數(shù)值計算方法第三版課后習題答案

習題一解答22 3553.14，3.15，7113作為π的近似值，求各自的絕對誤差，相對誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。222，首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學記數(shù)形式，然后解答。解：（1）絕對誤差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。相對誤差：0.0016e0.51103r x 3.14有效數(shù)字：因為π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…1 1所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝2所以，3.14作為π的近似值有3個有效數(shù)字。（2）絕對誤差:

10

10132e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相對誤差：0.0085e0.27102r x 3.15有效數(shù)字：因為π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…1 1所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝ 101 22 2所以，3.15作為π的近似值有2個有效數(shù)字。（3）絕對誤差:

22 3.14159265 3.142857143 0.001264493 0.00137相對誤差：0.0013e(x)r x 227

0.41103有效數(shù)字：因為π＝3.14159265…=0.314159265…×10，22 3.1428571430.314285714310，m=1。7而 22 3.14159265 3.142857143 0.0012644937227227 3.141592653.1428571430.0012644930.0051 10.5102210221013227作為π3（4）絕對誤差:e(x)3553.141592653.141592920.00000027050.000000271相對誤差：113e(x) 0.000000271e(x)

355

0.863107r x113有效數(shù)字：因為π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3553.141592920.31415929210，m=1。113而3553.141592653.141592920.0000002705113355113355113 3.141592653.141592920.00000027050.0000001 10.5106210621017355所以，113作為π的近似值有7個有效數(shù)字。2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300分析：本題實際上指出，按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字定義，相關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有效數(shù)字。解答方法簡單，直接寫出就可以，不需要也不應(yīng)該做形式轉(zhuǎn)化（化為科學計數(shù)法形式）解：346．7854≈346．79，7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246，0．600300≈0．60030。指出：3下列各數(shù)都是對準確數(shù)進行四舍五入后得到的近似數(shù)， 試分別指出他們的絕對誤差限和相對差限和有效數(shù)字的位數(shù)。x0.0315,x1

0.3015,x3

31.50,x4

5000。分析：首先，本題的準確數(shù)未知，因此絕對誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當先求絕對誤差限，再求相對誤差限，最后確定有效數(shù)字個數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對誤差限分別是(x)0.00005,(x)0.00005,(x)0.005,(x)0.51 2 3 4由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系，相對誤差限分別是(x)

(x) 0.00005

0.16%, 1 x

0.0315(x)

1(x) 0.00005

0.02%, 2 x

0.301523(x)(x)0.0050.002%,33 x 31.5(x(x) (x) 4

0.5

0.01%.4 x 50004有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。計算100.1％。n0.1％，12a101n0.1%，10110而3

4，顯然a1

3，此時，1 12a101n23101n0.1%，11即6101n103，也即610n10410所以，n=4。10此時，

3.162。5、在計算機數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對x1

0.14281103與x2

0.314159101，試求它們的機器浮點數(shù)fl(x)(i1,2)及其相對誤差。i解：fl(x)0.1428103,e(fl(x))xfl(x)0.142811030.14281030.00001103,1 1 1 1

