高中數(shù)學(xué)必修

-.z.數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直線與方程〔1〕直線的傾斜角定義：*軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與*軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°〔2〕直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在。②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到?！?〕直線方程①點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于*1，所以它的方程是*=*1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：〔〕直線兩點(diǎn)，④截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：〔A，B不全為0〕注意：eq\o\ac(○,1)各式的適用范圍eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于*軸的直線：〔b為常數(shù)〕；平行于y軸的直線：〔a為常數(shù)〕；〔5〕直線系方程：即具有*一共同性質(zhì)的直線〔一〕平行直線系平行于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：〔C為常數(shù)〕〔二〕過(guò)定點(diǎn)的直線系〔ⅰ〕斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn)；〔ⅱ〕過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為〔為參數(shù)〕，其中直線不在直線系中。〔6〕兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否?！?〕兩條直線的交點(diǎn)相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無(wú)解；方程組有無(wú)數(shù)解與重合〔8〕兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則〔9〕點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離〔10〕兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)展求解。二、圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程〔1〕標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；〔2〕一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形?！?〕求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，假設(shè)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；假設(shè)利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，根本上由以下兩種方法判斷：〔1〕設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；〔2〕設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；；注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：①圓*2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(*0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(課本命題)．②圓(*-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(*0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(*0-a)(*-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來(lái)確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來(lái)確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)時(shí)，為同心圓。三、立體幾何初步1、柱、錐、臺(tái)、球的構(gòu)造特征〔1〕棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形?！?〕棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。〔3〕棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的局部分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)〔4〕圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形?！?〕圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形?！?〕圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的局部幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形?！?〕球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖〔光線從幾何體的前面向后面正投影〕；側(cè)視圖〔從左向右〕、俯視圖〔從上向下〕注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來(lái)與*軸平行的線段仍然與*平行且長(zhǎng)度不變；②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的外表積與體積〔1〕幾何體的外表積為幾何體各個(gè)面的面積的和?！?〕特殊幾何體外表積公式〔c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線〕〔3〕柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式〔4〕球體的外表積和體積公式：V=；S=4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系〔1〕平面①平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的；②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α〔通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)〕；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面，記作；點(diǎn)不在平面，記作點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：A∈l；點(diǎn)A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα?！?〕公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。〔即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線〕應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：〔3〕公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)〔4〕公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),則它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。符號(hào)語(yǔ)言：公理3的作用：①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證假設(shè)干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)?！?〕公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行〔6〕空間直線與直線之間的位置關(guān)系①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。③異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角〔或直角〕叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是〔0°，90°]，假設(shè)兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。說(shuō)明：〔1〕判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理〔2〕在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。②求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到*個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角〔7〕等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩角相等或互補(bǔ)?！?〕空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aαa∩α＝Aa∥α〔9〕平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；α∥β相交——有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問(wèn)題〔1〕直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：線面平行線線平行〔2〕平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理〔1〕如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行〔線面平行→面面平行〕，〔2〕如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)平面平行?！簿€線平行→面面平行〕，〔3〕垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理〔1〕如果兩個(gè)平面平行，則*一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行?！裁婷嫫叫小€面平行〕〔2〕如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行?！裁婷嫫叫小€線平行〕7、空間中的垂直問(wèn)題〔1〕線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角〔從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形〕是直二面角〔平面角是直角〕，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直?！?〕垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問(wèn)題〔1〕直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角：規(guī)定為。②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角?！?〕直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角："一作，二證，三計(jì)算〞。在"作角〞時(shí)依定義關(guān)鍵作射