二次函數(shù)與等腰直角三角形問題-2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題（原卷）

挑戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題3二次函數(shù)與等腰直角三角形問題二次函數(shù)與等腰直角三角形的相結(jié)合的綜合問題，是中考數(shù)學(xué)壓軸題中比較常見的一種，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、斜邊的中線、全等三角形與相似三角形、角平分線、方程與函數(shù)模型、函數(shù)的基本性質(zhì)等。等腰直角三角形與二次函數(shù)綜合問題常見的有三種類型：兩定一動(dòng)探索直角三角形問題；一定兩動(dòng)探索等腰直角三角形問題；三動(dòng)探索等腰直角三角形問題；常見的思路中，不管是哪種類型的等腰直角三角形三角形問題，分類討論的依據(jù)都是三個(gè)角分別為直角，解決的思路是通過構(gòu)造K型全等或相似圖來列方程解決。

【例1】（2021?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），連接AC、BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？（3）在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【例2】（2021?上海）已知拋物線y＝ax2+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）、Q（1，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC．①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo)．【例3】（2021?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．要使動(dòng)點(diǎn)G走過的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程．（4）點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△CQR？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【例4】（2021?隨州）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N，Q是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【題組一】1．（2021?昆明模擬）已知拋物線：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）過點(diǎn)（﹣1，0）與（0，﹣3）．直線y＝x﹣6交x軸、y軸分別于點(diǎn)A、B．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線上的任意一點(diǎn)．連接PA，PB，使得△PAB的面積最小，求△PAB的面積最小時(shí)，P的橫坐標(biāo)；（3）作直線x＝t分別與拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直線y＝x﹣6交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)C是拋物線對(duì)稱軸上的任意點(diǎn)，若△CEF是以點(diǎn)E或點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)．2．（2021?新泰市一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)C．已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、PC、CD．（1）求這個(gè)拋物線的表達(dá)式．（2）點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP面積的最大值．（3）①點(diǎn)M在平面內(nèi)，當(dāng)△CDM是以CM為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求出滿足條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；②在①的條件下，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，當(dāng)∠MNC＝45°時(shí)，求出滿足條件的所有點(diǎn)N的坐標(biāo)．3．（2021?廣漢市模擬）已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），C（﹣2，0），tan∠ABO＝1，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．4．（2021?湖州模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2），直線l：x＝m（m＞3）與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線l上找點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），使得以點(diǎn)P，D，B為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使得△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2021?普寧市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，直線y＝x+與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)E．若P（m，0）是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，交直線AD于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H．①當(dāng)m＜0時(shí)，是否存在一個(gè)m值，使得S△EFG＝S△OEG，如果存在，求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)△EFH是以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題組二】6．（2021?遼寧模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求拋物線的解析式：（2）點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，若∠EBA＝2∠ACO，請(qǐng)求出a的值；（3）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)M為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2021?分宜縣校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；（3）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．（2021?秦都區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，且該拋物線與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），且OB＝OC．（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ是以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．（2021?福建模擬）已知拋物線的頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M（m，n）為第三象限拋物線上的一點(diǎn)，過M點(diǎn)作直線MB，MC交拋物線于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），MC交y軸于D點(diǎn)，連接BC．（1）當(dāng)B，C兩點(diǎn)在x軸上，且△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求c的值；（2）當(dāng)BC經(jīng)過O點(diǎn)，MC經(jīng)過OA的中點(diǎn)D，且OC＝2OB時(shí)，設(shè)直線BM交y軸于E點(diǎn)，求證：M為BE的中點(diǎn)；（3）若△MBC的內(nèi)心在直線x＝m上，設(shè)BC的中點(diǎn)為N，直線l1經(jīng)過N點(diǎn)且垂直于x軸，直線l2經(jīng)過M，A兩點(diǎn)，記l1與l2的交點(diǎn)為P，求證P點(diǎn)在一條新拋物線上，并求這條拋物線的解析式．10．（2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），直線BC的解析式為y＝x﹣．