其相對誤l(x)0.314210,e(l(x))xl(x)0.314159101(0.3142101)0.0004112差分別是

2 2 2e0.000011030.007%,e0.0000411010.013%。1 0.1428103 2 6、在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)x0.23371258104y0.33678429102z0.33677811102(xyzxyz兩種算法計算xyz的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：fl((xy)z)(0.233712581040.33678429102)0.33677811102(0.000000231020.33678429102)0.336778111020.336784521020.336778111020.00000641102fl(x(yz))0.23371258104(0.336784291020.336778111)0.233712581040.000006181020.000000231020.000006181020.00000641102精確計算得：xyz0.233712581040.336784291020.33677811102(0.000000233712581020.33678429102)0.3367780.336784523712581020.336778111020.0000641371258102第一種算法按從小到大計算,但出現(xiàn)了兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)相加,容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個相近的數(shù)相減,容易導致有效數(shù)位的減少。 計算結(jié)果證明，兩者精度平是相同的。***在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)x0.23371258104y0.33678429102z0.33677811102(xyzxyz兩種算法計xyz的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：fl((xy)z)(0.233712581040.33678429102)0.33677811(0.002337131020.33678429102)0.336778111020.339121421020.336778111020.000033911020.336778111020.3367442102fl(x(yz))0.23371258104(0.336784291020.336778111)0.23371258104(0.000033681020.33677811102)0.233712581040.336747421020.000000231020.336747421020.33674719102第一種算法是按從小到大的順序計算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計算更精確。精確計算得：xyz0.233712581040.336784291020.336778111020.0000233712580.003367842933.6778110.00339121415833.67781133.6744197858420.33674419785842102顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計算機的機器數(shù)系為 F(10,2,L,U)，用浮點運算分別從左到右計算及從右到左計算10.40.30.20.040.030.020.01試比較所得結(jié)果。10.40.30.20.040.030.020.010.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.00100.19101.9從右到左計算得10.40.30.20.040.030.020.010.010.020.030.040.20.30.410.11010.21010.31010.41010.20.30.410.10.20.30.410.11010.1100.1100.2102從右到左計算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計算精確。8、對于有效數(shù)x1

3.105,x2

0.001,x3

0.100，估計下列算式的相對誤差限yxxx,

xxx,yx21 1 2 3 2

123 3 x3分析：求和差的相對誤差限采取先求出和差的絕對誤差限再求相對誤差限的方法。求積商的相對誤差限采取先求每一個數(shù)的相對誤差限再求和的方法。解：因為x1

3.105,x2

0.001,x3

0.100都是有效數(shù)，所以(x)0.0005,(x)0.0005,(x)0.00051 2 3(x)0.00050.16%,(x)0.000550%,(x)0.00050.5%1 3.105

2 0.001

3 0.100則(xxx)(x)(x)(x)0.00050.00050.00050.00151 2 3 1 2 3(xxx) 0.0015 0.0015xxx1 2 3xxx1 2 33.1050.0010.1001

x)3

1 2 3 3.0044.991040.05%(xxx)(x)(x)(x)0.16%50%0.5%50.66%123x

1 2 3(2)(x)(x)50%0.5%50.5%x 2 339、試改變下列表達式，使其計算結(jié)果比較精確（其中 x1表示x充分接近0，x1表示x充分大）。(1)lnxlnx,xx；1 2 1 21(2)

–1x,x1；(3)

1x 1xx1x– x1,xx1xx(4)1cosxxx1;x(5)1cotxx0x1。x分析：根據(jù)算法設(shè)計的原則進行變形即可。當沒有簡單有效的方法時就采用泰勒展開的方法。解：(1)lnx1(2)

–lnx xln1；2 xln1；21 1x1x(1x)21x 1x (1x)(1x)；1x(12xx2) 3xx2(1x)(1x) (1x)(1x)(3)x1x1xx1xx21xx21xx2x21 x21x2x(x(x21 x21)或xx1xx1x(x1xx1)(xx1xx1)xx1xx1x(x1)(x1) 2x1x1xx1xx21 x21xx2x(x(xx21 x21)2x(x(x21 x21)(4)x2 x4 x2n1cosxx

1(12!4!(1)n(2xx2x4(1)n1x2n2! 4! (2xx x3

x2n12! 4! (2(5)1 1 1 1 1xcotxx(x3x45x3

22nBnx2(2n)!1 13x45x3

22nBnnx2n1(2)!（B是貝努利數(shù)）n10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證 1s2有較高的精度？1s22sin2，先查表求出1再計算出要求的結(jié)果精度較高。78311、利用783

27.982求方程x256x10的兩個根，使它們至少具有 4位有效數(shù)字。解：由方程的求根公式，本方程的根為x1,2

56562456228212 2783因為78327.982，則783x28 7832827.98255.9821如果直接根據(jù)求根公式計算第二個根，則因為兩個相近的數(shù)相減會造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達定理xx

