小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法(王永春)課件

小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法

人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室王永春對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）總體目標(biāo)通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?；舅枷胱鳛榈谌?，不再是附屬品，而是實(shí)實(shí)在在的教學(xué)目標(biāo)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分，需要在課堂教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的年齡特征和思想方法的難易程度進(jìn)行不同程度的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義（一）有利于建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀、落實(shí)新課程理念

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵、數(shù)學(xué)的價(jià)值要更新（二）有利于提高教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)、提高教學(xué)水平

學(xué)本課堂，教師要提高專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，否則無(wú)法授人以漁（三）有利于提高學(xué)生的思維水平、培養(yǎng)“四能”

不能讓學(xué)生單純地認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是考試拿分的工具5

《標(biāo)準(zhǔn)（2011）》在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想。教科書(shū)中的很多內(nèi)容都滲透了各種數(shù)學(xué)思想，有些是明顯的，有些是隱藏的。如二上第一單元長(zhǎng)度單位體現(xiàn)了符號(hào)思想，用字母符號(hào)“cm”“m”來(lái)表示長(zhǎng)度單位厘米和米，是非常明顯的；而在第4和6單元表內(nèi)乘法中體現(xiàn)了函數(shù)思想，就是隱藏的。

把教材中哪些內(nèi)容體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行具體描述，便于老師們把握。為了讓廣大教師更好地理解有關(guān)數(shù)學(xué)思想的理念、落實(shí)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)，建議采用《標(biāo)準(zhǔn)（2011）》中的行為動(dòng)詞來(lái)描述數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)目標(biāo)要具體、全面、用詞準(zhǔn)確、便于落實(shí)和檢測(cè)。

了解：從具體實(shí)例中知道或舉例說(shuō)明對(duì)象的有關(guān)特征；根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說(shuō)明對(duì)象。

理解：描述對(duì)象的特征和由來(lái)，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系。

掌握：在理解的基礎(chǔ)上，把對(duì)象用于新的情境。

運(yùn)用：綜合使用已掌握的對(duì)象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題。

經(jīng)歷：在特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，獲得一些感性認(rèn)識(shí)。

體驗(yàn)：參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，主動(dòng)認(rèn)識(shí)或驗(yàn)證對(duì)象的特征，獲得一些經(jīng)驗(yàn)。

探索：獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的思路，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特征及其與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識(shí)。一、抽象的思想1.對(duì)抽象思想的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)抽象是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過(guò)程。數(shù)學(xué)抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。(1)數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中無(wú)處不在。任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念、法則、公式、規(guī)律等的學(xué)習(xí)，都要用到抽象概括。(2)數(shù)學(xué)抽象是有層次的。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出了逐步抽象的過(guò)程。例如，數(shù)的發(fā)展，從結(jié)繩記數(shù)得到1，2，3，…等有限的自然數(shù)，再通過(guò)加法的運(yùn)算，得到后繼數(shù)，形成了無(wú)限的正整數(shù)序列：1，2，3，…，n,…在此基礎(chǔ)上形成了正整數(shù)集合N。再如，整數(shù)→小數(shù)→分?jǐn)?shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)算術(shù)中的數(shù)（1等）→代數(shù)中的常量（a）→變量(χ)

在教學(xué)10的認(rèn)識(shí)時(shí)，多數(shù)教師會(huì)結(jié)合計(jì)數(shù)器、點(diǎn)子圖、小棒等直觀教具認(rèn)識(shí)到9添上1是10，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)10的組成及加減法；沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生思考：10與前面學(xué)習(xí)的0～9這些數(shù)有什么不同？這里實(shí)際上隱含一個(gè)非常重要的思想方法—數(shù)學(xué)抽象，它比8和9的抽象水平更高，因?yàn)?0不僅是對(duì)任何數(shù)量是10的物體的抽象，進(jìn)一步地它已經(jīng)不再用新的數(shù)字計(jì)數(shù)了而是采用了偉大的十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)原理。

在11-20的認(rèn)識(shí)時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生思考：10與9的不同？11中的兩個(gè)1有什么不同？二、模型思想

