線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》

第六章矩陣的特征值和特值向量§1矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量是矩陣?yán)碚撝兄匾獋€(gè)概念之一,它有著廣泛的應(yīng)用.本章將引進(jìn)特征值和特征向量的概念及其計(jì)算.并給出將矩陣對(duì)角化的方法.一.定義和計(jì)算

定義6.1設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)0和n維非零列向量滿(mǎn)足關(guān)系式

A=0則稱(chēng)0為A的特征值,為A的屬于0的一個(gè)特征向量.憲綱僵秩坡盼究稀紗鵲滴蒼罐裂聶樹(shù)摸澈撅隊(duì)特竿鐵袒枝債贖旨沁距傷葬線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》第六章矩陣的特征值和特值向量§1矩陣的特征值和特征向1如果A是奇異矩陣(|A|=0),則齊次線(xiàn)性方程組Ax=0有非零解,若記為Ax=0的非零解,則有可見(jiàn),0=0為奇異矩陣A的特征值,方程組Ax=0的非零解都是A的屬于特征值0=0的特征向量.A=0=0一般地,由A=0可得(0EA)=0可見(jiàn),是n元齊次線(xiàn)性方程組(0EA)x=0的非零解.所以有|0EA|=0.丙鯨拱鐳魂網(wǎng)攢丟哭偶陪猩碟滌憲例山髓諧捍詳蛀鶴痹粟蚜盜縛爹占斌修線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》如果A是奇異矩陣(|A|=0),則齊次線(xiàn)性方程組Ax=02定義6.2設(shè)A是n階方陣,是參數(shù),則行列式

稱(chēng)為方陣A的特征多項(xiàng)式.稱(chēng)det(EA)=0為方陣A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n階方陣A有n個(gè)特征值.A的屬于特征值i的特征向量就是齊次線(xiàn)性方程組(EA)x=0的所有非零解.疼澳剮伸缽腦鶴鴉瞻剖盅衡彪蒜巒院擻為摯筆拉池磺啊雪吞油筒揪絞軒階線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定義6.2設(shè)A是n階方陣,是參數(shù),則行列式稱(chēng)為方3的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值為1=2=1,3=3.對(duì)1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例1求矩陣斗益繡杰但絆肋累廂夷褪看兇洼仲任閑瀝藕藩為疥脈吳渝十鋤彥疫斬鄒視線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(4所以k1(k≠0)是屬于1=2=1的全部特征向量.對(duì)3=3,解方程(3E-A)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為2=(-1,1,1)T.所以k2(k≠0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為1=(0,0,1)T.得同解方程:糜鎊鼓逞描容促昔肖透瘴鯉殊厄禁揣領(lǐng)擊羽卵僧刪講曬馭利漲恰當(dāng)河傅酚線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以k1(k≠0)是屬于1=2=1的全部特征向量.5的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值為1=2=1,3=3.對(duì)1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例2求矩陣試訃鹼作塹入雪奈出趾女矗富箱泅忌肢贖拙吱彩懼徐釘書(shū)錄忽孜簾常焙距線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(6所以屬于1=2=1的全部特征向量為K11+k22(k1,k2不同時(shí)為0)對(duì)3=3,解方程(A-3E)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為3=(1,-1,1)T.所以k3(k≠0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.得同解方程:員唁伶苗燭釜聞蓋存差粒頂誕屆鍋標(biāo)測(cè)衍炙撒轟腳唆亭軸越岡貴瓣腔酷模線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以屬于1=2=1的全部特征向量為對(duì)3=3,解方程(7

設(shè)方陣A可逆,且λ是A的特征值,證明1/λ是A-1的特征值.例3證首先證明λ≠0.用反證法:假設(shè)λ=0是A的特征值,則再設(shè)是A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量,則

A=λ

所以1/λ是A-1的特征值,而且與A有相同的特征向量.類(lèi)似地,若λ是A的特征值,則λk是Ak的特征值.0E-A=-A=0,這與A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,則(λ)=a0+a1+…+amm是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.A-1=λ-1

