高中數(shù)學必修

-.z.數(shù)學必修2知識點總結一、直線與方程〔1〕直線的傾斜角定義：*軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與*軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°〔2〕直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，；當時，；當時，不存在。②過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到?！?〕直線方程①點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于*1，所以它的方程是*=*1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：〔〕直線兩點，④截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：〔A，B不全為0〕注意：eq\o\ac(○,1)各式的適用范圍eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于*軸的直線：〔b為常數(shù)〕；平行于y軸的直線：〔a為常數(shù)〕；〔5〕直線系方程：即具有*一共同性質的直線〔一〕平行直線系平行于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：〔C為常數(shù)〕〔二〕過定點的直線系〔ⅰ〕斜率為k的直線系：，直線過定點；〔ⅱ〕過兩條直線，的交點的直線系方程為〔為參數(shù)〕，其中直線不在直線系中。〔6〕兩直線平行與垂直當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否?！?〕兩條直線的交點相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數(shù)解與重合〔8〕兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，則〔9〕點到直線距離公式：一點到直線的距離〔10〕兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進展求解。二、圓的方程1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程〔1〕標準方程，圓心，半徑為r；〔2〕一般方程當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當時，表示一個點；當時，方程不表示任何圖形。〔3〕求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，假設利用圓的標準方程，需求出a，b，r；假設利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，根本上由以下兩種方法判斷：〔1〕設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；〔2〕設直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標，r表示半徑。(3)過圓上一點的切線方程：①圓*2+y2=r2，圓上一點為(*0，y0)，則過此點的切線方程為(課本命題)．②圓(*-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(*0，y0)，則過此點的切線方程為(*0-a)(*-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來確定。設圓，兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來確定。當時兩圓外離，此時有公切線四條；當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當時，兩圓內切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當時，兩圓內含；當時，為同心圓。三、立體幾何初步1、柱、錐、臺、球的構造特征〔1〕棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形?！?〕棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方?！?〕棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的局部分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點〔4〕圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形?！?〕圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形?！?〕圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的局部幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形?！?〕球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖〔光線從幾何體的前面向后面正投影〕；側視圖〔從左向右〕、俯視圖〔從上向下〕注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點：①原來與*軸平行的線段仍然與*平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的外表積與體積〔1〕幾何體的外表積為幾何體各個面的面積的和。〔2〕特殊幾何體外表積公式〔c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線〕〔3〕柱體、錐體、臺體的體積公式〔4〕球體的外表積和體積公式：V=；S=4、空間點、直線、平面的位置關系〔1〕平面①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α〔通常寫在一個銳角內〕；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。③點與平面的關系：點A在平面，記作；點不在平面，記作點與直線的關系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關系：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα?！?〕公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，則這條直線是所有的點都在這個平面內。〔即直線在平面內，或者平面經(jīng)過直線〕應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內用符號語言表示公理1：〔3〕公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)〔4〕公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,則它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。符號語言：公理3的作用：①它是判定兩個平面相交的方法。②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上，即證假設干個點共線的重要依據(jù)?！?〕公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行〔6〕空間直線與直線之間的位置關系①異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線②異面直線性質：既不平行，又不相交。③異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角〔或直角〕叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是〔0°，90°]，假設兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：〔1〕判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理〔2〕在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。②求異面直線所成角步驟：A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到*個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角〔7〕等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩角相等或互補?！?〕空間直線與平面之間的位置關系直線在平面內——有無數(shù)個公共點．三種位置關系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α〔9〕平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點；α∥β相交——有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問題〔1〕直線與平面平行的判定及其性質線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性質定理：線面平行線線平行〔2〕平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理〔1〕如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行〔線面平行→面面平行〕，〔2〕如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，則這兩個平面平行?！簿€線平行→面面平行〕，〔3〕垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理〔1〕如果兩個平面平行，則*一個平面內的直線與另一個平面平行。〔面面平行→線面平行〕〔2〕如果兩個平行平面都和第三個平面相交，則它們的交線平行?！裁婷嫫叫小€線平行〕7、空間中的垂直問題〔1〕線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角〔從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形〕是直二面角〔平面角是直角〕，就說這兩個平面垂直?！?〕垂直關系的判定和性質定理①線面垂直判定定理和性質定理判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。性質定理：如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。9、空間角問題〔1〕直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角：規(guī)定為。②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。〔2〕直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角："一作，二證，三計算〞。在"作角〞時依定義關鍵作射