2008年高考數(shù)學(xué)試題

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)含答案本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)．第Ⅱ卷3至10頁(yè)．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．不能答在試題卷上．3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．參考公式：如果事件如果事件互斥，那么球的表面積公式相互獨(dú)立，那么其中表示球的半徑球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率其中表示球的半徑一、選擇題1．設(shè)集合A．，（）B．C．D．【答案】B【解析】，，【高考考點(diǎn)】集合的運(yùn)算，整數(shù)集的符號(hào)識(shí)別?！驹u(píng)注】歷年來(lái)高考數(shù)學(xué)第一個(gè)小題一般都是集合問(wèn)題，都超簡(jiǎn)單。其實(shí)集合問(wèn)題是可以出難題的，但高考中的集合問(wèn)題比較簡(jiǎn)單。需要注意的是：很多復(fù)習(xí)書(shū)都把集合作為高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，我認(rèn)為這是不妥當(dāng)?shù)?，高中的集合?wèn)題涉及到的集合知識(shí)并不多（就是一種表達(dá)方式），其難度主要體現(xiàn)在知識(shí)的綜合性上，學(xué)生應(yīng)當(dāng)先學(xué)習(xí)其他知識(shí)，再在集合中綜合。建議把“數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算”作為高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，學(xué)生花1個(gè)月的時(shí)間溫習(xí)、強(qiáng)化初等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算是必要的，重要的，也是值得的。數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算具體包括的內(nèi)容可以參考本人編寫的《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專用教材》2．設(shè)且，若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因是實(shí)數(shù)且，所以【高考考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念、基本運(yùn)算，立方和公式（基本運(yùn)算）【評(píng)注】很多學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)立方和公式，不會(huì)用立方和公式一步到位地展開(kāi)，有人按進(jìn)行展開(kāi)，也有人按進(jìn)行展開(kāi)，還有人用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開(kāi)，這都是可行的思路。但是，學(xué)生就此產(chǎn)生浮躁、急躁情緒。這才第二題，就要如此大動(dòng)干戈？！建議：（一）數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一定要塌實(shí)，該硬的硬，例如：對(duì)數(shù)指數(shù)運(yùn)算是否過(guò)關(guān)，是否能熟練運(yùn)用楊輝三角進(jìn)行二項(xiàng)式展開(kāi)，這都是基本的硬工夫。復(fù)習(xí)時(shí)，要把練就硬功夫放在第一位。技巧也要學(xué)，但那是第二位的東西。（二）數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不要老盯著高考，高考指定要考的當(dāng)然要學(xué)習(xí)，高考沒(méi)有指明要考的，也要適當(dāng)學(xué)習(xí)。這就是老師的任務(wù)啦。作為學(xué)生要聽(tīng)話。（三）要注意提高心理素質(zhì)。要能憋得住。要有韌性。從這個(gè)角度講，本題有考察學(xué)生心理素質(zhì)的意圖。3．函數(shù)的圖像關(guān)于（）B．直線D．直線A．軸對(duì)稱對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱【答案】C【解析】是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【高考考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、對(duì)稱【評(píng)注】對(duì)常見(jiàn)函數(shù)的圖象、奇偶性、單調(diào)性等主要性質(zhì)一定要了如指掌，做到脫口而出。本題可以取點(diǎn)進(jìn)行排除。取（1，0）點(diǎn)，而（0，1）點(diǎn)無(wú)意義，有（-1，0）點(diǎn)，于是排除B、D，再取，有點(diǎn)排除A，確定C是正確的。這樣的方法也能體現(xiàn)出學(xué)生的基本能力，有些學(xué)生取點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證都出錯(cuò)，都心慌，說(shuō)明平時(shí)的學(xué)習(xí)是何等的被動(dòng)、漂浮啊。對(duì)稱問(wèn)題也是初等數(shù)學(xué)中的基本問(wèn)題，本人編寫的《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專用教材》列有專講。