拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全與經(jīng)典例題及解析

-.z.拋物線及其性質(zhì)【考綱說(shuō)明】1、掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問題。2、通過類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系。【知識(shí)梳理】1．拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．2．拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置*正*負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程圍對(duì)稱軸*軸*軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)〔0,0〕離心率通徑2p焦半徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的補(bǔ)充以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切假設(shè)的傾斜角為，假設(shè)的傾斜角為，則3．拋物線的幾何性質(zhì)：(1)范圍因?yàn)閜>0，由方程可知*≥0，所以拋物線在軸的右側(cè)，當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，||也增大，說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向．(3)頂點(diǎn)〔0，0〕，離心率：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距p．(4)焦點(diǎn)弦：拋物線的焦點(diǎn)弦，,,則．弦長(zhǎng)|AB|=*1+*2+p,當(dāng)*1=*2時(shí)，通徑最短為2p。4．焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦，,，焦點(diǎn)(1)假設(shè)AB是拋物線的焦點(diǎn)弦〔過焦點(diǎn)的弦〕，且，，則：，。(2)假設(shè)AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為α，則〔α≠0〕。(3)直線AB是過拋物線焦點(diǎn)F,(4)焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑．(5)兩個(gè)相切：eq\o\ac(○,1)以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.eq\o\ac(○,2)過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5．弦長(zhǎng)公式：,是拋物線上兩點(diǎn)，則【經(jīng)典例題】〔1〕拋物線——二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華美的篇章.【例1】P為拋物線上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸〔〕相交相切相離位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線是.作PH⊥于H，交y軸于Q，則，且.作MN⊥y軸于N則MN是梯形PQOF的中位線，.故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評(píng)注】相似的問題對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說(shuō)，其結(jié)論則分別是相離或相交的.〔2〕焦點(diǎn)弦——?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的.【例2】過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，求證：〔1〕〔2〕【證明】〔1〕如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，.兩式相加即得：〔2〕當(dāng)AB⊥*軸時(shí)，有成立；當(dāng)AB與*軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡(jiǎn)得：∵方程〔1〕之二根為*1，*2，∴..故不管弦AB與*軸是否垂直，恒有成立.〔3〕切線——拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的根本功.【例3】證明：過拋物線上一點(diǎn)M〔*0，y0〕的切線方程是：y0y=p〔*+*0〕【證明】對(duì)方程兩邊取導(dǎo)數(shù)：.由點(diǎn)斜式方程：y0y=p〔*+*0〕〔4〕定點(diǎn)與定值——拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會(huì)有意想不到的收獲.例如：1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)〔〕顯然.此題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線的通徑長(zhǎng)為2p；3.設(shè)拋物線過焦點(diǎn)的弦兩端分別為，則：以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，則A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜測(cè)：一切這樣的圓都過拋物線的焦點(diǎn).以下我們對(duì)AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為，則：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交*軸于C，則.這就說(shuō)明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn).●通法特法妙法〔1〕解析法——為對(duì)稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題〔如對(duì)稱問題等〕.【例5】〔10.四川文科卷.10題〕拋物線y=-*2+3上存在關(guān)于直線*+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于〔〕A.3B.4C.3【分析】直線AB必與直線*+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線*+y=0上，因得解法如下.【解析】∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線*+y=0對(duì)稱，∴設(shè)直線AB的方程為：.由設(shè)方程〔1〕之兩根為*1，*2，則.設(shè)AB的中點(diǎn)為M〔*0，y0〕，則.代入*+y=0：y0=.故有.從而.直線AB的方程為：.方程〔1〕成為：.解得：，從而，故得：A〔-2，-1〕，B〔1，2〕.，選C.〔2〕幾何法——為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的開展，但伴之而來(lái)的卻是難以防止的繁雜計(jì)算，這又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)題望而生畏.針對(duì)這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】〔11.全國(guó)1卷.11題〕拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的局部相交于點(diǎn)，，垂足為，則的面積〔〕A． B．C． D．【解析】如圖直線AF的斜率為時(shí)∠AF*=60°.△AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線交*軸于M，則且∠KFM=60°，∴.選C.【評(píng)注】〔1〕平面幾何知識(shí)：邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積用公式計(jì)算.〔2〕此題如果用解析法，需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，，再計(jì)算正三角形的邊長(zhǎng)和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡(jiǎn)單.〔3〕定義法——追本求真的簡(jiǎn)單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來(lái)很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡(jiǎn)單.【例7】〔07.湖北卷.7題〕雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，則等于〔〕A． B． C． D．【分析】這道題如果用解析法去做，計(jì)算會(huì)特別繁雜，而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上，則就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c，離心率為e，作，令.∵點(diǎn)M在拋物線上，，這就是說(shuō)：的實(shí)質(zhì)是離心率e.其次，與離心率e有什么關(guān)系？注意到：.這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴選A..〔4〕三角法——本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比擬容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施"九九歸一〞——到達(dá)解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡(jiǎn)化計(jì)算.【例8】〔09.重慶文科.21題〕如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)?！并瘛城髵佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交*軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2a【解析】〔Ⅰ〕焦點(diǎn)F〔2，0〕，準(zhǔn)線.〔Ⅱ〕直線AB：代入〔1〕，整理得：設(shè)方程〔2〕之二根為y1，y2，則.設(shè)AB中點(diǎn)為AB的垂直平分線方程是：.令y=0，則故于是|FP|-|FP|cos2a=，故為定值.〔5〕消去法——合理減負(fù)的常用方法.防止解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說(shuō)的"不戰(zhàn)而屈人之兵〞.【例9】是否存在同時(shí)滿足以下兩條件的直線：〔1〕與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B；〔2〕線段AB被直線：*+5y-5=0垂直平分.假設(shè)不存在，說(shuō)明理由，假設(shè)存在，求出直線的方程.【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點(diǎn)∵線段AB被直線：*+5y-5=0垂直平分，且.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.代入*+5y-5=0得*=1.于是：AB中點(diǎn)為.故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為：〔6〕探索法——奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來(lái)好似"