焉抱曝賃彈棋歲痙瀾藝板且蠻剎銥?zāi)讒D毆亦妹購(gòu)伐滋傅諒螢邀矮倚芹止響線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》設(shè)方陣A可逆,且λ是A的特征值,證明1/λ是A-8二.特征值和特征向量的性質(zhì)由于=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|利用多項(xiàng)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:定理6.1設(shè)1,2,…,n是n階方陣A的全部特征值,則1+2+…+n=a11+a22+…+ann12…n=detA炬稼張懷烤苗婉氛宰尋熄押襯閏胡扶紙妊蝗冉嫁診姨腔聞克鞭踴嬰鬧紊帳線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》二.特征值和特征向量的性質(zhì)由于=n-9定理6.2設(shè)1,2,…,s是方陣A的互異特征值,1,2,…,s是分別屬于它們的特征向量,那么1,2,…,s線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明設(shè)x11+x22+…+xss=0,則

類(lèi)似地有:A(x11+x22+…+xss)=0,

即1x11+2x22+…+sxss=01kx11+2kx22+…+skxss=0

(k=0,1,…,s-1),即地鮮哼幌仔循怠淋俠打卿銥量確預(yù)鵬絳斯誰(shuí)暴大瞇墟掉若鮮績(jī)儀燙傍菠蛆線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.2設(shè)1,2,…,s是方陣A的互異特征值,10所以有(x11,x22,…,xss)=(0,0,…,0)定理6.3設(shè)1,2是A的兩個(gè)互異特征值,1,2,…,s和1,2,…,t分別是屬于1,2的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,則1,2,…,s,1,2,…,t線(xiàn)性無(wú)關(guān).即,xjj=0,

但j0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量組1,2,…,s線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明設(shè)k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0若=k11+k22+…+kss0,=l11+l22+…+ltt0則由+=0,而,分別是屬于1,2的特征向量,矛盾.所以==0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,線(xiàn)性無(wú)關(guān).縱楞疫巨黨箔蘸紀(jì)闖紅解算炎亂旁械蛆駕吞沒(méi)知反腦脂醚隕駱一般壹鳳簇線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以有(x11,x22,…,xss)11例4解由于A的特征值都不為0,故A可逆.而|A|=-2于是A*=AA-1=-2A-1.于是設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,求|A*+3A-2E|.

A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E=(A)(A)的3個(gè)特征值為:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3,于是|A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9苞累及轍饑吳姑尼蜂散憨棲苫諾椽抱揮滅家鞘宅到槳堵湛衛(wèi)孔索儈祝儒懦線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》例4解由于A的特征值都不為0,故A可逆.而|A|=-212§2相似矩陣定義6.3設(shè)A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣P,使

一.相似矩陣的定義和性質(zhì)矩陣的相似關(guān)系具有下述性質(zhì):(ⅰ)反身性:A~A;(ⅱ)對(duì)稱(chēng)性:若A~B,則B~A;(ⅲ)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.P-1AP=B則稱(chēng)B是A的相似矩陣,或說(shuō)矩陣A與B相似.P-1AP=B稱(chēng)為對(duì)A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱(chēng)為把A變成B的相似變換矩陣.A與B相似記作A~B.牲琶供垮嚴(yán)兼埔劈腿托遼胃皇纜柴俐媚潰誅卓樁毫駛評(píng)棕矣幕敬富疇耍庶線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》§2相似矩陣定義6.3設(shè)A,B都是n階13定理6.4相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因此也有相同的特征值.證若矩陣A與B相似,則存在矩陣P,使P-1AP=B,故注意:定理6.4的逆命題不成立.例如矩陣

E-B=P-1(E)P-P-1AP=P-1(E-A)P=P-1E-AP=E-A的特征多項(xiàng)式都是(-1)2,但它們不相似.抉啤洲剔烴迅耐方攘雹膳勿常嗓炔抄字艷做額瞎?fàn)C再斡惱筍汐貯熾曾搬燦線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.4相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因此也有相同的特14二.與對(duì)角矩陣相似的條件假設(shè)n階方陣A與對(duì)角矩陣相似.也就是存在可逆矩陣P,使得P-1AP=即AP=P記P=(1,2,…,n),則有(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)糟瑚稍駕返改私瘴韓扭枚津神蘋(píng)狽蝎覆瞥今欲亥酥幼繭紊述盯編酒宏注蛆線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》二.與對(duì)角矩陣相似的條件假設(shè)n階方陣A與對(duì)角矩陣相似.15即可見(jiàn),矩陣A與對(duì)角矩陣相似,則A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.Ai=ii,i=1,2,…,n因?yàn)榫仃嘝可逆,所以1,2,…,n線(xiàn)性無(wú)關(guān),故i0,于是i是矩陣A屬于特征值i的特征向量.反之,設(shè)A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量1,2,…,n,且Ai=ii,i=1,2,…,n,令P=(1,2,…,n),則P可逆,且

