2023屆福州屏東中學數(shù)學高三第一學期期末綜合測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知、是雙曲線的左右焦點,過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點,若點在以線段為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.5.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.明代數(shù)學家程大位(1533~1606年),有感于當時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.7.如圖,在中,點是的中點,過點的直線分別交直線,于不同的兩點,若,,則()A.1 B. C.2 D.38.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實數(shù)等于()A. B.1 C. D.29.設(shè)為非零實數(shù),且,則()A. B. C. D.10.若時,,則的取值范圍為()A. B. C. D.11.設(shè),,,則()A. B. C. D.12.已知為圓的一條直徑,點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.14.已知函數(shù),則的值為____15.已知圓,直線與圓交于兩點,,若,則弦的長度的最大值為___________.16.設(shè),滿足約束條件,若的最大值是10,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱中,與均為等腰直角三角形,,側(cè)面是菱形.(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項和.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.21.(12分)已知奇函數(shù)的定義域為,且當時,.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個零點,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)當m=7時,求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x,不妨設(shè)過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=(x﹣c),與y=﹣x聯(lián)立,可得交點M(,﹣),∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.則e=>1.∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,+∞).故選:A.點睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式,建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.2、B【解析】

由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對應(yīng)的點在第二象限,得,則.故選:B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由題意,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,當;當綜上:.故選:B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學生邏輯推理,分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡,求得對應(yīng)的坐標,由此判斷對應(yīng)點所在象限.【詳解】,對應(yīng)的點的坐標為,位于第一象限.故選:A.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算,考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學生的理解能力和計算能力.7、C【解析】

連接AO,因為O為BC中點,可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點共線可知,其表達式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點可得,,、、三點共線,,.故選:C.【點睛】本題考查了向量的線性運算,由三點共線求參數(shù)的問題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應(yīng)的的值即可.【詳解】因為,所以,又因為是純虛數(shù),所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則有.9、C【解析】

取,計算知錯誤,根據(jù)不等式性質(zhì)知正確,得到答案.【詳解】,故,,故正確;取,計算知錯誤;故選:.【點睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學生對于不等式性質(zhì)的靈活運用.10、D【解析】

由題得對恒成立,令,然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對恒成立,令,在單調(diào)遞減,且,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,又在單調(diào)遞增,,的取值范圍為.故選:D【點睛】本題主要考查了不等式恒成立問題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題,可采用參變量分離法去求解.11、A【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

首先將轉(zhuǎn)化為,只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內(nèi)的點與圓心距離,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為,則,過作直線的垂線,垂足為B,顯然,又易得,所以,,故.故選:D.【點睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題,涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識,考查學生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.14、4【解析】

根據(jù)的正負值,代入對應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解:.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

取的中點為M,由可得,可得M在上,當最小時,弦的長才最大.【詳解】設(shè)為的中點,,即,即,,.設(shè),則,得.所以,.故答案為:【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查學生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想,是一道有一定難度的題.16、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:目標函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行,數(shù)形結(jié)合可知當且僅當目標函數(shù)過點,取得最大值,故可得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】

(1)取中點,連接,,通過證明,得,結(jié)合可證線面垂直,繼而可證面面垂直.(2)設(shè),建立空間直角坐標系,求出平面和平面的法向量,繼而可求二面角的余弦值.【詳解】解析:(1)取中點,連接,,由已知可得,,,∵側(cè)面是菱形,∴,,,即,∵,∴平面,∴平面平面.(2)設(shè),則,建立如圖所示空間直角坐標系,則,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令得.同理可求得平面的法向量,∴.【點睛】本題考查了面面垂直的判定,考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線面角的問題時,常建立空間直角坐標系,通過求面的法向量、線的方向向量,繼而求解.特別地,對于線面角問題,法向量與方向向量的余角才是所求的線面角,即兩個向量夾角的余弦值為線面角的正弦值.18、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用已知條件化簡出,當時,,當時,再利用進行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項公式,再化簡出,可直接求出的前100項和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當時,由①式可得;又時,有,代入①式得,整理得,∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項和.【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項公式的求法以及裂項相消法求和,考查分析解題能力和計算能力.19、(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期,解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,由得出或,分兩種情況討論,結(jié)合余弦定理解三角形,進行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1),所以,函數(shù)的最小正周期為,由得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①當時,即,則由,,得,則,此時,的面積為;②當時,則,即,則由,解得,,.綜上,的面積為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積的計算,涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.20、(1);(2)見解析.【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設(shè)切點橫坐標為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】(1),函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立.令,得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.因為,則在上恒成立等價于在上恒成立;又,所以,即.(2)設(shè)的切點橫坐標為,則切線方程為……①設(shè)的切點橫坐標為,則,切線方程為……②若存在,使①②成為同一條直線,則曲線與存在公切線,由①②得消去得即令,則所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,使得時總有又時,在上總有解綜上,函數(shù)與總存在公切線./r

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