1.對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表，因而它與符號(hào)化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過(guò)，也有很多數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過(guò)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)或是符號(hào)思想明顯地區(qū)分開(kāi)來(lái)，主要從俠義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點(diǎn)分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。2.模型思想的應(yīng)用。數(shù)的表示，自然數(shù)列：0,1,2,…用數(shù)軸表示數(shù)用數(shù)字和圖形表示排列規(guī)律數(shù)的運(yùn)算a+b=c，c－a=b,c－b＝a，a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b,c÷b＝a用字母表示運(yùn)算定律，方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系：時(shí)間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)：a=np正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系用字母表示周長(zhǎng)、面積和體積公式用圖表示空間和平面結(jié)構(gòu)用統(tǒng)計(jì)圖表描述和分析各種信息用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小。一下，找規(guī)律六下，找規(guī)律，

建模下面討論以數(shù)學(xué)模型為核心的問(wèn)題解決的教學(xué)。傳統(tǒng)上應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)是與四則運(yùn)算、混合運(yùn)算相匹配，包括有連續(xù)兩問(wèn)的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較，現(xiàn)在有問(wèn)題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗(yàn)，是知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這種結(jié)構(gòu)是線(xiàn)性的。以基本模型和問(wèn)題為核心，構(gòu)建問(wèn)題鏈，可以是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限度地整合豐富多彩的問(wèn)題。以s＝vt為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，a是常數(shù)。請(qǐng)老師自己編題。三、化歸思想1.對(duì)化歸思想的認(rèn)識(shí)。人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí)，往往將需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終使原問(wèn)題得到解決，把這種思想方法稱(chēng)為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)一個(gè)由易到難、從簡(jiǎn)到繁的過(guò)程；然而，人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過(guò)程中，卻經(jīng)常通過(guò)把陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)、把繁難的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，從而逐步學(xué)會(huì)解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義；同時(shí)，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問(wèn)題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2．解決問(wèn)題中的化歸策略。（1）化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題。從數(shù)的認(rèn)識(shí)到計(jì)算，直觀操作幫助理解算理算法；解決問(wèn)題中畫(huà)線(xiàn)段圖表等幫助理解數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行推理；用圖表進(jìn)行推理；函數(shù)圖像直觀地表示變量間的關(guān)系；統(tǒng)計(jì)圖表直觀地表示數(shù)據(jù)。案例3:2006年廣州市中考題。目前廣州市小學(xué)和初中在校生共有約１２８萬(wàn)人，其中小學(xué)生在校人數(shù)比初中生在校人數(shù)的２倍多１４萬(wàn)人。（１）求目前廣州市在校小學(xué)生人數(shù)和初中生人數(shù)。（２）假設(shè)今年小學(xué)生每人需交雜費(fèi)５００元，初中生每人需交雜費(fèi)１００元，而這些費(fèi)用全部由廣州市政府撥款解決，則廣州市要為此撥款多少？分析：上題與人教版小學(xué)五上Ｐ７8例4相比，稍復(fù)雜。四、推理思想

1.對(duì)推理思想的認(rèn)識(shí)。推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測(cè)某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類(lèi)比推理。當(dāng)前提為真時(shí)，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。假言推理，假言推理的分類(lèi)較為復(fù)雜，這里簡(jiǎn)單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個(gè)充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個(gè)數(shù)的末位是０，那么這個(gè)數(shù)能被５整除；這個(gè)數(shù)的末位是０，所以這個(gè)數(shù)能被５整除。這里的大前提是一個(gè)假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。關(guān)系推理，是前提中至少有一個(gè)是關(guān)系命題的推理。下面簡(jiǎn)單舉例說(shuō)明幾種常用的關(guān)系推理：(1)對(duì)稱(chēng)性關(guān)系推理，如１米＝１００厘米，所以１００厘米＝１米；(2)反對(duì)稱(chēng)性關(guān)系推理，a大于b，所以b不大于a；(3)傳遞性關(guān)系推理，a>b，b>c，所以a>c。關(guān)系推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，如在一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)的大小比較時(shí)，把一些數(shù)按從小到大或從大到小的順序排列，實(shí)際上都用到了關(guān)系推理。

