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文檔簡介
2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.2.已知x,y滿足不等式組,則點所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.3.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.4.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.5.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的-一個公共點,且,設橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.6.已知復數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.7.己知,,,則()A. B. C. D.8.公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設計的一個程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.129.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.10.設集合(為實數(shù)集),,,則()A. B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域為______.14.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.15.已知點是雙曲線漸近線上的一點,則雙曲線的離心率為_______16.如圖,在直四棱柱中,底面是平行四邊形,點是棱的中點,點是棱靠近的三等分點,且三棱錐的體積為2,則四棱柱的體積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),.(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求的值;(2)若,問函數(shù)有無極值點?若有,請求出極值點的個數(shù);若沒有,請說明理由.18.(12分)已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是1.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項和,求使成立的正整數(shù)的值.19.(12分)設數(shù)列,其前項和,又單調(diào)遞增的等比數(shù)列,,.(Ⅰ)求數(shù)列,的通項公式;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項和,并求證:.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點為棱的中點.(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點,滿足,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù)有兩個極值點,.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)證明:.22.(10分)在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標方程為;(1)求直線的直角坐標方程和曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交點分別為,,點,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解。【詳解】函數(shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。2.C【解析】
畫出不等式表示的平面區(qū)域,計算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線的斜率為,直線的斜率為,所以兩直線垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力,屬于??碱}.3.A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到,所以.故選:A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎題.4.A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運算能力,屬于基礎題.5.A【解析】
設橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設,在中,由余弦定理得:,化簡得,即.故選:A【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.6.B【解析】
利用復數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的基本概念,屬于基礎題.7.B【解析】
先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運算變形,再判斷.【詳解】因為,,所以,故選:B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.8.C【解析】
由開始,按照框圖,依次求出s,進行判斷。【詳解】,故選C.【點睛】框圖問題,依據(jù)框圖結(jié)構(gòu),依次準確求出數(shù)值,進行判斷,是解題關(guān)鍵。9.A【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因為的最大值為,所以在點處取得最大值,則,即.故選:A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.10.A【解析】
根據(jù)集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點睛】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎題.11.A【解析】
利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.12.C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當a=2時,化簡后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
對數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0,再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.【詳解】對函數(shù)有意義,即.故答案為:【點睛】本題考查求對數(shù)函數(shù)的定義域,還考查了指數(shù)型不等式求解,屬于基礎題.14.【解析】
由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎題.15.【解析】
先表示出漸近線,再代入點,求出,則離心率易求.【詳解】解:的漸近線是因為在漸近線上,所以,故答案為:【點睛】考查雙曲線的離心率的求法,是基礎題.16.12【解析】
由題意,設底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積,即可求解?!驹斀狻坑深}意,設底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,則直四棱柱的體積為,又由三棱錐的體積為,解得,即直四棱柱的體積為?!军c睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計算問題,其中解答中正確認識幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理、恰當?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,以及空間想象能力,屬于中檔試題。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)沒有,理由見解析【解析】
(1)求導,研究函數(shù)在x=0處的導數(shù),等于切線斜率,即得解;(2)對f(x)求導,構(gòu)造,可證得,得到,即得解【詳解】(1)由題意得,∵曲線在點處的切線與直線平行,∴切線的斜率為,解得.(2)當時,,,設,則,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又函數(shù),故恒成立,∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)不存在極值點.【點睛】本題考查了導數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應用,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.18.(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式,解方程可得首項和公比,可得所求通項公式;(Ⅱ),由數(shù)列的錯位相減法求和可得,解方程可得所求值.【詳解】(Ⅰ)等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:則相減可得:化簡可得:,即為解得:【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用,考查數(shù)列的錯位相減法求和,以及方程思想和運算能力,屬于中檔題.19.(1),;(2)詳見解析.【解析】
(1)當時,,當時,,當時,也滿足,∴,∵等比數(shù)列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,顯然數(shù)列是遞增數(shù)列,∴,即.)20.(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)根據(jù)題意以為坐標原點,建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并表示出,由空間向量數(shù)量積運算即可證明.(2)先求得平面的法向量,即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值,即為直線與平面所成角的正弦值;(3)由點在棱上,設,再由,結(jié)合,由空間向量垂直的坐標關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵底面,,以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,∵,,點為棱的中點.∴,,,,,,.(2),設平面的法向量為.則,代入可得,令解得,即,設直線與平面所成角為,由直線與平面夾角可知所以直線與平面所成角的正弦值為.(3),由點在棱上,設,故,由,得,解得,即,設平面的法向量為,由,得,令,則取平面的法向量,則二面角的平面角滿足,由圖可知,二面角為銳二面角,故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了空間向量的綜合應用,由空間向量證明線線垂直,求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小,計算量較大,屬于中檔題.21.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)先求得導函數(shù),根據(jù)兩個極值點可知有兩個不等實根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點的情況,即可由零點的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點定義可知,,代入不等式化簡變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設,構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因為存在兩個極值點,,所以有兩個不等實根.設,所以.①當時,,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個零點,不符合題意.②當時,令得,0減極小值增所以,即.又因為,,所以在區(qū)間和上各有一個零點,符合題意,綜上,實數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題意知,,所以,.要證明,只需證明,只需證明.因為,,所以.設,則,所以在上是增函數(shù)
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