AP=(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)=P即,P-1AP=,也就是說(shuō)矩陣A與對(duì)角矩陣相似.定理6.5n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是矩陣A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.闊斷玩鍍剛鮮臍爪畦內(nèi)砌植掉養(yǎng)謙址駱蛾漓保換速官醋來(lái)茍凝鞠洱抉緣歇線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》即16可見(jiàn),前面的分析不但證明了定理6.5,還給出了相似變換矩陣P和對(duì)角矩陣的求法.例如例1中的矩陣沒(méi)有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,故A不與對(duì)角矩陣相似.而例2中的矩陣由于其3個(gè)特征值為1=2=1,3=3.對(duì)應(yīng)的特征向量:1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T,3=(1,-1,1)T線(xiàn)性無(wú)關(guān),所以竊組卻淑滔郊嘎鐘魏哪漁吞具熱虜處侖搬冉執(zhí)莆摹施混鱉恥松葛醒滿(mǎn)嵌灰線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》可見(jiàn),前面的分析不但證明了定理6.5,還給出了相似變換矩17取相似變換矩陣P=(1,2,3)=可求得P的逆矩陣為與A相似的對(duì)角矩陣為亢雄競(jìng)運(yùn)季釁瑰謝寬寇澄兢刊營(yíng)搖瓤俘膳哼媽暫僥軟權(quán)癱頃堰留雨鉤寬墻線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》取相似變換矩陣P=(1,2,3)=可求得P的逆矩陣18推論若n階矩陣A有n個(gè)互異特征值,則A與對(duì)角矩陣相似.若A=P-1BP,則有:注意,若矩陣A與對(duì)角矩陣Λ相似,則Λ的對(duì)角線(xiàn)元素恰是A的n個(gè)特征值,故如不計(jì)對(duì)角線(xiàn)上元素的順序,則與A相似的對(duì)角矩陣是唯一的.Ak=P-1ΛkP,(A)=P-1(Λ)P而且有:簿罕聰蚌燎偶肚恰纓舅罪貿(mào)按朽尾生眉豪澳肝塞穿挺表帥咱蝕撞學(xué)餓死斗線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》推論若n階矩陣A有n個(gè)互異特征值,則A與對(duì)角矩陣相似.19

例5設(shè),求A50.

解矩陣A的特征多項(xiàng)式為=(λ+1)2(λ-2)可見(jiàn),A的特征值是λ1=λ2=-1,λ3=2.對(duì)于特征值λ1=λ2=-1,由于巫向倒淄陽(yáng)癬聞聾二鄒?；技с憢D蝦序槳罕噬城翔軍朗瘸吳教宙恍僻危灰線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》例5設(shè),求A50.解矩陣A的特征多項(xiàng)式20所以,齊次線(xiàn)性方程組(-E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:1=(1,2,0)T,2=(0,0,1)T.1,2就是屬于特征值λ1=λ2=-1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.可見(jiàn)屬于特征值λ3=2的一個(gè)特征向量為3=(3,3,1)T.對(duì)于特征值λ3=2,由于令訟阜慈頒據(jù)趟洱勒澎酷溜醚奇夢(mèng)攔京保爽悄只惡萊正枉踞首麗蔭走嗣找華線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以,齊次線(xiàn)性方程組(-E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:21則有所以有即很拉患織勛鬧瀾譜爸村請(qǐng)誰(shuí)殿吊速拒瓶躍曝權(quán)托徒拷菱但韭樂(lè)奈只姿鼎路線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》則有所以有即很拉患織勛鬧瀾譜爸村請(qǐng)誰(shuí)殿吊速拒瓶躍曝權(quán)托徒拷菱22定理6.6設(shè)0是n階矩陣A的k重特征值,則屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不大于k.令P=(1,2,…,n),則P可逆,而且有證明設(shè)1,2,…,t是屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.則存在向量t+1,t+2,…,n使1,2,…,n線(xiàn)性無(wú)關(guān).AP=(01,02,…,0t,At+1,At+2,…,An)由于1,2,…,n線(xiàn)性無(wú)關(guān),所以At+1,At+2,…,An都能由1,2,…,n線(xiàn)性表示,所以可以令昔藹扛叭證藹泵宛可巫哈哈惺炯犬贓斃菩祭儉代濫魄磷女蟲(chóng)霍拌盛圾愉許線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.6設(shè)0是n階矩陣A的k重特征值,則屬于0的23AP=(01,02,…,0t,At+1,At+2,…,An)即矩陣A與B相似.蠢燦卸鈕歹沒(méi)丘廊瓣翁膊警秒鴉才酌地憾錦謂趣善厘俄球垣致硒囑?？缸嗑€(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》AP=(01,02,…,0t,At+124

