智能控制理論及應(yīng)用-

一、模糊集合和隸屬函數(shù)二、模糊集合的基本運(yùn)算三、模糊集合的基本定理四、模糊關(guān)系及其運(yùn)算五、模糊邏輯與近似推理六、工程模糊控制中常用的模糊推理第一章Ax

A0,

x

Af

(x)

1,經(jīng)典集合及其特征函數(shù)表示集合（SETS）：在論域范圍內(nèi)具有某種屬性的、確定的彼此間可以區(qū)別的事物的全體。元素：組成集合的事物。元素與集合的關(guān)系：“屬于”或者“不屬于”。論域：被研究對(duì)象的全體元素組成的基本集合。例1-1：大于6的實(shí)數(shù)的經(jīng)典集合：A

{x

R

x

6}特征函數(shù)：表示論域中的元素與集合的關(guān)系。Heights1.801.0Crisp

set

AMembershipfunctionHeights1.80

2.01.0.9.5Fuzzy

set

AA

=

Set

of

tall

people從經(jīng)典集合過渡到模糊集合：Membership

Functions(MFs)：Characteristics

of

MFs:Subjective

measuresNot

probability

functionsMFsHeights1.800.80.50.1tall”

in

Asia“tall”

in

the

US“tall”

in

NBA1.1模糊集合與隸屬函數(shù)一、模糊集合與隸屬函數(shù)1.模糊集合的定義：設(shè)X是對(duì)象x的集合，x是X的任一元素。X上的模糊集合定義為一組有序?qū)Γ?/p>

{(

A

(,

))

其中，A

(x)稱為模糊集合A的隸屬函數(shù)（Membership

Functions）MF將X中的每個(gè)元素 為0與1之間的隸屬度（隸屬值），X稱為論域（UniverseofDiscourse），它或者是離散的對(duì)象集，或者是連續(xù)空間，注意：論域X本身是普通集合。模糊集合A可以由隸屬函數(shù)A

(x)來表示，其大小反映了x對(duì)于模糊集合A的隸屬程度。若A

(x)接近1，表示x屬于A的程度高若A

(x)接近0，表示x屬于A的程度低。2.模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法很多，關(guān)鍵是要把它所包含的元素及相應(yīng)的隸屬度函數(shù)表示出來：（1）Zadech法：（a）論域xnx2x1

(

x

)

(

x

)

(

x

)A

A

1

A

2

A

n

21（b）論域X連續(xù)A

XAx

(

x)2.模糊集合的表示方法（1）Zadech法：例在整數(shù)123…10組成的論域中，設(shè)A表示模糊集合“幾個(gè)”，并設(shè)各元素的隸屬度函數(shù)依次為uA(x)={0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0},則A可表示為：X

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A

0

0

0.3

0.7

1

1

0.7

0.3

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

102.模糊集合的表示方法（2）函數(shù)表示法：例：以作為論域，取X=[0，200]，設(shè)O表示模糊集合“年老”，Y表示模糊集合“年青”。已知“年老”和“年青”的隸屬度函數(shù)分別為：1

(0

x

2525

x

200)511x

252Y

(

x)

1

(0

x

5050

x

20001)25

x

50O

(

x)

2.模糊集合的表示方法其隸屬度函數(shù)曲線如右圖所示：)2

]10x

50[1

(0

O

50Y

1

5[1

(

x

25)2

]1則模糊集合O和Y可分別表示為：00.51.02550100

xu3.模糊集合的隸屬函數(shù)1特征函數(shù)T10283015

2040涼舒適熱隸屬函數(shù)01T15

20

2830舒適涼熱10隸屬函數(shù)與特征函數(shù)的比較3.模糊集合的隸屬函數(shù)確定隸屬函數(shù)的的一般原則確定隸屬函數(shù)的常用方法經(jīng)驗(yàn)法模糊統(tǒng)計(jì)法二元排序法表示隸屬函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合；變量所取的隸屬函數(shù)通常是對(duì)稱的和平衡的；隸屬函數(shù)要注意語意順序，避免不必要的。3.模糊集合的隸屬函數(shù)常用的隸屬函數(shù)類型：（內(nèi)置11種常用的隸屬函數(shù)）三角形函數(shù)梯形函數(shù)函數(shù)鐘形函數(shù)Z函數(shù)S函數(shù)3.模糊集合的隸屬函數(shù)常用的隸屬函數(shù)類型：（內(nèi)置11種常用的隸屬函數(shù)）三角形隸屬函數(shù)函數(shù)：y=trimf(x,[a,b,c])梯形隸屬函數(shù)函數(shù)：y=trapmf(x,[a,b,c,d])x

aa

x

bb

x

cc

xtrig(

x;

a,

b,

c)

c

x

cb

0

0

xabax

aa

x

bb

x

cc

x

dd

xd

c

d

xbaxa

0

0Trap(x,

a,

b,

c,

d

)

