概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程第二章

§2.1

隨

量及其分布(1)擲一顆，出現(xiàn)的點數(shù)X1，2，……，6.n個產(chǎn)品中的不合格品個數(shù)Y0，1，2，……，n某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù)Z0，1，2，……某種型號電視機的

T

:[0,

+)2.1.1

隨量的定義定義2.1.1設={}為某隨機現(xiàn)象的樣本空間，稱定義在上的實值函數(shù)X=X()為隨

量.(1)(1)

隨

量X()是樣本點的函數(shù)，其定義域為

，其值域為R=(，)若

X

表示擲一顆 出現(xiàn)的點數(shù)，則{X=1.5}

是不可能事件.(2)

若

X

為隨

量，則{X=k}、{a

<X

b}、……均為隨機事件.即{a

<X

b}={；a

<X()

b

}

(2)(3)

注意以下一些表達式：{X

=

k}=

{X

k}{X

<

k}；{a

<

X

b}

={X

b}{X

a}；{

X

>

b}

=

{X

b}.(4)

同一樣本空間可以定義不同的隨

量.若隨 量

X

可能取值的個數(shù)為有限個或可列個，則稱

X

為離散隨

量.若隨 量

X的可能取值充滿某個區(qū)間[a,

b]，則稱

X

為連續(xù)隨

量.

前例中的

X,

Y,

Z

為離散隨 量；而

T

為連續(xù)隨 量.兩類隨

量定義2.1.2設X為一個隨 量，對任意實數(shù)

x，稱

F(x)=P(

X

x)

為

X

的分布函數(shù).基本性質(zhì)：F(x)單調(diào)不降；有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+)=1；右連續(xù).2.1.2

隨量的分布函數(shù)2.1.3

離散隨

量的分布列設離散隨量X

的可能取值為：x1，x2，……，xn，……稱

pi=P(X=xi)，

i

=1,

2,……

為

X

的分布列.分布列也可用表格形式表示：Xx1x2

……xn

……Pp1p2

……pn

……分布列的基本性質(zhì)(1)

pi

0，(2)

pi

1.

(正則性)i(非負性)(1)求離散隨(1)

確定隨量的分布列應注意：量的所有可能取值;(2)

計算每個取值點的概率.(2)對離散隨 量的分布函數(shù)應注意：F(x)是遞增的階梯函數(shù);其間斷點均為右連續(xù)的;其間斷點即為X的可能取值點;其間斷點的跳躍高度是對應的概率值.例2.1.1已知

X

的分布列如下：X

0

1

2P

1/3

1/6

1/2求

X

的分布函數(shù).0,1/

3,1/

2,F(x)

x00

x1

1

x21, 2

x解：X

0

12P

0.4

0.4

0.2解：0,0.4,F

(x)

0.8,x00

x1

1

x21, 2

x例2.1.2已知

X

的分布函數(shù)如下,求

X

的分布列.2.1.4

連續(xù)隨

量的密度函數(shù)連續(xù)隨 量X的可能取值充滿某個區(qū)間(a,b).量X，有P(X=x)=0，量用

P(X=x)

來描述連續(xù)因為對連續(xù)隨所以無法仿離散隨隨 量X的分布.注意離散隨

量與連續(xù)隨

量的差別.定義2.1.4xp(t)dtF(x)

則稱

X

為連續(xù)隨

量，設隨 量X

的分布函數(shù)為F(x),若存在非負可積函數(shù)p(x)，滿足：稱p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1)

p(x)

0;(2)p(x)dx1.滿足(1) (2)的函數(shù)都可以看成某個連續(xù)隨 量的概率密度函數(shù).(非負性)(正則性)aP(a

X

b)

b

p(x)dx.(1)(1)F(x)是(∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);P(X=x)

=

F(x)F(x0)

=

0;(2)P{a<X≤b}

=

P{a<X<b}=

P{a≤X<b}=

P{a≤X≤b}=

F(b)F(a).當F(x)在x點可導時,

p(x)

=

F

(x)當F(x)

在x點不可導時,

可令p(x)

=0.連續(xù)型離散型分布列:

pn

=

P(X=xn)(唯一)F(x)

=

P(

X

xi

)xi

x密度函數(shù)X

~

p(x)(不唯一)xF(x)

p(t)dt3.