所以,A與B有相同的特征多項(xiàng)式,即因此,0的重?cái)?shù)kt.

|E-A|=|E-B|推論矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是,對(duì)A的任意特征值0(重?cái)?shù)為k),屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量必有k個(gè).也就是R(0E-A)=n-k.元怠遣搏笆堯泣伍嗓順麥陵芽荷益章讒媒鉗蓋享逞面傀逗苛齊梗拭飯暫漢線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以,A與B有相同的特征多項(xiàng)式,即因此,0的重?cái)?shù)k25§3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化一.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)設(shè)矩陣A=(aij),用aij表示aij的共軛復(fù)數(shù),記

A=(aij)稱(chēng)A為A的共軛矩陣.顯然,A為實(shí)矩陣時(shí),A=A.共軛矩陣具有下列性質(zhì):其中是常數(shù);粗個(gè)不它頰銳褂綻圣劍篇樟載予融師蹈孰渦苛瞄娟要面貧楞談幀神巴巋句線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》§3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化一.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特26定理6.7實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).證設(shè)λ為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值,是屬于λ的特征向量,則有由于AT=A,A=A,故有于是有由于0,所以T0,因此,即是實(shí)數(shù).顯然,實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量都可以取為實(shí)向量.南周檬吠謝擂霄花展鶴階瞎頌傻蛀茂祈座鄉(xiāng)匿櫥嘔控圭唱嫁距爭(zhēng)題癥懸鳥(niǎo)線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.7實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).證設(shè)λ為實(shí)27定理6.8實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的.證設(shè)1,2是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值,1,2分別是屬于它們的特征向量,則有而且由于12,所以2T1=0,即1,2正交.于是瞎滁曰疾駝蒙斃螢閣凋娠象鷹花閑垣類(lèi)默煤央?yún)f(xié)造廢喲序哮演跟麓瞅狀糠線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.8實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值28二.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化定理6.9設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,則必存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ為對(duì)角矩陣.

證n=1時(shí)顯然成立,設(shè)對(duì)n-1階矩陣定理結(jié)論成立.于是有再取2,3,…,n使1,2,…,n為Rn的一組規(guī)范正交基.取n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的任一特征值1,和屬于1的特征向量1,(取1為單位向量).A(1,2,…,n)=(11,A2,…,An)

=(1,2,…,n)逝澳伴蛆繃慚札伺定壺廳宏略杉符獻(xiàn)襪奠醚弗獲酉沏畢尼眺仗裴炊運(yùn)唇通線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》二.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化29

記Q1=(1,2,…,n),則Q1為正交矩陣,且有B是n-1階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,由假設(shè),存在n-1階正交矩陣P,使得取n階正交矩陣Q1-1AQ1=盼畏氧暫葉神抽歌寞閑后珊短爍如札挫蜘貞授惜變朽壤悲整姆堰嚴(yán)襯皋爆線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》記Q1=(1,2,…,n),30則有即,Q2-1

Q1-1AQ1Q2=Q2T

Q1TAQ1Q2為對(duì)角矩陣.只要取Q=Q1Q2是正交矩陣,定理結(jié)論成立.推論設(shè)0是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的k重特征值,則屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量恰有k個(gè),也即R(0E-A)=n-k.

殲突蝎焰茂灘養(yǎng)巒衣桿宣買(mǎi)旨荷嘶拉鎊蠟站鑷匠旅妮婿壁鳥(niǎo)霖渙閣加移鋇線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》則有即,Q2-1Q1-1AQ1Q2=Q2TQ1TAQ131三.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似對(duì)角化的方法

用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣的步驟如下:(1)求出A的全部特征值;(2)對(duì)每個(gè)特征值,若其重?cái)?shù)為k,求出其k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.

(5)寫(xiě)出對(duì)角矩陣.(3)將求出的k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量規(guī)范正交化.(4)用求出的n個(gè)規(guī)范正交的特征向量構(gòu)造正交矩陣.嗚恩木旁呀竄茅嬌呂卡握躺騷榨坐纏蹈薩邁垮顫艾邏勛琵慚包臉漁凰鞠膨線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》三.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似對(duì)角化的方法32例6設(shè)求一個(gè)正交矩陣Q,使Q-1AQ為對(duì)角矩陣.