(2)合情推理。歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類(lèi)事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類(lèi)事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某類(lèi)事物中的每個(gè)事物或每個(gè)子類(lèi)事物都具有某種性質(zhì)，而推出該類(lèi)事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對(duì)象，所得出的結(jié)論是可靠的。不完全歸納法是通過(guò)觀察某類(lèi)事物中部分對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，推出該類(lèi)事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。類(lèi)比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類(lèi)事物的相似性，用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物也具有該性質(zhì)的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)大綱比較強(qiáng)調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理；而現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)又矯枉過(guò)正，過(guò)于強(qiáng)調(diào)合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。就學(xué)好數(shù)學(xué)或者培養(yǎng)人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據(jù)了解，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。…在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性”。人們?cè)诶脭?shù)學(xué)解決各種實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，雖然大量的計(jì)算和推理可以通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)完成。但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推理能力仍然是至關(guān)重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。2．推理思想的教學(xué)。就演繹推理和合情推理的關(guān)系及教學(xué)建議，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿指出“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)推理的形式?！處熢诮虒W(xué)過(guò)程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類(lèi)比、畫(huà)圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過(guò)實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求”。根據(jù)以上課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于推理思想的理念和要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意把握以下幾點(diǎn)。第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，除了運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本方法外，推理也是常用的數(shù)學(xué)方法。無(wú)論是低年級(jí)的找規(guī)律、總結(jié)計(jì)算法則，還是高年級(jí)的面積、體積公式的推導(dǎo)，無(wú)不用到推理的思想方法。因而，廣大教師要牢記推理思想從一年級(jí)就要開(kāi)始滲透和應(yīng)用，是一個(gè)長(zhǎng)期的培養(yǎng)過(guò)程。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實(shí)去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。二者在數(shù)學(xué)中的作用都是很重要的。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)要有機(jī)地結(jié)合。推理能力的發(fā)展與各領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)有機(jī)的結(jié)合過(guò)程，因而在教學(xué)過(guò)程中要給學(xué)生提供各個(gè)領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力。棋子個(gè)數(shù)1110221120331221304413223140551423324150661524334251607716253443526170881726354455627180991827364554637281901010顆棋子可以擺出多少個(gè)數(shù)？案例1：棋子個(gè)數(shù)1110221120331221304413223140551423324150661524334251607716253443526170881726354455627180991827364554637281901019283746556473829111、12……19顆棋子可以擺出多少個(gè)數(shù)？20顆呢？合情推理的或然性整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)思想方法：類(lèi)比可不必再探究，直接引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比，下面的題目可作為驗(yàn)證。知識(shí)基礎(chǔ)：分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序、整小數(shù)運(yùn)算律小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教學(xué)長(zhǎng)期重視歸納法，現(xiàn)在應(yīng)加強(qiáng)類(lèi)比法、演繹推理計(jì)算中的推理在加強(qiáng)。案例2：如下圖，已知圓的面積為5cm2，求正方形的面積。設(shè)圓的半徑為r，則有5=r2，所以r2=5。正方形的邊長(zhǎng)等于圓的直徑，所以正方形的面積=（2r）2=4r2=4×5=20（cm2）（2013?北京）如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為（）。案例3：如下左圖，兩條直線(xiàn)相交形成4個(gè)角，你能說(shuō)明∠2=∠4嗎？分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”來(lái)證明對(duì)頂角相等。那么，在小學(xué)階段，如何根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于180度，再根據(jù)等量代換等知識(shí)就可以證明。下面給出最簡(jiǎn)單的證明：因?yàn)椤?和∠2、∠1和∠4分別組成平角，所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據(jù)加減法各部分間的關(guān)系，可得∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據(jù)等量代換，可得∠2=∠4。再看右上圖，在初中要證明三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，在小學(xué)階段同樣可以類(lèi)似地得到證明。人教版新教材六下，加強(qiáng)代數(shù)思維、歸納模型Y=3+2(n-1)=2n+1（2012?杭州）有一組互不全等的三角形，它們的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，每個(gè)三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別為5和7．

（1）請(qǐng)寫(xiě)出其中一個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)；

（2）設(shè)組中最多有n個(gè)三角形，求n的值；

（3）當(dāng)這組三角形個(gè)數(shù)最多時(shí)，從中任取一個(gè)，求該三角形周長(zhǎng)為偶數(shù)的概率．分析：利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，進(jìn)行關(guān)系推理?？闪信e出第三邊的長(zhǎng)：11，10，9，8，7，6，5，4，3。

兩邊的和：5+7=12，

第三邊為偶數(shù)：10，8，6，4.