13.模糊集合的隸屬函數(shù)常用的隸屬函數(shù)類型：（內(nèi)置11種常用的隸屬函數(shù)）隸屬函數(shù)函數(shù)：y=gaussmf(x,[σ,c])鐘型隸屬函數(shù)函數(shù)：y=gbellmf(x,[a,b,c])c代表MF的中心；

決定MF的寬度。

1

(

xc

)2;(),

ecx2

ga1

xc

2b(;x,b,)aellbc

13.模糊集合的隸屬函數(shù)常用的隸屬函數(shù)類型：（內(nèi)置11種常用的隸屬函數(shù)）1.2模糊集合的基本運(yùn)算二、模糊集合的基本運(yùn)算1.模糊集合的相等A

(x)

B

(x)

A

B2.模糊集合的包含關(guān)系A(chǔ)

(x)

B

(x)

A

B3.模糊空集A

(x)

0

A

4.模糊集合的并集CA

BA

(m)a,

x[B

( )]

B5.模糊集合的交集CA

BA

(m)i,n[B

(

)]

B6.模糊集合的補(bǔ)集BA((1))A7.模糊集合的直積AB

(AB

())]1.0A二、模糊集合的基本運(yùn)算B1.0A∩B1.0AB1.0A∪B1.0AB1.0AA∩BA∪B經(jīng)典邏輯運(yùn)算A1.0AB1.0AB1.0

A模糊邏輯運(yùn)算二、模糊集合的基本運(yùn)算例設(shè)論域X={x1，x2，x3，x4}，以及模糊集合：x4A

1

0.8

0.4

0.5B 73試求A∪B，A∩B，AB00000

x

x

xA

B

x4

100..9800..440.050000.x1x1

x2

x3

x4

x

x

xx3x2A

B

3

2x3

x4A

1

1

1

0.8

1

0.4

1

0.5

0

0.2

0.6

0.53

2x3

x4B

1

0.9

1

0.4

1

0

1

0.7

0.1

0.6

1

0.3模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)與普通集合的不同之處：1.分配律A

(B

C)

(

A

B)

(

A

C)A

(B

C)

(

A

B)

(

A

C)2.結(jié)合律(

A

B)

C

A

(B

C)(

A

B)

C

A

(B

C)3.交換律A

B

B

AA

B

B

A4.吸收律(

A

B)

A

A(

A

B)

A

A5.冪等律A

A

AA

A

A6.同一律A

X

X

,

A

X

A7.達(dá).律(

A

B)

A

B(

A

B)

A

BA

A

X

,

A

A

1.0A1.0A經(jīng)典邏輯運(yùn)算1.0A∪A1.0A∩AAA模糊1.0邏輯運(yùn)算A1.0

AA1.0

A模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)A∩AA∪A模糊集合的其它類型運(yùn)算1.代數(shù)和A?B

A?

B

()A

(x)B

(x)2.代數(shù)積

BABA3.有界和

BA14.有界差

AB,5.有界積AB1.3模糊集合的基本定理三、模糊集合的基本定理A{(x

x

U,

(x)

}為模糊集合A的λ截集或水平截集。AAλ是普通集合，其特征函數(shù)為：0,

(

x)

f

(x)

1,A

(x)

AA（1）λ截集：模糊集合和普通集合可以相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換的方法主要通過λ截集來實(shí)現(xiàn)。定義：設(shè)A為論域U上的一個(gè)模糊集合，對(duì)任何λ∈[0,1]，稱普通集合0λ1.0xuf

A

(

x)轉(zhuǎn)換過程如右圖所示：[0,1]其中λAλ稱為λ與Aλ的乘積，可由λ與Aλ的特征函數(shù)相乘得到：三、模糊集合的基本定理定理一：分解定理定義：設(shè)A為論域U上的一個(gè)模糊集合，Aλ是A的λ截集，λ∈[0,1]，則有：A

A0,

(

x)

(x)

AA,

A

(x)