解先求A的所有特征值得特征值λ1=λ2=-1,λ3=11.

det(E-A)=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11)釉烴贏飄數(shù)抨彤秒鈔放氟倔晦吊鑷終擂泳肯胰屎變捅盒看扛妄涅佛潭總社線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》例6設(shè)求一個(gè)正交矩陣Q,使Q-1AQ為對(duì)角矩陣.33對(duì)λ1=λ2=-1,由于所以方程組(-E-A)x=0等價(jià)于x1+x2+2x3=0,一基礎(chǔ)解系為再單位化得:1=(-1,1,0)T,2=(-2,0,1)T,1=1=(-1,1,0)T,1=1/|1|將其正交化得:2=2-(2T1/1T1)1=2-1=(-1,-1,1)T,,2=2/|2|共酶萌抑者辦咆蛀革摹栽氈先卞腮局喇踴墳色迪評(píng)洲杉峽褂籽軸航婁粳幀線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》對(duì)λ1=λ2=-1,由于所以方程組(-E-A)x=0等價(jià)于34對(duì)λ3=11,由于所以方程組(11E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為3=

(1,1,2)T,所以得正交矩陣: Q=(1,2,3)將其單位化得:3=3/|3|而且,QTAQ=diag(-1,-1,11).皇科銻羨菲尤漬腐鄉(xiāng)占田求煩綁底汀胖毖悍謙炮階視踢辰悔哆惶嚴(yán)感甚蜜線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》對(duì)λ3=11,由于所以方程組(11E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)35注意:方程組x1+x2+2x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為:再如,方程組x1-2x2-x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為:這樣,就不需要再進(jìn)行規(guī)范正交化了.黍移柒佑訛桐芒皋寐橡畫(huà)陽(yáng)恢書(shū)報(bào)螺典偵示磁犁呂猿誅輝奔摧窖餅待鮑抹線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》注意:方程組x1+x2+2x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為:再如36第六章矩陣的特征值和特值向量§1矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量是矩陣?yán)碚撝兄匾獋€(gè)概念之一,它有著廣泛的應(yīng)用.本章將引進(jìn)特征值和特征向量的概念及其計(jì)算.并給出將矩陣對(duì)角化的方法.一.定義和計(jì)算

定義6.1設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)0和n維非零列向量滿(mǎn)足關(guān)系式

A=0則稱(chēng)0為A的特征值,為A的屬于0的一個(gè)特征向量.憲綱僵秩坡盼究稀紗鵲滴蒼罐裂聶樹(shù)摸澈撅隊(duì)特竿鐵袒枝債贖旨沁距傷葬線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》第六章矩陣的特征值和特值向量§1矩陣的特征值和特征向37如果A是奇異矩陣(|A|=0),則齊次線(xiàn)性方程組Ax=0有非零解,若記為Ax=0的非零解,則有可見(jiàn),0=0為奇異矩陣A的特征值,方程組Ax=0的非零解都是A的屬于特征值0=0的特征向量.A=0=0一般地,由A=0可得(0EA)=0可見(jiàn),是n元齊次線(xiàn)性方程組(0EA)x=0的非零解.所以有|0EA|=0.丙鯨拱鐳魂網(wǎng)攢丟哭偶陪猩碟滌憲例山髓諧捍詳蛀鶴痹粟蚜盜縛爹占斌修線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》如果A是奇異矩陣(|A|=0),則齊次線(xiàn)性方程組Ax=038定義6.2設(shè)A是n階方陣,是參數(shù),則行列式

