加法原理和乘法原理教師版

加法原理和乘法原理教師版加法原理和乘法原理教師版加法原理和乘法原理教師版V:1.0精細整理，僅供參考加法原理和乘法原理教師版日期：20xx年X月加法原理和乘法原理2011寒假班五年級上加法原理：完成一件工作共有N類方法。在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，……，在第N類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不同方法。運用加法原理計數，關鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。合理分類也是運用加法原理解決問題的難點，不同的問題，分類的標準往往不同，需要積累一定的解題經驗。乘法原理：完成一件工作共需N個步驟：完成第一個步驟有m1種方法，完成第二個步驟有m2種方法，…，完成第N個步驟有mn種方法，那么，完成這件工作共有m1×m2×…×mn種方法。運用乘法原理計數，關鍵在于合理分步。完成這件工作的N個步驟，各個步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；各步計數相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此工作的方法也不同。這兩個基本原理是排列和組合的基礎，教學時要先通過生活中淺顯的實例，如購物問題、行程問題、搭配問題等，幫助孩子理解兩個原理，再讓孩子學習運用原理解決問題。運用兩個原理解決的都是比較復雜的計數問題，在解題時要細心、耐心、有條理地分析問題。計數時要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運用兩個原理。靈活機動地分層重復使用或綜合運用兩個原理，可以巧妙解決很多復雜的計數問題。小學階段只學習兩個原理的簡單應用?！绢}目1】用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數沒有限制）組成1元錢，有多少種方法？【解析】運用加法原理，把組成方法分成三大類：①只取一種人民幣組成1元，有3種方法：10張1角；5張2角；2張5角。②取兩種人民幣組成1元，有5種方法：1張5角和5張1角；一張2角和8張1角；2張2角和6張1角；3張2角和4張1角；4張2角和2張1角。③取三種人民幣組成1元，有2種方法：1張5角、1張2角和3張1角的；1張5角、2張2角和1張1角的。所以共有組成方法：3+5+2=10（種）?！绢}目2】各數位的數字之和是24的三位數共有多少個？【解析】一個數各個數位上的數字，最大只能是9，24可分拆為：24=9+9+7；24=9+8+7；24=8+8+8。運用加法原理，把組成的三位數分為三大類：①由9、9、8三個數字可組成3個三位數：998、989、899；②由9、8、7三個數字可組成6個三位數：987、978、897、879、798、789；③由8、8、8三個數字可組成1個三位數：888。所以組成三位數共有：3+6+1=10（個）。【隨堂練習】：北京奧運會開幕的日子為2008年8月8日，拼成一個八位數為20080808.它的數字和為26，請問在2008年還有哪些日子拼成的八位數，其數字之和為26？0529,0628,0727,0826,0925【題目3】有一批長度分別為1，2，3，4，5，6，7和8厘米的細木條若干，從中選取適當的3根木條作為三條邊可以圍成多少個不同的三角形？【解析】圍三角形的依據：三根木條能圍成三角形，必須滿足任意兩邊之和大于第三邊。要滿足這個條件，需要且只需要兩條較短邊的和大于最長邊就可以了。這道題的計數比較復雜，需要分層重復運用加法原理。根據三角形三邊長度情況，我們先把圍成的三角形分為兩大類：第一大類：圍成三角形的三根木條，至少有兩根木條等長（包括三根等長的）。由題目條件，圍成的等腰三角形腰長可以為1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根據三角形腰長，第一大類又可以分為8小類，三邊長依次是：①腰長為1的三角形1個：1、1、1。②腰長為2的三角形3個：2、2、1；2、2、2；2、2、3。③腰長為3的三角形5個：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。④腰長為4的三角形7個：4、4、1；4、4、2；……4、4、7。⑤腰長為5的三角形8個：5、5、1；5、5、2；……5、5、8。同理，腰長為6、7、8厘米的三角形都是8個。第一大類可圍成的不同的三角形：1+3+5+7+8×4=48（個）。第二大類：圍成三角形的三根木條，任意兩根木條的長度都不同。根據最長邊的長度，我們再把第二大類圍成的三角形分為五小類（最長邊不可能為是3厘米、2厘米、1厘米）：①最長邊為8厘米的三角形有9個，三邊長分別為：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。②最長邊為7厘米的三角形有6個，三邊長分別為：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。③最長邊為6厘米的三角形有4個，三邊長分別為：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。④最長邊為5厘米的三角形有2個，三邊長分別為：5、4、3；5、4、2。⑤最長邊為4厘米的三角形有1個，三邊長為：4、3、2。第二大類可圍成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（個）。所以，這一題共可以圍成不同的三角形：48+22=70（個）?！绢}目4】一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有10把鑰匙和10把鎖全部都搞亂了，最多要試驗多少次才能全部配好鎖和相應的鑰匙？【解析】要求“最多”多少次配好鎖和鑰匙，就要從最糟糕的情況開始考慮：第1把鑰匙要配到鎖，最多要試9次（如果9次配對失敗，第10把鎖就一定是這把鑰匙，不用再試）；同理，第2把鑰匙最多要試8次；……第9把鎖最多試1次，最好一把鎖不用試。所以，最多試驗次數為：9+8+7……+2+1=45（次）?！绢}目5】某人到食堂去買飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買一樣，共有多少種不同的買法？【解析】運用乘法原理，把買飯菜分為三步走：第一步：選湯有2種方法。第二步：選葷菜有4種方法。每種選湯方法對應的都有4種選葷菜的方法，湯和葷菜共有2個4種，即8種不同的搭配方法。第三步：選蔬菜有3種方法。葷菜和湯有8種不同的搭配方法，每種搭配方法，對應的都有3種選蔬菜的方法與其二次搭配，共有8個3種，即24種不同搭配方法。如下圖所示