概率為：4/9.五、數(shù)形結(jié)合思想

1.對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)和形是客觀事物不可分離的兩個(gè)數(shù)學(xué)表象，兩者既是對(duì)立的又是統(tǒng)一的．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”數(shù)與形的對(duì)立統(tǒng)一主要表現(xiàn)在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化和互相結(jié)合上。尤其是直角坐標(biāo)系與幾何的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)階段主要是利用各種直觀手段理解和掌握知識(shí)、解決問(wèn)題。2.數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。（1）數(shù)的表示和運(yùn)算。數(shù)和運(yùn)算的實(shí)物化、圖形化和操作化，便于人們直

觀理解數(shù)和計(jì)算。擺小棒、畫(huà)圖形等。（２）解決問(wèn)題中的形。①畫(huà)線(xiàn)段圖表示數(shù)量關(guān)系。②解決問(wèn)題的直觀策略。(1)有2件不同的上衣、3條不同的褲子，一共有多少種穿法？(2)有2件不同的上衣、3條不同的褲子、2雙不同的鞋，一共有多少種穿法？2013年遼寧鞍山中考數(shù)學(xué)試題19．小明和小亮玩一種游戲：三張大小，質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，小明從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一張，計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)，則小明勝，若和為偶數(shù)則小亮勝．

（1）用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖等方法，列出小明和小亮抽得的數(shù)字之和所有可能出現(xiàn)的情況．

（2）請(qǐng)判斷該游戲?qū)﹄p方是否公平？并說(shuō)明理由．奇數(shù)：4次偶數(shù)：5次2013年廣州中考數(shù)學(xué)試題21.（本小題滿(mǎn)分12分）在某項(xiàng)針對(duì)18～35歲的青年人每天發(fā)微博數(shù)量的調(diào)查中，設(shè)一個(gè)人的“日均發(fā)微博條數(shù)”為m，規(guī)定：當(dāng)m≥10時(shí)為A級(jí)，當(dāng)5≤m＜10時(shí)為B級(jí)，當(dāng)0≤m＜5時(shí)為C級(jí).現(xiàn)隨機(jī)抽取30個(gè)符合年齡條件的青年人開(kāi)展每人“日均發(fā)微博條數(shù)”的調(diào)查，所抽青年人的“日均發(fā)微博條數(shù)”的數(shù)據(jù)如下：111061591613120828101761375731210711368141512（1）求樣本數(shù)據(jù)中為A級(jí)的頻率；（2）試估計(jì)1000個(gè)18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級(jí)的人數(shù)；（3）從樣本數(shù)據(jù)為C級(jí)的人中隨機(jī)抽取2人，用列舉法求抽得2個(gè)人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率.C級(jí)的有：0，2，3，3四人，畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，抽得2個(gè)人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的有2種情況。∴抽得2個(gè)人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率為：2/12=1/6.③利用坐標(biāo)系中的圖像直觀理解正比例關(guān)系。（3）統(tǒng)計(jì)中的圖形。①各種統(tǒng)計(jì)圖表。（4）空間與圖形中的數(shù)。①圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式，用量來(lái)刻畫(huà)圖形。下面是一個(gè)開(kāi)放題。案例：圖中每個(gè)小正方形方格的面積是1cm2。以給定的這條線(xiàn)段為邊，你能分別畫(huà)出幾個(gè)符合下列要求的多邊形？面積是3cm2的三角形，面積是6cm2的平行四邊形，面積是7cm2的梯形。請(qǐng)畫(huà)出來(lái)。六、數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用小數(shù)乘整數(shù)

結(jié)合具體量計(jì)算

溝通小數(shù)乘法與

整數(shù)乘法的聯(lián)系理解算理提供

感性支撐

思想方法：轉(zhuǎn)化

基本算理和算法

思想方法：比較差異、轉(zhuǎn)化類(lèi)比：整數(shù)乘法積的變化規(guī)律同樣適用于小數(shù)積的小數(shù)點(diǎn)處理依據(jù)：小數(shù)積的變化規(guī)律

積的小數(shù)末尾

有0可去掉小數(shù)乘整數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)：整數(shù)乘法、整數(shù)乘法積的變化規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)

基本算理和算法

思想方法：轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、歸納

積的小數(shù)點(diǎn)

不完全歸納小數(shù)乘小數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)：整數(shù)乘法、整數(shù)乘法積的變化規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)、小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)

總結(jié)算法小數(shù)乘小數(shù)

難點(diǎn)問(wèn)題：算理、算法相同，兩個(gè)