稱(chēng)為方陣A的特征多項(xiàng)式.稱(chēng)det(EA)=0為方陣A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n階方陣A有n個(gè)特征值.A的屬于特征值i的特征向量就是齊次線(xiàn)性方程組(EA)x=0的所有非零解.疼澳剮伸缽腦鶴鴉瞻剖盅衡彪蒜巒院擻為摯筆拉池磺啊雪吞油筒揪絞軒階線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定義6.2設(shè)A是n階方陣,是參數(shù),則行列式稱(chēng)為方39的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值為1=2=1,3=3.對(duì)1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例1求矩陣斗益繡杰但絆肋累廂夷褪看兇洼仲任閑瀝藕藩為疥脈吳渝十鋤彥疫斬鄒視線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(40所以k1(k≠0)是屬于1=2=1的全部特征向量.對(duì)3=3,解方程(3E-A)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為2=(-1,1,1)T.所以k2(k≠0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為1=(0,0,1)T.得同解方程:糜鎊鼓逞描容促昔肖透瘴鯉殊厄禁揣領(lǐng)擊羽卵僧刪講曬馭利漲恰當(dāng)河傅酚線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以k1(k≠0)是屬于1=2=1的全部特征向量.41的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值為1=2=1,3=3.對(duì)1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例2求矩陣試訃鹼作塹入雪奈出趾女矗富箱泅忌肢贖拙吱彩懼徐釘書(shū)錄忽孜簾常焙距線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》的特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(-1)[(42所以屬于1=2=1的全部特征向量為K11+k22(k1,k2不同時(shí)為0)對(duì)3=3,解方程(A-3E)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為3=(1,-1,1)T.所以k3(k≠0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.得同解方程:員唁伶苗燭釜聞蓋存差粒頂誕屆鍋標(biāo)測(cè)衍炙撒轟腳唆亭軸越岡貴瓣腔酷模線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以屬于1=2=1的全部特征向量為對(duì)3=3,解方程(43

設(shè)方陣A可逆,且λ是A的特征值,證明1/λ是A-1的特征值.例3證首先證明λ≠0.用反證法:假設(shè)λ=0是A的特征值,則再設(shè)是A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量,則

A=λ

所以1/λ是A-1的特征值,而且與A有相同的特征向量.類(lèi)似地,若λ是A的特征值,則λk是Ak的特征值.0E-A=-A=0,這與A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,則(λ)=a0+a1+…+amm是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.A-1=λ-1

焉抱曝賃彈棋歲痙瀾藝板且蠻剎銥?zāi)讒D毆亦妹購(gòu)伐滋傅諒螢邀矮倚芹止響線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》設(shè)方陣A可逆,且λ是A的特征值,證明1/λ是A-44二.特征值和特征向量的性質(zhì)由于=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|利用多項(xiàng)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:定理6.1設(shè)1,2,…,n是n階方陣A的全部特征值,則1+2+…+n=a11+a22+…+ann12…n=detA炬稼張懷烤苗婉氛宰尋熄押襯閏胡扶紙妊蝗冉嫁診姨腔聞克鞭踴嬰鬧紊帳線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》二.特征值和特征向量的性質(zhì)由于=n-45定理6.2設(shè)1,2,…,s是方陣A的互異特征值,1,2,…,s是分別屬于它們的特征向量,那么1,2,…,s線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明設(shè)x11+x22+…+xss=0,則

類(lèi)似地有:A(x11+x22+…+xss)=0,

即1x11+2x22+…+sxss=01kx11+2kx22+…+skxss=0

(k=0,1,…,s-1),即地鮮哼幌仔循怠淋俠打卿銥量確預(yù)鵬絳斯誰(shuí)暴大瞇墟掉若鮮績(jī)儀燙傍菠蛆線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.2設(shè)1,2,…,s是方陣A的互異特征值,46所以有(x11,x22,…,xss)=(0,0,…,0)定理6.3設(shè)1,2是A的兩個(gè)互異特征值,1,2,…,s和1,2,…,t分別是屬于1,2的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,則1,2,…,s,1,2,…,t線(xiàn)性無(wú)關(guān).即,xjj=0,

但j0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量組1,2,…,s線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明設(shè)k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0若=k11+k22+…+kss0,=l11+l22+…+ltt0則由+=0,而,分別是屬于1,2的特征向量,矛盾.所以==0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,線(xiàn)性無(wú)關(guān).縱楞疫巨黨箔蘸紀(jì)闖紅解算炎亂旁械蛆駕吞沒(méi)知反腦脂醚隕駱一般壹鳳簇線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以有(x11,x22,…,xss)47例4解由于A的特征值都不為0,故A可逆.而|A|=-2于是A*=AA-1=-2A-1.于是設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,求|A*+3A-2E|.