對(duì)稱也是高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重點(diǎn)之一。此題并沒(méi)有什么新奇之處。和第二題相比，本題要簡(jiǎn)單點(diǎn)。本卷在題目難度的安排上已經(jīng)有點(diǎn)不按規(guī)則出牌了。但我覺(jué)得和外國(guó)的高考試題相比，中國(guó)的高考試題更具體，抽象感和理論感明顯遜色。這道題目也暴露出我國(guó)學(xué)生抽象思維能力不足的弱點(diǎn)，這道題還不算太抽象呢！4．若，則（）C．<<D．<<A．<<【答案】CB．<<【解析】取，<<也可以如下解：當(dāng)然從比較費(fèi)時(shí)間?！靖呖伎键c(diǎn)】對(duì)數(shù)的基本基本運(yùn)算、比較實(shí)數(shù)的大小?！驹u(píng)注】這類問(wèn)題用特值法是非常容易搞定的，但也有人缺乏數(shù)字感覺(jué)，不能取到內(nèi)合適的數(shù)，也有人取成導(dǎo)致錯(cuò)誤，這就是基礎(chǔ)不牢固的表現(xiàn)。取值時(shí)候，應(yīng)該多試，注意驗(yàn)證，確定取對(duì)后再運(yùn)算。否則“后”功盡棄。5．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，于是【高考考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃。大家要注意，各地高考試題中已經(jīng)出現(xiàn)比較復(fù)雜靈活的線性規(guī)劃問(wèn)題，要注意學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)，估計(jì)今后的線性規(guī)劃問(wèn)題不會(huì)老停留在初級(jí)階段。【評(píng)注】這是個(gè)簡(jiǎn)單題，但也離不開(kāi)運(yùn)算6．從20名男同學(xué)，10名女同學(xué)中任選3名參加體能測(cè)試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【高考考點(diǎn)】排列組合應(yīng)用，概率基本知識(shí)，分類討論思想。往年高考題中的排列組合比這難。【評(píng)注】本題可以使用正難則反的方法去做。7．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．B．C．3D．4【答案】B【解析】【易錯(cuò)提醒】容易漏掉項(xiàng)或該項(xiàng)的負(fù)號(hào)【評(píng)注】本人的方法是寫出楊輝三角分別硬展，再取舍，也很簡(jiǎn)單。如果想到再判斷出的系數(shù)是也非常簡(jiǎn)單啊。和8．若動(dòng)直線與函數(shù)的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為（）A．1【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出B．C．D．2及在的圖象，由圖象知，當(dāng)，即時(shí)，得，，∴【高考考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象，兩點(diǎn)間的距離【評(píng)注】本例就是求在上的最大值，只不過(guò)在表達(dá)上繞了個(gè)彎?？疾閷W(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解能力。本題不難，但有味道。文科試題也有本題，就是直接表達(dá)的?！緜淇继崾尽亢瘮?shù)圖像問(wèn)題是一個(gè)?？汲Ｐ碌膯?wèn)題。9．設(shè)A．，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）B．C．D．【答案】B【解析】，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，所以，即【高考考點(diǎn)】解析幾何與函數(shù)的交匯點(diǎn)【評(píng)注】本題可以使用特值法進(jìn)行判斷，也可以使用帶入法進(jìn)行排除。兩者最好能結(jié)合起來(lái)。再由知道，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成定區(qū)間上二次函數(shù)的最值問(wèn)題，就容易解決了。不是很難吧。代入法是這樣的：假設(shè)正確的。，合題設(shè)?？梢耘懦鼳、C、D確定B是10．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為所求。設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2，則在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=，于是【評(píng)注】本題是比較簡(jiǎn)單的，屬于立體幾何中的常規(guī)題目，平常練習(xí)中這類題目很常見(jiàn)。處理手段也很平常。11．等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（）A．3B．2C．D．【答案】A【解析】，，設(shè)底邊為由題意，到所成的角等于到所成的角于是有再將A、B、C、D代入驗(yàn)證得正確答案是A?！靖呖伎键c(diǎn)】?jī)芍本€成角的概念及公式【備考提示】本題是由教材的一個(gè)例題改編而成。（人教版P49例7）。做題時(shí)應(yīng)該畫(huà)一個(gè)草圖，可以斷定C、D是錯(cuò)誤的，這樣代A、B驗(yàn)證即可。方法二：由于有的同學(xué)對(duì)直線的到角公式不太熟悉（不能確定誰(shuí)減去誰(shuí)），因此想使用夾角公式，也是可以的。