球面幾何選修球面三角形中邊角的基本性質(zhì)市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

導(dǎo)入新課球面三角形是一類特殊三角形，也含有三角形一些通性，一樣，在生活當(dāng)中我們也能夠發(fā)覺它應(yīng)用.一些天然礦石含有球面三角形態(tài)汽車標志設(shè)計一些精美飾品第1頁在前面所學(xué)平面幾何知識中，我們已經(jīng)知道，在平面三角形中：三角形三內(nèi)角和等于180°（在球面上，三角形內(nèi)角之和大于180°）；三角形一個外角等于和它不相鄰兩個內(nèi)角之和；第2頁三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰內(nèi)角；在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊.第3頁那么對于球面三角形，這些性質(zhì)是否依然成立呢？下面，我們將對球面三角形一些基本性質(zhì)進行學(xué)習(xí).第4頁2.3球面三角形邊角基本性質(zhì)第5頁教學(xué)目標

【知識與能力】掌握球面三角形基本概念.熟記球面三角形中邊角基本性質(zhì).

【過程和方法】利用所學(xué)過平面三角形邊角關(guān)系進行知識遷移，掌握球面三角形基本性質(zhì).經(jīng)過對球面三角形基本性質(zhì)證實，加深對知識了解.第6頁

【情感態(tài)度和價值觀】經(jīng)過平面幾何向空間幾何過渡，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，和知識遷移能力.在球面三角形邊角性質(zhì)證實過程中，鍛煉邏輯思維能力.第7頁重點球面三角形定義、概念，了解球面三角形中邊角對應(yīng)關(guān)系.難點球面三角形邊角性質(zhì)證實.教學(xué)重難點第8頁教學(xué)內(nèi)容球面上，順次連接不在同一個大圓上三個點球面線段所組成圖形，稱為球面三角形.球面三角形定義：知識回顧這三條球面線段叫做球面三角形邊；這三個點叫做球面三角形頂點；每兩條球面線段所形成球面角，叫做球面三角形內(nèi)角.AOBC第9頁基本性質(zhì)1球面三角形兩邊之和大于第三邊.即在球面△ABC中，a+b>cc+a>bb+c>a第10頁證實：如圖，在球面△ABC中，將A,B,C三個頂點分別與球心O相連，從而得到三面角O-ABC.由三面角性質(zhì)（三面角任意一個面角小于其它兩個面角之和而大于其差），可得D

AOB+D

AOBD

BOC>D

AOC又在單位圓中弧長與其對應(yīng)圓心角弧度數(shù)相等，所以c+a>b同理，可證實a+b>c,b+c>a第11頁由球面三角形基本性質(zhì)1，我們能夠推知，OABCabc球面三角形兩邊之差小于第三邊若在球面三角形中，三邊關(guān)系為a>b>c則a-b<ca-c<bb-c<a第12頁基本性質(zhì)2球面三角形中，等邊所對角相等，等角所對邊相等.FOAEDBCbac即在球面ABC中，b=cDB=DCDB=DCb=c第13頁證實：FOAEDBCbac先證實在球面△ABC中，若b=c則∠B=∠C，如圖，過頂點A作平面OBC垂線交該平面于點D，過點D分別作OB,OC垂線DE,DF.因b=c，所以∠AOE=∠AOF又因為OA=OA,所以Rt△AEO≌Rt△AFO,第14頁所以∠AED=∠AFD,又因為∠AED=∠B,∠AFD=∠C,從而有∠B=∠C.所以AE=AF,又因為AD=AD，所以

Rt△ADE≌Rt△ADF,下面再證實由∠B=∠C推出b=c,第15頁觀察球面△ABC球極三角形，因為球極三角形邊與原三角形對應(yīng)角之和為π，所以b'=c'.由上面證實可得∠B=∠C再由球極三角形邊與原三角形對應(yīng)角之和為π，就可得b=cFOAEDBCbac第16頁基本性質(zhì)3球面三角形中，大角對大邊，大邊對大角.即在球面ABC中，b>aDB>DADB=DAb>aABCbca第17頁則由基本性質(zhì)2，可推知,依據(jù)基本性質(zhì)1，ABCDabc證實：在球面三角形ABC中，設(shè)DABC=DBAC作球面角∠ABD,使其等于∠A，ADBD=有b=+=+>aADDCBDDC第18頁證實：因為a，b，c均為正，故a+b+c＞0°,又由立體幾何得知凸多面角各面角之和小于360°，所以課外擴展經(jīng)過前面學(xué)習(xí)，我們知道了球面三角形中邊角對應(yīng)關(guān)系，現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)兩條相關(guān)球面三角形中邊、角角度性質(zhì).球面三角形三邊之和大于0°而小于360°.