由分解定理可以看出：一個(gè)模

糊集合可以由無窮多個(gè)普通集

合（Aλ）的數(shù)乘的并來構(gòu)成，這樣就可以把模糊集合的問題轉(zhuǎn)換為普通集合的問題來考慮。xA

(

x)u1.0λ3λ2λ10分解定理的圖示三、模糊集合的基本定理定理二：擴(kuò)張?jiān)矶x：設(shè)f是普通集合X到Y(jié)的，A是X上的模糊集合，則A在f下的像f(A)f

1

(

y)

1

(

y)

1

0,

fA(

y

)

(

y)

x

ff

(

A)

(x),是Y上的模糊集合，其隸屬函數(shù)規(guī)定為：若B是Y上的模糊集合，則B在f下的原像f-1(B)是X上的模糊集合其隸屬函數(shù)規(guī)定為：

1

(x)

B

(

f

(f

(

B)模糊集合的基本定理例題

{a,

b}

{a,

b,

c}則A的λ截集可表示為：A1

{a}A0.7A0.5a

b

c

d

e例1：設(shè)論域X={a，b，c，d，e}上的模糊集合A為：A

1

0.75

0.5

0.2

0A0

{a,

b,

c,

d

,

e}把模糊集合A的支集(support)定義為：

A

{(x

x

U,

(x)

0}s

A則上題中：sA

{a,

b,

c,

d}模糊集合的基本定理例題例2：設(shè)X={x1，x2，x3，x4，x5}，Y＝｛y1，y2,y3｝，有

f：X->Y，f(x1)=f(x2)=f(x3)=y1,f(x4)=f(x5)=y2，已知X上的模糊集合A為：若已知Y上的模糊集合B

A

8.1

2

3

4試求f(A)?yy32y1y3y2

A

1

A

2

A

y1000..58(fA()

解：y1

y200..試求f-1(B)?x4

x531

(B)

0.3

0.3

0.3

0.7

0.7f解：1.4模糊關(guān)系及運(yùn)算四、模糊關(guān)系及運(yùn)算0.概述：描述元

間是否相關(guān)的數(shù)學(xué)模型稱為關(guān)系，描述模糊元素之間相關(guān)程度的數(shù)學(xué)模型稱為模糊關(guān)系。模糊關(guān)系是模糊數(shù)學(xué)的重要組成部分。當(dāng)論域有限時(shí)，可用模糊矩陣表示模糊關(guān)系。模糊矩陣為模糊關(guān)系的運(yùn)算帶來了極大的方便，成為模糊關(guān)系的主要運(yùn)算工具?！罼n上的模糊集合：n

))n

}n其中，以n=2的模糊關(guān)系最為常用。n

)

(

n

)

R

((n

),

R

(n

)

四、模糊關(guān)系及運(yùn)算1.模糊關(guān)系的定義：n元模糊關(guān)系R是定義在直積X1×X2×···nR

{((若

21,,{

n},

21

yny}y是集合時(shí)，定義在X×Y上的模糊關(guān)系RR

n m

R

n

2

R

n

1R

2

mR

2

1

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)R

2

2

R

(

x1,

y1

)

R

(

x1,

y2

)

R

(

x1,

ym

)可用模糊矩陣表示為：R

模糊關(guān)系舉例例1：設(shè)X是實(shí)數(shù)集合，并x，y∈X，對(duì)于“y比x大得多”的模糊關(guān)系R，其隸屬度函數(shù)可表示為：對(duì)于“y和x大致相等”的模糊關(guān)系R，其隸屬度函數(shù)可表示為：

(x,

y)

e

x

y

0R例2：設(shè)X是家庭中的兒子和女兒，Y為家庭中的父親和母親，，x

yx

yy

xR)2

101

(

(

x,

y)

1

0對(duì)于“

跟父母長的相似”的模糊關(guān)系R，可用模糊矩陣表示：0.6父母子

0.8

0.3R女0.3模糊關(guān)系的定義：設(shè)X、Y、Z是論域，R是X到Y(jié)的一個(gè)模糊關(guān)系，S是Y到Z的一個(gè)模糊關(guān)系，則R到S的

T也是一個(gè)模糊關(guān)系。記為T=R。S，其隸屬度函數(shù)可表示為：RS(x,

z)

(R

(x,

y)

R

(

y,

z))上述

稱最大-星yY（max-star

composition），其中二yY項(xiàng)積算子“*”可定義為以下幾種運(yùn)算，其中x，y∈[0，1]x

y

min{

x,

y}x

y

xyx

y

max{0,

x

y

1}最常用的

方法：最大-最小

（max-min

composition）R

S

RS

(x,

z)