從題意可以知道：與是等腰三角形腰所在，求的是底邊作在直線的斜率，因此腰和底邊所成的角度就是腰和底邊所成的夾角的大小。從而有：結(jié)合觀察出來(lái)的將k=3代入驗(yàn)算，正確，選A。不用擔(dān)心漏值。12．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2，則兩圓的圓心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】設(shè)兩圓的圓心分別為對(duì)角線,而、，球心為，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則為矩形，于是，∴立體幾何中的球體問(wèn)題主要障礙就在圖象，我們采取特殊的位置的方法解決問(wèn)題。取水平截面為大圓，另一圓為豎直面，再平面化如下圖：B=2，B=1BA，∴【高考考點(diǎn)】球的有關(guān)概念，兩平面垂直的性質(zhì)【評(píng)注】在解析幾何和立體幾何中，第10題、第11題、第12題均沒(méi)有給圖，含有考查學(xué)生作圖能力的意圖?！颈救藢?duì)選擇題目的總看法】題目本身不是太難，但除了第1題、第3題外，都需要進(jìn)行一定量的運(yùn)算，可見(jiàn)，本年題目把考查運(yùn)算能力放在了一個(gè)十分突出的位置。有考生反映：光選擇題目就做了40多分鐘。其實(shí)這可能還算比較快的了，有的考生在選擇題上用時(shí)超過(guò)1個(gè)小時(shí)。第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．設(shè)向量【答案】2，若向量與向量共線，則．【解析】＝則向量與向量共線【評(píng)注】剛剛從荊棘叢中掙扎出來(lái)的考生，怎么也不相信第13題會(huì)如此簡(jiǎn)單，很多人進(jìn)行了驗(yàn)算?？忌男睦碛忠淮问艿?jīng)_擊。14．設(shè)曲線【答案】2在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則．【解析】，∴切線的斜率，所以由得【評(píng)注】又是這么簡(jiǎn)單，沒(méi)有任何懸念。15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)，則與的比值等于．【答案】【解析】設(shè)A（，）B（，）由，，（）；∴由拋物線的定義知這是用圓錐曲線定義做的。也可以使用下面的方法：作垂直x軸于，作垂直x軸于，于是相似，于是應(yīng)該求出直線AB和拋物線的焦點(diǎn)（消去x）拋物線【高考考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線定義的應(yīng)用，一元二次方程求根，簡(jiǎn)單的平面幾何知識(shí)（看考生做哪條解題路線）【評(píng)注】本題也不難。以往填空題目使考生望而生畏，成為丟分的重災(zāi)區(qū)，可是2008年的高考數(shù)學(xué)填空題目，也太簡(jiǎn)單了點(diǎn)吧。到目前為止，15道題目除第8題的表達(dá)稍微有點(diǎn)新意之外，都是老面孔。有人認(rèn)為（見(jiàn)《西海都市報(bào)》有關(guān)報(bào)道）本運(yùn)算量大，本人不敢茍同。16．平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件①；．充要條件②（寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）【答案】?jī)山M相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個(gè)充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．【評(píng)注】很多考生對(duì)直棱柱、正棱柱、正棱錐之類的概念不是很清楚，面對(duì)本題毫無(wú)頭緒。也有的考生表達(dá)能力欠缺，知道條件，但就是表達(dá)不出來(lái)，或表達(dá)不到位。建議大家讀讀數(shù)學(xué)書(shū)，去欣賞欣賞數(shù)學(xué)中的語(yǔ)言美，不要一提數(shù)學(xué)，就是算。本題考查了學(xué)生類比能力。這類題目已經(jīng)在上海卷中出現(xiàn)好幾年了。建議大家有時(shí)間的話看看上海卷，尤其是志懷高遠(yuǎn)的學(xué)生，要仔細(xì)研究上海卷。三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在中，，．（Ⅰ）求（Ⅱ）設(shè)的值；的面積，求的長(zhǎng)．解：（Ⅰ）由，得．，由，得所以．5分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故又，8分，．故，所以．10分方法二：A這種解法，充分利用了已知條件，有點(diǎn)代數(shù)技巧的味道。BC18．（本小題滿分12分）購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為．（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率；（Ⅱ）設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）．解：各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是，記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則．（Ⅰ）記表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)，2分又故，．5分說(shuō)明：（1）本題數(shù)據(jù)多，而且兩個(gè)數(shù)據(jù)一樣，文字又較長(zhǎng)，給一些學(xué)生造成閱讀困難。