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，過A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，BD，CD，求四邊形PBDC面積的最大值；（3）將拋物線y＝ax2+bx﹣（a≠0）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為E，連接BE，將線段BE沿y軸平移得到線段B1E1（B1為B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，E1為E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），直線B1E1與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)Q為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接E1Q，F(xiàn)Q，△E1FQ能否成為以E1F為直角邊的等腰直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．【題組三】11．（2021秋?石景山區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)）．（1）若拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣3，AB＝4．求拋物線的表達(dá)式；（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)O，且與x軸正半軸交于點(diǎn)C，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．12．（2021秋?永城市月考）已知拋物線C的解析式為y＝2x2﹣4x+m，與y軸交于點(diǎn)A．（1）直接寫出拋物線C的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）．（2）過點(diǎn)A作AB∥x軸交拋物線C于另一點(diǎn)B，當(dāng)S△AOB＝6時(shí)，求此拋物線C的解析式．（3）在拋物線C的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△OAP為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)m的值．13．（2021秋?漢濱區(qū)校級(jí)月考）已知，如圖，拋物線y＝﹣（x﹣2）2+8與x軸分別交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線AB的解析式；（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．14．（2021秋?大連月考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c過（﹣1，0）和（0，﹣3）兩點(diǎn)，點(diǎn)M（a，y1），N（a+1，y2）為該拋物線上兩點(diǎn)．（1）拋物線的解析式為；（2）過點(diǎn)M作y軸的垂線，過點(diǎn)N作x軸的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)Q，當(dāng)△MNQ為等腰直角三角形時(shí)，求a的值；（3）拋物線在M，N兩點(diǎn)之間的部分為圖象G（含M，N兩點(diǎn)），若圖象G上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為h，求h關(guān)于a的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量a的取值范圍．15．（2020?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線C1：y=-12x2+2x+2的頂點(diǎn)為A，且與y軸于點(diǎn)B，將拋物線C1沿y＝a對(duì)稱后，得到拋物線C2與y（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若拋物線C2上存在點(diǎn)D，使得△BCD為等腰直角三角形，求出此時(shí)拋物線C2的表達(dá)式．【題組四】16．（2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖1，拋物線y=24x2+2x﹣62交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C點(diǎn)，D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、AD、（1）求△ACD的面積；（2）如圖1，點(diǎn)P是線段AD下方的拋物線上的一點(diǎn)，過P作PE∥y軸分別交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，過P作PG⊥AD于點(diǎn)G，求EF+52FG的最大值，以及此時(shí)（3）如圖2，在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，是否存在以BN為直角邊的等腰Rt△BMN？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（2020?陜西模擬）如圖，拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8），與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D（0，6）．（1）求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式以及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）平移拋物線C，使平移后的拋物線C′的頂點(diǎn)P落在線段BD上，過P作x軸的垂線，交拋物線C于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作QE∥x軸交拋物線C于另一點(diǎn)E，連接PE，若△PQE是等腰直角三角形，請(qǐng)求出所有滿足條件的拋物線C′的函數(shù)表達(dá)式．18．（2020?鹿邑縣一模）已知：如圖，直線y＝﹣x﹣3交坐標(biāo)軸于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c過A、C兩點(diǎn)，（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線位于第三象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，試問△PAC的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出△APC面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．19．（2020?碑林區(qū)校級(jí)模擬）拋物線C1：y=-14x2-12x+2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）M為平面內(nèi)一點(diǎn)，將拋物線C1繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2，C2經(jīng)過點(diǎn)A且拋物線C2上有一點(diǎn)P，使△BCP是以∠B為直角的等腰直角三角形．是否存在這樣的點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．20．（2020?灌南縣一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），作直線BC．動(dòng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段MN的最大值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時(shí)，求m的值；（4）當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出m的值．【題組五】21．（2020?項(xiàng)城市校級(jí)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的表達(dá)式；（2）連接BD，當(dāng)t=32時(shí)，求△（3）在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．22．（2020?浙江自主招生）x、y是一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)變量，若當(dāng)a≤x≤b時(shí)，有a≤y≤b（a＜b），則稱此函數(shù)為a≤x≤b上的閉函數(shù)．如y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時(shí)y＝2；當(dāng)x＝2時(shí)y＝1，即當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的閉函數(shù)．（1）請(qǐng)說明y=30x是1≤x≤（2）已知二次函數(shù)y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的閉函數(shù)，求k和t的值；（3）在（2）的情況下，設(shè)A為拋物線頂點(diǎn)，B為直線x＝t上一點(diǎn)，C為拋