F(a+0)

=F(a);

P(a<Xb)

=

F(b)F(a).點點計較F(x)為階梯函數(shù)。F(a0)

F(a).P(X=a)

=

0

F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a0)=F(a).例2.1.3ke3x

,設X

~

p(x)

x

0,x

0.

0,求

(1)

常數(shù)

k.(2)

F(x).(2)

0,1

e3x

,F(

x)

x

0,x

0.解：(1)

k

=3.例2.1.40,設X

~

p(

1

x,

1

x

0

1其它求F(x).0,1,x

1F

(

x)

1

x解：設X與Y同分布，X的密度為

0,p(

x)

8

3

x2

,

0

x

2其他已知事件A

={X

>a

}和B

={Y

>a}獨立，223a

838ax

dx

1

從中解得a

3

4且

P(AB)=3/4,

求常數(shù)

a

.解:

因為

P(A)

=

P(B),

且由A、B

獨立，得P(AB)

=

P(A)+P(B)P(A)P(B)

=

2P(A)

[P(A)]2

=

3/4從中解得:

P(A)=1/2,

由此得

0<a

<2

,因此

1/2

=

P(A)

=

P(

X>

a)例2.1.5①

F(a)

=1②

F(a)=③

F(a)

=

F(a)④

F(a)=

2F(a)

10ap(

x)dx012a

p(

x)dx課堂練習設X

~

p(x)，且p(x)=p(x)，F(xiàn)(x)是X

的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a>0，有(②)§2.2隨 量的數(shù)學期望分賭本問題(17世紀)甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當甲贏2局、乙贏1局時，中止了

.問如何分賭本?兩種分法按已賭局數(shù)分：則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/3按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望”分：因為再賭兩局必分勝負，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/42.2.1

數(shù)學期望的概念若按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望”分，則甲的所得X

是一個可能取值為0

或100的隨

量，其分布列為：X0100P1/43/4甲的“期望”所得是：01/4+100

3/4=75.2.2.2

數(shù)學期望的定義定義2.2.1設離散隨P(X=xn)

=

pn,量X的分布列為n

=1,

2,

...絕對收斂，則稱該級數(shù)為X

的i

1若級數(shù)

xi

pi數(shù)學期望，記為i

ix

pE(

X

)

i

1連續(xù)隨

量的數(shù)學期望設連續(xù)隨量X的密度函數(shù)為p(x),定義2.2.2若積分絕對收斂，則稱該積分為X

的xp(

x)dx數(shù)學期望，記為E(

X

)

xp(

x)dx例2.2.1X

1

0

12P

0.2

0.1

0.4

0.3則E(X)

=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3

=

0.8.數(shù)學期望簡稱為期望.數(shù)學期望又稱為均值.數(shù)學期望是一種

平均.2.2.3

數(shù)學期望的性質(zhì)定理2.2.1量X的函數(shù)，設

Y=g(X)

是隨若E(g(X))存在，則g(x)

p(x)dxg(xi

)P(

X

xi

)E(g(

X

))

i1例2.2.2P求E(X2+2).解:

E(X2+2)=

(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=

1+3/4+6/4

=

13/4設隨 量

X的概率分布為X

0

1

21/2

1/4

1/4數(shù)學期望的性質(zhì)E(c)

=

cE(aX)

=

aE(X)E(g1(X)+g2(X))

=

E(g1(X))+E(g2(X))例2.2.3其設

X

~

p(x)

0,求下列X

的函數(shù)的數(shù)學期望.(1)

2X1,

(2) (X

2)2解:

(1)

E(2X

1)

=

1/3,(2)E(X

2)2

=

11/6.§2.3隨

量的方差與標準差數(shù)學期望反映了X

取值的中心.方差反映了X

取值的離散程度.2.3.1

方差與標準差的定義定義2.3.1

若

E(XE(X))2

存在，則稱E(XE(X))2

為X

的方差，記為Var(X)=D(X)=

E(XE(X))2Var(

X

)方差反映了隨方差越大,則隨稱

X

=

(X)=量相對其均值的偏離程度.量的取值越分散.標準差的量綱與隨為X

的標準差.量的量綱相同.2.3.2

方差的性質(zhì)Var(c)=0.