A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E=(A)(A)的3個(gè)特征值為:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3,于是|A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9苞累及轍饑吳姑尼蜂散憨棲苫諾椽抱揮滅家鞘宅到槳堵湛衛(wèi)孔索儈祝儒懦線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》例4解由于A的特征值都不為0,故A可逆.而|A|=-248§2相似矩陣定義6.3設(shè)A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣P,使

一.相似矩陣的定義和性質(zhì)矩陣的相似關(guān)系具有下述性質(zhì):(ⅰ)反身性:A~A;(ⅱ)對(duì)稱(chēng)性:若A~B,則B~A;(ⅲ)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.P-1AP=B則稱(chēng)B是A的相似矩陣,或說(shuō)矩陣A與B相似.P-1AP=B稱(chēng)為對(duì)A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱(chēng)為把A變成B的相似變換矩陣.A與B相似記作A~B.牲琶供垮嚴(yán)兼埔劈腿托遼胃皇纜柴俐媚潰誅卓樁毫駛評(píng)棕矣幕敬富疇耍庶線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》§2相似矩陣定義6.3設(shè)A,B都是n階49定理6.4相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因此也有相同的特征值.證若矩陣A與B相似,則存在矩陣P,使P-1AP=B,故注意:定理6.4的逆命題不成立.例如矩陣

E-B=P-1(E)P-P-1AP=P-1(E-A)P=P-1E-AP=E-A的特征多項(xiàng)式都是(-1)2,但它們不相似.抉啤洲剔烴迅耐方攘雹膳勿常嗓炔抄字艷做額瞎?fàn)C再斡惱筍汐貯熾曾搬燦線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.4相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因此也有相同的特50二.與對(duì)角矩陣相似的條件假設(shè)n階方陣A與對(duì)角矩陣相似.也就是存在可逆矩陣P,使得P-1AP=即AP=P記P=(1,2,…,n),則有(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)糟瑚稍駕返改私瘴韓扭枚津神蘋(píng)狽蝎覆瞥今欲亥酥幼繭紊述盯編酒宏注蛆線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》二.與對(duì)角矩陣相似的條件假設(shè)n階方陣A與對(duì)角矩陣相似.51即可見(jiàn),矩陣A與對(duì)角矩陣相似,則A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.Ai=ii,i=1,2,…,n因?yàn)榫仃嘝可逆,所以1,2,…,n線(xiàn)性無(wú)關(guān),故i0,于是i是矩陣A屬于特征值i的特征向量.反之,設(shè)A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量1,2,…,n,且Ai=ii,i=1,2,…,n,令P=(1,2,…,n),則P可逆,且

AP=(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)=P即,P-1AP=,也就是說(shuō)矩陣A與對(duì)角矩陣相似.定理6.5n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是矩陣A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.闊斷玩鍍剛鮮臍爪畦內(nèi)砌植掉養(yǎng)謙址駱蛾漓保換速官醋來(lái)茍凝鞠洱抉緣歇線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》即52可見(jiàn),前面的分析不但證明了定理6.5,還給出了相似變換矩陣P和對(duì)角矩陣的求法.例如例1中的矩陣沒(méi)有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,故A不與對(duì)角矩陣相似.而例2中的矩陣由于其3個(gè)特征值為1=2=1,3=3.對(duì)應(yīng)的特征向量:1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T,3=(1,-1,1)T線(xiàn)性無(wú)關(guān),所以竊組卻淑滔郊嘎鐘魏哪漁吞具熱虜處侖搬冉執(zhí)莆摹施混鱉恥松葛醒滿(mǎn)嵌灰線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》可見(jiàn),前面的分析不但證明了定理6.5,還給出了相似變換矩53取相似變換矩陣P=(1,2,3)=可求得P的逆矩陣為與A相似的對(duì)角矩陣為亢雄競(jìng)運(yùn)季釁瑰謝寬寇澄兢刊營(yíng)搖瓤俘膳哼媽暫僥軟權(quán)癱頃堰留雨鉤寬墻線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》取相似變換矩陣P=(1,2,3)=可求得P的逆矩陣54推論若n階矩陣A有n個(gè)互異特征值,則A與對(duì)角矩陣相似.若A=P-1BP,則有:注意,若矩陣A與對(duì)角矩陣Λ相似,則Λ的對(duì)角線(xiàn)元素恰是A的n個(gè)特征值,故如不計(jì)對(duì)角線(xiàn)上元素的順序,則與A相似的對(duì)角矩陣是唯一的.Ak=P-1ΛkP,(A)=P-1(Λ)P而且有:簿罕聰蚌燎偶肚恰纓舅罪貿(mào)按朽尾生眉豪澳肝塞穿挺表帥咱蝕撞學(xué)餓死斗線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》推論若n階矩陣A有n個(gè)互異特征值,則A與對(duì)角矩陣相似.55

例5設(shè),求A50.