1，在求出

55.982后這樣計算x：12 1 21 1x 2 x 55.9821這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。12、試給出一種計算積分近似值的穩(wěn)定算法。

Ie11xnexdxn0,1,2,3,...)，n0n＝0Ie11x0exdxe1e1)1e1。001 1(exdxexe1)。0 0Ibudvuvbbu)得n aa aIe11xnexdxe1(xnex1n1xnexdx)e1e0n1xnexdx)n 001ne11xnexdx1nIn10由此得到帶初值的遞推關(guān)系式

0 0I1e1nI01nn1

(n1,2,3,...)I

解得I

1(1

)，這是逆向的遞推公式，對I的值作估計，有n 1 1

n1 n n n1Ie1xnexdxe1e1xndxn0 0

n1另有1 1 1Ie1xnexdxe1xndxe1n

n10 0(取e的指數(shù)為最小值0，將ex取作e0＝1作為常數(shù)即可簡化公式）。1 1則

n1In

n1。那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取1 1nI2n1(e11)n可以看出，n越大，這個近似值越精確地接近于準確值。(n越大，I的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長度就越短，近似值和精確值就越接近)n此時，e

*－I

1 1 1=－ (I*－I)＝ e，│e │en－1

n－1

n－1 n

n n

0 n! nI

I

的誤差小得多的，而I9 20 9 20 20的誤差本身也并不大。實際上，這樣求出的I比直接計算出來的精確得多。9習題二解答1．用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間[3，4]內(nèi)的根，精確到10-3，即誤差不超過1103。2分析：精確到10-3與誤差不超過10-3不同。解：因為f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在區(qū)間［3，4］上有根。由nba ba 43 1 1nx*xn

n n 2 2n

2n

22103有2n-1＞1000，又為210＝1024＞1000，所以n＝11，即只需要二分11次即可。列表討論如下：nanbnxnf(x)的符號n1343.500－23.50043.750＋33.5003.7503.625－43.6253.7503.688＋53.6253.6883.657＋63.6253.6573.641＋73.6253.6413.633＋83.6253.6333.629－93.6293.6333.631－103.6313.6333.632＋113.6313.6323.632－11x*≈x=3.632。11指出：（1）注意精確度的不同表述。精確到10-3和誤差不超過10-3是不同的。（2）在計算過程中按規(guī)定精度保留小數(shù)，最后兩次計算結(jié)果相同。如果計算過程中取4位小數(shù)，結(jié)果取3位，則如下表：nanbnxnf(x)的符號n1343.5000－23.500043.7500＋33.50003.75003.6250－43.62503.75003.6875＋53.62503.68753.6563＋63.62503.65633.6407＋73.62503.64073.6329＋83.62503.63293.6290－93.62903.63293.6310－103.63103.63293.6320＋113.63103.63203.6315－（3）f(xn1*．x3-2x2-4x-7=0解：令yx32x24x7，則y3x24x43x2x2)當y3x24x43x2x20時，有x

2

2。1 3 2函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下：xx(-∞,2)222(2,+∞)3y／y+303－0－15+14927因為2)149150，所以方程在區(qū)間2上無根；3 27 3因為2)1490，而函數(shù)在2上單調(diào)增，函數(shù)值不可能變號，所以方程在該區(qū)間上無3 27 3根；因為y(2)150，函數(shù)在(2,+∞)上單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間上最多有一個根，1而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在區(qū)間(3,4)有一個根。所以，該方程有一個根，隔根區(qū)間是(3.4)。1證明1xsinx0在[0,1]2104分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個根，就是證明相應(yīng)的函數(shù)在指定區(qū)間有至少一個零點。解：令f(x)1xsinx，f(0)10sin010,f(1)11sin1sin10，f(0)f(1)0，由零點定理，函數(shù)f(x)在[0,1]區(qū)間有一個根。由nba ba 10 1 1nx*xn

