2021年湖南省邵陽市洞口縣洞口鎮(zhèn)洞口中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2021年湖南省邵陽市洞口縣洞口鎮(zhèn)洞口中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點P為雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，I為的內心（三角形內切圓的圓心），若（分別表示的面積）恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A．(1,2]

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(2,3]參考答案：A如圖，設圓與的三邊分別相切于點，分別連接，則，，，又，，，，又，故選A.

2.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有且當時，的值為（

）

A．-2

B．-1

C．2

D．1參考答案：D略3.已知，則方程所有實數(shù)根的個數(shù)為 A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D略4.已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}．那么集合A∩(?UB)等于 ()．A．{x|－2≤x＜4}

B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}

D．{x|－1≤x≤3}參考答案：D略5.如圖，某幾何體的三視圖中，正視圖和側視圖都是半徑為的半圓和相同的正三角形，其中三角形的上頂點是半圓的中點，底邊在直徑上，則它的表面積是（）A．6π B．8π C．10π D．11π參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個半球挖去一個圓錐所得的組合體，進而可得幾何體的表面積．【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個半球挖去一個圓錐所得的組合體，由正視圖和側視圖都是半徑為的半圓和相同的正三角形，故半球的半徑為，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，故組合體的表面積S=+（﹣π?12）+π?1?2=10π，故選：C【點評】本題考查的知識點是圓錐的體積和表面積，球的體積和表面積，難度中檔．6.若，則函數(shù)的最大值和最小值為

（

）A、最大值為2，最小值為；

B、最大值為2，最小值為0；C、最大值為2，最小值不存在；

D、最大值不存在，最小值為0；參考答案：D7.圓截直線所得弦長為8，則c的值為A

10

B

-68

C

12

D

10或-68參考答案：D略8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入的x值為2，則輸出的x的值為（

）A．2

B．3

C.

4

D．5參考答案：D模擬執(zhí)行程序，可得x=2，i=1，滿足條件i≤2，執(zhí)行循環(huán)體，x=3，i=2，滿足條件i≤2，執(zhí)行循環(huán)體，x=5，i=3，不滿足條件i≤2，退出循環(huán)，輸出x的值為5，故選D.

9.已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0參考答案：D【考點】復合命題的真假．【專題】函數(shù)思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】分別求出p，q成立的m的范圍，取交集即可．【解答】解：關于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，關于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，則△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q為真命題，則p，q均為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是：﹣2＜m＜0，故選：D．【點評】本題考查了復合命題的判斷，考查函數(shù)恒成立問題，是一道基礎題．10.

如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.球為棱長為的正方體的內切球，為球的球面上動點，為中點，,則點的軌跡周長為

．

參考答案：12.已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，且當時，則的值_______.參考答案：13.已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖像過點，則k＋α＝________.參考答案：14.函數(shù)的單調遞減區(qū)間是

.參考答案：（）15.觀察下列等式：可以推測：___________(，用含有n的代數(shù)式表示)參考答案：16.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若|AF|=5，則△AOF的面積為．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】設A（x1，y1）、B（x2，y2），算出拋物線的焦點坐標，從而可設直線AB的方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根與系數(shù)的關系算出y1y2=﹣4．根據(jù)|AF|=5利用拋物線的拋物線的定義算出x1=4，可得y1=±4，進而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面積公式加以計算，即可得到△AOB的面積．【解答】解：根據(jù)題意，拋物線y2=4x的焦點為F（1，0）．設直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x﹣1），由消去x，得y2﹣y﹣4=0，設A（x1，y1）、B（x2，y2），由根與系數(shù)的關系可得y1y2=﹣4．根據(jù)拋物線的定義，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入拋物線方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵當y1=4時，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；當y1=﹣4時，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB兩點縱坐標差的絕對值等于5．因此△AOB的面積為：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|?|y1|+|OF|?|y2|=|OF|?|y1﹣y2|=×1×5=．故答案為：．17.四邊形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，則它的面積最大值等于．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【分析】由題意，當D在BC的正上方時S△DBC面積最大，A為BC的正下方時S△ABC面積最大，設BC為2x，可求DH=，S四邊形ABCD=x2+x，設x=sinθ，則利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得S四邊形=[1+sin（2θ﹣）]，利用正弦函數(shù)的性質即可求得S四邊形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D在以BC為焦點的橢圓上運動，A在以BC為直徑的圓上運動，∴當D在BC的正上方時S△DBC面積最大，A為BC的正下方時S△ABC面積最大，此時，設BC為2x，則DH=，∴S四邊形ABCD=S△BCD+SABC=x+=x2+x，設x=sinθ，則=cosθ，∴S四邊形=sin2θ+sinθcosθ=（2sin2θ+2sinθcosθ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）=[1+sin（2θ﹣）]，∴當sin（2θ﹣）=1時，即θ=時，S四邊形取得最大值，最大值為：．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(14分)如圖，在中，，一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，并保持的值不變，直線l經過點A與曲線E交于兩點。（1）建立適當?shù)淖鴺讼担笕‖F(xiàn)E的方程；（2）設直線l的斜率為k，若為鈍角，求k的取值范圍。

