線性代數(shù)-p前次課內(nèi)容回顧

前次課內(nèi)容回顧引理概念：轉(zhuǎn)置行列式主要結(jié)論：行列式的性質(zhì)1~6式代數(shù)式性計(jì)算質(zhì)行3

列行式列的式基的本某方一法行：（消列元）法中所有的元素都性乘特質(zhì)殊以5行同列一若式數(shù)行：列k典式，型的等字某于母一用行列數(shù)列（式k行、乘）剪此的形行元行列素列式都式.是兩性性質(zhì)質(zhì)６12

互行把列行式列與式它的的某轉(zhuǎn)一置列行（列行式）相,的行等各列.元式素變乘號(hào)以.性同質(zhì)一４數(shù)然后行加列到式另中一如列果(有行兩)對(duì)行應(yīng)（的列元）素元上素去成，比行列例式，不則變此．行列式為零．

aij

AijD

數(shù)之和,則Da等于兩a個(gè)行列a式之和.1

jaijanj1n

0ann110

an1定理３

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)式乘積之和，即i

1,2,,

n證annan2an1D

aa1na12a11二、行列式按行（列）展開法則a11

a12

ai

1ann

ann

an1

an

2ai

2a1na1n

a11

a12

0

0

0

0

annainan1

an

2a1nan1

an

2a11

a12

0

0

i

1,2,,

n例1

5

12

0

5D

5

55

1

10

0c1

2c3c4

c3

5

5

0

(1)33

11

1

15

1

15

1

1

6

2

0

5

5

0

(1)13

62

8

2

5

5

0

5

40.r2

r1推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）in

jn的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)

式乘積之和等于零，即ai

1

Aj1

ai

2

Aj

2a1nain

,a

jnanna11ai1

a

jn

Ajn

a

j1an1a

j1

Aj1證

把行列式

D

det(aij定理３

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)式乘積之和，即i

1,2,,

nini1in

jni1

j1annan1

,aina

aa1na11a

A

a

A

ai1把

a

jk

換成

aik第j

行第i

行當(dāng)

i

j

時(shí),ai1

Aj1

ai

2

Aj

2(i

j).(i

j).

ain

Ajn

0,同理

aniAnj

0,a1i

A1

j

a2i

A2j相同a1nain

,a

jnanna

j1

Aj1a11ai1

a

jn

Ajn

a

j1an1注把a(bǔ)

jk

換成bk

(k

1,,n),可得b1

Aj1

bn

Ajn

,a1naina11ai1b1

bn

an1

ann（此結(jié)論對(duì)列也成立）a1na

j1

Aj1ini1

,a

jnanna

aa11

a

jn

Ajn

a

j1an12

3611184723設(shè)行列式

D

1例21Aij

是aij的代

A4A241數(shù)式則2

3611110811121A41

A42

A43

A44

11=0解例3設(shè)n階行列式1

2

3

n1

2

0

00

3

0

1

0

0

nDn

1求第一行各元素的代數(shù)

式之和及第一列各元素的式之和A11

A12

A1n及M11

M21

Mn1.解

第一行各元素的代數(shù)式之和可以表示成11A

A12

A1n111112001030100n.

1

nj2

n! 1

j“剪形”行列式

A

A

(1)n1

A11

21

n1n1M11

M21

M123n12001030(1)n100n關(guān)于代數(shù)式的重要性質(zhì)D

,當(dāng)

i

j,0

,當(dāng)

i

j;ijnk

1ki

kja

A

D

D

,當(dāng)

i

j,0

,當(dāng)

i

j;ijn

ik

jkk

1a

A

D

0

,當(dāng)

i

j.

1

,當(dāng)

i

j其中

ij證

用數(shù)學(xué)歸納法1

21

1

D2

xx

x2

x1x

j

),

xiij

12

當(dāng)n

2

時(shí)（1）式成立(jin1n12n11212221jixx).nD

例4

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式

111(1)假設(shè)（1

01

)21

x

)2n2

(x1列就有110

x2

x1111Dn

(

)(

1312nij

21inn

(

xi

x

j

).nij

1nn2n1312n2211

1n(

)(

n-1階范德蒙德行列式2n0

(ad

bc)n000abababD

cdcdd

(

2n)(

2n)c例5

證明（遞推法）注：此行列式也稱為雙對(duì)角行列式.解

按第一行展開，有ab

0

a

b

a

cdc0d00dD2n0abacbd0cc0d0

b(1)12n2(n1)

adD

bc(1)2n11

D2(n1)

2(n1)

(ad

bc)D以此作遞推公式，即可得

(ad

bc)n2nbc

d

(ad

bc)n1

a

(ad

bc)2

D2(n2)D

(ad

bc)D2(n1)2

(ad

bc)n1

D

dcdca

bc

dbabaD

2nnan

D2nca1

b1c1

d111

12221

nnnnxx（2）

D

i

ii

in

(a

d

b

c

)i1j(

xi

)ni

j

1xxji利用前面的兩個(gè)例子，你能很快說出下面兩個(gè)行列式的結(jié)果嗎？（1）1

2111nij

111212221例6證明11

11ab

cda2b2

c2d

2a4b4

c4d

4

(a

b)(a

c)(a

d

)(b

c)b

d

)(c

d

)(a

b

c

d

)11111abcdxa

2b

2c

2d

2x

2a3b3c3d

3x3a

4b

4c

4d

4x

4（*）易知，所求行列式是x

3的系數(shù)相反數(shù)，而由范德蒙行列式知：解構(gòu)造范德蒙行列式：1

1

1

1

1a

b

c

d

xb2

c

2

d

2

x

2a3

b3

c3

d

3

x3a

4

b4

c

4

d

4

x

4

(x

a)(x

b)(x

c)(x

d

)(b

a)(c

a)(d

a)(c

b)(d

b)(d

c)(*)