n n 2 2n

2n

22104有2n-1＞10000，又為210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000所以n＝15，即需要二分15次。20試用迭代公式x k1

x22x10

x1，求方程x32x210x200的根，要求精確到105。0k k1分析：精確到105即誤差不超過2105解：令f(x)x32x210x20xf(x)xf(x)kk01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881105151.36881105指出：精確到105可以從兩個方面判定。第一，計算過程中取小數(shù)到105位，最后兩個計算結(jié)果相同，終1止計算。第二，計算過程中取小數(shù)到106，當xk1

x 105終止計算。2k2本題采用第一種方法。將一元非線性方程2cosxex0寫成收斂的迭代公式，并求其在x0102。2cosxex0改寫為2cosxexxx2cosx1，設(shè)exg(x)x2cosx1ex

2cosx12cosx10，則ex ex有g(shù)x)12nex2coex1nx

22)4ex ex在x0.5處，因為022)g5)1所以迭代法g(x

e0.5)

412cosxk1在

0.5的鄰域內(nèi)收斂。k1列表迭代如下：

k exk 0xxk00．510．7120．69此時2。30．69為求方程x3x210x0

代公式：1

1迭代公x 11;x2 kx2k11x21

k

x2k1

x

,迭代公式x

k1

k

.11)21試分析每種迭代公式的收斂性，并取一種公式求出具有4位有效數(shù)字的近似值。解：（1）因為x1

1，所以迭代函數(shù)為g(x)1x2

1x2，則1 2 2xgx)(x2

x2x3，g5)253

13

1滿足局部收斂性條件，所以迭代公式xk1

11具有局部收斂性。x2k1 1（2）因為x(1x2)3,所以迭代函數(shù)為g(x)(1x2)3,則1 12 2 2xgx) 1x232x 1x2)3 ,23 322

3(1x2)31g5)

2115232

1滿足局部收斂性條件,所以迭代公式xk1

(1x2)3具有收斂性。k（3）因為x

，所以迭代函數(shù)為g(x) 1 ，則1 1(x1)21 11 1 3

(x1)2gx)2x22x2，g15 11

1

1 1414 1(.)2(.

)2

. 不滿足收斂性條件，所以迭代公式320523xk1

111

不具有收斂性。k用迭代公式xk1

11列表計算如下：x2kxxk012345678910111．51．4441．4801．4571．4711．4621．4681．4641．4671．4651．4661．465所以，方程的近似根為x*1.465。設(shè)(x)x23)，應(yīng)如何取C才能使迭代公式x )具有局部收斂性？kkCx)xCx2)，所以x)1x，要使迭代公式具有局部收斂性，需x0

)10

1，此時即有112Cx0

1，也即1Cx0

0。即只要C去滿足如上條件的常數(shù)，就可以使得迭代公式具有局部收斂性。用牛頓法求方程x33x10在初始值x2鄰近的一個正根，要求x x103。0 kk解:因為x33x10所以有f(x)x33x1，相應(yīng)的迭代公式為x x x33x1 2x31 k k kkk 3x23 3x23k k取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：kkxk0211.888921.879531.8794因為x3

12–x0.0001 103,符合計算的精度要求,所以22x*x3

1.8794。1c0cx0.324x0

3，要求計算有5位有效數(shù)字。1c0fx1cx

1x

c，相應(yīng)的迭代公式為x xk

k1–x2k

2xkcx2。k應(yīng)用該迭代公式求0.324的倒數(shù)，列表計算如下xxk030313．08423．0864。33．0864所以0.324ana的迭代公式，并求極限lim

na

k1。k(nax)2k解：設(shè)a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，由牛頓法，方程f(x)xna0的解為x xkk

f(x)kf(x)kx xna nxnxna k k nxn1k

k knxn1k(n1)xna nxn1k1[(nn 此即求na的迭代公式。由此，則

a]xn1kna–1a]n