參考答案：解析：（Ⅰ）以AB所在直線為軸，AB的中點O為原點建立直角坐標系，則有題設可得：動點P的軌跡為橢圓設其方程則曲線E的方程為（Ⅱ）設直線的方程為

①有直線過點A知，方程①有兩個不等的實數(shù)根是鈍角即，解得：又M、B、N三點不共線，綜上，的取值范圍是19.如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=CD=SD=AD=2AB=2，M，N分別為SA，SB的中點，E為CD的中點，過M，N作平面MNPQ分別與交BC，AD于點P，Q．（Ⅰ）當Q為AD中點時，求證：平面SAE⊥平面MNPQ；（Ⅱ）當時，求三棱錐Q﹣BCN的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導出四邊形ABCE為矩形，從而AE⊥CD，再求出PQ⊥AE，SE⊥CD，從而SE⊥面ABCD，進而PQ⊥SE，由此能證明PQ⊥面SAE，從而面MNPQ⊥面SAE．（Ⅱ），推導出SE即為S到平面BCQ的距離，即SE=h，由此能求出三棱錐Q﹣BCN的體．【解答】證明：（Ⅰ）E為CD中點，所以四邊形ABCE為矩形，所以AE⊥CD，當時，Q為AD中點，PQ∥CD所以PQ⊥AE…因為平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD…因為PQ在面ABCD上，所以PQ⊥SE所以PQ⊥面SAE所以面MNPQ⊥面SAE…解：（Ⅱ）∵SC=SD，E為CD中點∴SE⊥CD又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，S在平面SCD內∴SE⊥面ABCD∴SE即為S到平面BCQ的距離，即SE=h…在△SCD中，SC=SD=CD=2，∴在直角梯形ABCD中，由已知得∵M，N為中點∴MN∥AB∴AB∥面MNPQ又∵平面MNPQ∩平面ABCD=PQ∴AB∥PQ，又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴∴…如圖，在梯形ABCD中，∵GD=1，，∴，∴所以三棱錐Q﹣BCN的體積．…20.已知函數(shù)，其中為正實數(shù)，是的一個極值點.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當時，求函數(shù)在上的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）因為是函數(shù)的一個極值點，

所以因此，解得經檢驗，當時，是的一個極值點，故所求的值為.……………4分所以，的單調遞增區(qū)間是單調遞減區(qū)間是當時，在上單調遞減，在上單調遞增所以在上的最小值為當時，在上單調遞增，所以在上的最小值為略21.設,是上的偶函數(shù).

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)證明:在上是增函數(shù).參考答案：（1）由····························6分

（2）證法一：定義法（略）證法二：（導數(shù)法）證明：由（1）可知····10分······12分22.已知，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求單調區(qū)間；（Ⅲ）若不等式在[0,+∞)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）因為，所以，得，.（Ⅱ）由題意知，所以，當時，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞降，當時，，令，得或，令，得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，，令，得或，令，得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，在上恒成立，綜上所述，當時，在上單