性質(zhì)2.3.2Var(aX+b)

=

a2

Var(X).(3)

Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性質(zhì)2.3.3性質(zhì)2.3.1例2.3.1設X

~

p

x00

x

1其它,

求

E(X),

Var(X).101

12=12(2)

E(X

)

=所以,=7/6Var(X)

=

E(X2)[E(X)2] =7/6

1

=

1/6解:

(1)

E(X)=

12dx

013

1

x(2

x)dxdx312201x

x

(2

x)dx課堂練習設X

~

p(

0,1

x

,

1

x

0

1其

他則方差

Var(X)=( )。問題：Var(X)=1/6,為什么？隨

量的標準化Var(設

Var(X)>0,

令

Y

則有

E(Y)=0,

Var(Y)=1.稱Y

為X

的標準化.2.3.3

切

不等式設隨 量X的方差存在(這時均值也存在),則對任意正數(shù)ε，有下面不等式成立

2P{|

X

E(

X

)

|

}

Var(

X

)

2P{|

X

E(

X

)

|

}

1

Var(

X

)例2.3.2

xn

e

x0設X~

p(x)

n!x

0x

0

n證明P(0

X

2(n

1))n

1證明:E(X)

=02E(X

)

=0所以,

Var(X)

=

E(X2)(EX)2

=

n+1,P(0

X

2(n

1))

P(

|

X

EX

|

n

1)(n

1)2

1

n

1

nn

1(這里,

=

n+1)n!dx

1

(n

2)

=n+1n!dx

1

(n

3)

=(n+1)(n+2)由此得定理

2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1§2.4

常用離散分布2.4.1

二項分布

記為

X

~

b(n,

p).X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù),n

k

,

k

0,1,...,

n.P(X

k)

pk

(1

p)nk當n=1時，稱b(1,p)為0-1分布.Y

~

b(4,

0.2)一批產(chǎn)品的 為0.8,

有放回地抽取4次,每次一件,

則取得合格品件數(shù)

X

服從二項分布.試驗次數(shù)為n=4,“成功”即取得合格品的概率為p=0.8,所以,

X

~

b(4,

0.8)思考：若Y

為不合格品件數(shù)，Y

？例2.4.1設X

~

b(2,p)，Y

~

b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由

P(X1)

=

8/9

，知

P(X=0)

=

1/9.所以

1/

9

=

P(X=0)

=(1p)2，從而解得:

p

=2/3.由此得：P(Y1)=1

P(Y=0)=1-

(1p)4

=

80/81.若隨 量

X

的概率分布為

kP(

X

k)

e

,k

0,

1,

2,k

!則稱X

服從參數(shù)為

的泊松分布,記為X

~

P().2.4.2

泊松分布泊松定理k

!

kepk

(1

p

)nk

n

n

n

k

定理2.4.1

(二項分布的泊松近似)在n重伯努里試驗中，記pn為一次試驗中成功的概率.若npn

，則記為X

~

h(n,N,M).

N

n

M

N

M

k

n

k

P(

X

k

)

,超幾何分布對應于不返回抽樣模型：N

個產(chǎn)品中有M

個不合格品，從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X.2.4.3

超幾何分布k

1,

2,P(

X

k)

(1

p)k

1

p,記為X

~

Ge(p)X

為獨立重復的伯努里試驗中，

“首次成功”時的試驗次數(shù).幾何分布具有無

性，即：P(

X

>

m+n

|

X>

m

)

=

P(

X

>

n

)2.4.4

幾何分布負二項分布(分布)k

r,

r

1,P(

X

k)

k

1(1

p)k

r

pr,

r1

記為X

~

Nb(r,p).X

為獨立重復的伯努里試驗中，“第r

次成功”時的試驗次數(shù).(1)