所以，共有不同的買法：2×4×3=24（種）?！绢}目6】在下面的圖中（單位：厘米）求：（1）一共有幾個長方形？

（2）所有這些長方形面積的和是多少？

解（1）AE這條線段上有多少條線段就是長有多少種取法，很明顯得出長有10種取法；同理，寬也有10種取法。一共有（10×10=）100（個）長方形。解（2）長的長度有10種：5、12、8、1、17、20、9、25、21、26，寬的長度也有10種：2、4、7、3、6、11、10、13、14、16。所有這些長方形的面積和=（5+12+8+1+17+20+9+25+21+26）×（2+4+7+3+6+11+10+13+14+16）=144×86=12384（平方厘米）【鞏固練習】1、如果兩個四位數的差等于8921，那么就說這兩個四位數組成一個數對，問這樣的數對共有多少個？分析：從兩個極端來考慮這個問題：最大為9999-1078=8921，最小為9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79個，或1078-1000+1=79個2、一本書從第1頁開始編排頁碼，共用數字2355個，那么這本書共有多少頁？分析：按數位分類：一位數：1～9共用數字1*9=9個；二位數：10～99共用數字2*90=180個；三位數：100～999共用數字3*900=2700個，所以所求頁數不超過999頁，三位數共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722個，所以本書有722+99=821頁。3、上、下兩冊書的頁碼共有687個數字，且上冊比下冊多5頁，問上冊有多少頁？分析：一位數有9個數字，二位數有180個數字，所以上、下均過三位數，利用和差問題解決：和為687，差為3*5=15，大數為：（687+15）÷2=351個（351-189）÷3=54，54+99=153頁。4、從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這10個數中，任取5個數相加的和與其余5個數相加的和相乘，能得到多少個不同的乘積。分析：從整體考慮分兩組和不變：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55從極端考慮分成最小和最大的兩組為（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55最接近的兩組為27+28所以共有27-15+1=13個不同的積。另從15到27的任意一數是可以組合的。5、將所有自然數，自1開始依次寫下去得到：12345678910111213……，試確定第206788個位置上出現(xiàn)的數字。分析：與前面的題目相似，同一個知識點：一位數9個位置，二位數180個位置，三位數2700個位置，四位數36000個位置，還剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4所以答案為33579+100=33679的第4個數字7.6、用1分、2分、5分的硬幣湊成1元，共有多少種不同的湊法？分析：分類再相加：只有一種硬幣的組合有3種方法；1分和2分的組合：其中2分的從1枚到49枚均可，有49