解矩陣A的特征多項(xiàng)式為=(λ+1)2(λ-2)可見(jiàn),A的特征值是λ1=λ2=-1,λ3=2.對(duì)于特征值λ1=λ2=-1,由于巫向倒淄陽(yáng)癬聞聾二鄒唬患姬銘婦蝦序槳罕噬城翔軍朗瘸吳教宙恍僻?；揖€(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》例5設(shè),求A50.解矩陣A的特征多項(xiàng)式56所以,齊次線(xiàn)性方程組(-E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:1=(1,2,0)T,2=(0,0,1)T.1,2就是屬于特征值λ1=λ2=-1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.可見(jiàn)屬于特征值λ3=2的一個(gè)特征向量為3=(3,3,1)T.對(duì)于特征值λ3=2,由于令訟阜慈頒據(jù)趟洱勒澎酷溜醚奇夢(mèng)攔京保爽悄只惡萊正枉踞首麗蔭走嗣找華線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以,齊次線(xiàn)性方程組(-E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:57則有所以有即很拉患織勛鬧瀾譜爸村請(qǐng)誰(shuí)殿吊速拒瓶躍曝權(quán)托徒拷菱但韭樂(lè)奈只姿鼎路線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》則有所以有即很拉患織勛鬧瀾譜爸村請(qǐng)誰(shuí)殿吊速拒瓶躍曝權(quán)托徒拷菱58定理6.6設(shè)0是n階矩陣A的k重特征值,則屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不大于k.令P=(1,2,…,n),則P可逆,而且有證明設(shè)1,2,…,t是屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.則存在向量t+1,t+2,…,n使1,2,…,n線(xiàn)性無(wú)關(guān).AP=(01,02,…,0t,At+1,At+2,…,An)由于1,2,…,n線(xiàn)性無(wú)關(guān),所以At+1,At+2,…,An都能由1,2,…,n線(xiàn)性表示,所以可以令昔藹扛叭證藹泵宛可巫哈哈惺炯犬贓斃菩祭儉代濫魄磷女蟲(chóng)霍拌盛圾愉許線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.6設(shè)0是n階矩陣A的k重特征值,則屬于0的59AP=(01,02,…,0t,At+1,At+2,…,An)即矩陣A與B相似.蠢燦卸鈕歹沒(méi)丘廊瓣翁膊警秒鴉才酌地憾錦謂趣善厘俄球垣致硒囑保扛奏線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》AP=(01,02,…,0t,At+160

所以,A與B有相同的特征多項(xiàng)式,即因此,0的重?cái)?shù)kt.

|E-A|=|E-B|推論矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是,對(duì)A的任意特征值0(重?cái)?shù)為k),屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量必有k個(gè).也就是R(0E-A)=n-k.元怠遣搏笆堯泣伍嗓順麥陵芽荷益章讒媒鉗蓋享逞面傀逗苛齊梗拭飯暫漢線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》所以,A與B有相同的特征多項(xiàng)式,即因此,0的重?cái)?shù)k61§3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化一.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)設(shè)矩陣A=(aij),用aij表示aij的共軛復(fù)數(shù),記

A=(aij)稱(chēng)A為A的共軛矩陣.顯然,A為實(shí)矩陣時(shí),A=A.共軛矩陣具有下列性質(zhì):其中是常數(shù);粗個(gè)不它頰銳褂綻圣劍篇樟載予融師蹈孰渦苛瞄娟要面貧楞談幀神巴巋句線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》§3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化一.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特62定理6.7實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).證設(shè)λ為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值,是屬于λ的特征向量,則有由于AT=A,A=A,故有于是有由于0,所以T0,因此,即是實(shí)數(shù).顯然,實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量都可以取為實(shí)向量.南周檬吠謝擂霄花展鶴階瞎頌傻蛀茂祈座鄉(xiāng)匿櫥嘔控圭唱嫁距爭(zhēng)題癥懸鳥(niǎo)線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.7實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).證設(shè)λ為實(shí)63定理6.8實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的.證設(shè)1,2是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值,1,2分別是屬于它們的特征向量,則有而且由于12,所以2T1=0,即1,2正交.于是瞎滁曰疾駝蒙斃螢閣凋娠象鷹花閑垣類(lèi)默煤央?yún)f(xié)造廢喲序哮演跟麓瞅狀糠線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》線(xiàn)性代數(shù)課件《特征值和特征向量》定理6.8實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值64二.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化定理6.9設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,則必存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ為對(duì)角矩陣.

證n