二項隨量是獨立0-1

隨量之和.(2)

負二項隨量是獨立幾何隨量之和.常用離散分布的數(shù)學期望0-1

分布的數(shù)學期望

=

p二項分布

b(n,

p)的數(shù)學期望

=

np幾何分布Ge(p)

的數(shù)學期望

=

1/p泊松分布

P()

的數(shù)學期望

=

常用離散分布的方差0-1

分布的方差

=

p(1p)二項分布b(n,p)的方差=np(1p)幾何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2泊松分布P()的方差=§2.5常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、

分布。記為X

~

N(,2),12

2p(x)

(x)2

exp

,

x

2其中

>0，

是任意實數(shù).

是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).2.5.1

正態(tài)分布yxOμ正態(tài)分布的性質(zhì)p(x)x0

μσ小σ大

p(x)關于

是對稱的.

在

點p(x)取得最大值.若

固定,

改變,p(x)左右移動,形狀保持不變.(3)

若

固定,

改變,

越大曲線越平坦;

越小曲線越陡峭.p(x)x02(1)

(0)

1

,xx(x)1

(

x)標準正態(tài)分布N(0,

1)密度函數(shù)記為(x),分布函數(shù)記為(x).(2)

(

x(x)的計算x

0

時,

查標準正態(tài)分布函數(shù)表.x<

0時,

用(x)

1

(

x).若

X

~

N(0,

1),

則P(X

a)

=

(a);P(X>a)

=1(a);P(a<X<b)

=

(b)(a);若a

0,

則P(|X|<a)

=

P(a<X<a)

=

(a)(a)=

(a)

[1

(a)]

=

2(a)1例2.5.1

設

X

~

N(0,

1),

求P(X>1.96)

,

P(|X|<1.96)解:

P(X>1.96) =

1

(1.96)=1(1

(1.96)) =

(1.96)=0.975

(查表得)P(|X|<1.96)

=

2

(1.96)1=2

0.9751 =0.95設

X

~

N(0,

1),

P(X

b)

=0.9515,P(X

a)

=0.04947,

求

a,

b.解:(b)=0.9515>1/2,所以

b

>0,反查表得:(1.66)

=0.9515,故

b

=1.66而(a)=0.0495<1/2,所以

a

<0,(a)=

0.9505,

反查表得:(1.65)

=

0.9505,故

a

=

1.65例2.5.2一般正態(tài)分布的標準化定理2.5.1

設

X

~

N(,

2),

Y

X

,則Y

~

N(0,1).推論:

若

X

~

N(,

2),

則

F(x)

x

若

X

~

N(,

2),

則P(X<a)

=

a

，

P(X>a)=

1

a

設X

~

N(10,4),求

P(10<X<13),P(|X10|<2).解:

P(10<X<13)

=

(1.5)(0)=

0.9332

0.5 =0.4332P(|X

10|<2)

=

P(8<X<12)=2(1)1

=

0.6826例2.5.3設

X

~

N(,

2),

P(X

5)

=0.045,P(X

3)=0.618,

求

及.例2.5.45

1.69

30.3

=

1.76

=4解:已知

X

~

N(3,

22),

且P{X>k}

=

P{X≤k},

則

k

=(

3

).課堂練

)設

X

~

N(,42),

Y

~

N(,

52),

記p1

=

P{X≤

4}，p2

=

P{Y≥

+5},

則(

①)①

對任意的

，都有p1

=p2②

對任意的

，都有p1

<p2③

只個別的

，才有p1

=p2④

對任意的

，都有p1

>p2課堂練習(2)設

X

~

N(

,

2),

則隨

的增大，概率P{|

X

|<

}①單調(diào)增大③保持不變(

③

)②單調(diào)減少④增減不定課堂練習(3)正態(tài)分布的

3

原則設

X

~

N(,

2),

則P(

|

X

|

<

)

=

0.6828.P(

|

X

|

<

2

)

=

0.9545.P(

|

X

|

<

3

)

=

0.9973.記為X

~

U(a,b)1a

xbp(x)

ba

,

0,其它0,1,xaa

xbb

xF(x)

xa

,

ba2.5.2

均勻分布X

~

U(2,5).