a

2

(a

b

c

d

)(b

a)其中，x

3的系數(shù)為(c

a)(d

a)(c

b)(d

b)(d

c)故原行列式D

(a

b

c

d)(b

a)(c

a)(d

a)(c

b)(d

b)(d

c)證畢“加邊法”(1)

an2

x2

ann

xn

bnan1

x1

a12

x2

a1n

xn

b1

a22

x2

a2n

xn

b2

a

x21

1

a11

x1a1nan1

an

2

anna11

a12a22的系數(shù)行列式不等于零，即D

a21a2

n

01.5

克萊姆法則一、克萊姆法則如果線性方程組3211DDD

D

D

DD

Dx

n2

3

n,

x

,

x

,,

x

.其中Dj

是把系數(shù)行列式D

中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n

階行列式，即bnb1an1

an

,

j

1

an

,

j

1

anna11

a1

,

j

1

a1

,

j

1

a1nDj

那么線性方程組1

有解，并且解是唯一的，解可以表為D≠0時(shí)，有唯一解（D=0的情形將在以后章節(jié)中

）克萊姆法則給出了解的表達(dá)形式及Dj的構(gòu)造定理的證明

略去,

提醒大家注意下面幾點(diǎn)：（1）克萊姆法則的前提是方程的個(gè)數(shù)與變量的個(gè)數(shù)相等例1

用克拉默則解方程組x1

322

x

x1

4

x2解D

21

5071

30r1

2r21

302

1r4

r2024

7077

5

13

2

1

27

7

12c

2c

1

2

c3

2c2

3

5

3

0

1

0

7

7

2

7

23

27,

381

519

30

6

5

2

1

204

76D1

81,22

8

5

19

0

60

5

1

21

0

7

6D

1

108,1

3D3

0

27,1D4

0

27,1

3,D

27D

811

x

22x

DD3

273

D

27x

D44D

2D

2x

二、重要定理定理1如果線性方程組1的系數(shù)行列式則1一定有解,且解是唯一的.D

0,定理2如果線性方程組1

無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.下面將克萊姆法則應(yīng)用到一個(gè)較為特殊的情形，即齊次線性方程組的情形?？巳R姆法則在理論上十分重要，不考慮求解公式它可以敘述為如下定理：

a11

x1

a12

x2

a1n

xn

b1

a

x

a

x

a

x

b21

1

22

2

2n

n

2設(shè)線性方程組

an1

x1

an2

x2

ann

xn

bn若常數(shù)項(xiàng)b1

,b2

,,bn不全為零,

則稱此方程組為非齊次線性方程組;

若常數(shù)項(xiàng)b1

,

b2

,,bn

全為零,

此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念齊次線性方程組的相關(guān)定理

2

an

2

x2

ann

xn

0an1

x1

a11

x1a

x

a

x

a

x

021

1

22

2

2

n

n定理1則D

10一則定齊有次解線,且性解方是程唯組一2的

沒.有非零解.定理

如果齊次線性方程組

2

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.注：系數(shù)行列式D

0

則(2)有非零解.如果線齊性次方線程性組方程1的組系2數(shù)

的行系列數(shù)式行列D

式

0,

a11

x1

a12

x2

a1n

xn

b1

a

x

a

x

a

x

b21

1

22

2

2n

n

2

a12

x2

a1n

xn

0

an1

x1

an2

x2

ann

xn

bn解D

2

311

3

4

2

1

11

0

1

4233111

11

3

1

3

21

2

3齊次方程組有非零解，則

D

0所以

0,

2

或

3時(shí)齊次方程組有非零解.例2

問

取何值時(shí)，下列齊次方程組有非零解？,,3

,0

1.用克拉默法則解方程組的兩個(gè)條件(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù);

(2)系數(shù)行列式不等于零.2.克拉默法則主要適用于理論推導(dǎo),它建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.三、小結(jié)

3.展開法—基本方法：

2.消元法主線：n

階行列式的定義、性質(zhì)和計(jì)算

輔線：排列的逆序數(shù)、對(duì)換、克萊姆法則行列式的計(jì)算方法：

1.定義法歸納法1.遞推法二常見方法：2.（常用于與n

有關(guān)的行列式中）第一章總結(jié)

n階行列式三、一些特殊方法：1、典型字母行列式2、“剪形”行列式3、范德蒙行列式4

、

P4例5結(jié)論5、拆項(xiàng)法（將一個(gè)行列式拆成幾個(gè)行列式之和）6、加邊法（輔助函數(shù)法）等計(jì)算行列式的方法還有一些，望

在解題中注意總結(jié)。1111.

解方程11

x1112

x111（易知其解為：

x

0,1,2,,

n

2.)a11

a

2

a13a22

a23a31

2

a332.

設(shè)

a21-40練習(xí)a11

x a12

x a13

xf

(

x)

a21

x a22

x a23

xa31

x a32

x a33

x則f

(x)的最高次數(shù)是13、已知多項(xiàng)式a

x

x

a

x

a

xa13

xa12

xa3122

23a32

x a33

xa12

x21a13

x

xa11f

(x)

a

a

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x22

23x a32

x a33

xa12

a13a22

a23a32

a33a13a23a33a13a23a33a31x

x

a21

xxa11

a21a11

a12

a13a22

a23a31

a32

a33分析

1n

2n

112121Dn

解0Dn

01

101n

2n

1121212

101121

00

01

xn

x2

xn1

j

12

xn010

0001

0

000

1n

1

xj

1j24、計(jì)算n

階行列式：,設(shè)n+1個(gè)不同的x為21

,

0c1

n1

c

x

c

x

2

c

x

n

02

n1

n

n10

1

2

2

2

n