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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個交點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.如圖,這是某校高三年級甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級平均分的莖葉圖,則下列說法不正確的是()A.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是1033.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.4.下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.5.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.36.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題7.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.338.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.9.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.10.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.11.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.1012.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為,且,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,、為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,若,且直線的斜率為,則__________,雙曲線的離心率為__________.14.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積是_____;最長棱的長度是_____.15.已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù),,且,若,則________.16.某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點(diǎn)的游客數(shù)量情況,隨機(jī)抽取了這兩個景點(diǎn)20天的游客人數(shù),得到如下莖葉圖:由此可估計,全年(按360天計算)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多______天.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.18.(12分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項和.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:.過點(diǎn)的直線:(為參數(shù))與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若,求實(shí)數(shù)的值.20.(12分)2018年反映社會現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費(fèi)用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進(jìn)行兩次檢測,當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后,才能進(jìn)行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.21.(12分)萬眾矚目的第14屆全國冬季運(yùn)動運(yùn)會(簡稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕,期間正值我市學(xué)校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查,得到如圖頻數(shù)分布直方圖:(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”,否則定義為“非冰雪迷”,請根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全列聯(lián)表;并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān);(2)在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,22.(10分)已知函數(shù).(1)若對任意x0,f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點(diǎn)x1,x2(x1x2),證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn),再利用,求出點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因?yàn)椋纯傻玫?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.2.D【解析】
計算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,錯誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,故D錯誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.3.C【解析】
不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力.4.C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱,即可排除A、D,再根據(jù)時函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.可排除A、D項.當(dāng)時,,∴B項不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力,一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個不符的選項,屬于中檔題.5.C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【詳解】因?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。6.D【解析】選項A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項C,由題意知對,都有,故C不正確.選項D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.7.C【解析】
先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個難點(diǎn),第二個難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.10.A【解析】
所求的分母特征,利用變形構(gòu)造,再等價變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因?yàn)闈M足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.11.C【解析】
取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.12.C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
設(shè),,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得坐標(biāo),利用可得到點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程,結(jié)合直線斜率可求得,進(jìn)而求得;將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得,進(jìn)而得到離心率.【詳解】左焦點(diǎn)為,雙曲線的半焦距.設(shè),,,,,,即,,即,又直線斜率為,即,,,,在雙曲線上,,即,結(jié)合可解得:,,離心率.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題,涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題;關(guān)鍵是能夠通過設(shè)點(diǎn)的方式,結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點(diǎn)在雙曲線上來構(gòu)造方程組求得所需變量的值.14.【解析】
由三視圖還原原幾何體,該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,由棱錐體積公式求棱錐體積,由勾股定理求最長棱的長度.【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示:該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,則該幾何體的體積為,,,因此,該棱錐的最長棱的長度為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積、棱長,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,是中檔題.15.【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù),且,可得,解得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)?,所以,所以,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.16.72【解析】
根據(jù)給定的莖葉圖,得到游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)共有7天,乙景點(diǎn)共有3天,進(jìn)而求得全年中,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多的天數(shù),得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)給定的莖葉圖可得,在隨機(jī)抽取了這兩個景點(diǎn)20天的游客人數(shù)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)共有7天,乙景點(diǎn)共有3天,所以在全年)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多天.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用,其中解答中熟記莖葉圖的基本知識,合理推算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期,解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,由得出或,分兩種情況討論,結(jié)合余弦定理解三角形,進(jìn)行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1),所以,函數(shù)的最小正周期為,由得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①當(dāng)時,即,則由,,得,則,此時,的面積為;②當(dāng)時,則,即,則由,解得,,.綜上,的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積的計算,涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.18.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用已知條件化簡出,當(dāng)時,,當(dāng)時,再利用進(jìn)行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項公式,再化簡出,可直接求出的前100項和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時,由①式可得;又時,有,代入①式得,整理得,∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項和.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項公式的求法以及裂項相消法求和,考查分析解題能力和計算能力.19.(1),;(2).【解析】
(1)將代入求解,由(為參數(shù))消去即可.(2)將(為參數(shù))與聯(lián)立得,設(shè),兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為,,則,,再根據(jù),即,利用韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)把代入,得,由(為參數(shù)),消去得,∴曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程分別是,.(2)將(為參數(shù))代入得,設(shè),兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為,,則,,由得,所以,即,所以,而,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20.(1)0.98;可用線性回歸模型擬合.(2)【解析】
(1)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出,代入相關(guān)系數(shù)公式求出,根據(jù)的大小來確定結(jié)果;(2)求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率,發(fā)現(xiàn)它們相同,那么經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,服從二項分布,利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解:(1)由題意可知,,由公式,,∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合;(2)藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率分別為,,,由題意,,.【點(diǎn)睛】本題考
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