現(xiàn)在對X

進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于

3

的概率.解：

記

A

={

X

>3

},

則

P(A)

=

P(

X>

3)

=

2/3設Y

表示三次獨立觀測中A

出現(xiàn)的次數(shù),則Y~

b(3,2/3)，所求概率為P(Y≥2)

=

P(Y=2)+P(Y=3)

2

2

1

2

3

1

0

C2

3

3

3

3

3

3

C3

=20/27例2.5.52.5.3

指數(shù)分布0,

e

x

,

x0p(x)

x00,1

e

x

,

x0F

(x)

x0

記為

X

~

Exp(),

其中

>0.特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：P(

X

>

s+t

|X

>

s)=P(

X

>

t

)2.5.4

伽瑪分布記為X

~

Ga(,),

1e

x

,p(x)

xx

0()其中

>0，

>0.為伽瑪函數(shù).0x

e

dx

1

x()

稱(1)

=

1,

(1/2)

=(n+1)

=

n!Ga(1,

)

=

Exp()Ga(n/2,

1/2)

=

2(n)2.5.5

分布記為X

~

Be(a,b),p(B(a,b)其中a

>0，b

>0.0稱

B(a,

b

1

xa

1(1x)b

1dx為

函數(shù).(2)(1)

B(a,

b)=B(b,

a)B(a,

b)

=(a)(b)

/(a+b)(3)Be(1,

1)

=

U(0,

1)常用連續(xù)分布的數(shù)學期望正態(tài)分布N(,2):均勻分布U(a,b):指數(shù)分布Exp():伽瑪分布Ga(,):分布Be(a,b):E(X) =

E(X)

=(a+b)/2E(X)=

1/E(X)=

/E(X)

=

a/(a+b)常用連續(xù)分布的方差正態(tài)分布N(,2)的方差=2均勻分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12指數(shù)分布Exp()的方差=1/2例2.5.6

已知隨 量

X

服從二項分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,

則參數(shù)n,p

的值為多少？解：從

2.4=

np,

1.44

=

np(1p)

中解得

n=6,

p=0.4.例2.5.7

設

X表示

10

次獨立重復射擊命中目標的次數(shù),每次射中目標的概率為0.4,

則

E(X2)的值為多少？解：因為

E(X)

=

np

=

4,

Var(X)=2.4,

所以E(X2)

=

Var(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4設E(X)=μ，Var(X)=σ2，則對任意常數(shù)C，必有（

④）.(1)E[(

X

E[(

X

C)2

]

EE[(

X

C)2

]

E[(

X

課堂練習§2.6

隨 量函數(shù)的分布問題：已知

X

的分布，求

Y

=g(X)

的分布。例如：Y1

=4X

+3；Y2

=|X|；Y3

=X2

.當

X

為離散隨 量時，

Y

=

g(X)

為離散隨 量.將g(xi)一一列出,再將相等的值合并即可.2.6.1

離散隨量函數(shù)的分布2.6.2

連續(xù)隨量函數(shù)的分布定理2.6.1

設

X

~

pX(x)，y

=

g(x)是

x

的嚴格單調(diào)函數(shù)，記x

=h(y)為y

=g(x)的反函數(shù),且h(y)連續(xù)可導，則Y

=g(X)的密度函數(shù)為:XYp

(h(

y))

|h'(

y)

|,

a

y

bp

(

y)

0,

其它1例2.6.1

設X

~

pX

(x)

(1

x2

),求Y

=eX

的分布.反函數(shù)

x

=h(y)

=

lny,所以當y

>0

時,yh(

y)

1

,yY

X

Xp

(

y)

p

[h(

y)]

|

h(

y)

|

p

[ln

y]

1

y(1

ln由此得210,Y,

y

0

y(1

ln

y)p

(

y)

其它解：y

=ex

單調(diào)