更要命的是如果不理解“保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元”的真實(shí)含義就是“投保的10000人中至少有一人出險(xiǎn)”將無(wú)法解答此題。理解后，如何計(jì)算至少有一人出險(xiǎn)的概率又是一個(gè)難題。10000人啊，怎么辦，“正難則反”，求一個(gè)人也不出險(xiǎn)概率，則用1減去一個(gè)人也不出險(xiǎn)概率就是至少有一人出險(xiǎn)的概率。（2）數(shù)據(jù)讓一些考生沒(méi)看明白。這只能說(shuō)，某些考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也太不夠了。（Ⅱ）該險(xiǎn)種總收入為支出元，支出是賠償金總額與成本的和．，盈利，盈利的期望為，9分由知，，．（元）．故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元．12分說(shuō)明：都說(shuō)本題第（Ⅱ）難，我怎么不覺(jué)得，是很多考生沒(méi)有真正弄懂概率中的基本概念和基本運(yùn)算吧！19．（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．（Ⅰ）證明：（Ⅱ）求二面角解法一：平面；的大小．依題設(shè)知，．（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．3分．由三垂線定理知，在平面由于故內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，，，，與互余．于是．與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面．6分說(shuō)明：（1）“結(jié)交于點(diǎn)”，什么？大家看矩形就明白了，和在同一個(gè)平面內(nèi)，這種地方看似平常，其實(shí)很能體現(xiàn)基礎(chǔ)。（2）很好證明，連接，利用正方形對(duì)角線性質(zhì)和正四棱柱定義就可以了。關(guān)鍵是如何證明。我給大家提供一條思路：如果，結(jié)合就會(huì)有，將長(zhǎng)方形取出，結(jié)合數(shù)據(jù)證明（可以從證得）當(dāng)然也可以將平移到E處,計(jì)算在證明。（3）由于初中教學(xué)內(nèi)容的修改，很多高中生應(yīng)用“平行線等分線段成比例”和相似三角形的判定法則來(lái)證明問(wèn)題的能力不高?？梢杂袃蓚€(gè)方案，要么回頭學(xué)習(xí)“平行線等分線段成比例”和相似三角形的判定法則，但代價(jià)大。要么尋找替代手段。我認(rèn)為三角函數(shù)是個(gè)比較好的替代手段。（4）也有些同學(xué)幾何運(yùn)算能力欠佳，不會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)、面積法、比例法求解幾何量。建議使用傳統(tǒng)方法解決立體幾何問(wèn)題的學(xué)生一定要把經(jīng)典問(wèn)題（如本題及其他的高考試題）多做幾遍，弄懂每一個(gè)細(xì)節(jié)，全面掌握幾何運(yùn)算技術(shù)（不是簡(jiǎn)單那的技巧問(wèn)題）。（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，故是二面角的平面角．8分，，．，．又，．．所以二面角的大小為．12分解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，為軸的正半軸，．．，．3分（Ⅰ）因?yàn)椋?，故，．又，所以平面?分（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則，．故令，．，則，，．9分等于二面角的平面角，．所以二面角的大小為．12分【評(píng)注】相對(duì)而言：向量法就簡(jiǎn)單多了，為了12分是值得花時(shí)間學(xué)習(xí)向量法的，同時(shí)學(xué)習(xí)向量法，也能提高運(yùn)算能力。20．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，，．（Ⅰ）設(shè)（Ⅱ）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；，，求的取值范圍．，即解：（Ⅰ）依題意，由此得，．4分因此，所求通項(xiàng)公式為，．①6分說(shuō)明：第（Ⅰ）問(wèn)考的是數(shù)列的通項(xiàng)公式，而且消去，再湊出就已經(jīng)暗示了解題方法：應(yīng)該運(yùn)用即可。請(qǐng)仔細(xì)研究本題為什么沒(méi)有進(jìn)行討論，細(xì)節(jié)在何處，有什么啟發(fā)？（Ⅱ）由①知，，于是，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)又時(shí)，．．綜上，所求的的取值范圍是．12分說(shuō)明：（1）如果不進(jìn)行“”，則解答存在紕漏：（2）可以有兩種轉(zhuǎn)化方案，方案一：作差方案一：代入，，按指數(shù)合并同類項(xiàng)，同樣可以得到：。得到后，還有重要的一個(gè)步驟：才能得到（3）本題是簡(jiǎn)單的恒成立問(wèn)題，其主要難度在于運(yùn)算和化簡(jiǎn)方向的把握。21．（本小題滿分12分）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，．2分如圖，設(shè)，其中，且故滿足方程，．①由知，得；由在所以上知，得．，化簡(jiǎn)得解得，或．6分【評(píng)注】（1）原題無(wú)圖，大家要大膽按常規(guī)情況確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不