0<a+b+c<360°∠AOB+∠BOC+∠COA＜360°OABCabc第19頁證實：由極三角形和原三角形關(guān)系得：a'+A=180°，b'+B=180°，c'＋C=180°，即A+B+C=540°-(a'+b'+c')但依據(jù)定理2有：0°＜a'＋b'＋c'＜360°所以上式化為180°＜A+B+C＜540球面三角形三角之和大于180°而小于540°.OABCabc第20頁課堂小結(jié)1.球面三角形兩邊之和大于第三邊.由三面角性質(zhì)，兩面角之和大于第三個面角，并由單位球面中，弧長與圓心角對應(yīng)關(guān)系可知.2.球面三角形等邊對應(yīng)角相等，等角對應(yīng)邊相等.經(jīng)過作圖，添加輔助線，結(jié)構(gòu)全等三角形來證實邊角間對應(yīng)關(guān)系.第21頁3.球面三角中，大邊對大角，大角對大邊利用前面基本性質(zhì)1、性質(zhì)2能夠推知，邊（角）越大，對應(yīng)角（邊）也越大.第22頁解析：本小題考查球截面圓性質(zhì)、球表面積，基礎(chǔ)題.解：設(shè)球半徑為R，圓M半徑為r，則πr2=3π，即r2=3由題得R2-（）2=3，所以R2=44πR2=16π.R高考鏈接1.（09全國卷）已知OA為球O半徑，過OA中點M且垂直于OA平面截球面得到圓M，若圓M面積為3π，則球O表面積等于___________.2第23頁到圓C.若圓C面積等于，則球O表面積等于________.7π42.(09全國卷)設(shè)OA是球O半徑，M是OA中點，過M且與OA成45°角平面截球O表面得答案：8π解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進行運算，由47π.8)144(4422pppp===RS第24頁3.(09全國卷)直三棱柱ABC-A1B1C1各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,D=BAC則此球表面積等于________.120°解:在△ABC中,AB=AC=2,DBAC=120°可得,BC=23由正弦定理,可得△ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在RT△OBO′中，易得球半徑R=5，故此球表面積為4πR2=20π.答案：20π第25頁弧長是（為R地球半徑），則這兩地間球1．三個球半徑之比為1:2:3，那么最大球體積是其余兩個球體積和_______倍；2.北緯60°圈上M,N兩地，它們在緯度圈上πR2面距離為______．課堂練習(xí)第26頁3.在半徑為13cm球面上有A,B,C三點，其中AB=BC=AC=12cm，求球心到經(jīng)過這三點截面距離.ABCO第27頁兩點劣弧長為（R為地球半徑），求OO/AB24RpA,B兩點間球面距離.4．在北緯45°圈上有A,B兩點，設(shè)該緯度圈上A,B第28頁5．已知過球面上A,B,C三點截面和球心距離為球半徑二分之一，且AB=BC=CA=2，求球表面積．OAO/BC第29頁6．半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體一個面在半球底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，求球表面積和體積．A6OBCD第30頁所以，球心到截面距離為11cm.3.解：設(shè)經(jīng)過A,B,C三點截面為⊙O′,設(shè)球心為O，連結(jié)OO′，則OO′⊥平面ABC,∵AO′=×12×=4,∴=-=11OOOAOA22￠￠1.2.33p習(xí)題答案3232第31頁∴a=，∴AB=r=R，∴△ABC中,∠AOB=，所以,A,B兩點球面距離等于R說明：要求兩點球面距離，必須先求出兩點直線距離，再求出這兩點球心角，進而求出這兩點球面距離.4.解：設(shè)北緯45°圈半徑為r，則r=，設(shè)O′為北緯45°圈圓心，∠AOB′=，a2424∴ar=πR，∴Ra=πR，2224π

223π3π第32頁64解：設(shè)截面圓心為O'，連結(jié)O'A，設(shè)球半徑為R，則323==2

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232O'A··在直角△O'OC中，OA2=O'A2+O'O232314R