圓心角為2400，該圓錐的體積是（A）（B）（C）（D）（C）（11）橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是（B）（A）（-3，5），（-3，-5）（B）（3，3），（3，-5）（C）（1，1），（-7，1）（D）（7，-1），（-1，-1）（12）將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為（D）（A）（B）（C）（D）（13）等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（C）210（D）260（C）（A）130（B）170（14）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過（，0），（0，）兩點(diǎn)。已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（A）（A）2（B）（C）（D）（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，則等于（B）（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5二．填空題：本大題共4小題;每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。（16）已知點(diǎn)（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則p=__________答：4（17）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個點(diǎn)，以其中3個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有_______個（用數(shù)字作答）答：32(18)的值是_______DCAFBE答：（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成600的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______答：三．解答題：本大題共5小題;共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。（20）（本小題滿分11分）解不等式解：（Ⅰ）當(dāng)（Ⅱ）當(dāng)綜上，當(dāng)當(dāng)時，原不等式等價(jià)于不等式組：時，原不等式等價(jià)于不等式組：時，不等式的解集為時，不等式的解集為（21）（本小題滿分12分）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.解：q=1，則有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，故.又依題意S3+S6=2S9可得（22）（本小題滿分12分）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足：A+C=2B，求的值。解：由題設(shè)條件知：B=600，A+C=1200利用和差化積及積化和差公式，上式可化為將代入上式并整理得從而得（23）（本小題滿分12分）【注意：本題的要求是，參照標(biāo)本①的寫法，在標(biāo)本②、③、④、⑤的橫線上填寫適當(dāng)步驟，完成（Ⅰ）證明的全過程;并解答（Ⅱ）.】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分別是BB1、CC1上的點(diǎn)，且BE=，CF=2A1C1B1FEACB（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF;（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積。（Ⅰ）證明：①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延長FE與CB延長線交于D，連結(jié)AD?！唷鱀BE∽△DCF，∴②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，∴DB=AB.③∵△ABD是等腰三角形，且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，且CA⊥AD，∴FA⊥AD.⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA面ADF，A1GB1C1FEABDC∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F在面A1B1C1內(nèi)作B1G⊥A1C1，垂足為G.B1G=..面A1B1C1⊥面A1C，∴EBB1，而BB1∥面A1C，∴三棱錐E-AA1F的高為.S△A1AF=·AA1·AC=.∴VA1-AEF=VE-AA1F=（24）（本小題滿分10分）某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？（=，=）解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。依題意的不等式化簡得答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。（25）（本小題滿分12分）已知是過點(diǎn)P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點(diǎn)，分別為A1、B1和A2、B2。（Ⅰ）求的斜率k1的取值范圍;（Ⅱ）若A1恰是雙曲線的一個頂點(diǎn)，求|A2B2|的值。解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因?yàn)檫^點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個交點(diǎn)，故方程組（1）有兩個不同的解。在方程組（1）中消去y，整